শর্তসাপেক্ষ বিতরণ: 7টি আকর্ষণীয় তথ্য জানার জন্য

শর্তাধীন বিতরণ

   ডিস্ট্রিবিউশনের শর্তসাপেক্ষ ক্ষেত্রে আলোচনা করা খুবই আকর্ষণীয় যখন দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল একটিকে অন্যটি প্রদত্ত ডিস্ট্রিবিউশনকে সন্তুষ্ট করে, আমরা প্রথমে সংক্ষিপ্তভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে শর্তসাপেক্ষ বন্টন দেখি, বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন তারপর কিছু পূর্বশর্ত অধ্যয়ন করার পরে আমরা ফোকাস করি শর্তাধীন প্রত্যাশা।

বিচ্ছিন্ন শর্তাধীন বিতরণ

     জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশনে জয়েন্ট প্রোবাবিলিটি ভর ফাংশনের সাহায্যে আমরা ডিসক্রিট এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y-এর জন্য শর্তসাপেক্ষ বন্টন সংজ্ঞায়িত করি।

1
2.PNG
3.PNG

যদি হর সম্ভাব্যতা শূন্যের চেয়ে বেশি হয়, একইভাবে আমরা এটি লিখতে পারি

4.PNG
5.PNG

যৌথ সম্ভাব্যতার মধ্যে যদি X এবং Y স্বাধীন র্যান্ডম চলক হয় তবে এটি পরিণত হবে

6.PNG
7.PNG
8.PNG

তাই বিযুক্ত শর্তসাপেক্ষ বণ্টন বা শর্তাধীন বন্টন X প্রদত্ত Y প্রদত্ত বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল উপরের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন সহ র্যান্ডম চলক যা Y প্রদত্ত X-এর জন্য একইভাবে আমরা সংজ্ঞায়িত করতে পারি।

বিচ্ছিন্ন শর্তাধীন বিতরণের উদাহরণ

  1. খোঁজো র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন X দেওয়া হয়েছে Y=1, যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y-এর জয়েন্ট সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের কিছু মান থাকে

p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3

এখন সবার আগে আমাদের কাছে Y=1 মান আছে

9.PNG

তাই সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে

10.PNG
11.PNG
12.PNG

আমাদের আছে

13.PNG

এবং

14.PNG
  • X+Y=n দেওয়া X-এর শর্তসাপেক্ষ বণ্টন পান, যেখানে X এবং Y পরামিতি সহ পয়সন বণ্টন λ1 এবং λ2 এবং X এবং Y স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

যেহেতু এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y স্বাধীন, তাই শর্তসাপেক্ষ বণ্টনের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন থাকবে

15.PNG
16.PNG
17.PNG

যেহেতু Poisson random variable এর যোগফল আবার poisson তাই

18.PNG
19.PNG
20.PNG

এইভাবে উপরের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন সহ শর্তসাপেক্ষ বন্টন এই ধরনের পয়সন বিতরণের জন্য শর্তসাপেক্ষ বন্টন হবে। উপরের ক্ষেত্রে দুটির বেশি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

ক্রমাগত শর্তাধীন বিতরণ

   ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত y প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর অবিচ্ছিন্ন শর্তসাপেক্ষ বন্টন হল সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন বন্টন

21.PNG

হর ঘনত্ব শূন্যের চেয়ে বেশি, যা ক্রমাগত ঘনত্ব ফাংশনের জন্য

22.PNG
23.PNG

এইভাবে শর্তযুক্ত ঘনত্ব ফাংশন জন্য সম্ভাবনা হয়

24.PNG

একইভাবে বিচ্ছিন্নভাবে যদি X এবং Y অবিচ্ছিন্নভাবে স্বাধীন হয় তাহলেও

25.PNG

এবং অতঃপর

px 26
px 28 কপি 1

তাই আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারি

px 29 কপি 1

ক্রমাগত শর্তসাপেক্ষ বণ্টনের উদাহরণ

  1. উন্মুক্ত ব্যবধান (0,1) সহ জয়েন্ট সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা দেওয়া হলে Y প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর শর্তাধীন ঘনত্ব ফাংশন গণনা করুন
px 30 কপি 1

যদি এলোমেলো চলকের জন্য X (0,1) এর মধ্যে Y দেওয়া হয় তবে উপরের ঘনত্ব ফাংশনটি ব্যবহার করে আমাদের আছে

px 31
px 32
px 33
px 34
px 35
  • শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা গণনা করুন
px 36

যদি যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়

px 37

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে প্রথমে আমাদের শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশন প্রয়োজন তাই সংজ্ঞা অনুসারে এটি হবে

px 38
px 39
px 40

এখন সম্ভাব্যতা এই ঘনত্ব ফাংশন ব্যবহার করে শর্তাধীন সম্ভাবনা is

100
101
px 41

বিভেরিয়েট স্বাভাবিক বন্টনের শর্তাধীন বন্টন

  আমরা জানি যে সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y-এর বিভেরিয়েট স্বাভাবিক বন্টন সংশ্লিষ্ট উপায় এবং বৈচিত্রগুলির সাথে প্যারামিটারগুলির যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে

তাই X প্রদত্ত Y-এর জন্য এই ধরনের দ্বি-ভেরিয়েট স্বাভাবিক বন্টনের শর্তসাপেক্ষ বণ্টন খুঁজে বের করতে একটানা এলোমেলো চলকের শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশন এবং উপরের জয়েন্ট ডেনসিটি ফাংশন অনুসরণ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন বিতরণ
বিভেরিয়েট স্বাভাবিক বন্টনের শর্তাধীন বন্টন

এটি পর্যবেক্ষণ করে আমরা বলতে পারি যে এটি সাধারণত গড় দিয়ে বিতরণ করা হয়

px 42

এবং বৈকল্পিক

px 43

একইভাবে Y প্রদত্ত X এর জন্য শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশনটি ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হবে শুধুমাত্র X-এর পরামিতিগুলির অবস্থানগুলিকে Y-এর সাথে বিনিময় করবে,

X এর জন্য প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশনটি আমরা ধ্রুবকের মান ব্যবহার করে উপরের শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশন থেকে পেতে পারি

শর্তাধীন বিতরণ
বিভেরিয়েট স্বাভাবিক বন্টনের শর্তাধীন বন্টন

আমাদের অবিচ্ছেদ্য মধ্যে প্রতিস্থাপন করা যাক

px 44

ঘনত্ব ফাংশন এখন হবে

ছবি3 1

এর মোট মান থেকে

Image4

সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা দ্বারা তাই ঘনত্ব ফাংশন এখন হবে

Image5

যা প্যারামিটার হিসাবে স্বাভাবিক গড় এবং বৈচিত্র্য সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর ঘনত্ব ফাংশন ছাড়া কিছুই নয়।

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশনের যৌথ সম্ভাব্যতা বন্টন

  এখন পর্যন্ত আমরা দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যৌথ সম্ভাব্যতা বণ্টন জানি, এখন যদি আমাদের কাছে এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশন থাকে তবে সেই ফাংশনগুলির যৌথ সম্ভাব্যতা বন্টন কী হবে, কীভাবে ঘনত্ব এবং বিতরণ ফাংশন গণনা করা যায় কারণ আমাদের বাস্তব জীবনের পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশন আছে,

যদি Y1 এবং Y2 এলোমেলো ভেরিয়েবল X এর কাজ1 এবং এক্স2 যথাক্রমে যা যৌথভাবে অবিচ্ছিন্ন তারপর এই দুটি ফাংশনের যৌথ অবিচ্ছিন্ন ঘনত্ব ফাংশন হবে

px 45

কোথায় জ্যাকোবিয়ান

px 46

এবং Y1 =g1 (X1, এক্স2) এবং Y2 =g2 (X1, এক্স2) কিছু ফাংশনের জন্য g1 এবং জি2 . এখানে জি1 এবং জি2 অবিচ্ছিন্ন হিসাবে জ্যাকোবিয়ানের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে।

এখন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের এই ধরনের ফাংশনের সম্ভাব্যতা হবে

Image7

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশনের যৌথ সম্ভাব্যতা বন্টনের উদাহরণ

  1. র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y এর যৌথ ঘনত্ব ফাংশন খুঁজুন1 =X1 +X2 এবং Y2=X1 -X2 , যেখানে এক্স1 এবং এক্স2 যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সঙ্গে যৌথভাবে অবিচ্ছিন্ন হয়. বিতরণের বিভিন্ন প্রকৃতির জন্যও আলোচনা করুন।

এখানে আমরা প্রথমে জ্যাকোবিয়ান পরীক্ষা করব

px 47

যেহেতু g1(x1, এক্স2) = এক্স1 + এক্স2  এবং জি2(x1, এক্স2) = এক্স1 - এক্স2 so

px 48

Y কে সরলীকরণ করা1 =X1 +X2 এবং Y2=X1 -X2 , X এর মানের জন্য1 =1/2( Y1 +Y2 ) এবং এক্স2 = ওয়াই1 -Y2 ,

px 49

যদি এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়

px 50

অথবা যদি এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাভাবিক প্যারামিটার সহ স্বাধীন সূচকীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়

Image10

অথবা যদি এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়

px 51
px 52
px 53
  • X এবং Y যদি প্রদত্ত হিসাবে স্বাধীন স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক চলক হয়
শর্তাধীন বিতরণ

সংশ্লিষ্ট মেরু স্থানাঙ্কের জন্য যৌথ বন্টন গণনা করুন।

আমরা সাধারণ রূপান্তর X এবং Y কে r এবং θ হিসাবে রূপান্তর করব

px 54

তাই এই ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ হবে

px 55
px 56
px 57
px 58

তাই জ্যাকোবিয়ান এই ফাংশন ব্যবহার করে

px 59

যদি এলোমেলো চলক X এবং Y উভয়ই শূন্যের চেয়ে বড় হয় তাহলে শর্তসাপেক্ষ যুগ্ম ঘনত্ব ফাংশন

px 60

এখন ব্যবহার করে পোলার স্থানাঙ্কে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের রূপান্তর

px 61

তাই সম্ভাবনার ঘনত্ব ক্রিয়া জন্য ইতিবাচক মান হবে

px 62

বিভিন্ন জন্য সমন্বয় X এবং Y এর ঘনত্বের ফাংশনগুলি একইভাবে হয়

px 63
px 64
px 65

এখন উপরের ঘনত্বের গড় থেকে আমরা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে বলতে পারি

px 66

এবং ব্যবধানে মেরু স্থানাঙ্কের এই যৌথ ঘনত্ব থেকে প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশন (0, 2π)

px 67
  • এলোমেলো ভেরিয়েবলের কাজের জন্য যৌথ ঘনত্ব ফাংশন খুঁজুন

U=X+Y এবং V=X/(X+Y)

যেখানে X এবং Y হল গামা বিতরণ পরামিতি সহ (α + λ) এবং (β +λ) যথাক্রমে।

এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে গামা বিতরণ এবং জয়েন্ট ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এবং Y এর জন্য ঘনত্ব ফাংশন হবে

px 68
px 69

প্রদত্ত ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করুন

g1 (x,y) =x+y , g2 (x,y) =x/(x+y),

তাই এই ফাংশন পার্থক্য হয়

px 70
px 71
px 72

এখন জ্যাকোবিয়ান

px 73

প্রদত্ত সমীকরণগুলিকে সরল করার পর চলক x=uv এবং y=u(1-v) সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন হল

px 74
px 75

আমরা সম্পর্ক ব্যবহার করতে পারেন

px 76
px 77
  • জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন গণনা

Y1 =X1 +X2+ এক্স3 , Y2 =X1- এক্স2 , Y3 =X1 - এক্স3

যেখানে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি X1, X2, X3 হল মানক৷ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল.

এখন এর আংশিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে জ্যাকোবিয়ান গণনা করা যাক

Y1 =X1 +X2+ এক্স3 , Y2 =X1- এক্স2 , Y3 =X1 - এক্স3

as

px 78

ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য সরলীকরণ1 , এক্স2 এবং এক্স3

X1 = (ওয়াই1 + ওয়াই2 + ওয়াই3)/3, এক্স2 = (ওয়াই1 - 2 ওয়াই2 + ওয়াই3)/3, এক্স3 = (ওয়াই1 + ওয়াই2 -2 Y3) / 3

আমরা যৌথ ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে সাধারণীকরণ করতে পারেন

px 79

তাহলে আমাদের আছে

px 80

সাধারণ পরিবর্তনশীলের জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

px 81

অত: পর

px 82

যেখানে সূচক আছে

px 83
px 84

Y এর জয়েন্ট ডেনসিটি ফাংশন গণনা করুন1 ……ওয়াইn এবং Y এর জন্য প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশনn কোথায়

px 85

এবং এক্সi পরামিতি λ সহ স্বতন্ত্র অভিন্নভাবে বিতরণ করা সূচকীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

ফর্মের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য

Y1 =X1 , Y2 =X1 + এক্স2 , ……, Yn =X1 +……+ এক্সn

জ্যাকোবিয়ান ফর্মের হবে

Image11

এবং তাই এর মান হল এক, এবং সূচকীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ ঘনত্ব ফাংশন

px 86

এবং চলক X এর মানi এর হবে

px 87

তাই যৌথ ঘনত্ব ফাংশন হয়

px 88
px 89
px 90
px 91

এখন Y এর প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশন খুঁজে বের করতেn আমরা একে একে একীভূত করব

px 92
px 93

এবং

px 94 1
px 94 2

জ্ঞানী মত

px 96

আমরা যদি এই প্রক্রিয়া চালিয়ে যেতে পারি তাহলে আমরা পাব

px 97

যা প্রান্তিক ঘনত্ব ফাংশন।

উপসংহার:

সার্জারির শর্তাধীন বিতরণ বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিভিন্ন উদাহরণ সহ এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিছু ধরন বিবেচনা করে আলোচনা করা হয়েছে, যেখানে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। উপরন্তু জয়েন্ট যৌথ অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কাজের জন্য বন্টন উপযুক্ত উদাহরণ সহ ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে নীচের লিঙ্কগুলিতে যান।

গণিত বিষয়ে আরও পোস্টের জন্য, অনুগ্রহ করে আমাদের দেখুন গণিত পাতা

উইকিপিডিয়াhttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

শেলডন রসের সম্ভাব্যতার প্রথম কোর্স

Schaum এর সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা