শর্তাধীন বিতরণ | এটির 5 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

শর্তাধীন বিতরণ

   বিতরণের শর্তসাপেক্ষ ক্ষেত্রে আলোচনা করা খুব আকর্ষণীয় যখন দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি বিতরণকে পরস্পরকে সন্তুষ্ট করে অনুসরণ করে, আমরা প্রথমে সংক্ষেপে এলোমেলো ভেরিয়েবল, বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন উভয় ক্ষেত্রে শর্তসাপেক্ষ বিতরণ দেখতে পাই তারপরে আমরা কিছু পূর্বশর্ত অধ্যয়ন করার পরে যার দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করি শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা

স্বতন্ত্র শর্তযুক্ত বিতরণ

     যৌথ বিতরণে যৌথ সম্ভাব্যতা ভর ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে আমরা বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের শর্তাধীন সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে এক্স এর জন্য শর্তাধীন সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা গণ ফাংশন সহ বিতরণ হিসাবে

p_ {X | Y} (x | y) = P \ বাম {X = x | Y = y \ ডান}

= \ frac {P \ বাম {X = x, Y = y \ ডান}} {পি \ বাম {Y = y \ ডান}

= \ frac {p (x, y)} {p_ {Y} (y)}

প্রদত্ত ডিনোমিনেটর সম্ভাবনা শূন্যের চেয়ে বেশি হয়, একইভাবে আমরা এটি লিখতে পারি

F_ {X | Y} (x | y) = P \ বাম {X \ লেক x | Y \ লেক y \ ডান}

= \ যোগ_ {আ q লেক এক্স} পি_ {এক্স | ওয়াই} (ক | ওয়াই)

যৌথ সম্ভাবনার ক্ষেত্রে যদি এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় তবে এটি রূপান্তরিত হবে

p_ {X | Y} (x | y) = P \ বাম {X = x | Y = y \ ডান}

= \ frac {P \ বাম {X = x, Y = y \ ডান}} {পি \ বাম {Y = y \ ডান}

= পি \ বাম {এক্স = এক্স \ ডান}

সুতরাং পৃথক শর্তসাপেক্ষ বিতরণ বা শর্তযুক্ত বিতরণ জন্য পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স দেওয়া ওয়াই প্রদত্ত এক্স এর জন্য একইভাবে একইভাবে উপরিউক্ত সম্ভাবনা ভর ফাংশন সহ এলোমেলো পরিবর্তনশীল ine

পৃথক শর্তাধীন বিতরণ উদাহরণ

  1. Y এবং 1 প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনটি সন্ধান করুন, যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথ সম্ভাবনা ভর ফাংশন হিসাবে কিছু মান থাকে

পি (0,0) = 0.4, পি (0,1) = 0.2, পি (1,0) = 0.1, পি (1,1) = 0.3

এখন প্রথমে আমাদের ওয়াই = 1 এর জন্য

p_{Y}(1)=\sum_{x}p(x,1)=p(0,1)+p(1,1)=0.5

সম্ভাবনা ভর ফাংশন সংজ্ঞা ব্যবহার করে

p_ {X | Y} (x | y) = P \ বাম {X = x | Y = y \ ডান}

= \ frac {P \ বাম {X = x, Y = y \ ডান}} {পি \ বাম {Y = y \ ডান}

= \ frac {p (x, y)} {p_ {Y} (y)}

আমাদের আছে

p_{X|Y}(0|1)=\frac{p(0,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{2}{5}

এবং

p_{X|Y}(1|1)=\frac{p(1,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{3}{5}

  • এক্স প্রদত্ত এক্স + ওয়াই = এন এর শর্তযুক্ত বিতরণ পান যেখানে এক্স এবং ওয়াই প্যারামিটার সহ পোইসন বিতরণ λ1 এবং λ2 এবং এক্স এবং ওয়াই স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

যেহেতু এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র, সুতরাং শর্তসাপেক্ষ বিতরণে সম্ভাব্যতা গণ ফাংশন থাকবে

পি \ বাম {এক্স = কে | এক্স + ওয়াই = এন \ ডান} = \ ফ্রাক {পি \ বাম {এক্স = কে, এক্স + ওয়াই = এন \ ডান}} {পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = n \ ডান} }

= \ frac {P \ বাম {এক্স = কে, এক্স = এন-কে \ ডান}} {পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = এন \ ডান}

= \ frac {P \ বাম {এক্স = কে \ ডান} পি \ বাম {ওয়াই = এন কে \ ডান}} {পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = এন \ ডান}}

পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলটি আবার পিসন

পি \ বাম {এক্স = কে | এক্স + ওয়াই = এন \ ডান} = \ ফ্র্যাক {ই ^ {- \ ল্যাম্বদা {1}} \ ল্যাম্বদা {1} ^ {কে}} {কে!} Rac ফ্রেচ {ই ^ { - mb ল্যাম্বদা_ {2} ^ {}} \ ল্যাম্বদা {2} ^ k এন কে}} {(এন কে)!} \ বাম [\ ফ্রেক {ই ^ {- ( mb ল্যাম্বদা {1} + \ লাম্বদা {2})} (\ ল্যাম্বদা {1} + mb ল্যাম্বদা _ {2}) ^ {n}} {n!} \ ডান] ^ {- 1}

= rac frac {n!} {(এন কে)! কে!} rac frac {\ ল্যাম্বদা {1} ^ {কে} \ ল্যাম্বদা {2} ^ {এন কে}} {(mb ল্যাম্বদা {1} + \ ল্যাম্বদা {2} ) ^ {n}

= \ বিনোম {n} {কে} \ বাম (\ frac {\ ল্যাম্বদা {1}} {\ লাম্বদা {1} + mb ল্যাম্বদা {2}} \ ডানদিকে) {{কে} \ বাম (\ ফ্রেক {\ ল্যাম্বদা { 2}} {\ ল্যাম্বদা {1} + \ ল্যাম্বদা {2}} \ ডান) ^ {nk

সুতরাং উপরোক্ত সম্ভাব্যতা গণ ফাংশন সহ শর্তসাপেক্ষ বিতরণ এই জাতীয় পোয়েসন বিতরণের জন্য শর্তযুক্ত বিতরণ হবে। উপরোক্ত ক্ষেত্রে দুটিরও বেশি এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য সাধারণীকরণ করা যায়।

অবিচ্ছিন্ন শর্তাধীন বিতরণ

   ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত y প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্সের অবিচ্ছিন্ন শর্তাধীন বিতরণ হ'ল সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন বিতরণ

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

ডিনোমিনেটর ঘনত্ব শূন্যের চেয়ে বড়, যা অবিচ্ছিন্ন ঘনত্বের কার্যকারিতা

f_ {X | Y} (x | y) dx = \ frac {f (x, y) dxdy} {f_ {Y} (y) dy

x প্রায় \ frac {P \ বাম {x \ লেক এক্স \ লেক এক্স + ডিএক্স, ওয়াই q লেক ওয়াই q লেক ই + ডিআই y ডান}} {পি \ বাম {ই \ লেক ওয়াই \ লেক ই + ডাই y ডান}}

= পি \ বাম {x \ লেক এক্স \ লেক এক্স + ডিএক্স | ওয়াই \ লেক ওয়াই \ লেক ই + ডাই \ ডান}

সুতরাং এই জাতীয় শর্তাধীন ঘনত্ব ফাংশন জন্য সম্ভাবনা

এ | ওয়াই = y \ ডান \ = \ ইন্ট_ {এ} এফ_ {এক্স | ওয়াই} (এক্স | ওয়াই) ডেক্সে পি \ বাম {এক্স \

পৃথকভাবে যেমন এক্স এবং ওয়াই অবিচ্ছিন্নভাবে স্বাধীন হয় তবে একইভাবে

f_ {X | Y} (x | y) dx = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)} = \ frac {f_ {X} (x) f_ {Y} (y) } {f_ {Y} (y)} = f_ {এক্স} (এক্স)

এবং অতঃপর

rac frac {P \ বাম {x <X <x + dx | N = n \ ডান}} {dx} = \ frac {পি \ বাম {N = n | x <x <x + dx \ ডান}} {পি \ বাম {N = n \ ডান}} \ frac {P \ বাম {x <এক্স <এক্স <x + ডিএক্স \ ডান} {{dx

\ lim_ {dx \ থেকে 0} rac frac {P \ বাম {x <X <x + dx | N = n \ ডান}} {dx} = \ frac {পি \ বাম {এন = এন | এক্স = এক্স \ ডান }} {পি \ বাম {N = n \ ডান}} চ (এক্স)

সুতরাং আমরা এটি লিখতে পারেন

f_ {X | N} (x | n) = \ frac {P \ বাম {N = n | এক্স = x \ ডান}} {পি \ বাম {N = n \ ডান}} f (এক্স)

অবিচ্ছিন্ন শর্তাধীন বিতরণের উপর উদাহরণ

  1. Y প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশন গণনা করুন যদি খোলা অন্তর (0,1) সহ যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দেওয়া হয়

f (x, y) = \ শুরু {কেস} \ frac {12} {5} x (2-xy) \ \ 0 <x <1, \ \ 0 <y <1 \\ \ \ 0 \ \ \ \ \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

যদি (0,1) এর মধ্যে Y দেওয়া র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য হয় তবে আমাদের উপরের ঘনত্বের ফাংশনটি ব্যবহার করে

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

= rac frac {f (x, y)} {\ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} f (x, y) dx}

= \ frac {x (2-xy)} {\ int_ {0} ^ {1} x (2-xy) dx}

= \ frac {x (2-xy)} {\ frac {2} {3} - rac frac {y} {2}

= rac frac {6x (2-xy) {{4-3y}

  • শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা গণনা করুন

পি \ বাম {এক্স> 1 | ওয়াই = ওয়াই \ ডান}

যদি যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়

f (x, y) = \ শুরু {কেস} \ frac {e ^ {- rac frac {x} {y}} e ^ {- y}} {y} \ \ 0 <x <\ infty, \ \ 0 <y <\ infty \\ \ \ 0 \ \ \ \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনাটি খুঁজতে প্রথমে আমাদের শর্তযুক্ত ঘনত্ব ফাংশন প্রয়োজন তাই সংজ্ঞা অনুসারে এটি হবে

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

= \ frac {e ^ {- x / y} e ^ {- y} / y} {e ^ {- y} \ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y } dx

= \ frac {1} {y} e ^ {- x / y}

সম্ভাব্যতার মধ্যে এখন এই ঘনত্ব ফাংশনটি ব্যবহার করুন শর্তাধীন সম্ভাবনা is

পি \ বাম {এক্স> 1 | ওয়াই = ওয়াই \ ডান} = \ ইনট_ {1} ^ {\ ইনফটি} \ ফ্র্যাক {1} {ই} ই ^ {- এক্স / ওয়াই} ডেক্স

= ই ^ {- এক্স / ওয়াই} vert লিভার্ট_ {1} ^ {\ ইনফটি}

= ই ^ {- 1 / y}

বিভারিয়েট সাধারণ বিতরণের শর্তসাপেক্ষ বিতরণ

  আমরা জানি যে প্যারামিটারগুলির যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্যকারিতা হওয়ায় স্বতন্ত্র উপায়গুলি এবং প্রকরণগুলির সাথে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের বিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণ

শর্তাধীন বিতরণ
বিভারিয়েট সাধারণ বিতরণের শর্তসাপেক্ষ বিতরণ

সুতরাং এক্স প্রদত্ত ওয়াইয়ের জন্য এই জাতীয় দ্বিগুণ স্বাভাবিক বিতরণের জন্য শর্তাধীন বিতরণটি নির্ধারিত র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তাধীন ঘনত্ব ফাংশন এবং আমাদের উপরের যৌথ ঘনত্বের ক্রিয়াটি অনুসরণ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়

শর্তাধীন বিতরণ
বিভারিয়েট সাধারণ বিতরণের শর্তসাপেক্ষ বিতরণ

এটি পর্যবেক্ষণ করে আমরা বলতে পারি যে এটি সাধারণত গড় হিসাবে বিতরণ করা হয়

\ বাম (\ mu {x} + \ rh \ frac {\ সিগমা {x}} {ig সিগমা {Y}} (y- \ mu {y}) \ ডান)

এবং বৈকল্পিক

\ সিগমা _ {x} ^ {2} (1- \ rho ^ {2})

ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত ওয়াইড প্রদত্ত এক্স এর জন্য শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশনটি এক্স এর পরামিতিগুলির অবস্থানগুলি কেবল ওয়াই এর সাথে বিনিময় করবে,

এক্সের প্রান্তিক ঘনত্বের ক্রিয়াটি আমরা ধ্রুবকের মান ব্যবহার করে উপরের শর্তাধীন ঘনত্ব ফাংশন থেকে পেতে পারি

শর্তাধীন বিতরণ
বিভারিয়েট সাধারণ বিতরণের শর্তসাপেক্ষ বিতরণ

আসুন আমরা অবিচ্ছেদ্য মধ্যে বিকল্প

w = \ frac {y- \ mu {y}} {\ sigma {y}}

ঘনত্বের কাজটি এখন হবে now

মোট মান যেহেতু

সম্ভাবনার সংজ্ঞা অনুসারে এখন ঘনত্বের কার্যটি হবে

এটি প্যারামিটার হিসাবে স্বাভাবিক গড় এবং বৈকল্পিক সহ এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর ঘনত্ব ফাংশন ছাড়া কিছুই নয়।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রিয়াকলাপের যৌথ সম্ভাবনা বিতরণ

  এখন পর্যন্ত আমরা দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যৌথ সম্ভাব্যতা বন্টন জানি, এখন আমাদের যদি এ জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির ফাংশন থাকে তবে সেই ফাংশনগুলির যৌথ সম্ভাব্যতা বন্টন কী হবে, ঘনত্ব এবং বন্টন কার্য কীভাবে গণনা করতে হবে কারণ আমাদের বাস্তব জীবনের পরিস্থিতি যেখানে আমাদের রয়েছে এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশন রয়েছে,

যদি Y1 এবং Y2 এক্স এর এলোমেলো ভেরিয়েবল এর কাজ1 এবং এক্স2 যথাক্রমে যা যৌথভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় তবে এই দুটি ফাংশনের যৌথ ধারাবাহিক ঘনত্বের ক্রিয়া হবে

f_{Y_{1}Y_{2}}(y_{1}y_{2})=fX_{1}X_{2}(x_{1},x_{2})|J(x_{1},x_{2})|^{-1}

কোথায় জ্যাকবিয়ান

জে (x_ {1}, x_ {2}) = \ শুরু {ভম্যাট্রিক্স \ rac frac {tial আংশিক g_1} {tial আংশিক x_1} & \ frac {tial আংশিক g_1} {tial আংশিক x_2} \ \ \\ \ frac { tial আংশিক g_2} {\ আংশিক x_1} & \ frac {tial আংশিক g_2} {tial আংশিক x_2} \ শেষ {ভম্যাট্রিক্স \ \ সমতুল্য \ frac {tial আংশিক g_1} {tial আংশিক x_1} \ frac {tial আংশিক g_2 আংশিক x_2} - rac frac {tial আংশিক g_1} {tial আংশিক x_2} rac frac {tial আংশিক g_2} {\ আংশিক x_1} \ neq 0

এবং Y1 =g1 (X1, এক্স2) এবং ওয়াই2 =g2 (X1, এক্স2) কিছু ফাংশনের জন্য জি1 এবং জি2 । এখানে জি1 এবং জি2 জ্যাকবীয়দের শর্তগুলি অবিচ্ছিন্ন হিসাবে সন্তুষ্ট করে এবং ক্রমাগত আংশিক ডেরাইভেটিভ থাকে।

এখন এলোমেলো ভেরিয়েবল এর ফাংশন জন্য সম্ভাবনা হতে হবে

এলোমেলো ভেরিয়েবলের কার্যকারিতা যৌথ সম্ভাবনার বিতরণের উদাহরণ distribution

  1. এলোমেলো ভেরিয়েবলের Y এর যৌথ ঘনত্বের ক্রিয়াটি সন্ধান করুন1 =X1 +X2 এবং Y2=X1 -X2 , যেখানে এক্স1 এবং এক্স2 যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সঙ্গে যৌথভাবে অবিচ্ছিন্ন হয়। বিতরণের বিভিন্ন প্রকৃতির জন্যও আলোচনা করুন।

এখানে আমরা প্রথমে জ্যাকবিয়ানকে পরীক্ষা করব

জে (x_ {1}, x_ {2}) = \ শুরু {ভম্যাট্রিক্স \ rac frac {tial আংশিক g_1} {tial আংশিক x_1} & \ frac {tial আংশিক g_1} {tial আংশিক x_2} \ \\ \ frac { আংশিক g_2} {\ আংশিক x_1} & \ frac {tial আংশিক g_2} {tial আংশিক x_2} \ শেষ {ভিমেট্রিক্স}

জি থেকে1(x1, এক্স2) = এক্স1 + এক্স2  এবং জি2(x1, এক্স2) = এক্স1 - এক্স2 so

জে (x_ {1}, x_ {2}) = \ শুরু {ভিমেট্রিক্স} 1 & 1 \ \\ 1 & -1 \ শেষ {ভিমেট্রিক্স} = -2

সরলকরণ ওয়াই1 =X1 +X2 এবং Y2=X1 -X2 এক্স এর মান হিসাবে1 = 1/2 (ওয়াই1 +Y2 ) এবং এক্স2 = ওয়াই1 -Y2 ,

f_{Y_{1}},<em>{Y</em>{2}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{2}f_{X_{1},X_{2}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{y_{1} - y_{2}}{2} \right )

যদি এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়

f_ {Y_ {1}, Y_ {2}} (y_ {1}, y_ {2}) = \ শুরু {কেস} \ frac {1} {2} \ \ 0 \ লেক y_ {1} + y_ {2 \ q লেক 2 \ \, \ \ 0 \ লেক y_ {1} - y_ {2} q লেক 2 \\ 0 \ \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

অথবা যদি এই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি সাধারণ পরামিতিগুলির সাথে স্বতন্ত্র এক্সফোনশিয়ালি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়

অথবা যদি এই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি স্বতন্ত্র স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়

f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\frac{1}{4\pi }e^{-[(y_{1}+y_{2})^{2}/8 + (y_{1} -y_{2})^{2}/8]}

= rac frac {1} {4 \ পাই} ই ^ {- \ বাম (y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} \ ডান) / 4}

=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{1}^{2}/4} \frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{2}^{2}/4}

  • যদি এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র মান হিসাবে সাধারণ ভেরিয়েবল দেওয়া থাকে
শর্তাধীন বিতরণ

সংশ্লিষ্ট পোলার স্থানাঙ্কের জন্য যৌথ বিতরণ গণনা করুন।

আমরা X এবং Y কে যথারীতি রূপান্তর করে r এবং into হিসাবে রূপান্তর করব

g_ {1} (x, y) = \ স্কয়ার্ট {x ^ {2} + ওয়াই ^ {2}} \ \ এবং \ \ \ থিতা = জি_ {2} (এক্স, ওয়াই) = ট্যান ^ {- 1} \ frac {y} {x

সুতরাং এই ফাংশনের আংশিক ডেরাইভেটিভস হবে

rac frac {tial আংশিক g_ {1}} {tial আংশিক x} = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}

rac frac {tial আংশিক g_ {2}} {\ আংশিক x} = \ frac {1} {1+ (y / x) ^ {2}} \ বাম (\ frac {-y} {x ^ {2}} \ ডান) ^ {2} = \ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}

rac frac {tial আংশিক g_ {1}} {tial আংশিক y} = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}

rac frac {tial আংশিক g_ {2}} {\ আংশিক y} = \ frac {1} {x \ বাম [1+ (y / x) ^ {2} \ ডান]} = \ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}

তাই জ্যাকবীয়রা এই ফাংশনগুলি ব্যবহার করে

J(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} + \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r}

এক্স এবং ওয়াই দুটোই যদি শূন্যের চেয়ে বড় হয় তবে শর্তাধীন যৌথ ঘনত্বের ক্রিয়া হয়

f (x, y | X> 0, Y> 0) = \ frac {f (x, y) {{P (X> 0, Y> 0)} = \ frac {2} {i পাই} ই ^ { - (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2} \ \ x> 0, \ \ y> 0

এখন ব্যবহার করে মেরু সমন্বয়কে কার্তেসিয়ান রূপান্তর

r = q sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} \ \ এবং \ \ \ থিটা = ট্যান ^ {- 1} \ বাম (\ frac {y} {x} \ ডান)

সুতরাং ইতিবাচক মানগুলির জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্যটি হবে

f (r, \ theta | X> 0, Y> 0) = \ frac {2} {i pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ 0 <\ theta <\ frac {\ pi {{2}, \ \ 0 <r <\ infty

এক্স এবং ওয়াইয়ের বিভিন্ন সংমিশ্রণের জন্য একইভাবে ঘনত্বের কার্যগুলি রয়েছে

f (r, \ theta | X 0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ \ পাই / 2 <\ থিতা <\ পিআই, \ \ 0 < r <\ infty

f (r, \ theta | X <0, Y <0) = \ frac {2} {i pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ \ পাই <\ থিতা <3 \ পিআই / 2, \ \ 0 <r <\ infty

f (r, \ theta | X> 0, Y <0) = \ frac {2} {i pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ 3 \ পাই / 2 <\ থিতা <2 \ পাই, \ \ 0 <আর <। ইনফটি

উপরের ঘনত্বের গড় থেকে এখন পর্যন্ত আমরা ঘনত্বের কার্যটি উল্লেখ করতে পারি

f (r, \ theta) = \ frac {1} {2 \ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ 0 <\ থিতা <2 \ পাই, \ \ 0 <আর <\ ইনফটি

এবং অন্তরালের মধ্যে মেরু স্থানাঙ্কের এই যৌথ ঘনত্ব থেকে প্রান্তিক ঘনত্বের কার্য (0, 2π)

চ (র) = পুনরায় ^ {- আর ^ {2} / 2}, \ \ 0 <আর <\ ইনফটি

  • এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রিয়াকলাপের জন্য যৌথ ঘনত্ব ফাংশনটি সন্ধান করুন

ইউ = এক্স + ওয়াই এবং ভি = এক্স / (এক্স + ওয়াই)

যেখানে এক্স এবং ওয়াই যথাক্রমে প্যারামিটারগুলি (α + λ) এবং (β + λ) গামা বিতরণ distribution

গামা বিতরণ এবং যৌথ বিতরণ ফাংশন সংজ্ঞা ব্যবহার করে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এবং ওয়াইয়ের ঘনত্বের ফাংশন হবে

f_ {X, Y} (x, y) = \ frac {\ লাম্বদা ই ^ {- \ ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) am {\ আলফা -1} {{am গামা (pha আলফা) \ rac ফ্রেক { ল্যাম্বদা ই ^ {- \ ল্যাম্বদা ওয়াই} (\ ল্যাম্বদা ওয়াই) ^ {\ বিটা -1}} {\ গামা (\ বিটা)

= rac frac {\ ল্যাম্বদা {{pha আলফা + \ বিটা}} {am গামা (\ আলফা) am গামা (\ বিটা)} ই ^ {- mb লাম্বদা (এক্স + ওয়াই)} এক্স ^ {\ আলফা -1} y ^ {\ বিটা -1}

হিসাবে প্রদত্ত ফাংশন বিবেচনা করুন

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

সুতরাং এই ফাংশন এর পার্থক্য হয়

rac frac {tial আংশিক g_ {1}} {tial আংশিক x} = \ frac {tial আংশিক g_ {1}} {tial আংশিক y} = 1

rac frac {tial আংশিক g_ {2}} {\ আংশিক x} = \ frac {y} {(x + y) {{2}}

rac frac {tial আংশিক g_ {2}} {tial আংশিক y} = - \ frac {x} {(x + y) ^ {2}}

এখন জ্যাকবিয়ান

জে (x, y) = \ শুরু {ভম্যাট্রিক্স} 1 এবং 2 \ \\ \ ফ্র্যাক {ওয়াই} {(এক্স + ওয়াই) ^ {2}} & rac ফ্রে্যাক {-x} {(এক্স + ওয়াই) ^ {2 }} \ প্রান্ত {ভিমেট্রিক্স} = - rac ফ্র্যাক {1} {x + y

প্রদত্ত সমীকরণকে x = uv এবং y = u (1-v) ভেরিয়েবলগুলি সহজ করার পরে সম্ভাবনা ঘনত্বের ক্রিয়াটি হ'ল

f_ {U, V} (u, v) = f_ {X, Y} \ বাম [uv, u (1-v) \ ডান] আপনি

= rac frac {\ ল্যাম্বদা ই ^ {- mb লাম্বদা u} (\ লাম্বদা u ^) am {\ আলফা + \ বিটা -1}} {\ গামা (\ আলফা + \ বিটা) \ rac frac {v ^ {\ আলফা - 1} (1-ভি) ^ {\ বিটা -1} am গামা (pha আলফা + \ বিটা)} {\ গামা (\ আলফা) am গামা (\ বিটা)}

আমরা সম্পর্ক ব্যবহার করতে পারি

বি (\ আলফা, \ বিটা) = \ ইনট_ {0} ^ {1} ভি ^ {\ আলফা -1} (1-ভি) ^ {\ বিটা -1} ডিভি

= rac frac {\ গামা (\ আলফা) am গামা (\ বিটা)} {\ গামা (\ আলফা + \ বিটা)}

  • এর জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন গণনা করুন

Y1 =X1 +X2+ এক্স3 , Y2 =X1- এক্স2 , Y3 =X1 - এক্স3

যেখানে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স1 , এক্স2, এক্স3 মান সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়।

এখন আসুন এর আংশিক ডেরাইভেটিভ ব্যবহার করে জ্যাকবীয়ান গণনা করি

Y1 =X1 +X2+ এক্স3 , Y2 =X1- এক্স2 , Y3 =X1 - এক্স3

as

জে = \ শুরু {ভিমেট্রিক্স} 1 এবং 1 এবং 1 \ \\ 1 & -1 এবং 0 \ \ 1 & 0 & -1 \ শেষ {ভিমেট্রিক্স 3 = XNUMX

এক্স ভেরিয়েবলের জন্য সরলীকরণ1 , এক্স2 এবং এক্স3

X1 = (ওয়াই1 + ওয়াই2 + ওয়াই3) / 3, এক্স2 = (ওয়াই1 - 2 ওয়াই2 + ওয়াই3) / 3, এক্স3 = (ওয়াই1 + ওয়াই2 -2 ওয়াই3) / 3

আমরা হিসাবে যৌথ ঘনত্ব ফাংশন সাধারণ করতে পারি

f_ {Y_ {1} d cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = f_ {X_ {1} d cdot \ cdot} n_ } (x_ {1} \ সিডট \ সিডট \ সিডট এক্স_ {এন}) | জে (x_ {1} \ সিডট \ সিডট \ সিডট এক্স_ {n}) | ^ {- 1}

তাহলে আমাদের আছে

f_{Y_{1}, Y_{2},Y_{3}}(y_{1}, y_{2},y_{3})=\frac{1}{3}f_{X_{1},X_{2},X_{3}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}-2y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2} -2y_{3}}{3} \right )

সাধারণ পরিবর্তনশীল জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হয়

f_{X_{1}, X_{2},X_{3}}(x_{1}, x_{2},x_{3})=\frac{1}{(2\pi )^{3/2}}e^{-\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}/2}

অত: পর

f_{Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}}(y_{1}, y_{2}, y_{3})=\frac{1}{3(2\pi )^{3/2}}e^{-Q(y_{1},y_{2},y_{3})/2}

সূচক যেখানে

প্রশ্ন (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) = \ বাম (\ frac {(y_ {1} + y_ {2} + y_ {3})} {3} \ ডান) ^ {2 } + \ বাম (\ frac {(y_ {1} -2y_ {2} + y_ {3})} {3} \ ডান) {{2} + \ বাম (\ frac {(y_ {1} + y_ { 2} -2y_ {3})} {3} \ ডানদিকে) ^ {2}

=\frac{y_{1}^{2}}{3} + \frac{2}{3} y_{2}^{2} +\frac{2}{3} y_{3}^{2} -\frac{2}{3}y_{2}y_{3}

Y এর যৌথ ঘনত্বের কার্য গণনা করুন1 …… ওয়াইn এবং Y এর জন্য প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশনn কোথায়

Y_ {i} = এক্স_ {1} + d সিডট \ সিডট \ সিডট। + এক্স_ {আই} \ \ আই = 1, \ সিডট \ সিডট \ সিডট .., এন

এবং এক্সi প্যারামিটার with এর সাথে স্বতন্ত্রভাবে বিতরণকারী তাত্পর্যপূর্ণ এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি λ

ফর্মের এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য

Y1 =X1 , Y2 =X1 + এক্স2 , ……, ওয়াইn =X1 + …… + এক্সn

জ্যাকবিয়ান ফর্ম হতে হবে

এবং তাই এর মান এক, এবং তাত্পর্যপূর্ণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ ঘনত্ব ফাংশন

f_ {X_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot X_ {n}} (x_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot, x_ {n}) = \ উন্নত_ {i = 1} ^ {n} mb ল্যাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা x_ {i}} \ \ 0 <x_ {i} <\ ইনফটি, \ \ i = 1, \ সিডট \ সিডট \ সিডট, এন

এবং ভেরিয়েবল এক্স এর মানi এর হবে

X_ {1} = Y_ {1}, X_ {2} = Y_ {2} -Y_ {1}, \ সিডট \ সিডট \ সিডট, এক্স_ {i} = ওয়াই_ {i} -Y_ {i-1}, \ সিডট \ সিডট \ সিডট, এক্স_ {n} = ওয়াই_ {n} -ওয়াই_ {n-1

সুতরাং যৌথ ঘনত্ব ফাংশন হয়

f_ {Y_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {1}, y_ {2}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = f_ {X_ {1 }, \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট, এক্স_ {এন}} (y_ {1}, y_ {2} -ই_ {1}, \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট, y_ {i} -y_ i-1}, \ cdot \ cdot \ cdot, y_ {n} -y_ {n-1})

= mb ল্যাম্বদা ^ {n} এক্সপ্রেস \ বাম {- \ ল্যাম্বদা \ বাম [y_ {1} + \ যোগ_ {i = 2} ^ {n} (y_ {i} -y_ {i-1}) \ ডান]] ডান

= \ ল্যাম্বদা ^ {n} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা y_ {n}} \ \ 0 <y_ {1}, 0 <y_ {i} -y_ {i-1}, i = 2, d সিডট \ সিডট \ সিডট, এন

= \ ল্যাম্বদা ^ {n} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা y_ {n}} \ \ 0 <y_ {1} <y_ {2} <\ সিডট \ সিডট \ সিডট <y_ {n}

এখন Y এর প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশন সন্ধান করতেn আমরা এক এক হিসাবে সংহত করব

f_ {Y_ {2}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {2}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ int_ {0} ^ {y_ {2 }} \ ল্যাম্বদা {{n} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা y_ {n} y d__ {1}

= \ ল্যাম্বদা ^ {n} y_ {2} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা y_ {n}} \ \ 0 <y_ {2} <y_ {3} <\ সিডট \ সিডট \ সিডট <y_ {n}

এবং

f_ {Y_ {3}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {3}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ int_ {0} ^ {y_ 3 }} \ ল্যাম্বদা {{n} y_ {2} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা y_ {n} y d__ {2}

= rac frac {\ ল্যাম্বদা {{n}} {2} y_ {3} ^ {2} ই ^ {- \ ল্যাম্বদা y_ {n}} \ \ 0 <y_ {3} <y_ {4} <\ সিডট \ সিডট \ সিডট <y_ {n

বুদ্ধিমানের মতো

f_ {Y_ {4}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {4}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ frac {\ lambda ^ {n} {3!} Y_ {4} ^ {3} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা y_ {n}} \ \ 0 <y_ {4} <\ সিডট \ সিডট \ সিডট <y_ {n}

আমরা যদি এই প্রক্রিয়া চালিয়ে যাই তবে আমরা পেয়ে যাব

f_ {Y_ {n}} (y_ {n}) = \ ল্যাম্বডা ^ {n} \ frac {y_ {n} {n-1}} {(এন -1)!} ই ^ {- \ লাম্বদা y_ { n}} \ \ 0 <y_ {n

যা প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশন।

উপসংহার:

The Olymp Trade প্লার্টফর্মে ৩ টি উপায়ে প্রবেশ করা যায়। প্রথমত রয়েছে ওয়েব ভার্শন যাতে আপনি প্রধান ওয়েবসাইটের মাধ্যমে প্রবেশ করতে পারবেন। দ্বিতয়ত রয়েছে, উইন্ডোজ এবং ম্যাক উভয়ের জন্যেই ডেস্কটপ অ্যাপলিকেশন। এই অ্যাপটিতে রয়েছে অতিরিক্ত কিছু ফিচার যা আপনি ওয়েব ভার্শনে পাবেন না। এরপরে রয়েছে Olymp Trade এর এন্ড্রয়েড এবং অ্যাপল মোবাইল অ্যাপ। শর্তযুক্ত বিতরণ বিভিন্ন আলোচিত এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কয়েকটি বিবেচনা করে বিভিন্ন উদাহরণ সহ বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যেখানে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যৌথ অবিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের কার্যকারিতার জন্য যৌথ বন্টনও উপযুক্ত উদাহরণগুলির সাথে ব্যাখ্যা করে, আপনার যদি আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে নীচের লিঙ্কগুলিতে যান।

গণিতে আরও পোস্টের জন্য দয়া করে আমাদের দেখুন গণিতের পৃষ্ঠা

উইকিপিডিয়াhttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

আমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X