চেবিশেভের অসমতা এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য সম্পর্কিত 13টি তথ্য

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব মধ্যে চেবিশেভের বৈষম্য & কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তাত্ত্বিক পরিস্থিতি যেখানে আমরা প্রায় সাধারণ অবস্থায় এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যার সংখ্যার সম্ভাব্য বন্টন সন্ধান করতে চাই তার সাথে চুক্তি করি, সীমাবদ্ধ তত্ত্বগুলি দেখার আগে আমরা কিছু অসমতা দেখি, যা সম্ভাবনার সীমারেখা সরবরাহ করে যদি গড় এবং বৈকল্পিক পরিচিত হয়।

মার্কভের বৈষম্য

র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য মার্কভের বৈষম্য যা কেবলমাত্র>> 0 এর জন্য ইতিবাচক মান নেয়

এটি> 0 বিবেচনার জন্য প্রমাণ করতে

থেকে

এখন আমরা এই অসমতার প্রত্যাশা গ্রহণ করি

কারণ

যা মার্কোভের বৈষম্যকে a> 0 হিসাবে দেয়

চেবিশেভের অসমতা

 সসীম জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল X চেবিশেভের অসমতার গড় এবং প্রকরণ k>0 এর জন্য

যেখানে সিগমা এবং মিউ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক এবং গড় উপস্থাপন করে এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা ব্যবহার করি মার্কভের বৈষম্য অ নেতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে

সুতরাং ধ্রুবক বর্গ হিসাবে মান হিসাবে

এই সমীকরণের সমতুল্য

হিসাবে পরিষ্কার

মার্কভ এবং চেবিশেভের অসমতার উদাহরণ:

1. যদি নির্দিষ্ট আইটেমটির উত্পাদনকে গড় 50 হিসাবে সপ্তাহের জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে নেওয়া হয়, তবে এক সপ্তাহে উত্পাদন সম্ভাবনা 75 এর বেশি হবে এবং যদি এক সপ্তাহের উত্পাদন 40 এবং 60 এর মধ্যে হয় তবে তার সম্ভাব্যতাটি কী হবে? সপ্তাহ 25?

সমাধান: এক সপ্তাহের জন্য আইটেমটির উত্পাদনের জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স বিবেচনা করুন তারপরে আমরা ব্যবহার করব 75 এর বেশি সম্ভাবনার সন্ধান করতে মার্কভের বৈষম্য as

এখন আমরা ব্যবহার করতে পারি বৈকল্পিক 40 এর সাথে 60 থেকে 25 এর মধ্যে উত্পাদনের সম্ভাবনা চেবিশেভের অসমতা as

so

40 থেকে 60 এর মধ্যে উত্পাদন 3/4 হয় তবে এটি সপ্তাহের সম্ভাব্যতা দেখায়।

2. দেখান যে চেবিশেভের বৈষম্য যা সম্ভাবনার উপরের সীমাবদ্ধতা সরবরাহ করে সম্ভাবনার প্রকৃত মানটির নিকটবর্তী নয়।

সমাধান:

বিবেচনা করুন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সটি সমানভাবে গড় 5 এবং ভেরিয়েন্স 25/3 ব্যবধানের সাথে বিভক্ত হয় (0,1) তারপরে চেবিশেভের বৈষম্য আমরা লিখতে পারি

তবে আসল সম্ভাবনা হবে

যা প্রকৃত সম্ভাবনা থেকেও অনেক দূরে যদি আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সটিকে সাধারণভাবে গড় এবং বৈচিত্র্যের সাথে বিতরণ করা হিসাবে গ্রহণ করি চেবিশেভের অসমতা হবে

তবে আসল সম্ভাবনা হ'ল

বড় সংখ্যা দুর্বল আইন

এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমের জন্য দুর্বল আইনটি তার ফলাফল অনুসরণ করবে চেবিশেভের অসমতা প্রমাণ হিসাবে উদাহরণ হিসাবে সরঞ্জাম হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে

যদি ভেরিয়েন্সটি শূন্য হয় তবে কেবলমাত্র 0 এর সমান বৈকল্পিকগুলি কেবলমাত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এমন হয় যা সম্ভাবনার 1 সহ স্থির থাকে চেবিশেভের অসমতা n এর চেয়ে বড় বা 1 এর সমান

as

সম্ভাবনার ধারাবাহিকতা দ্বারা

যা ফলাফল প্রমাণ করে।

এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা ধরে নিই যে ধারাবাহিকতায় প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্যও বৈকল্পিক সীমাবদ্ধ তাই প্রত্যাশা এবং প্রকরণটি

এখন থেকে চেবিশেভের অসমতা সম্ভাব্যতা উপরের সীমা হিসাবে

যা অনন্তের দিকে ঝুঁকতে হবে

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

সার্জারির কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এটি বৃহত সংখ্যার যোগফলকে বিতরণ দেয় যা প্রায় স্বাভাবিক বিতরণ স্বতন্ত্র এলোমেলো পরিবর্তনশীল কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য সম্ভাবনার সন্ধানের পদ্ধতিটি ছাড়াও অনেক প্রাকৃতিক জনগোষ্ঠীর বেল-আকৃতির অর্থ স্বাভাবিক বক্ররেখার অভিজ্ঞতাগত ফ্রিকোয়েন্সিগুলি দেখায়, এই উপপাদ্যের বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়ার আগে আমরা ফলাফলটি ব্যবহার করি

"যদি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম Z হয়₁,Z₂,…। এফ হিসাবে বিতরণ ফাংশন এবং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন আছে_Zn এবং ম_zn তারপর

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য: অভিন্ন বিতরণ এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্রম জন্য₁,X₂,……. যার প্রত্যেকটির গড় μ এবং প্রকরণ σ2 তারপর যোগফলের বণ্টন

সাধারণ মান হিসাবে প্রবণতা থাকে যেমন n সত্যিকারের মান হিসাবে অনন্তকে প্রবণ করে

প্রুফ: ফলাফল প্রমাণের জন্য গড়কে শূন্য এবং বৈচিত্র হিসাবে এক হিসাবে বিবেচনা করুন μ = 0 এবং σ²= 1 এবং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এক্স এর জন্য_i উপস্থিত এবং সীমাবদ্ধ মূল্যবান তাই র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য মুহুর্তের কার্যকারিতা_i/ Willn হবে

neX এর যোগফলের জন্য মুহুর্তটি তৈরির ফাংশন ne_i/ Willn হবে

এবার আসুন এল (টি) = লগএম (টি)

so

প্রমাণ আমরা প্রথম প্রদর্শিত

এর সমতুল্য ফর্ম দেখিয়ে

থেকে

অতএব এটি গড় শূন্য এবং বৈকল্পিক 1 এর জন্য ফলাফলটি দেখায় এবং একই ফলাফলটি সাধারণ ক্ষেত্রে গ্রহণের মাধ্যমে অনুসরণ করে

এবং প্রতিটি জন্য আমাদের আছে

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের উদাহরণ

কোনও জ্যোতির্বিজ্ঞানের ল্যাব থেকে তারার আলোক বছরের দূরত্ব গণনা করতে তিনি কিছু পরিমাপের কৌশল ব্যবহার করছেন তবে বায়ুমণ্ডলের পরিবর্তনের কারণে প্রতিবার পরিমাপ করা দূরত্বটি সঠিক নয় তবে কিছু ত্রুটির সাথে তাই সঠিক পরিকল্পনা করার জন্য তিনি ঠিক করেছেন ক্রম এবং এই দূরত্বগুলির গড় অনুমানযুক্ত দূরত্ব হিসাবে ধারাবাহিকভাবে পর্যবেক্ষণ করুন, তিনি যদি গড় ডি এবং ভেরিয়েন্স 4 আলোক বর্ষের সাথে স্বতন্ত্রভাবে এলোমেলোভাবে বিতরণযোগ্য এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিমাপের মান বিবেচনা করেন তবে 0.5 ত্রুটিটি পেতে কী পরিমাণ পরিমাপ করতে হবে তা সন্ধান করুন আনুমানিক এবং প্রকৃত মান?

সমাধান: আসুন এক্স সিকোয়েন্সে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিমাপগুলি বিবেচনা করি₁,X₂,…….এক্স_n সুতরাং দ্বারা কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আমরা লিখতে পারি

যা মান মধ্যে আনুমানিক হয় স্বাভাবিক বন্টন তাই সম্ভাবনা হবে

সুতরাং পরিমাপের যথাযথতা 95 শতাংশে পেতে জ্যোতির্বিদকে যেখানে n * দূরত্বগুলি পরিমাপ করতে হবে

তাই সাধারণ বিতরণ টেবিল থেকে আমরা এটি লিখতে পারি

যা বলে যে পরিমাপটি 62 সংখ্যক বারের জন্য করা উচিত, এটিও এর সাহায্যে লক্ষ্য করা যায় চেবিশেভের অসমতা কথা বলে

সুতরাং বৈষম্য ফলাফল

সুতরাং n = 16 / 0.05 = 320 এর জন্য যা নিশ্চিত করে যে পর্যবেক্ষণের ল্যাব থেকে তারার দূরত্ব পরিমাপে কেবলমাত্র O.5 শতাংশ ত্রুটি থাকবে।

২. ইঞ্জিনিয়ারিং কোর্সে ভর্তিচ্ছু শিক্ষার্থীর সংখ্যা পোইসনকে গড় ১০০ দিয়ে বিতরণ করা হয়েছিল, সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল যে ভর্তিচ্ছু শিক্ষার্থী যদি 2 বা ততোধিক হয় তবে কেবলমাত্র একটি বিভাগে দুটি বিভাগে পড়ানো হবে, সম্ভাবনা কতটা হবে কোর্সের জন্য দুটি বিভাগ হতে?

সমাধান: পইসন বিতরণ অনুসরণ করে সঠিক সমাধানটি হবে

যা অবশ্যই নির্দিষ্ট সংখ্যার মান দেয় না, যদি আমরা শিক্ষার্থীদের ভর্তি হিসাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স হিসাবে বিবেচনা করি তবে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

যা হতে পারে

যা সাংখ্যিক মান।

৩. 3 এবং 30 সহ 40 এবং 30 এর মধ্যে যখন রোল করা হয় তখন দশজনের যোগফলের যোগফলের সম্ভাবনা গণনা করুন?

সমাধান: এখানে ডাই হিসাবে এক্স হিসাবে বিবেচনা করা হচ্ছে_i দশটি মানের জন্য গড় এবং বৈকল্পিকতা হবে

এইভাবে অনুসরণ কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আমরা লিখতে পারি

যা প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা।

৪. অভিন্ন বিতরণকারী স্বাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য_i বিরতিতে (0,1) সম্ভাব্যতার সীমাবদ্ধতা কী হবে

সমাধান: ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে আমরা জানি যে গড় এবং বৈচিত্র হবে

এখন ব্যবহার কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আমরা পারি

সুতরাং এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল হবে 14 শতাংশ।

৫. গ্রেড দেওয়ার পরীক্ষার মূল্যায়নের জন্য সম্ভাব্যতাটি খুঁজে বের করুন 5 পরীক্ষায় 25 মিনিট শুরু হবে যখন 450 টি পরীক্ষা রয়েছে যার গ্রেডিং সময় গড় 50 মিনিট এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 20 মিনিটের সাথে স্বতন্ত্র থাকে।

সমাধান: এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স দ্বারা পরীক্ষার গ্রেড দেওয়ার সময় বিবেচনা করুন_i সুতরাং এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স হবে X

যেহেতু 25 পরীক্ষার জন্য এই টাস্কটি 450 মিনিটের সাথে সাথে চলছে

এখানে ব্যবহার করে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

যা প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা।

স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য

ক্রমটির জন্য যা অভিন্নরূপে বিতরণ করা হয়নি তবে स्वतंत्र এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স রয়েছে₁,X₂, ……। যার প্রত্যেকটির গড় mean এবং বৈচিত্র রয়েছে σ² এটি সন্তুষ্ট প্রদান

1. প্রতিটি এক্স_i সমানভাবে আবদ্ধ
2. তারতম্যের যোগফল তখন অসীম

বড় সংখ্যাগুলির শক্তিশালী আইন

বড় সংখ্যার শক্তিশালী আইন খুবই গুরুত্বপূর্ণ ধারণা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব যা বলে যে সম্ভাব্যতা সহ সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অনুক্রমের গড় একই বন্টনের গড়ে একত্রিত হবে

বিবৃতি: identically এর ক্রম জন্য বণ্টিত এবং স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X₁,X₂, ……। যার প্রত্যেকটিরই সীমাবদ্ধতার অর্থ সম্ভাবনার পরে এক

প্রুফ: এটিকে এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যেকটির গড় বিবেচনা করে প্রমাণ করার জন্য এটি শূন্য এবং সিরিজ

এখন এই হিসাবে এই শক্তি বিবেচনা

ডান হাতের শর্তগুলির সম্প্রসারণের পরে আমাদের ফর্মের শর্তাদি রয়েছে

যেহেতু এগুলি স্বতন্ত্র রয়েছে তাই এর মধ্যস্থতা হবে

এই জুটির সাহায্যে এই সিরিজের সম্প্রসারণ হবে এখন

থেকে

so

আমরা পেতে

এটি অসমতার পরামর্শ দেয়

অত: পর

প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা একের পর থেকে সিরিজের একত্রিত হয়ে

থেকে

প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় যদি শূন্যের সমান না হয় তবে বিচ্যুতি এবং সম্ভাবনার সাথে আমরা এটি লিখতে পারি

or

যা ফলাফল প্রয়োজন।

একতরফা চেবিশেভ অসাম্য

গড়> শূন্য এবং সীমাবদ্ধ ভেরিয়েন্স সহ এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্সের জন্য একতরফা চেবিশেভ বৈষম্য যদি>> 0 হয়

এটিকে বি> 0 এর জন্য বিবেচনা করে প্রমাণ করার জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স হিসাবে দেওয়া হোক

যা দেয়

সুতরাং ব্যবহার করে মার্কভের বৈষম্য

যা প্রয়োজনীয় বৈষম্য দেয়। গড় এবং বৈচিত্রের জন্য আমরা এটি লিখতে পারি

এটি আরও হিসাবে লেখা যেতে পারে

উদাহরণ:

সম্ভাব্যতার উপরের সীমাটি সন্ধান করুন যে এলোমেলোভাবে বিতরণ করা সংস্থার উত্পাদন কমপক্ষে 120 হবে, যদি এই নির্দিষ্ট সংস্থার উত্পাদনের গড় অর্থ 100 এবং বৈকল্পিক 400 হয়।

সমাধান:

একতরফা ব্যবহার করে চেবিশেভ অসমতা

সুতরাং এটি এক সপ্তাহের মধ্যে উত্পাদনের সম্ভাব্যতা দেয় কমপক্ষে 120 টি 1/2 হয়, এখন ব্যবহারের মাধ্যমে এই সম্ভাবনার সীমাবদ্ধতা পাওয়া যাবে মার্কভের বৈষম্য

যা সম্ভাবনার পক্ষে উপরের সীমাটি দেখায়।

উদাহরণ:

দুই শতাধিক পুরুষের সমন্বয়ে শত শত জোড় নেওয়া হয়েছে এবং শত শত মহিলা এই সম্ভাবনার উপরের সীমাটি খুঁজে পান যে প্রায় তিরিশ জোড়ায় একজন পুরুষ এবং একজন মহিলা থাকবে।

সমাধান:

এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স_i as

তাই জুটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

যেহেতু প্রত্যেক পুরুষই সমানভাবে অবশিষ্ট লোকের সাথে জুটি বাঁধার সম্ভাবনা থাকতে পারে যেখানে শত জন নারী তাই বোধগম্য

একইভাবে যদি i এবং j সমান না হয়

as

সুতরাং আমরা আছে

ব্যবহার করে চেবিশেভ বৈষম্য

যা জানিয়েছে যে মহিলাদের সাথে 30 জন পুরুষের জুটি বাঁধার সম্ভাবনা ছয়টিরও কম, সুতরাং আমরা ব্যবহার করে আবদ্ধ করতে পারি একতরফা চেবশেভ বৈষম্য

চেরনফ বাউন্ড

যদি মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটি ইতিমধ্যে জানা থাকে

as

একইভাবে আমরা টি <0 হিসাবে লিখতে পারি

সুতরাং চেরনফ বাউন্ড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

এই বৈষম্য হ'ল ধনাত্মক বা নেতিবাচক সকল মানকেই বোঝায়।

চেরনফ স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ

চেরনফ স্ট্যান্ডার্ডের জন্য সীমাবদ্ধ স্বাভাবিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যার মুহূর্ত উৎপন্ন ফাংশন

is

সুতরাং এই অসমতা এবং ডানদিকে শক্তি শর্তগুলি হ্রাস করা একটি> 0 এর জন্য দেয়

এবং একটি <0 এর জন্য এটি

চেরনফ পইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ

চেরনফ পয়সন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ যার মুহুর্ত উত্পন্নকরণের কাজ

is

সুতরাং এই অসমতা এবং ডানদিকে শক্তি শর্তগুলি হ্রাস করা একটি> 0 এর জন্য দেয়

এবং এটা হবে

চেরনফ বাউন্ডে উদাহরণ

একটি খেলায় যদি কোনও খেলোয়াড় অতীতের কোনও স্কোরের তুলনায় স্বাধীনভাবে খেলা জিততে বা হারাতে পারে তবে সম্ভাবনার জন্য চেরনফ আবদ্ধ

সমাধান: এক্স_i প্লেয়ারের বিজয় চিহ্নিত করুন তবে সম্ভাবনাটি হবে

এন নাটকের ক্রম জন্য

সুতরাং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন হবে

সূচকীয় পদগুলির বিস্তৃতি ব্যবহার করে এখানে

তাহলে আমাদের আছে

এখন মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এর সম্পত্তি প্রয়োগ

এটি বৈষম্য দেয়

অত: পর

উপসংহার:

বিপুল সংখ্যক ব্যক্তির জন্য বৈষম্য এবং সীমাবদ্ধ উপপাদ্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছিল এবং সম্ভাবনার সীমাবদ্ধতার ন্যায্য উদাহরণগুলিও ধারণাটির আভাস পাওয়ার জন্য নেওয়া হয়েছিল, এছাড়াও সাধারণ, পোয়েসন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং মুহুর্ত তৈরির কার্যকারিতা প্রদর্শনের জন্য নেওয়া হয় ধারণাটি সহজেই, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় নীচের বইগুলি বা সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত আরও নিবন্ধের জন্য, দয়া করে আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠাগুলি.

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা