ফাংশন গ্রাফের বৈশিষ্ট্য: 5টি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

ফাংশন গ্রাফের বৈশিষ্ট্য

ফাংশন গ্রাফের বৈশিষ্ট্যএই নিবন্ধটি একটি ফাংশনে উপস্থিত ভেরিয়েবলের মান ছাড়াও ফাংশনগুলির গ্রাফিকাল উপস্থাপনা ধারণাটি নিয়ে আলোচনা করবে। যাতে পাঠকরা সহজেই পদ্ধতিটি বুঝতে পারেন।

কোন গ্রাফটি f (X) = | x-2 | ফাংশনগুলি উপস্থাপন করে - 1?

ডান হাতের অভিব্যক্তিটির দিকে একবার নজর দেওয়া আমাদের অবাক করে দেয়, -২ এর দুটি বারটি কী? ওয়েল সেই বারগুলি গণিতে খুব বিশেষ ফাংশনের জন্য স্বীকৃতি, এটি মডুলাস ফাংশন বা পরম মান ফাংশন হিসাবে পরিচিত। এই ফাংশনটি এত গুরুত্বপূর্ণ ফাংশন তত্ত্ব এটির উত্সটিতে এটি কয়েকটি শব্দের মূল্যবান।

আমাদের বলুন যে আমরা এক শহর থেকে অন্য শহরে যাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সময়টি স্থির করব। এক্ষেত্রে আমরা কি কেবল দুটি শহরের মধ্যকার দূরত্ব সম্পর্কে আগ্রহী হব না? দিশা কি কোনও গুরুত্ব পাবে? একইভাবে, ক্যালকুলাসের গবেষণায়, আমাদের প্রায়শই দুটি সংখ্যার ঘনিষ্ঠতা বিশ্লেষণ করা প্রয়োজন যা তাদের পার্থক্যের পরম মূল্য। পার্থক্যটি ইতিবাচক বা নেতিবাচক কিনা তা আমরা যত্ন করি না। জার্মান গণিতবিদ কার্ল ওয়েয়ার্সট্রাস তিনিই ছিলেন যিনি কোনও ফাংশনের প্রয়োজনীয়তা উপলব্ধি করেছিলেন যা কোনও সংখ্যার পরম মূল্য প্রকাশ করবে। 1841 সালে, ওয়েয়ারস্ট্রেস মডুলাস ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করেছিলেন এবং দুটি বারটিকে এর প্রতীক হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন। 

f (x) = x এর জন্য সমস্ত x> 0

= -x সমস্ত x <0 এর জন্য

= 0 এর জন্য x = 0

সংক্ষিপ্ত রূপ হিসাবে f (x) = | x |

সংজ্ঞা থেকে, এটি পরিষ্কার যে এই ফাংশনটি ইতিবাচক সংখ্যার উপর কোনও প্রভাব ফেলবে না। তবে এটি একই ধরণের মান সহ একটি নেতিবাচক সংখ্যাটিকে ধনাত্মক সংখ্যায় পরিবর্তন করে। সুতরাং

| 5 | = 5

 7-2 = 5

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

| X | এর গ্রাফটি আঁকতে, আমাদের f (x) = x এর গ্রাফ দিয়ে শুরু করা উচিত যা কেবলমাত্র উত্সের মধ্য দিয়ে একটি সরলরেখা যা X অক্ষের 45 টি ডিগ্রি পর্যন্ত ঝুঁকছে

বলা যেতে পারে যে এই গ্রাফের উপরের অর্ধেকটি f (x) = | x | দ্বারা ধরে রাখা যাবে কারণ এই ফাংশনটি ইতিবাচক সংখ্যা পরিবর্তন করে না doesn't গ্রাফের নীচের অর্ধেকটি অবশ্য পাশ বদলাতে হবে, কারণ | x | সর্বদা ইতিবাচক হতে হবে। সুতরাং, f (x) = x এর নীচের অর্ধেকের সমস্ত পয়েন্টগুলি এখন এক্স অক্ষ থেকে একই দূরত্ব রেখে, উপরের অর্ধেককে প্রতিস্থাপন করা হবে। অন্য কথায়, পুরো বাম HALF OF f (x) = | x | X অক্ষ সম্পর্কে বাস্তবিকই f (x) = x এর নিম্নতম আধারের প্রতিচ্ছবি।

উপরের চিত্রটিতে, ডান অর্ধেকটি | x | এর গ্রাফগুলি দেখায় এবং এক্স সুপারিম্পোজড, যখন বাম অর্ধেকটি অন্যের প্রতিচ্ছবি হিসাবে প্রদর্শিত হয়। এটি গুরুত্বপূর্ণ যে এই কৌশলটি কোনও ফাংশনে প্রসারিত হতে পারে essential অন্য কথায়, | চ (এক্স) | এর গ্রাফটি কল্পনা করা সহজ যদি আমরা ইতিমধ্যে f (x) এর গ্রাফটি জানি। এক্স অক্ষটি সম্পর্কে এর প্রতিবিম্বের সাথে নিম্নার অর্ধেকটি প্রতিস্থাপন করা কী।

এখন আমরা জানি কিভাবে প্লট করতে হয় |x|। কিন্তু আমাদের মূল সমস্যাটি |x-2| এর প্লট দাবি করে। ওয়েল, এই একটি ছাড়া কিছুই না মূল স্থানান্তর (0,0) থেকে (2,0) পর্যন্ত এটি কেবলমাত্র 2 ইউনিট দ্বারা সমস্ত বিন্দুর এক্স রিডিং হ্রাস করে, এইভাবে f(x) কে f(x-2) এ রূপান্তরিত করে।

এখন -1 কেবলমাত্র যত্ন নেওয়া উচিত। এর অর্থ | x-1 | এ সমস্ত পয়েন্ট থেকে 2 টি বিয়োগ করা। অন্য কথায়, এর অর্থ গ্রাফটি উল্লম্বভাবে 1 ইউনিট দ্বারা নীচে টানানো। সুতরাং, নতুন ভার্টেক্সটি (২, ০) এর পরিবর্তে (২, -১) হবে

কোন গ্রাফটি f (X) = - | x-2 | ফাংশনগুলি উপস্থাপন করে - 1?

ঠিক আছে, আমরা যে বিশ্লেষণ করেছি তার পরে এটি বেশ সহজ হওয়া উচিত। এখানে শুধুমাত্র পার্থক্য হল |x-2| এর আগে একটি বিয়োগ চিহ্ন। বিয়োগ চিহ্নটি কেবল |x-2| এর গ্রাফটিকে উল্টে দেয় এক্স অক্ষের সাপেক্ষে। সুতরাং, আমরা আগেরটি পুনরায় চালু করতে পারি বিন্দুর পরেই সমস্যা যেখানে আমাদের গ্রাফ ছিল |x-2|। কিন্তু, এবার -1 বিবেচনা করার আগে, আমরা গ্রাফটি উল্টে দেব।

এর পরে, -1 সংযুক্ত করার জন্য আমরা এটিকে এক ইউনিটে টেনে নামিয়ে আনব। এবং এটি সম্পন্ন হয়।

কোনও ক্রিয়াকলাপের গ্রাফটি অবশ্যই রৈখিক হতে হবে যদি এর কোনও বৈশিষ্ট্য থাকে?

সরলরেখা কী? সাধারণত এটি একটি সমতল পৃষ্ঠের দুটি পয়েন্টের মধ্যে সর্বনিম্ন দূরত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়। তবে এটি অন্য একটি কোণ থেকেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এক্সওয়াই প্লেনটি যেহেতু পয়েন্টগুলির সংগ্রহ, তাই আমরা এই সমতলটির যে কোনও লাইনকে চলমান পয়েন্টের লোকস বা ট্রেস হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, বা এমন বিন্দু যার এক্স, ওয়াই কো-অর্ডিনেটস পরিবর্তন করছে।

একটি সরলরেখার সাথে সরানো বোঝায় যে গতিপথটি দিক পরিবর্তন না করেই ঘটছে। অন্য কথায়, যদি কোনও বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে চলতে শুরু করে এবং কেবল একটি নির্দিষ্ট দিকের দিকে চলে যায় তবে বলা হয় এটি সরলরেখার অনুসরণ করছে following সুতরাং, আমরা যদি একটি ক্রিয়াকলাপ হিসাবে রৈখিক গ্রাফ প্রকাশ করতে চান, তবে আমাদের অবশ্যই ধ্রুবক দিকের অবস্থার জন্য একটি সমীকরণ খুঁজে নিতে হবে।

তবে কিভাবে গাণিতিকভাবে দিক প্রকাশ করবেন? ঠিক আছে, XY সমতলে যেমন ইতিমধ্যে আমাদের দুটি অক্ষ রয়েছে, একটি রেখার দিকটি দুটি অক্ষের যে কোনও দিয়ে তৈরি করা কোণ দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। সুতরাং, আসুন আমরা ধরে নিই যে একটি সরল রেখা একটি কোণে linedাকানো α তবে এর অর্থ সমান্তরাল রেখার পরিবার এবং কেবল একটি একক নয়। সুতরাং, a কোনও লাইনের একমাত্র পরামিতি হতে পারে না।

নোট করুন যে লাইনগুলি কেবল তাদের Y বিরতিতে পৃথক রয়েছে। ওয়াই ইন্টারসেপ্ট হ'ল বিন্দুটির উত্স থেকে দূরত্ব যেখানে রেখাটি Y অক্ষের সাথে দেখা করে। আসুন এই প্যারামিটারটিকে সি বলা যাক, সুতরাং আমাদের দুটি প্যারামিটার, α এবং সি রয়েছে এখন, আসুন লাইনটির সমীকরণ বের করার চেষ্টা করি।

চিত্র থেকে এটি ডান ত্রিভুজ থেকে পরিষ্কার হওয়া উচিত, যে লাইনের কোনও বিন্দু (x, y) এর জন্য প্রশাসনিক শর্ত থাকতে হবে                      

(yc) / x = tanα।

⟹ y = xtanα + গ

=y = mx + c যেখানে m = tanα α

সুতরাং, y = ax + b ফর্মের যে কোনও সমীকরণ অবশ্যই একটি সরলরেখাকে উপস্থাপন করবে। অন্য কথায় f (x) = ax + b লিনিয়ার হওয়ার জন্য কোনও ফাংশনের কাঙ্ক্ষিত রূপ।

এটি একটি সরলরেখার প্রচলিত সংজ্ঞা থেকেও উদ্ভূত হতে পারে যা বলে যে একটি রেখাটি একটি সমতল পৃষ্ঠের দুটি পয়েন্টের মধ্যে সংক্ষিপ্ততম পথ। সুতরাং, (x1, y1) এবং (x2, y2) একটি সরলরেখায় দুটি পয়েন্ট হওয়া যাক।

লাইনের অন্য যে কোনও পয়েন্টের জন্য, তিনটি পয়েন্ট দ্বারা গঠিত দুটি লাইন বিভাগের opালু সমান করে একটি শর্ত তৈরি করা যেতে পারে কারণ লাইনটি অবশ্যই অবশ্যই সব বিভাগে sাল বজায় রাখতে হবে। সুতরাং সমীকরণ                                 

                                                                   (হ্যাঁ₁) / (এক্সএক্সএক্স)₁) = (y)₂-y₁)/(এক্স₂-x₁)

                                                            ⟹y (x₂-x₁) + x (y)₁-y₂) + (এক্স₁y₂-y₁x₂) = 0টি

এই সমীকরণটি Ax + বাই + C = 0 ফর্মের যা কোনও আকারে লেখা যেতে পারে, y = ax + b, যা আমরা লিনিয়ার ফাংশনের রূপ হিসাবে জানি।

দ্বিতীয় ভেরিয়েবল পরিবর্তন করা হলে কোন গ্রাফ প্রদত্ত ভেরিয়েবলের পরিবর্তন দেখাতে ব্যবহৃত হয়?

কোনও ফাংশনের আদর্শ গ্রাফ আঁকার জন্য আমাদের একটি নির্দিষ্ট বীজগণিতীয় এক্সপ্রেশন বা তথ্য পয়েন্টের অসীম সংখ্যার প্রয়োজন হবে। বাস্তব জীবনে, উভয়ই বেশিরভাগ সময় উপলভ্য হয় না। আমাদের কাছে থাকা ডেটা ছড়িয়ে ছিটিয়ে আছে। অন্য কথায়, আমাদের (x, y) পয়েন্টগুলির একটি তালিকা থাকতে পারে যা গ্রাফে প্লট করা যেতে পারে, তবে পয়েন্টগুলি খুব ঘনত্বের সাথে নাও থাকতে পারে। তবে আমাদের সেই পয়েন্টগুলি যেভাবেই সংযুক্ত করতে হবে, কারণ ভেরিয়েবলগুলির প্যাটার্ন বা প্রবণতাটি দেখার অন্য কোনও উপায় নেই। এইভাবে প্রাপ্ত গ্রাফটি একটি লাইন গ্রাফ হিসাবে পরিচিত।

এটি এর নামকরণ করা হয়েছে কারণ প্রতিবেশী পয়েন্টগুলি সোজা লাইনের সাথে যুক্ত হয়। এই গ্রাফটি দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে সংযোগ চিত্রিত করার জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত যেখানে একটিতে অন্যের উপর নির্ভরশীল এবং উভয়ই পরিবর্তিত হয়। সময়-সিরিজের গ্রাফগুলি লাইন-গ্রাফের উদাহরণ যেখানে X অক্ষগুলি ঘন্টা / দিন / মাস / বছরগুলির ইউনিটে সময় উপস্থাপন করে এবং Y অক্ষটি সেই পরিবর্তনশীলকে প্রতিনিধিত্ব করে যার সময়ের সাথে মান পরিবর্তন হয়।

বিক্রয়	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
বছর	4000	4700	4450	4920	5340	5120	5450	5680	5560	5900

পর্যায়ক্রমিক কাজ

যখন নির্ভরশীল ভেরিয়েবল তার মানটিকে একটি নির্দিষ্ট সময় বা স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের বিরতিতে পুনরাবৃত্তি করে, তখন ফাংশনটিকে পর্যায়ক্রমিক বলা হয়। ব্যবধানটিকে সময় বা মৌলিক সময় বলা হয়, কখনও কখনও বেসিক পিরিয়ড বা প্রাইম পিরিয়ড হিসাবেও। পর্যায়ক্রমিক হওয়ার জন্য কোনও ক্রিয়াকলাপের মানদণ্ড হ'ল কিছু বাস্তব ধ্রুবক টি, এফ (এক্স + টি) = চ (এক্স) এর জন্য। যার অর্থ f (x) x এর প্রতিটি টি ইউনিটের পরে এর মান পুনরাবৃত্তি করছে। আমরা যে কোনও মুহুর্তে ফাংশনের মানটি নোট করতে পারি এবং আমরা টি ইউনিটে একই পয়েন্টের ডান এবং বামে একই মান খুঁজে পেতে পারি। এটি একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

উপরের চিত্রটি সিনেক্সের পর্যায়ক্রমিক আচরণ চিত্রিত করে। আমরা এক্স এর দুটি এলোমেলো মান গ্রহণ করি, এক্স 1 এবং এক্স 2 হিসাবে এবং পাপ (x1) এবং পাপ (x2) থেকে এক্স অক্ষের সমান্তরাল রেখা আঁকি। আমরা লক্ষ করি যে উভয় লাইনই ঠিক 2π এর দূরত্বে আবার গ্রাফের সাথে দেখা করে π সুতরাং সিনেক্সের সময়কাল 2π π সুতরাং আমরা কোনও x এর জন্য sin (x + 2 π) = সিনেক্স লিখতে পারি। অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিও পর্যায়ক্রমিক। কোসিনের একই সময়কাল সিন হিসাবে রয়েছে এবং তাই কোসেক এবং সেকেন্ডও রয়েছে। ট্যানের একটি পিরিয়ড রয়েছে π এবং একইভাবে কটও রয়েছে।

কোন পদটি একটি অনুভূমিক ইউনিটে ঘটে যাওয়া পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়াকলাপের সংখ্যা দেয়?

একটি পূর্ণ সময়কাল একটি চক্র বলা হয়। সুতরাং, x এর টি ইউনিটে ঠিক একটি চক্র রয়েছে। সুতরাং x এর একক ইউনিটে 1 / টি চক্র রয়েছে। পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়াকলাপগুলির অধ্যয়নের ক্ষেত্রে 1 / টি নম্বরটি বিশেষ তাত্পর্যপূর্ণ কারণ এটি জানায় যে কার্যটি কত ঘন ঘন তার মানগুলি পুনরাবৃত্তি করছে। সুতরাং 'ফ্রিকোয়েন্সি' শব্দটি 1 / টি সংখ্যাতে নির্ধারিত হয়। ফ্রিকোয়েন্সি 'f' দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা ফাংশনের 'f' দিয়ে বিভ্রান্ত হওয়ার দরকার নেই যত বেশি ফ্রিকোয়েন্সি তত বেশি ইউনিট প্রতি চক্রের সংখ্যা বেশি থাকে। ফ্রিকোয়েন্সি এবং সময়কাল একে অপরের সাথে বিপরীতভাবে সমানুপাতিক, এফ = 1 / টি বা টি = 1 / এফ হিসাবে সম্পর্কিত। সিন (এক্স) এর জন্য, সময়কাল 2 is, সুতরাং ফ্রিকোয়েন্সি 1 / 2π হবে would

উদাহরণ:

1. পাপের সময়কাল এবং ফ্রিকোয়েন্সি গণনা করুন (3x)

সিন (এক্স) এর 2π তে যেমন একটি চক্র রয়েছে তাই পাপ (3 এক্স) 3 in-তে 2 টি চক্র থাকবে কারণ পাপ x 3 গুনে দ্রুত 3 গুন অগ্রসর হয় prog সুতরাং ফ্রিকোয়েন্সি সিন (x) এর চেয়ে 3 গুণ হবে, এটি 3 / 2π π যা পিরিয়ড 1 / (3 / 2π) = 2π / 3 করে

2. সিন 2x + sin3x এর সময়কালের গণনা করুন

নোট করুন যে মৌলিক সময়ের কোনও পূর্ণসংখ্যার একাধিক সময়কালও। এই সমস্যায়, ফাংশনের দুটি উপাদান রয়েছে। প্রথমটির সময়কাল π এবং দ্বিতীয়টি 2π / 3 থাকে। তবে এই দুটি পৃথক, সুতরাং উভয়ই সম্মিলিত ফাংশনের সময়কাল হতে পারে না। তবে রচনাটির সময়কাল যাই হোক না কেন এটি উপাদানগুলির একটি সময়কালও হতে হবে। সুতরাং, এটি উভয়ের ক্ষেত্রে একটি সাধারণ পূর্ণসংখ্যার একাধিক হতে হবে। তবে সেখানে অসীম অনেকগুলি থাকতে পারে। সুতরাং মৌলিক সময়কাল উপাদানগুলির পিরিয়ডগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক হবে। এই সমস্যাটিতে এটি এলসিএম (π, 2π / 3) = 2π π 

3. (সিন 2 এক্স + সিন5 এক্স) / (সিন 3 এক্স + সিন 4 এক্স) এর পিরিয়ড গণনা করুন

এটি তুচ্ছ তবে পর্যবেক্ষণ করা বেশ আকর্ষণীয় যে আমরা পূর্ববর্তী সমস্যায় যে নিয়মটি উদ্ভাবন করেছি তা আসলে পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়াকলাপের যে কোনও রচনার জন্য প্রযোজ্য। সুতরাং, এক্ষেত্রে কার্যকর সময়কালগুলি উপাদানগুলির পিরিয়ডগুলির এলসিএম হয়। এটি এলসিএম (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π π

4. সিনেক্স + পাপ ofx এর সময়কাল গণনা করুন

প্রথমদিকে, এটি স্পষ্ট বলে মনে হয় যে সময়কালটি এলসিএম হওয়া উচিত (2π, 2), তবে তারপরে আমরা বুঝতে পারি যে 2π যুক্তিযুক্ত হিসাবে এই জাতীয় সংখ্যার অস্তিত্ব নেই তাই এর গুণকগুলি এবং 2 যুক্তিযুক্ত এবং এর গুণকগুলিও তাই। সুতরাং, এই দুটি সংখ্যার সাথে কোনও সাধারণ পূর্ণসংখ্যার হতে পারে। সুতরাং, এই ফাংশন পর্যায়ক্রমে হয় না।

ভগ্নাংশের পার্ট ফাংশন {x period পর্যায়ক্রমিক।

f (x) = {x

এটি ভগ্নাংশ অংশ ফাংশন হিসাবে পরিচিত। এটি একটি আসল সংখ্যার সর্বাধিক পূর্ণসংখ্যার অংশ ছেড়ে দেয় এবং কেবল ভগ্নাংশের অংশ ছেড়ে দেয়। সুতরাং, এর মান সর্বদা 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকে তবে কখনও 1 এর সমান হয় না graph গ্রাফটি এটি পরিষ্কার করে দেওয়া উচিত যে এটির সময়কাল 1 রয়েছে।

                                                                           

উপসংহার

এখনও অবধি আমরা ফাংশন গ্রাফের বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে আলোচনা করেছি। বৈশিষ্ট্য এবং বিভিন্ন ধরণের গ্রাফের বিষয়ে আমাদের এখন পরিষ্কার হওয়া উচিত। আমরা ফাংশনগুলির গ্রাফিকাল ব্যাখ্যার ধারণাও পেয়েছিলাম। পরবর্তী নিবন্ধটি পরিসর এবং ডোমেন, বিপরীত কার্যাদি, বিভিন্ন ফাংশন এবং তাদের গ্রাফ, এবং প্রচুর পরিমাণে সমস্যা সমাধানের মতো ধারণাগুলি সম্পর্কে আরও অনেক বিস্তারিত কভার করবে। অধ্যয়নের গভীরে যাওয়ার জন্য, আপনাকে নীচে পড়তে উত্সাহ দেওয়া হবে

মাইকেল স্পিভাকের ক্যালকুলাস।

বীজগণিত মাইকেল আর্টিন দ্বারা।

আরও গণিতের নিবন্ধের জন্য দয়া করে এখানে ক্লিক করুন.