চেবিশেভের অসমতা এবং কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য | 10+ সমালোচনামূলক উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব মধ্যে চেবিশেভের বৈষম্য & কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তাত্ত্বিক পরিস্থিতি যেখানে আমরা প্রায় সাধারণ অবস্থায় এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যার সংখ্যার সম্ভাব্য বন্টন সন্ধান করতে চাই তার সাথে চুক্তি করি, সীমাবদ্ধ তত্ত্বগুলি দেখার আগে আমরা কিছু অসমতা দেখি, যা সম্ভাবনার সীমারেখা সরবরাহ করে যদি গড় এবং বৈকল্পিক পরিচিত হয়।

সূচি তালিকা

মার্কভের বৈষম্য

র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য মার্কভের বৈষম্য যা কেবলমাত্র>> 0 এর জন্য ইতিবাচক মান নেয়

P \ {X \ geq a \} q leq \ frac {E [X]} {a

এটি> 0 বিবেচনার জন্য প্রমাণ করতে

আমি = \ বাম \ {\ শুরু {অ্যারে} {ll} 1 & \ পাঠ্য {যদি} X \ geq a \\ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায়} \ শেষ {অ্যারে} \ ডান।

থেকে

X \ geq 0 \\ \\ I \ leq \ frac {X} {a

এখন আমরা এই অসমতার প্রত্যাশা গ্রহণ করি

E [I] \ leq \ frac {E [X]} {a

কারণ

ই [আমি] = পি \ {এক্স \ গিগ এ \}

যা মার্কোভের বৈষম্যকে a> 0 হিসাবে দেয়

P \ {X \ geq a \} q leq \ frac {E [X]} {a

চেবিশেভের অসমতা

    সীমিত গড় এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর পরিবর্তনের জন্য কে> 0 এর জন্য চেবিশেভের অসমতা

পি (| এক্স- \ মিউ \ \ গেক কে \} \ লেক \ ফ্র্যাক {ig সিগমা ^ {2}} {কে ^ {2}}

যেখানে সিগমা এবং মিউ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক এবং গড় উপস্থাপন করে এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা ব্যবহার করি মার্কভের বৈষম্য অ নেতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে

(এক্স- ম্যু) ^ {2}

সুতরাং ধ্রুবক বর্গ হিসাবে মান হিসাবে

পি \ বাম \ {(এক্স- \ মিউ) ^ {2} \ গেক কে ^ {2} \ ডান \} \ লেক \ ফ্র্যাক {ই \ বাম [(এক্স- \ মিউ) ^ {2} \ ডান]} { কে ^ {2}

এই সমীকরণের সমতুল্য

পি (| এক্স- \ মিউ \ \ গেক কে \} \ লেক \ ফ্র্যাক {ই \ বাম [(এক্স- \ মিউ) ^ {2} \ ডান]} {কে ^ {2}} = \ ফ্র্যাক {ig সিগমা ^ {2}} {কে ^ {2}

হিসাবে পরিষ্কার

(এক্স- \ মিউ) ^ {2} \ Equ কে ^ {2} \ পাঠ্য {যদি এবং কেবল যদি} | এক্স- \ মিউ | q geq কে

মার্কভ এবং চেবিশেভের অসমতার উদাহরণ :

  1. যদি নির্দিষ্ট আইটেমটির উত্পাদনকে গড় 50 হিসাবে সপ্তাহের জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে নেওয়া হয়, তবে এক সপ্তাহে উত্পাদন সম্ভাবনা 75 এর বেশি হবে এবং যদি এক সপ্তাহের উত্পাদন 40 এবং 60 এর মধ্যে হয় তবে তার সম্ভাব্যতাটি কী হবে? সপ্তাহ 25?

সমাধান: এক সপ্তাহের জন্য আইটেমটির উত্পাদনের জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স বিবেচনা করুন তারপরে আমরা ব্যবহার করব 75 এর বেশি সম্ভাবনার সন্ধান করতে মার্কভের বৈষম্য as

P(X>75\} \leq \frac{E[X]}{75}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}

এখন আমরা ব্যবহার করতে পারি বৈকল্পিক 40 এর সাথে 60 থেকে 25 এর মধ্যে উত্পাদনের সম্ভাবনা চেবিশেভের অসমতা as

পি \ {| এক্স -50 | \ geq 10 \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {10 ^ {2}} = \ frac {1} {4}

so

P\{|X-50|<10\} \geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

40 থেকে 60 এর মধ্যে উত্পাদন 3/4 হয় তবে এটি সপ্তাহের সম্ভাব্যতা দেখায়।

2. দেখান যে চেবিশেভের বৈষম্য যা সম্ভাবনার উপরের সীমাবদ্ধতা সরবরাহ করে সম্ভাবনার প্রকৃত মানটির নিকটবর্তী নয়।

সমাধান:

বিবেচনা করুন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সটি সমানভাবে গড় 5 এবং ভেরিয়েন্স 25/3 ব্যবধানের সাথে বিভক্ত হয় (0,1) তারপরে চেবিশেভের বৈষম্য আমরা লিখতে পারি

পি (| এক্স -5 |> 4 \} q লেক \ frac {25} {3 (16)} 0.52 প্রায় XNUMX

তবে আসল সম্ভাবনা হবে

পি (| এক্স -5 |> 4 \} = 0.20

যা প্রকৃত সম্ভাবনা থেকেও অনেক দূরে যদি আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সটিকে সাধারণভাবে গড় এবং বৈচিত্র্যের সাথে বিতরণ করা হিসাবে গ্রহণ করি চেবিশেভের অসমতা হবে

পি \ {| এক্স- \ মিউ |> 2 \ সিগমা \} q লেক \ ফ্র্যাক {1} {4}

তবে আসল সম্ভাবনা হ'ল

পি (| এক্স- \ মিউ |> 2 \ সিগমা \} = পি \ বাম \ {\ বাম | \ ফ্র্যাক {এক্স- \ মিউ} {ig সিগমা} \ ডান |> 2 \ ডান \} = 2 [1- \ ফি (2)] 0.0456 প্রায় XNUMX

বড় সংখ্যা দুর্বল আইন

এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমের জন্য দুর্বল আইনটি তার ফলাফল অনুসরণ করবে চেবিশেভের অসমতা প্রমাণ হিসাবে উদাহরণ হিসাবে সরঞ্জাম হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে

পি \ {এক্স = ই [এক্স] \} = 1

যদি ভেরিয়েন্সটি শূন্য হয় তবে কেবলমাত্র 0 এর সমান বৈকল্পিকগুলি কেবলমাত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এমন হয় যা সম্ভাবনার 1 সহ স্থির থাকে চেবিশেভের অসমতা n এর চেয়ে বড় বা 1 এর সমান

পি \ বাম \ {| এক্স- \ মিউ |> rac frac {1} {n} \ ডান \} = 0

as

n \ rightarrow \ infty

সম্ভাবনার ধারাবাহিকতা দ্বারা

\ শুরু {সারিবদ্ধ} 0 = \ লিম _ {n \ রাইটারো \ ইনফটি} পি \ বাম \ {| এক্স- \ মি |> \ frac {1} {n} \ ডান \} & = পি \ বাম \ {\ লিম _ {n \ র্যাটারো \ ইনফটি} \ বাম \ {| এক্স- \ মিউ |> \ ফ্র্যাক {1} {এন} \ রাইট \} \ রাইট \} \\ & = পি \ {এক্স \ নেক \ মিউ \} \ শেষ {সারিবদ্ধ

যা ফলাফল প্রমাণ করে।

বড় সংখ্যা দুর্বল আইন: অভিন্ন বিতরণ এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্রম জন্য1,X2, ……। যার প্রত্যেকটির সীমাবদ্ধ অর্থ E [এক্সi] = μ, তারপরে যে কোনও 0> XNUMX এর জন্য

পি \ বাম \ {\ বাম | \ frac {X_ {1} + d সিডটস + এক্স_} n}} {n} - \ মিউ \ ডান | \ geq \ varepsilon \ right \} \ rightarrow 0 \ Quad \ Text {হিসাবে} \ quad n \ rightarrow \ infty

এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা ধরে নিই যে ধারাবাহিকতায় প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্যও বৈকল্পিক সীমাবদ্ধ তাই প্রত্যাশা এবং প্রকরণটি

ই-বাম {1} + \ সিডটস + এক্স_} n}} {n} \ ডান) = \ ফ্র্যাক {ig সিগমা {1 2}} {n}

এখন থেকে চেবিশেভের অসমতা সম্ভাব্যতা উপরের সীমা হিসাবে

পি \ বাম \ {\ বাম | \ frac {X_ {1} + d সিডটস + এক্স_} n}} {n} - \ মিউ \ ডান | q geq \ varepsilon \ right \} \ leq \ frac {ig sigma ^ {2}} {n \ Varepsilon ^ {2}}

যা অনন্তের দিকে ঝুঁকতে হবে

পি \ বাম \ {\ বাম | \ frac {X_ {1} + d সিডটস + এক্স_} n}} {n} - \ মিউ \ ডান | \ geq \ varepsilon \ right \} \ rightarrow 0 \ Quad \ Text {হিসাবে} \ quad n \ rightarrow \ infty

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

The Olymp Trade প্লার্টফর্মে ৩ টি উপায়ে প্রবেশ করা যায়। প্রথমত রয়েছে ওয়েব ভার্শন যাতে আপনি প্রধান ওয়েবসাইটের মাধ্যমে প্রবেশ করতে পারবেন। দ্বিতয়ত রয়েছে, উইন্ডোজ এবং ম্যাক উভয়ের জন্যেই ডেস্কটপ অ্যাপলিকেশন। এই অ্যাপটিতে রয়েছে অতিরিক্ত কিছু ফিচার যা আপনি ওয়েব ভার্শনে পাবেন না। এরপরে রয়েছে Olymp Trade এর এন্ড্রয়েড এবং অ্যাপল মোবাইল অ্যাপ। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এটি বৃহত সংখ্যার যোগফলকে বিতরণ দেয় যা প্রায় স্বাভাবিক বিতরণ স্বতন্ত্র এলোমেলো পরিবর্তনশীল কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য সম্ভাবনার সন্ধানের পদ্ধতিটি ছাড়াও অনেক প্রাকৃতিক জনগোষ্ঠীর বেল-আকৃতির অর্থ স্বাভাবিক বক্ররেখার অভিজ্ঞতাগত ফ্রিকোয়েন্সিগুলি দেখায়, এই উপপাদ্যের বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়ার আগে আমরা ফলাফলটি ব্যবহার করি

"যদি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম Z হয়1,Z2,…। এফ হিসাবে বিতরণ ফাংশন এবং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন আছেZn এবং মzn তারপর

M_ {Z_ {n}} (t) \ রাইটারো এম_ {জেড} (টি) \ পাঠ্য {সমস্ত টি জন্য, তারপরে} F_ {Z_ {n}} (t) \ রাইটারো F_ {Z} (t) \ পাঠ্য { t F_ {Z} (t) \ পাঠ্য continuous অবিচ্ছিন্ন সবকিছুর জন্য "}

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য: অভিন্ন বিতরণ এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্রম জন্য1,X2, ……। যার প্রত্যেকটির গড় mean এবং বৈচিত্র রয়েছে σ2 তারপরে যোগফলের বিতরণ

rac frac {X_ {1} + \ সিডটস + এক্স_ {n} -n \ মিউ} {ig সিগমা \ স্ক্র্যাট {n}

সাধারণ মান হিসাবে প্রবণতা থাকে যেমন n সত্যিকারের মান হিসাবে অনন্তকে প্রবণ করে

পি \ বাম \ {\ frac {X_ {1} + \ সিডটস + এক্স_ {n} -n \ মিউ {{\ সিগমা \ স্ক্রিট {এন}} \ লেক এ a ডান \} \ রাইটেরো \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- ty infty} ^ {a} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \ quad \ Text {হিসাবে} n} রাইটারো row ইনফটি

প্রুফ: ফলাফল প্রমাণের জন্য গড়কে শূন্য এবং বৈচিত্র হিসাবে এক হিসাবে বিবেচনা করুন চেবিশেভের বৈষম্য এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য | 10+ সমালোচনামূলক উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যμ = 0 এবং σ2= 1 এবং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এক্স এর জন্যi উপস্থিত এবং সীমাবদ্ধ মূল্যবান তাই র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য মুহুর্তের কার্যকারিতাi/ Willn হবে

E \ বাম [\ এক্সপ্রেস \ বাম \ {\ frac{ X t এক্স_ {আমি}} q q sqrt {n}} \ ডান \} \ ডান] = এম \ বাম (\ frac {t} {q srrt {n}} ঠিক আছে)

neX এর যোগফলের জন্য মুহুর্তটি তৈরির ফাংশন nei/ Willn হবে

\ বাম [এম \ বাম (\ frac {L} {q sqrt {n}} \ ডান) \ ডান] \ {n

এবার আসুন এল (টি) = লগএম (টি)

so

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এল (0) এবং = 0 \\ এল ^ {\ প্রাইম} (0) & = \ ফ্র্যাক {এম ^ {\ প্রাইম} (0)} {এম (0)} \\ & = \ মিউ \\ & = 0 \\ এল ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (0) & = \ ফ্র্যাক {এম (0) এম ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (0) - \ বাম [এম ^ {\ প্রাইম} (0) ) \ ডান] ^ {2}} {[এম (0)] ^ {2}} \\ & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান]] \\ & = 1 \ শেষ {সারিবদ্ধ}

প্রমাণ আমরা প্রথম প্রদর্শিত

[এম (টি / q স্ক্র্যাট {এন})] ^ {n} \ র্যাটারো ই ^ {2 ^ {2} / 2} \ টেক্সট {হিসাবে} n \ রাইটারো \ ইনফটি

এর সমতুল্য ফর্ম দেখিয়ে

এন এল (টি / q স্ক্র্যাট {n}) \ রাইটারো টি ^ {2} / 2

থেকে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ লিম _ {n \ র্যাটারো \ ইনফটি} rac ফ্র্যাক {এল (টি / \ স্ক্রিট {n})} {n ^ {- 1}} & = \ লিম _ {n \ রাইটারো \ ইনফটি} \ frac {-L ^ {\ prime} (t / q sqrt {n}) n ^ {- 3/2} t} {- 2 n ^ {- 2}} \ Quad \ Text L L'Hôpital এর নিয়ম দ্বারা} \ \ & = \ লিম _ {n \ র্যাটারো \ ইনফটি} \ বাম [\ frac {L ^ {\ প্রাইম} (টি / q স্ক্র্যাট {n}) টি {{2 এন ^ {- 1/2}} \ ডান] \\ & = \ লিম _ {n \ রাইটারো \ ইনফটি} \ বাম [\ frac {-L ^ {\ prime \ prime} (t / q sqrt {n}) n ^ {- 3/2} t ^ {2 }} {- 2 n ^ {- 3/2}} \ ডান] 'চতুষ্পদ পাঠ্য {আবার এল'হাপিটালের নিয়ম অনুসারে} \\ & = \ লিম _ {n \ র্যাটারো \ ইনফটি} \ বাম [এল ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (বাম (\ frac {t} {q sqrt {n}} \ ডান) \ frac {t ^ {2}} {2} \\ ডান] \\ & = \ frac {t ^ {2}} {2} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

অতএব এটি গড় শূন্য এবং বৈকল্পিক 1 এর জন্য ফলাফলটি দেখায় এবং একই ফলাফলটি সাধারণ ক্ষেত্রে গ্রহণের মাধ্যমে অনুসরণ করে

এক্স_ {আমি} ^ {*} = \ বাম (এক্স_ {আই} - \ মিউ \ ডান) / ig সিগমা

এবং প্রতিটি জন্য আমাদের আছে

পি \ বাম \ {\ frac {X_ {1} + \ সিডটস + এক্স_ {n} -n \ মু} {\ সিগমা \ স্ক্রিট {এন}} q লেক এ \ ডান \} \ র্যাটারো hi ফি (এ)

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের উদাহরণ

কোনও জ্যোতির্বিজ্ঞানের ল্যাব থেকে তারার আলোক বছরের দূরত্ব গণনা করতে তিনি কিছু পরিমাপের কৌশল ব্যবহার করছেন তবে বায়ুমণ্ডলের পরিবর্তনের কারণে প্রতিবার পরিমাপ করা দূরত্বটি সঠিক নয় তবে কিছু ত্রুটির সাথে তাই সঠিক পরিকল্পনা করার জন্য তিনি ঠিক করেছেন ক্রম এবং এই দূরত্বগুলির গড় অনুমানযুক্ত দূরত্ব হিসাবে ধারাবাহিকভাবে পর্যবেক্ষণ করুন, তিনি যদি গড় ডি এবং ভেরিয়েন্স 4 আলোক বর্ষের সাথে স্বতন্ত্রভাবে এলোমেলোভাবে বিতরণযোগ্য এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিমাপের মান বিবেচনা করেন তবে 0.5 ত্রুটিটি পেতে কী পরিমাণ পরিমাপ করতে হবে তা সন্ধান করুন আনুমানিক এবং প্রকৃত মান?

সমাধান: আসুন এক্স সিকোয়েন্সে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিমাপগুলি বিবেচনা করি1,X2,…….এক্সn সুতরাং দ্বারা কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আমরা লিখতে পারি

Z_ {n} = \ frac {\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} -আর} {2 \ স্কয়ার্ট {n}}

যা স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণে প্রায় অনুমান তাই সম্ভাবনাটি হবে

\ বাম। \ শুরু {অ্যারে} l আরএল} পি \ বাম \ {- 0.5 \ লেক \ ফ্র্যাক {\ সম_ {i = 1 ^ ^ {n} X_ {i}}} n} -d \ লেক 0.5 \ ডান। \ শেষ {অ্যারে} \ ডান \} = পি \ বাম \ {- 0.5 2 ফ্রে্যাক rac q স্ক্রিট t n}} {0.5} q লেক জেড_এন} \ লেক 2 \ ফ্রে্যাক {q স্ক্রিট {n}} {4} \ ডান \} \ প্রায় \ ফাই \ বাম (\ frac {\ sqrt {n}} {4} \ ডান) - \ ফাই \ বাম (\ frac {- q sqrt {n}} {2} \ ডান) = 4 Hi ফি \ বাম (\ frac {q sqrt {n}} {1} \ ডান) -XNUMX

সুতরাং পরিমাপের যথাযথতা 95 শতাংশে পেতে জ্যোতির্বিদকে যেখানে n * দূরত্বগুলি পরিমাপ করতে হবে

2 \ ফি \ বাম ((frac {q sqrt {n ^ {*}}} {4} \ ডান) -1 = 0.95 \ কোয়াড \ পাঠ্য {বা} \ কোয়াড \ ফাই \ বাম (\ frac {q sqrt {n ^ {*}}} {4} \ ডান) = 0.975

তাই সাধারণ বিতরণ টেবিল থেকে আমরা এটি লিখতে পারি

rac frac {\ sqrt {n ^ {*}}} {4} = 1.96 \ কোয়াড \ পাঠ্য {বা} \ কোয়াড এন ^ {*} = (7.84) {{2} \ প্রায় 61.47

যা বলে যে পরিমাপটি 62 সংখ্যক বারের জন্য করা উচিত, এটিও এর সাহায্যে লক্ষ্য করা যায় চেবিশেভের অসমতা কথা বলে

E \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} \ ডান] = d \ কোয়াড \ অপার্যাটর্নাম {ভার} \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ { n} \ frac {X_ {i}} {n} \ ডান) = \ frac {4} {n}

সুতরাং বৈষম্য ফলাফল

পি \ বাম \ {\ বাম | \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} rac frac {X_ {i}} {n} -d \ ডান |> 0.5 \ ডান \} \ লেক \ frac {4} {n (0.5) ^ {2}} = \ frac {16} {n}

সুতরাং n = 16 / 0.05 = 320 এর জন্য যা নিশ্চিত করে যে পর্যবেক্ষণের ল্যাব থেকে তারার দূরত্ব পরিমাপে কেবলমাত্র O.5 শতাংশ ত্রুটি থাকবে।

২. ইঞ্জিনিয়ারিং কোর্সে ভর্তিচ্ছু শিক্ষার্থীর সংখ্যা পোইসনকে গড় ১০০ দিয়ে বিতরণ করা হয়েছিল, সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল যে ভর্তিচ্ছু শিক্ষার্থী যদি 2 বা ততোধিক হয় তবে কেবলমাত্র একটি বিভাগে দুটি বিভাগে পড়ানো হবে, সম্ভাবনা কতটা হবে কোর্সের জন্য দুটি বিভাগ হতে?

সমাধান: পইসন বিতরণ অনুসরণ করে সঠিক সমাধানটি হবে

e ^ {- 100} \ যোগ_ {i = 120} ^ {\ infty} rac frac {(100) ^ {i}} {i!

যা অবশ্যই নির্দিষ্ট সংখ্যার মান দেয় না, যদি আমরা শিক্ষার্থীদের ভর্তি হিসাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স হিসাবে বিবেচনা করি তবে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

P \ {X \ geq 120 \} = পি \ {এক্স \ কংগ্রেস 119.5 \

যা হতে পারে

\ শুরু} অ্যারে} {l} = পি \ বাম \ {\ frac {X-100} {q sqrt {100}} q geq \ frac {119.5-100} {q sqrt {100}} \ ডান \} \\ 1 প্রায় 1.95- \ ফি (0.0256) \ XNUMX প্রায় XNUMX \ শেষ {অ্যারে}

যা সাংখ্যিক মান।

৩. 3 এবং 30 সহ 40 এবং 30 এর মধ্যে যখন রোল করা হয় তখন দশজনের যোগফলের যোগফলের সম্ভাবনা গণনা করুন?

সমাধান: এখানে ডাই হিসাবে এক্স হিসাবে বিবেচনা করা হচ্ছেi দশটি মানের জন্য গড় এবং বৈকল্পিকতা হবে

E\left(X_{i}\right)=\frac{7}{2}, \quad \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=E\left[X_{i}^{2}\right]-\left(E\left[X_{i}\right]\right)^{2}=\frac{35}{12}

এইভাবে অনুসরণ কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আমরা লিখতে পারি

\ শুরু {সারিবদ্ধ} পি [২৯.৫ \ লেক এক্স \ লেক ৪০.৫ ডিগ্রি} & = পি \ বাম \ {\ frac {29.5-40.5} {q স্ক্রিত {rac frac {29.5} {35}}} q লেক \ ফ্র্যাক {এক্স -350 {{q বর্গফুট \ frac {12} {35}}} \ leq \ frac {350-12} {q স্কয়ার্ট \ frac {40.5} {35}}} \ ডান \} \\ & \ প্রায় 350 Hi ফি (12) -2 \\ & \ প্রায় 1.0184 \ শেষ igned সারিবদ্ধ}

যা প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা।

৪. অভিন্ন বিতরণকারী স্বাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর জন্যi বিরতিতে (0,1) সম্ভাব্যতার সীমাবদ্ধতা কী হবে

পি \ বাম \ {\ যোগ_ {i = 1} ^ {10} X_ {i}> 6 \ ডান \

সমাধান: ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে আমরা জানি যে গড় এবং বৈচিত্র হবে

E \ বাম [X_ {i} \ ডান] = \ frac {1} {2} \ ক্বোয়াড \ অপেরাটর্নাম {ভার} \ বাম (X_ {i} \ ডান) = \ frac {1} {12}

এখন ব্যবহার কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আমরা পারি

\ শুরু {সারিবদ্ধ} পি \ বাম \ {\ সম_ {1} ^ {10} X_ {i}> 6 \ ডান \} & = পি \ বাম \ {\ frac {\ যোগ_ {1} ^ {10} X_ { i} -5} {\ sqrt {10 \ বাম (\ frac {1} {12} \ ডান)}}> \ frac {6-5} {q srrt {10 \ বাম (\ frac {1} {12} \ ডান)}} \ ডান \} \\ & \ প্রায় 1- \ ফাই (\ বর্গ {1.2 {) \\ & 0.1367 প্রায় XNUMX \ শেষ {সারিবদ্ধ}

সুতরাং এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল হবে 14 শতাংশ।

৫. গ্রেড দেওয়ার পরীক্ষার মূল্যায়নের জন্য সম্ভাব্যতাটি খুঁজে বের করুন 5 পরীক্ষায় 25 মিনিট শুরু হবে যখন 450 টি পরীক্ষা রয়েছে যার গ্রেডিং সময় গড় 50 মিনিট এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 20 মিনিটের সাথে স্বতন্ত্র থাকে।

সমাধান: এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স দ্বারা পরীক্ষার গ্রেড দেওয়ার সময় বিবেচনা করুনi সুতরাং এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স হবে X

এক্স = \ যোগ_ {i = 1} ^ {25} এক্স_ {আমি

যেহেতু 25 পরীক্ষার জন্য এই টাস্কটি 450 মিনিটের সাথে সাথে চলছে

পি {{এক্স \ লেক 450 \

E[X]=\sum_{i=1}^{25} E\left[X_{i}\right]=25(20)=500

\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{25}\\  \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=25(16)=400

এখানে ব্যবহার করে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য

\ শুরু {সারিবদ্ধ} পি [এক্স \ লেক 450 \} & = পি \ বামে (\ frac {X-500} {q sqrt {400}} \ q leq \ frac {450-500 {\ q স্ক্রিট {400}} \ ডান) \\ & x আনুমানিক পি (জেড q লেক -২.\ \} \\ & = পি (জেড \ জেক 2.5. 2.5 \} \\ & = 1- \ ফি (2.5) = 0.006 \ শেষ igned সারিবদ্ধ}

যা প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা।

স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য

ক্রমটির জন্য যা অভিন্নরূপে বিতরণ করা হয়নি তবে स्वतंत्र এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স রয়েছে1,X2, ……। যার প্রত্যেকটির গড় mean এবং বৈচিত্র রয়েছে σ2 এটি সন্তুষ্ট প্রদান

  1. প্রতিটি এক্সi সমানভাবে আবদ্ধ
  2. তারতম্যের যোগফল তখন অসীম

পি \ বাম \ {\ frac {\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} \ বাম (X_ {i} - \ mu_ {i} \ ডান)} {\ sqrt {\ যোগ_ {i = 1} ^ {n ig ig সিগমা_ {i} ^ {2}}} \ সিমিক এ \ রাইট \} \ র্যাটারো \ ফাই (ক) \ কোয়াড \ পাঠ্য {হিসাবে} n \ রাইটারো \ ইনটি

বড় সংখ্যাগুলির শক্তিশালী আইন

বৃহত সংখ্যার শক্তিশালী আইন সম্ভাবনা তত্ত্বের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা বলে যে সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমের গড়পড়তা সম্ভবত সেই একই বন্টনের গড়তে রূপান্তরিত করবে

বিবৃতি: অভিন্ন বিতরণ এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্রম জন্য1,X2, ……। যার প্রত্যেকটিরই সীমাবদ্ধতার অর্থ সম্ভাবনার পরে এক

rac frac {X_ {1} + X_ {2} + \ সিডটস + এক্স_ {n} {{n \ \ রেকারো \ মিউ \ কোয়াড \ পাঠ্য {হিসাবে} \ কোয়াড এন \ রাইটারো \ ইনফটি ^ {ag ড্যাজার}

প্রুফ: এটিকে এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যেকটির গড় বিবেচনা করে প্রমাণ করার জন্য এটি শূন্য এবং সিরিজ

S_ {n} = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} এক্স_ {i

এখন এই হিসাবে এই শক্তি বিবেচনা

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [S_ {n} ^ {4} \ ডান] = এবং ই \ বাম [\ বাম (X_ {1} + \ সিডটস + এক্স_ {n} \ ডান) \ বাম (X_ {1 } + \ সিডটস + এক্স_ {n} \ ডান) \ রাইট। \\ & \ বাম। \ বার \ বাম (X_ {1} + \ সিডটস + এক্স_ {n} \ ডান) \ বাম (X_ {1} + \ সিডটস + এক্স_ {n} \ ডান) \ ডান] \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

ডান হাতের শর্তগুলির সম্প্রসারণের পরে আমাদের ফর্মের শর্তাদি রয়েছে

এক্স_ {i} ^ {4}, \ কোয়াড এক্স_ {আই} ^ {3} এক্স_ {জ}, \ কোয়াড এক্স_ {আই} ^ {2} এক্স_ {জে ^ {2}, \ কোয়াড এক্স_ {আই} ^ {2} এক্স_ {জে} এক্স_ {কে}, \ কোয়াড \ কোয়াড এক্স_ {আই} এক্স_ {জ} এক্স_ {কে} এক্স_ {l

যেহেতু এগুলি স্বতন্ত্র রয়েছে তাই এর মধ্যস্থতা হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [X_ {i} ^ {{3} X_ {j} \ ডান] এবং = E \ বাম [X_ {i} ^ {3} \ ডান] E \ বাম [X_ {j} \ ডান] = 0 \\ ই \ বাম [X_ {i} ^ {2} X_ {j} X_ {k} \ ডান] এবং = ই \ বাম [X_ {i} ^ {2} \ ডান] E \ বাম [ X_ {j} \ ডান] E \ বাম [X_ {k} \ ডান] = 0 \\ E \ বাম [X_ {i} X_ {j} X_ {k} X_ {l} \ ডান]] এবং = 0 \\ \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এই জুটির সাহায্যে এই সিরিজের সম্প্রসারণ হবে এখন

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [S_ {n} ^ {4} \ ডান] এবং = n ই \ বাম [X_ {i} ^ 4} \ ডান] +6 \ বাম (\ আরম্ভ {অ্যারে} {l } n \\ 2 \ শেষ {অ্যারে} \ ডান) E \ বাম [X_ {i} ^ {2} X_ {জে ^ {2} \ ডান] \\ & = n কে + 3 এন (এন -1) E \ বাম [X_ {i} ^ {2} \ ডান] E \ বাম [X_ {j} ^ {2} \ ডান] \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

থেকে

0 \leq \operatorname{Var}\left(X_{i}^{2}\right)=E\left[X_{i}^{4}\right]-\left(E\left[X_{i}^{2}\right]\right)^{2}

so

\ বাম (E \ বাম [X_ {i} ^ {2} \ ডান] \ ডান) ^ {2} q লেক ই \ বাম [X_ {i} ^ {4} \ ডান]] কে

আমরা পেতে

ই \ বাম [S_ {n} ^ {4} \ ডান] \ লেক এন কে + 3 এন (এন -1) কে

এটি অসমতার পরামর্শ দেয়

E \ বাম [\ frac {S_ {n} ^ {4}} {n ^ {4}} \ ডান] \ লেক \ frac {K} {n ^ {3}} + rac frac {3 কে} {n ^ {2}}

অত: পর

E\left[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} E\left[\frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]<\infty

প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা একের পর থেকে সিরিজের একত্রিত হয়ে

\ লিম _ {n \ রাইটারো \ ইনফটি} \ ফ্র্যাক {এস_ {এন} ^ {4}} {n ^ {4}} = 0

থেকে

rac frac {S_ {n}} {n} \ রাইটারো 0 \ কোয়াড \ পাঠ্য {হিসাবে} \ কোয়াড এন \ র্যাটারো \ ইনফটি

প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় যদি শূন্যের সমান না হয় তবে বিচ্যুতি এবং সম্ভাবনার সাথে আমরা এটি লিখতে পারি

\ লিম _ {n \ র্যাটারো \ ইনফটি} \ সম_ {i = 1} ^ {n} rac frac {\ বাম (X_ {i} - \ মিউ \ ডান)} {n} = 0

or

\ লিম _ {n \ রাইটারো \ ইনফটি} \ সম_ {i = 1} ^ {n} rac frac {X_ {i}} {n} = \ মিউ

যা ফলাফল প্রয়োজন।

একতরফা চেবিশেভ অসাম্য

গড়> শূন্য এবং সীমাবদ্ধ ভেরিয়েন্স সহ এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্সের জন্য একতরফা চেবিশেভ বৈষম্য যদি>> 0 হয়

চেবিশেভের বৈষম্য
চেবিশেভ বৈষম্য

এটিকে বি> 0 এর জন্য বিবেচনা করে প্রমাণ করার জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স হিসাবে দেওয়া হোক

X \ geq a \ পাঠ্য}} X + b \ geq a + b এর সমতুল্য

যা দেয়

পি [এক্স \ গেক এ] = পি [এক্স + বি \ গিক এ + বি] \\ \ লেক পি [(এক্স + বি) ^ {2} \ গেক (এ + বি) ^ {2}]

সুতরাং ব্যবহার করে মার্কভের বৈষম্য

চেবিশেভের বৈষম্য
একপেশে চেবিশেভ

যা প্রয়োজনীয় বৈষম্য দেয়। গড় এবং বৈচিত্রের জন্য আমরা এটি লিখতে পারি

পি (এক্স- \ মিউ \ গিক এ এ}} q লেক \ ফ্র্যাক {ig সিগমা ^ {2}} {\ সিগমা ^ {2} + এ ^ {2}} \\ পি (\ মিউ-এক্স \ গিক এ \} q লেক \ ফ্র্যাক {\ সিগমা ^ {2}} {\ সিগমা ^ {2} + এ {{2}

এটি আরও হিসাবে লেখা যেতে পারে

\ শুরু {অ্যারে} {l} পি (এক্স \ গেক \ মি + অ \} q লেক \ ফ্র্যাক {\ সিগমা {{2}} {{ig সিগমা {{2} + এ {{2}} \\ পি \ { এক্স \ লেক \ মিউ-এ \} q লেক \ ফ্র্যাক {ig সিগমা {{2}} {\ সিগমা {{2} + এ ^ {2}} \ এন্ড {অ্যারে}

উদাহরণ:

সম্ভাব্যতার উপরের সীমাটি সন্ধান করুন যে এলোমেলোভাবে বিতরণ করা সংস্থার উত্পাদন কমপক্ষে 120 হবে, যদি এই নির্দিষ্ট সংস্থার উত্পাদনের গড় অর্থ 100 এবং বৈকল্পিক 400 হয়।

সমাধান:

একতরফা ব্যবহার করে চেবিশেভ অসমতা

পি {{এক্স \ জেক 120 \} = পি (এক্স-100 \ গিক 20 \} q লেক \ ফ্র্যাক {400} {400+ (20) {{2}} = \ ফ্র্যাক {1} {2}

সুতরাং এটি এক সপ্তাহের মধ্যে উত্পাদনের সম্ভাব্যতা দেয় কমপক্ষে 120 টি 1/2 হয়, এখন ব্যবহারের মাধ্যমে এই সম্ভাবনার সীমাবদ্ধতা পাওয়া যাবে মার্কভের বৈষম্য

পি [এক্স \ গেক 120 \} \ লেক \ ফ্র্যাক {ই (এক্স) {{120} = \ ফ্র্যাক {5} {6

যা সম্ভাবনার পক্ষে উপরের সীমাটি দেখায়।

উদাহরণ:

দুই শতাধিক পুরুষের সমন্বয়ে শত শত জোড় নেওয়া হয়েছে এবং শত শত মহিলা এই সম্ভাবনার উপরের সীমাটি খুঁজে পান যে প্রায় তিরিশ জোড়ায় একজন পুরুষ এবং একজন মহিলা থাকবে।

সমাধান:

এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সi as

X_ {i} = \ বাম \ {\ শুরু {অ্যারে} l ll} 1 & \ পাঠ্য man যদি কোনও পুরুষ আমি কোনও মহিলার সাথে জুটিবদ্ধ হয় {\\ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায়। \ শেষ {অ্যারে} \ ডান।

তাই জুটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

এক্স = \ যোগ_ {i = 1} ^ {100} এক্স_ {আমি

যেহেতু প্রত্যেক পুরুষই সমানভাবে অবশিষ্ট লোকের সাথে জুটি বাঁধার সম্ভাবনা থাকতে পারে যেখানে শত জন নারী তাই বোধগম্য

E \ বাম [X_ {i} \ ডান] = পি \ বাম \ {X_ {i} = 1 \ ডান \} = \ frac {100} {199}

একইভাবে যদি i এবং j সমান না হয়

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [X_ {i} X_ {j} \ ডান] এবং = পি \ বাম \ {X_ {i} = 1, X_ {j} = 1 \ ডান \} \\ & = পি \ বাম \ {X_ {i} = 1 \ ডান \} পি \ বাম [X_ {j} = 1 \ মাঝের এক্স_ {i} = 1 \ ডান \} = \ frac {100} {199} rac frac {99} { 197} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

as

পি \ বাম \ {X_ {j} = 1 \ মাঝের এক্স_ {i} = 1 \ ডান \} = 99/197

সুতরাং আমরা আছে

শুরু {সারিবদ্ধ} ই [এক্স] এবং = \ যোগ_ {i = 1} ^ {100} ই \ বাম [X_ {i} \ ডান] \\ & = (100) rac frac {100} {199} \\ & & 50.25 প্রায় 1 \\ \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) & = \ যোগ_ {i = 100} ^ {2} \ অপেরাটর্নাম {ভার} \ বাম (X_ {i} \ ডান) +100 \ যোগ_ {i

ব্যবহার করে চেবিশেভ বৈষম্য

পি {{এক্স \ লেক 30 \} \ লেক পি \ {| এক্স -50.25 | q geq 20.25}} q leq \ frac {25.126} {(20.25) {{2}} \ প্রায় 0.061

যা জানিয়েছে যে মহিলাদের সাথে 30 জন পুরুষের জুটি বাঁধার সম্ভাবনা ছয়টিরও কম, সুতরাং আমরা ব্যবহার করে আবদ্ধ করতে পারি একতরফা চেবশেভ বৈষম্য

\ শুরু {সারিবদ্ধ} পি [এক্স \ লেক 30 \} & = পি [এক্স \ লেক 50.25-20.25 \ রেঙ্গেল \\ & \ লেক \ frac rac 25.126} {25.126+ (20.25)) {2}} \\ & \ প্রায়, 0.058 \ শেষ {সারিবদ্ধ}

চেরনফ বাউন্ড

যদি মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটি ইতিমধ্যে জানা থাকে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} পি [এক্স \ গেক আ \} & = পি \ বাম (ই ^ {{ll এল এক্স} \ গেক ই ^ {\ ডাউনআরো একটি} \ ডান) \\ & \ লেক ই \ বাম [ই ^ { t এক্স} \ ডান] ই ^ {- টা} \ এন্ড {সারিবদ্ধ}

as

এম (টি) = ই \ বাম [ই ^ {এলএক্স} \ ডান]

একইভাবে আমরা টি <0 হিসাবে লিখতে পারি

\ শুরু {সারিবদ্ধ} পি \ {এক্স \ লেক এ \} এবং = পি \ বাম \ {ই ^ {আইএক্স} \ গেক ই ^ {[\ আলফা} \ ডান \} \\ & q লেইক ই \ বাম [ই ^ X t এক্স} \ ডান] ই ^ {- ট} \ এন্ড {সারিবদ্ধ}

সুতরাং চেরনফ বাউন্ড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

\ শুরু {অ্যারে} {ll} P \ {X \ geq a \} q লেইক ই ^ {- f \ টাউ au এম (টি) এবং \ পাঠ্য all সকলের জন্য} t> 0 \\ পি \ {এক্স \ লেক এ all} \ লেক ই ^ {- \ পাই \ তাউ} এম (টি) এবং \ পাঠ্য all সকলের জন্য <t <0 \ শেষ {অ্যারে}

এই বৈষম্য হ'ল ধনাত্মক বা নেতিবাচক সকল মানকেই বোঝায়।

চেরনফ স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ

চেরনফ স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ যার মুহুর্ত উত্পন্নকরণের কার্য

এম (টি) = ই {{ই ^ {2} / 2}

is

P \ {Z \ geq a \ rangle \ leq e ^ {- তা} ই ^ {{t ^ {2} / 2} \ কোয়াড \ পাঠ্য {সকলের জন্য \ \ কোয়াড t> 0

সুতরাং এই অসমতা এবং ডানদিকে শক্তি শর্তগুলি হ্রাস করা একটি> 0 এর জন্য দেয়

পি {{জেড \ গেক আ \} \ সিমিক ই ^ {- mb ল্যাম্বদা ^ {2} / 2}

এবং একটি <0 এর জন্য এটি

P \ {Z \ leq a \} q leqq e ^ {- \ আলফা ^ {2} / 2}

চেরনফ পইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ

চেরনফ পয়সন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ যার মুহুর্ত উত্পন্নকরণের কাজ

এম (টি) = ই ^ {\ ল্যাম্বদা \ বাম (ই ^ {\ প্রাইম} -1 \ ডান)}

is

P {{X \ geq i \} \ leq e ^ {\ lambda \ বাম (e ^ {t} -1 \ ডান)} e ^ {- এটি} \ কোয়াড t> 0

সুতরাং এই অসমতা এবং ডানদিকে শক্তি শর্তগুলি হ্রাস করা একটি> 0 এর জন্য দেয়

পি {{এক্স \ গেক আই আই \} \ লেক ই ^ {\ ল্যাম্বদা \ ওমেগা / \ ল্যাম্বদা -১) \ \ বাম (\ frac {\ ল্যাম্বদা} {আমি} \ ডান)

এবং এটা হবে

P \ {X \ geq i \} q leq \ frac {e ^ {- 2} (e \ ল্যাম্বদা) ^ {i}} {l ^ {i}

চেরনফ বাউন্ডে উদাহরণ

একটি খেলায় যদি কোনও খেলোয়াড় অতীতের কোনও স্কোরের তুলনায় স্বাধীনভাবে খেলা জিততে বা হারাতে পারে তবে সম্ভাবনার জন্য চেরনফ আবদ্ধ

সমাধান: এক্সi প্লেয়ারের বিজয় চিহ্নিত করুন তবে সম্ভাবনাটি হবে

পি \ বাম \ {X_ {i} = 1 \ ডান \} = পি \ বাম \ {X_ {i} = - 1 \ ডান \} = \ frac {1} {2}

এন নাটকের ক্রম জন্য

S_ {n} = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} এক্স_ {i

সুতরাং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন হবে

ই \ বাম [ই ^ {\ ll এল এক্স} \ ডান] = \ ফ্র্যাক {ই ^ {টি} + ই ^ {- টি}} {2}

সূচকীয় পদগুলির বিস্তৃতি ব্যবহার করে এখানে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} ই ^ {আমি} + ই ^ {- এল} এবং = 1 + টি + \ ফ্রে্যাক {টি ^ {2}} {2!} + \ ফ্র্যাক {টি ^ {3}} {3!} + \ সিডটস + \ বাম (1-t + rac frac {t ^ {2}} {2!} - rac frac {t ^ {3}} {3!} + \ সিডটস \ ডান) \\ & = 2 \ বাম \ { 1+ \ frac {t ^ {2}} {2!} + \ Frac {t ^ {4}} {4!} + D সিডটস \ ডান \} \\ & = 2 \ যোগ_ {n = 0} ^ { \ infty} \ frac {t ^ {2 n}} {(2 n)!} \\ & ime simeq 2 \ Sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ বাম (t ^ {2} / 2 \ ডান) ^ {n}} {n!} \ কোয়াড \ অপেরাটর্নাম {যেহেতু} (2 এন)! q geq এন! 2 ^ {n} \\ & = 2 ই ^ {t ^ {2} / 2} \ এন্ড {সারিবদ্ধ}

তাহলে আমাদের আছে

ই \ বাম [ই ^ {টি এক্স এক্স} \ ডান] \ গেক ই ^ {টি টি {{2} / 2}

এখন মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এর সম্পত্তি প্রয়োগ

\ আরম্ভ {সারিবদ্ধ} E \ বাম [ই ^ {\ ম্যাথকল {এস} _ {n}} \ ডান]] এবং = \ বাম (E \ বাম [ই \ {এলএক্স} \ ডান] \ ডান) ^ {n} \ \ & q লেক ই {{n ^ {2} / 2} \ এন্ড {সারিবদ্ধ}

এটি বৈষম্য দেয়

পি \ বাম \ {S_ {n} \ geq a \ ডান \} q লেক ই ^ {- \ আলফা ^ {2} / 2 এন} \ কোয়াড এ> 0

অত: পর

পি \ বাম \ {এস_ {10} \ গিগ 6 \ ডান \} \ লেক ই ^ {- 36/20} \ প্রায় 0.1653

উপসংহার:

বিপুল সংখ্যক ব্যক্তির জন্য বৈষম্য এবং সীমাবদ্ধ উপপাদ্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছিল এবং সম্ভাবনার সীমাবদ্ধতার ন্যায্য উদাহরণগুলিও ধারণাটির আভাস পাওয়ার জন্য নেওয়া হয়েছিল, এছাড়াও সাধারণ, পোয়েসন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং মুহুর্ত তৈরির কার্যকারিতা প্রদর্শনের জন্য নেওয়া হয় ধারণাটি সহজেই, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় নীচের বইগুলি বা সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত আরও নিবন্ধের জন্য, দয়া করে আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠাগুলি.

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

চেবিশেভের বৈষম্য এবং কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য | 10+ সমালোচনামূলক উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X