দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল: 3টি আকর্ষণীয় তথ্য জানার জন্য

দ্বিপদী ও পোসন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এর বৈশিষ্ট্য

    র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা এন পুনরাবৃত্তির জন্য এলোমেলো পরীক্ষার সাফল্য এবং ব্যর্থতার ফলাফল নিয়ে কাজ করে তা দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে এর সম্ভাব্যতা গণ ফাংশনের সংজ্ঞা সাফল্যের p এর সম্ভাব্যতা এবং কেবল ব্যর্থতার সম্ভাবনা নিয়ে কাজ করে, উদাহরণ হিসাবে সংজ্ঞা ইতিমধ্যে আমরা দেখেছি, এখন বোঝার সাথে আমরা এই জাতীয় বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কয়েকটি বৈশিষ্ট্য দেখতে পাচ্ছি,

দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা এবং তারতম্য

সাফল্যের সম্ভাবনা হিসাবে n পুনরাবৃত্তি এবং পি সহ দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা এবং তারতম্য

E [এক্স] = এনপি

এবং ভার (এক্স) = এনপি (1-পি)

এখন এই দুটির সংজ্ঞা অনুসরণ করে পাওয়ার k এর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা দেখানোর জন্য বিবেচনা করুন সম্ভাব্য ভর ফাংশন দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যেমন,

যেখানে Y হ'ল এন -1 ট্রায়াল এবং পি সাফল্যের সম্ভাবনা হিসাবে পি দ্বি দ্বিবার্ষিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল, আমরা যদি কে = 1 এর মান নিই তবে আমরা পেয়ে যাব

E [এক্স] = এনপি

এবং যদি আমরা কে = 2 প্রতিস্থাপন করি তবে আমরা পাব

ই [এক্স²] = এনপিই [ওয়াই + 1]

= এনপি [(এন -1) পি + 1]

সুতরাং আমরা সহজেই পাবেন

ভার (এক্স) = ই [এক্স²] - (ই [এক্স])²

= এনপি [(এন -1) পি + 1] - (এনপি)²

= এনপি (1-পি)

উদাহরণ: নিরপেক্ষ মুদ্রার জন্য ১০০ বার টসিংয়ের পরীক্ষাটি করুন এবং এই ক্ষেত্রে প্রদর্শিত লেজগুলির সংখ্যার জন্য এই ধরনের পরীক্ষার গড়, বৈচিত্র্য এবং মানক বিচ্যুতি খুঁজে পান।

এক টসের জন্য লেজের সাফল্যের সম্ভাবনা রয়েছে p = 1/2 = 0.5

সুতরাং যেমন পরীক্ষার গড় হয়

E [এক্স] = এনপি

যেহেতু পরীক্ষাটি কেবলমাত্র সাফল্য বা ব্যর্থতা হিসাবে দ্বিপক্ষীয়, আমরা n সংখ্যক পুনরাবৃত্তি পেতে পারি

সুতরাং হিসাবে μ = এনপি

μ = 100x (0.5) = 50

একইভাবে ভেরিয়েন্স এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হবে

ভার (এক্স) = এনপি (1-পি)

σ²= np(1-p)

মান হবে

σ² = (100) (0.5) (0.5) = 25

উদাহরণ:     0.1 বল্টের প্রচুর পরিমাণ থেকে বল্টু উত্পাদনকারী সংস্থায় 400 ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনার জন্য গড় এবং মানক বিচ্যুতি সন্ধান করুন।

এখানে n=400, p=0.1, গড়= np =400×0.1=40

থেকে

σ²= np(1-p)

সুতরাং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হবে

উদাহরণ: খোঁজো সম্ভাবনা দ্বিপদী র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় এবং আদর্শ বিচ্যুতি যথাক্রমে 2 এবং 4 হলে ঠিক, কম এবং কমপক্ষে 2টি সাফল্য।

যেহেতু গড় = এনপি = 4

এবং প্রকরণ = np(1-p) = 2,

তাই 4(1-p)=2

(1-পি) = 1/2

পি = 1- (1/2)

এই মানটি রেখে আমরা পাই we

এনপি = 4

n (1/2) = 4

এন = 8

ঠিক 2 সাফল্যের সম্ভাবনা হবে

কম 2 সাফল্যের সম্ভাবনা হবে

পি (এক্স <2)

= পি (0) + পি (1) = ⁸C₀ p⁰q⁸ + ⁸C₁ p¹q⁷

= (1/256) +8 x (1/2) এক্স (1/2)⁷ = 9 / 256

কমপক্ষে 2 সাফল্যের সম্ভাবনা

পি (এক্স> 2) = 1- পি (এক্স <2)

= 1-পি (0) - পি (1) = 1- [পি (0) + পি (1)] = 1- (9/256) = 247/256

পয়সন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

    বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স যা 0,1,2 মান গ্রহণ করে …… .. পোয়েসন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিচিত কোনও λ> 0 এর জন্য সরবরাহ করা হয় এর সম্ভাব্যতা ভর কার্যকারিতা হতে হবে

or

as

যখন এন খুব বড় হয় এবং সাফল্যের সম্ভাবনা পি খুব সামান্য থাকে তবে এর সম্ভাবনা ভর ফাংশন সহ পোইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি আপেক্ষিক পিএমএফের সাথে দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনের সান্নিধ্যে পরিণত হয়েছিল কারণ এনপি হ'ল এই ক্ষেত্রে প্রত্যাশা মাঝারি হবে এবং এটি হবে be λ = np .

উদাহরণ: বইয়ের প্রতিটি পৃষ্ঠায় কমপক্ষে একটি টাইপিংয়ের ত্রুটি রয়েছে এটির সম্ভাবনাটি সন্ধান করুন যার একক পৃষ্ঠার জন্য পয়সন বন্টন গড় 1/2 রয়েছে।

পৃথক এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স পৃষ্ঠায় ত্রুটিগুলি চিহ্নিত করতে দিন। সুতরাং পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলের হিসাবে সম্ভাব্যতা পূর্ণরূপ রয়েছে

λ = 1/2

উদাহরণ: ত্রুটিযুক্ত উত্পাদনের 10 টি সম্ভাবনা সহ একটি মেশিন দ্বারা উত্পাদিত 0.1 আইটেমগুলির নমুনা সর্বাধিক এক ত্রুটিযুক্ত আইটেমের সন্ধান করুন।

এটি আমরা দ্বিপদী সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন পাশাপাশি পোইসন সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন উভয়ই সমাধান করতে পারি, তাই আমরা পয়সন দ্বারা এটি সমাধান করি

Poisson এলোমেলো পরিবর্তনীয় এর প্রত্যাশা এবং বৈকল্পিক

সাফল্যের সম্ভাবনা হিসাবে পুনরাবৃত্তি এবং পি সহ পোইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা এবং প্রকরণ

ই [এক্স] = এনপি = λ

এবং          

ভার (এক্স) = এনপি = λ

ফলাফল দেখানোর আগে আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে পয়সন র্যান্ডম চলকটি দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অনুমান ছাড়া কিছুই নয় তাই np= λ এখন সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন ব্যবহার করে প্রত্যাশা করা হবে

এর অর্থ পয়সন এলোমেলো ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশিত মান এর প্যারামিটারের সমান, একইভাবে পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রকরণ এবং মান বিচ্যুতি গণনা করার জন্য আমাদের এক্স এর বর্গের প্রত্যাশা প্রয়োজন,

উপরের সারসংক্ষেপটি সুস্পষ্ট কারণ দুটি অঙ্কের প্রত্যাশা এবং সম্ভাবনার যোগফল।

এইভাবে আমরা ভেরিয়েন্সের মান পাব

ভার (এক্স) = ই [এক্স²] - (ই [এক্স])²

=

সুতরাং পয়েসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে গড় এবং ভেরিয়েন্সের প্যারামিটারের মতো একই মান থাকে যেমন এনপি।

সার্জারির পয়সন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবিধ প্রক্রিয়াগুলির সন্ধানের জন্য আনুমানিকরূপে উত্তম উদাহরণস্বরূপ কিছু নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে ভূমিকম্পের সংখ্যার সন্ধান করা, উত্তপ্ত ক্যাথোড থেকে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে বৈদ্যুতিনের সংখ্যা সন্ধান করা, নির্দিষ্ট সময় বা সংখ্যায় মৃত্যুর সম্ভাব্য সংখ্যা সন্ধান করা নির্দিষ্ট বছরের মধ্যে যুদ্ধের ইত্যাদি

উদাহরণ : দুই দিনে মোট যাত্রীর সংখ্যা ২ এর চেয়ে কম হওয়ার সম্ভাবনাটি গণনা করুন যদি গড় ৫ জন সহ যাত্রীর আগমন সংখ্যা পয়সন এলোমেলো পরিবর্তনশীল অনুসরণ করে। গড় = এনপি = 2

আমরা যদি দুই দিনের মধ্যে যাত্রীর সংখ্যা 2 এর চেয়ে কম বিবেচনা করি তবে তা হবে

প্রথম দিন	দ্বিতীয় দিন	সর্বমোট
0	0	0
0	1	1
1	0	1

তাই সম্ভাবনা হবে সমাহার এই দুই দিনের হিসাবে

=e^-10[১+৫+৫]

=11ই^-10

= 114.5410^-5

= 4.994 * 10^-4

উদাহরণ: 4 কনডেন্সারগুলির একটি প্যাক থেকে 100 বা ততোধিক ত্রুটিযুক্ত কনডেন্সারগুলির সম্ভাব্যতা গণনা করুন শর্তযুক্ত যে কনডেন্সারগুলির উত্পাদন ত্রুটি 1%।

এখানে p=1% =0.01 এবং n=100*0.01 =1

সুতরাং আমরা পইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সম্ভাব্য ভর ফাংশন পিএমএফ ব্যবহার করতে পারি

গড় = এনপি = 100 * 0.01 = 1

সুতরাং 4 বা ততোধিক ত্রুটিযুক্ত কনডেন্সারদের সম্ভাবনা থাকবে

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

উদাহরণ: যদি 0.002 টির কোনও উত্পাদন উত্পাদন থেকে ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা থাকে তবে এই জাতীয় 10 টি সমন্বিত একটি প্যাকের 50000 এর চালান থেকে এই জাতীয় প্যাকেটের কোনও ত্রুটিযুক্ত, একটি ত্রুটিযুক্ত এবং দুটি ত্রুটিযুক্ত পণ্য না থাকার সম্ভাবনা কী হতে পারে? একই পণ্য প্যাকেট।

এখানে ত্রুটির একটি একক প্যাকের সম্ভাব্যতা যেমন p=0.002, n=10

তাহলে গড় np=0.002*10= 0.020

আমরা প্রতিটি ক্ষেত্রে যেমন খুঁজে পেতে হবে

সুতরাং সারণী থেকে এটি পরিষ্কার যে প্যাকেটে শূন্য, এক এবং দুটিতে ত্রুটিযুক্ত ব্লেডগুলির সংখ্যা যথাক্রমে 4900,980,10 হবে।

উপসংহার:

   এই নিবন্ধে আমরা এর কয়েকটি বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করেছি দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, পয়সন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এলোমেলো পরীক্ষা। এছাড়াও আরও একটি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল অর্থাৎ পয়সন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল, বৈশিষ্ট্য সহ আলোচিত। সম্ভাব্যতা গণ ফাংশন, প্রত্যাশা, বৈকল্পিকতা এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি উদাহরণের জন্য বিতরণ আরও ভাল বোঝার জন্য নেওয়া হয়েছিল, পরবর্তী নিবন্ধগুলিতে আমরা আরও কিছু বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি কভার করার চেষ্টা করি যদি আপনি আরও পড়তে চান তবে যেতে পারেন গণিতের পৃষ্ঠা.

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability