কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সরল হারমোনিক মোশন: 5টি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

দোদুল্যমান শরীরের পরিমাণ যা মৌলিকভাবে এর পর্যায়ক্রমিক গতি পরিমাপ করে তাকে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সরল হারমোনিক মোশন (SHM) বলা হয়। নিবন্ধটি SHM-এ কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কে আলোচনা করে।

কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সহজ সুরেলা গতি (SHM) একটি সাধারণ দুল হিসাবে দোলনা সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য। এসএইচএম "থেকে এদিক ওদিক" দোলন জড়িত, তাই এর গতি sinusoidal হয়। এসএইচএম -এ বব দ্বারা বহন করা দোলনের সংখ্যাকে এর কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি বলা হয় - যা পরিমাপ করে যে বব একটি নির্দিষ্ট সময়ে কতবার দোলায়.

যখন শরীরের গতি ঘন ঘন পিরিয়ডে পুনরাবৃত্তি করে, তখন এটিকে বলা হয় পর্যায়ক্রমিক গতি। যেহেতু সাধারণ পেন্ডুলামের ঝুলন্ত ববের গতি পুনরাবৃত্তিমূলক বা পর্যায়ক্রমিক, তাই আমরা এসএইচএমকে পর্যায়ক্রমিক গতির সরলতম রূপ বলে থাকি। কিন্তু কোন বস্তুটি নিয়মিত বিরতিতে তার গতি পরিবর্তন করে? যখন আমরা টানতে বা ধাক্কা দেওয়ার সময় ববটি উচ্চতর অবস্থানে চলে যায়, তখন এটি একটি পুনরুদ্ধার শক্তি যা ববের উপর প্রয়োগ করা হয়, এটি প্রাথমিক স্থানে নিয়ে আসে এবং দোলন সৃষ্টি করে। এর অর্থ এই যে, ববটি একটি দোলন সঞ্চালন করে যখন এটি তার প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে।

যখন ববের উপর পুনরুদ্ধারকারী শক্তি প্রাথমিক অবস্থান থেকে তার স্থানচ্যুতির অনুরূপ হয়, তখন ববের গতিকে বলা হয় “সরল সুরেলা গতি (SHM)". SHM সময়মতো সাইনোসয়েডাল যা ববের মসৃণ পর্যায়ক্রমিক দোলনকে বর্ণনা করে। বব এর সাইনোসয়েডাল প্রকৃতি তার প্রদর্শন করে কৌণিক কম্পাংক, যা এর দোলন হার পরিমাপ করে। সরল হারমোনিক গতি পর্যায়ক্রমিক এবং দোলক, কিন্তু সব দোলনীয় গতি সরল সুরেলা গতি নয়; যদিও তারা পর্যায়ক্রমিক। একইভাবে, দ ইউনিফর্ম সার্কুলার মোশন (UCM) একে পর্যায়ক্রমিক গতি বলা হয়, দোলক নয়। 

আরও, আমরা কিছু পার্থক্য অন্বেষণ করব যা আমাদের SHM বুঝতে হবে, যেমন SHM-এ কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি এবং কৌণিক বেগের মধ্যে পার্থক্য করা।

সম্পর্কে আরো পড়ুন সরল দোলক এর গতিশীল শক্তির কথোপকথন.

সরল হারমোনিক গতিতে কৌণিক বেগ কী?

সাধারণ হারমোনিক মোশনে (এসএইচএম) দোলনা দেহের কৌণিক বেগ হল প্রতি ইউনিট সময় দোলনা দেহের কৌণিক অবস্থানের পরিবর্তন।

সহজ ভাষায় সুরেলা গতি (SHM), কৌণিক বেগ দোদুল্যমান বা ঘূর্ণায়মান শরীরের কৌণিক গতি পরিমাপ করে। অর্থাৎ, যে হারে শরীর দোদুল্যমান বা ঘোরে - যা শরীরের ঘূর্ণন গতি ব্যাখ্যা করে। যেহেতু কৌণিক বেগের দিকটি তার কৌণিক স্থানচ্যুতির জন্য লম্ব, তাই এটি অনুমান করে যে কীভাবে শরীর তার গড় অবস্থানের চারপাশে ঘুরতে পারে। অতএব, ঘূর্ণায়মান দেহের কৌণিক বেগ তার ঘূর্ণন গতির উপর নির্ভর করে। এর মানে হল - শরীরের ঘূর্ণন গতি দ্রুত, এর কৌণিক বেগ বেশি।

সময়ের সাথে কৌণিক স্থানচ্যুতি θ পার্থক্য করে SHM-এ কৌণিক বেগ সম্পন্ন করা যেতে পারে।

ω = dθ /dt …………(1)

ওমেগা প্রতীক ω কৌণিক বেগ নির্দেশ করে।

সমীকরণ (1) অনুযায়ী, কৌণিক বেগের পরিমাপক একক হল প্রতি সেকেন্ডে রেডিয়ান. এর আরেকটি ইউনিট কৌণিক বেগ হয় RPM- র, বা প্রতি মিনিটে বিপ্লব. এর দিকনির্দেশনা দ্বারা পূর্বাভাস দেওয়া হয় ডান হাতের নিয়ম. প্রচলিত নিয়ম অনুসারে, ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন দেখানো হয়েছে ঋণাত্মক কৌণিক বেগ, যখন কাঁটার বিপরীত দিকে ইতিবাচক। 

সাধারণত, যখন শরীরের গতিবেগ পরিবর্তিত হয় তখন শরীরকে ত্বরান্বিত করা হয় বলে ধরে নেওয়া হয়। এসএইচএম এর পরিপ্রেক্ষিতে, বেগ ক্রমাগত কিছু সময়ের জন্য পরিবর্তিত হয়। তাই, গড় অবস্থান থেকে তার স্থানচ্যুতির উপর নির্ভর করে শরীর দোলনায় ত্বরান্বিত হয়। এই কারণেই দোলকের ববটি ত্বরান্বিত হয় যখন আমরা এটিকে গড় অবস্থান থেকে ধাক্কা বা টেনে আনি। কিন্তু শেষ পর্যন্ত, এটি বন্ধ হয়ে যায়, এবং কিছু সময় পরে, এটি আবার তার গড় অবস্থানে ফিরে আসে।

সম্পর্কে আরো পড়ুন সরল পেন্ডুলামে টেনশন ফোর্স

দোলনায় কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি কী?

কৌণিক কম্পাঙ্ককে দোলনায় রেডিয়াল ফ্রিকোয়েন্সি বলা হয় - যা প্রতি একক সময়ের প্রতি দোলক দেহের কৌণিক স্থানচ্যুতি পরিমাপ করে।

দোলন দুটি অবস্থানের মধ্যে একটি স্থির অবস্থান সম্পর্কে শরীরের বারবার 'থেকে এবং থেকে' আন্দোলনের সাথে সম্পর্কিত। এটি পর্যায়ক্রমিক গতি যা নিয়মিত বিরতিতে নিজেকে পুনরুত্পাদন করে। সাইনোসয়েডাল ওয়েভ গতির জন্য, শরীর তার গড় অবস্থান থেকে সরে যায়, সর্বোচ্চ অবস্থানে দাঁড়িয়ে থাকে এবং শক্তি পুনরুদ্ধারের কারণে তার গড় অবস্থানে ফিরে আসে। দোদুল্যমান দেহের সর্বোচ্চ নড়াচড়া বা গড় অবস্থান থেকে স্থানচ্যুতিকে প্রশস্ততা (A) বলা হয়। যেখানে গড় অবস্থান থেকে এর কৌণিক স্থানচ্যুতের মাত্রাকে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি বলা হয়।

পরমাণুর স্পন্দন থেকে শুরু করে হৃদস্পন্দন পর্যন্ত আমরা আমাদের চারপাশে দোলনার একটি সেট অনুভব করেছি। পদার্থবিজ্ঞানে দোলনার আরেকটি উদাহরণ হল পাশ থেকে পাশের দুল কম্পনের সাইন ওয়েভ বা আপ-ডাউন ডাউন স্প্রিং মুভমেন্ট। দোলনে, কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি হল a এর অবস্থা পরিবর্তনের হার সিনুসয়েডাল ওয়েভফর্ম। ফলস্বরূপ, রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড হল শরীরের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি oscillating জন্য পরিমাপ ইউনিট। কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি একটি স্কেলার, যা নির্দেশ করে যে এটি মাত্র একটি মাত্রা। কিন্তু যখন আমরা SHM- এ কৌণিক বেগকে সম্বোধন করি, তখন এটি একটি ভেক্টর। কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি কৌণিক বেগের অনুরূপ যা এর ভেক্টর পরিমাণের মাত্রা নির্ধারণ করে।

সম্পর্কে আরো পড়ুন সরল হারমোনিক মোশন এবং ইউনিফর্ম হারমোনিক মোশনের মধ্যে সম্পর্ক.

আপনি কিভাবে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি খুঁজে পাবেন?

যেহেতু সাধারণ হারমোনিক মোশন (এসএইচএম) পর্যায়ক্রমিক, তাই আমরা প্রথমে পিরিয়ড এবং তারপর কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি বের করতে পারি শরীরের সম্পূর্ণ দোলনের সময় নির্ধারণ করে।

সিম্পল হারমোনিক অসিলেশন (SHM) আমাদের দোদুল্যমান বডির স্থানচ্যুতি, বেগ এবং ত্বরণ খুঁজে বের করতে সাহায্য করে। কিন্তু প্রথমত, আমাদের পিরিয়ড মোশনের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি আবিষ্কার করতে হবে - যেমন এর প্রশস্ততা এবং ফ্রিকোয়েন্সি। দোলন ফ্রিকোয়েন্সি সংজ্ঞায়িত করার জন্য, আমাদের সময়কালের পরিমাণ বুঝতে হবে। দোলনা দেহটি একটি দোলনা সম্পন্ন করতে মোট সময় নেয় তাকে তার সময়কাল বলা হয়)। তাছাড়া, টিতিনি সময় প্রতি ইউনিট দ্বারা শরীরের দ্বারা দোলনের সংখ্যাকে তার ফ্রিকোয়েন্সি (f) বলা হয় - যা দোলনের হার পরিমাপ করে.

একটি রৈখিক SHM-এর জন্য, সময়কাল এবং প্রশস্ততা দোলনের প্রশস্ততার উপর নির্ভরশীল নয়। উদাহরণস্বরূপ, গিটারের স্ট্রিং সমান ফ্রিকোয়েন্সি সহ দোদুল্যমান হয় তা আমরা শক্ত বা সহজে ছিঁড়ে ফেলি। এর কারণ হল দোলনের সময়কাল একটি ধ্রুবক, যেখানে একটি সরল সুরেলা অসিলেটর একটি ঘড়ি হিসাবে ব্যবহার করা হয়.

দোদুল্যমান দেহের ফ্রিকোয়েন্সি এবং সময়কাল একে অপরের সাথে পারস্পরিক। 

f = 1/T……………… (2)

যখন দেহ কৌণিকভাবে দোলায়, আমরা তার কম্পাঙ্ককে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে বিবেচনা করি। ফলস্বরূপ, ঘূর্ণন হার বুঝতে, আমাদের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি পেতে হবে।

ফ্রিকোয়েন্সি থেকে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি

কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সাধারণ ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে একই বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করে, কিন্তু চক্রের পরিবর্তে, এটি রেডিয়ান ব্যবহার করে।

দোলনা শরীরের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি 2π এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা নিয়মিত ফ্রিকোয়েন্সি তুলনায় আরো উল্লেখযোগ্য। ধ্রুবক ফ্যাক্টর 2π এর উৎপত্তি এই ভিত্তিতে যে প্রতি সেকেন্ডে একটি বিপ্লব প্রতি সেকেন্ডে 2π রেডিয়ানের অনুরূপ। একেবারে বলছি, যখন দোলনা দেহটি তার গড় অবস্থান থেকে বরখাস্ত হয় তখন সেকেন্ডে একটি বিপ্লব ঘটায়, এটি প্রতি সেকেন্ডে 2π রেডিয়ান হিসাবে কৌণিকভাবে দোলায়।

দোলনা দেহের জন্য কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সূত্র যা একটি দোলন সম্পন্ন করে তা গণনা করা হয়:

ω = 2πটি………………(*)

দোলনা দেহের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সর্বদা নিয়মিত ফ্রিকোয়েন্সি থেকে বেশি।

কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি টি সময়কালের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে যেহেতু সেকেন্ডে সময়ের পরিমাণ একটি বিপ্লব সম্পূর্ণ করতে দোদুল্যমান বডির প্রয়োজন। অতএব, সমীকরণ (2) অনুসারে, আমরা সময়কালের পরিপ্রেক্ষিতে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সূত্র গণনা করতে পারি:

ω = 2π/টি …………..(৩)

কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি হল শরীরের দোদুল্যমান ফ্রিকোয়েন্সি যা প্রতি সেকেন্ডে দোলনায় পরিমাপ করা হয় এবং শরীরের কৌণিক স্থানচ্যুতি θ দ্বারা গুণিত হয়।

সমীকরণ (1) অনুযায়ী, আমরা উপরের সমীকরণগুলিকে পুনরায় লিখতে পারি

ω = 2π/T

কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি স্প্রিং

স্প্রিং-এর মতো নমনীয় সংযোগকারীর সাথে ভর m যুক্ত একটি দোদুল্যমান বস্তুর উদাহরণ নেওয়া যাক।

আমরা হুকের আইন এবং SHM এর ধারণা প্রয়োগ করে বসন্তে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি খুঁজে পাব। হুকের আইন শুধুমাত্র যে এলাকায় বল এবং স্থানচ্যুতি সমানুপাতিক হয় সেখানে যেকোন পদার্থের স্থিতিস্থাপক বৈশিষ্ট্যগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি ইলাস্টিক উপাদানের প্রসারিত বা সংকুচিত করার জন্য প্রয়োজনীয় শক্তির পরিমাণ বলে.

গাণিতিকভাবে,

F = -kx[…… (5)

যেখানে x হল স্থানচ্যুতি এবং k হল বসন্ত ধ্রুবক।

যেমনটি নিউটনের গতির দ্বিতীয় আইন, একটি বল ভর বার ত্বরণের সমতুল্য।

F = মা ………..(6)

যেহেতু আমরা স্প্রিং এর সাথে দোলক বস্তুর কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি এবং ভরকে সম্পর্কযুক্ত করতে পারি, তাই আমরা স্থানচ্যুতি, বেগ এবং ত্বরণ আবিষ্কার করতে পারি।

প্রথমত, আমরা গড় অবস্থান থেকে স্থানচ্যুতির জন্য SHM সমীকরণ তৈরি করি যেমন,

x = A sin θ………….(7)

যেখানে A হল দোলনের প্রশস্ততা

উপরের সমীকরণে সমীকরণ (4) প্রতিস্থাপন করে, আমরা পেয়েছি 

x = A sin ω t …………(8)

আমরা দোলক বডির ত্বরণের জন্য SHM সমীকরণগুলি পেয়েছি

a = -Aω²sinω t……… (9)

এখন (8) এবং (9) উভয় সমীকরণকে বল সমীকরণ (5) এবং (6) এ বসিয়ে এবং তুলনা করছি, আমরা

ma = -kx 

m(-Aω²sinω t) = -k(Asinω t)

উভয় পক্ষকে -Asinω t দ্বারা ভাগ করুন, আমরা পাই

mω² = কে

আমরা স্প্রিং ধ্রুবক এবং দোলক বডির ভরের পরিপ্রেক্ষিতে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সূত্র পেয়েছি:

ω = f/m …………..(10)

উপরের সমীকরণটি SHM-এ কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সূত্র যখন বসন্ত আদর্শ হয়। অর্থাৎ, কোন স্যাঁতসেঁতে.

পরিশেষে, সমীকরণ (*) এর সাথে সমীকরণ (*) এর তুলনা করে, আমরা স্প্রিং ধ্রুবক এবং দোলক শরীরের ভরের পরিপ্রেক্ষিতে সময়ের জন্য কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সূত্রটিও গণনা করতে পারি:

 T = 2 (m/k)……………….(11)

উপরের সমীকরণটি বসন্তের সাথে সংযুক্ত দোলন বস্তুর সময়কাল।

সরল হারমোনিক গতিতে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি কি ধ্রুবক?

কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি, বা দোলক শরীরের ভেক্টর পরিমাণের মাত্রা, সরল সুরেলা গতিতে (SHM) ধ্রুবক।

মধ্যে অভিন্ন বৃত্তাকার গতি (UCM), কৌণিক কম্পাঙ্ক এবং কৌণিক বেগ উভয়ই ধ্রুবক। কিন্তু শরীর যখন একটি স্থির অক্ষের সাথে কৌণিকভাবে দোলা দেয়, তখন এর গতি 'কৌণিক সরল হারমোনিক গতি' হয়ে যায়। একটি সাধারণ পেন্ডুলামে, যখন একটি ববকে ধাক্কা দেওয়া হয় বা টানা হয়, তখন এটি ধ্রুবক কৌণিক কম্পাঙ্ক লাভ করে, কিন্তু সময়ের সাথে সাথে এর কৌণিক বেগ পরিবর্তিত হয়। এ কারণেই কৌণিক SHM-এ দোদুল্যমান দেহের কৌণিক বেগ ধ্রুবক নয়, তবে এর কৌণিক কম্পাঙ্ক।

সাধারণত, কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি দোদুল্যমান দেহের উপর কোন শক্তিগুলি কাজ করছে তার উপর ভিত্তি করে। সরল দুল বা আদর্শ বসন্তের ক্ষেত্রে বলটি কৌণিক বেগের উপর নির্ভর করে না; কিন্তু কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সিতে। কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সূত্র (10) দেখায় যে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি দোলন বডির স্প্রিং এবং ভরের কঠোরতা নির্দেশ করতে ব্যবহৃত k প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে। বৃহত্তর দোলন প্রশস্ততার জন্য, k-এর মানও পরিবর্তিত হয়, যা স্প্রিংকে ক্ষতিগ্রস্ত করার জন্য যথেষ্ট কঠোর। অতএব, এটা স্পষ্ট যে দোলনের সময় কৌণিক বেগ পরিবর্তিত হলেও একটি প্রদত্ত সিস্টেমের জন্য কৌণিক কম্পাঙ্ক স্থির থাকবে।

আসুন SHM-এ কৌণিক কম্পাঙ্ক একটি সার্বজনীন ধ্রুবক কিনা বা না নিয়ে দেখি একটি সাধারণ পেন্ডুলামের উদাহরণ, যেখানে ববের ওজনের কারণে পুনরুদ্ধারকারী শক্তি SHM তৈরি করে।

সমীকরণের অনুরূপ (11), আমরা একটি সাধারণ পেন্ডুলামের জন্য সময়কাল সূত্র লিখতে পারি:

T = 2 (g/l) …………(12)

যেখানে g হল ববের উপর অভিকর্ষের কারণে ত্বরণ এবং l হল পেন্ডুলামের দৈর্ঘ্য।

সমীকরণ (12) এর সাথে সমীকরণ (3) তুলনা করলে আমরা পাই

ω = 2T

এখন, আপনি যদি একই গড় অবস্থান থেকে স্প্রিং এর দোলন পরিমাপ করেন, তাহলে কৌণিক কম্পাঙ্ক হবে ধ্রুবক। কিন্তু আপনি যদি একই স্প্রিং এর অন্য অবস্থান থেকে দোলন পরিমাপ করেন, তাহলে আপনি g-এর ছোট পরিবর্তনের কারণে কৌণিক কম্পাঙ্কের মান ωতে সামান্য পার্থক্য লক্ষ্য করতে পারেন। তার মানে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ω SHM-এ একই গড় অবস্থানের জন্য ধ্রুবক, কিন্তু এটি একটি সর্বজনীন ধ্রুবক নয়।

কৌণিক কম্পাঙ্ক কিভাবে কৌণিক বেগ থেকে আলাদা?

দোদুল্যমান শরীরের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি এবং কৌণিক বেগের পরিমাণের মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল একটি স্কেলার, অন্যটি একটি ভেক্টর।

কৌণিক কম্পাঙ্ক এবং কৌণিক বেগের মধ্যে পার্থক্যগুলি গতি এবং বেগের মধ্যে পার্থক্যের অনুরূপ রৈখিক গতি. কৌণিক বেগ একটি ভেক্টর পরিমাণ; তাই ডান হাতের নিয়ম তার দিক নির্দেশ করে। কিন্তু যেহেতু কৌণিক কম্পাঙ্কের পরিমাণ একটি স্কেলার, তাই আমরা বলতে পারি এটি কৌণিক বেগের মাত্রা মাত্র। সমীকরণ অনুযায়ী (1) এবং (*), উভয় রাশিরই একই প্রতীক এবং সূত্র কিন্তু ভিন্ন অর্থ রয়েছে। কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি আমাদের সময় প্রতি একক দোলক শরীরের কৌণিক স্থানচ্যুতি বলে। অন্যদিকে, কৌণিক বেগ তার কৌণিক ঘূর্ণনের হার বা পরিবর্তনের মাত্রা পরিমাপ করে।

আপনি হয়তো লক্ষ্য করেছেন যে গতিকে একটি আদর্শ ঘূর্ণন দ্বারা প্রকাশ করতে হবে না তবে শুধুমাত্র একটি আন্দোলন যা পর্যায়ক্রমে তার অবস্থান ফিরিয়ে দেয়। যাইহোক, কৌণিক বেগ গতির সাথে সংযুক্ত। যেহেতু কৌণিক বেগ শুধুমাত্র দোলক শরীরের ঘূর্ণনশীল গতিবিধি নিয়ে গঠিত, তাই কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সিটি দোলনের বিস্তৃত শারীরিক সমস্যার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য সাধারণত ব্যবহৃত হয়। এই কারণেই কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যখন আমরা সাধারণ সুরেলা গতি সম্পর্কে কথা বলি।

---