শর্তাধীন প্রত্যাশা | 5+ উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

সূচি তালিকা

একে অপরের উপর নির্ভর করে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য শর্তাধীন সম্ভাবনার গণনার প্রয়োজন যা আমরা ইতিমধ্যে আলোচনা করেছি, এখন আমরা এ জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবল বা শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা এবং বিভিন্ন ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ পরিবর্তনের মতো পরীক্ষাগুলির জন্য আরও কিছু পরামিতিগুলি নিয়ে আলোচনা করব।

শর্তাধীন প্রত্যাশা

   Y দেওয়া প্রদত্ত ডিস্ক্রিট এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা ভর কার্যকারিতার সংজ্ঞা

p_ {X | Y} (x | y) = P \ বাম {X = x | Y = y \ ডান} = \ frac {p (x, y)} {p_ {Y} (y)}

এখানে পিY(y)> 0, সুতরাং পৃথক এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর জন্য শর্তাধীন প্রত্যাশা যখন ওয়াই দেওয়া হবেY (y)> 0 হয়

E \ বাম [X | Y = y \ ডান] = \ যোগ_ {x} ^ {P xP \ বাম \ {X = x | Y = y \ ডান \}

= \ যোগ_ {x} ^ {p xp_ {এক্স | ওয়াই} (x | y)

উপরের প্রত্যাশার মধ্যে সম্ভাব্যতা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা।

  একইভাবে যদি এক্স এবং ওয়াই ধারাবাহিকভাবে থাকে তবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর শর্তাধীন সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন ওয়াই দেওয়া হবে

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

যেখানে f (x, y) হল যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং সমস্ত yf এর জন্যY(y)> 0, সুতরাং y দেওয়া র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা হবে

E \ বাম [X | Y = y \ ডান] = \ অন্তঃ _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf_ {X | Y} (x | y) dx

সমস্ত yf জন্যY(y)> 0।

   যেহেতু আমরা জানি যে সম্ভাবনার সমস্ত বৈশিষ্ট্য শর্তাধীন প্রত্যাশার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, গাণিতিক প্রত্যাশার সমস্ত বৈশিষ্ট্য শর্তাধীন প্রত্যাশায় সন্তুষ্ট, উদাহরণস্বরূপ এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশনের শর্তাধীন প্রত্যাশা হবে

\ আরম্ভ {অ্যারে} {সি} ই [জি (এক্স) \ মিড ওয়াই = ওয়াই] = \ বাম \ {\ শুরু {অ্যারে} {l} \ যোগ_ {x} জি (এক্স) পি_ {এক্স \ মিড ওয়াই} ( x \ মাঝের y) \ কোয়াড \ পাঠ্য the পৃথক ক্ষেত্রে case \\ \ int _ {- ty infty ^ ^ {\ infty} g (x) f_ {X \ মাঝ} \ গামা (x \ মাঝ y) dx \ পাঠ্য the অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে \ \ শেষ {অ্যারে} \ শেষ {অ্যারে {

এবং শর্তাধীন প্রত্যাশায় এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ মাঝের Y = y \ ডান] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} E \ বাম [X_ { আমি \ \ মাঝের Y = y \ ডান] \ শেষ {সারিবদ্ধ}

দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা

    স্বতন্ত্র প্যারামিটার এন এবং পি এর সাথে দ্বিগুণ র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যোগফলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা সন্ধান করতে আমরা জানি যে এক্স + ওয়াই প্যারামিটার 2 এন এবং পি সহ দ্বি বিন্দুও র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল হবে, সুতরাং এক্স + প্রদানের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য Y = m শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা সম্ভাবনা গণনা করে প্রাপ্ত হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} পি [এক্স = কে \ মিড এক্স + ওয়াই = মি] & = \ ফ্র্যাক {পি [এক্স = কে, এক্স + ওয়াই = মি]} {পি (এক্স + ওয়াই = মি)} \\ & = rac frac {পি [এক্স = কে, ওয়াই = এম কে]} {পি [এক্স + ওয়াই = মি]} \\ & = \ ফ্র্যাক {পি [এক্স = কে \ মিড পি [ওয়াই = এম কে \ মিড} {পি (এক্স + ওয়াই = মি]} \\ & = \ ফ্র্যাক {\ বাম (\ আরম্ভ {অ্যারে} {l} n \\ কে \ শেষ {অ্যারে} \ ডান) পি {{কে} (1-পি) ^ {এনকে} \ বাম (\ আরআর} অ্যারে} {সি} n \\ এম কে \ শেষ {অ্যারে} \ ডান) পি ^ {এমকে} (1-পি) {-n-m + কে}} {\ বাম (\ আরআরই {অ্যারে } {l} 2 n \\ m \ শেষ {অ্যারে} \ ডান) পি {{এম} (1-পি) ^ {2 এনএম}} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

যেহেতু আমরা জানি

ই [এক্স] = ই \ বাম [X_ {1} \ ডান] + \ সিডটস + ই \ বাম [এক্স_ {এম} \ ডান] = \ ফ্র্যাক {এমএন} {এন}

সুতরাং এক্স প্রদত্ত এক্স + ওয়াই = মিটার শর্তাধীন প্রত্যাশা

ই [এক্স \ মিড এক্স + ওয়াই = মি] = \ ফ্র্যাক {এম} {2}

উদাহরণ:

শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা সন্ধান করুন

ই [এক্স \ মিড ওয়াই = ওয়াই]।

যদি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে দেওয়া হয়

f (x, y) = \ frac {e ^ {- x / y} e ^ {- y}} {y} & 0

সমাধান:

শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা গণনা করার জন্য আমাদের শর্তযুক্ত সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন প্রয়োজন require

\ শুরু {সারিবদ্ধ} f_ {এক্স \ মাঝ Y} (x \ মিড y) এবং = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)} \\ & = rac frac {f (এক্স, y)} {\ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} f (x, y) dx} \\ & = \ frac {(1 / y) e ^ {- x / y} e ^ {- y} } {\ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y_ {e} -y} dx} \\ & = \ frac {(1 / y) e ^ {- x / y}} {\ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y} dx} \\ & = \ frac {1} {y} e ^ {- x / y} \ শেষ {সারিবদ্ধ

যেহেতু অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য শর্তাধীন প্রত্যাশা

ই [এক্স \ মিড ওয়াই = ই] = \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} এক্স এফ_ {এক্স \ মিড ওয়াই} (এক্স \ মিড ওয়াই) ডেক্স

অতএব প্রদত্ত ঘনত্ব ফাংশনের জন্য শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা হবে ation

ই [এক্স \ মিড ওয়াই = ইয়] = \ ইন্ট_ {০} ^ {\ ইনফটি} rac ফ্র্যাক {এক্স} {ই ^ ই ^ {- এক্স / ওয়াই} ডেক্স = ওয়

কন্ডিশনার দ্বারা প্রত্যাশা || শর্তাধীন প্রত্যাশা দ্বারা প্রত্যাশা

                X এর Y শর্তাধীন প্রত্যাশার সাহায্যে আমরা গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করতে পারি Y

ই [এক্স] = ই [ই [এক্স [মিড Y মিড ওয়াই]]

বিযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এটি হবে

E [এক্স] = \ যোগ_ {y} ই [এক্স \ মিড ওয়াই = ওয়াই] পি \ {ওয়াই = ওয়াই \

যা হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ যোগ_ {y} ই [এক্স \ মিড ওয়াই = ওয়াই] পি \ {ওয়াই = ওয়াই}} এবং = \ সম_ {ই} \ সম_ {x} x পি [এক্স = এক্স \ মিড ওয়াই = ওয়াই \} P \ {Y = y \} \\ & = \ যোগ_ {y} \ যোগ_ {x} x \ frac {পি \ {এক্স = এক্স, ওয়াই = y \}} {পি \ {ওয়াই = y \} } পি [Y = y \} \\ & = \ যোগ_ _ y {\ যোগ_ {x} এক্স পি [এক্স = এক্স, ওয়াই = ওয়াই}} \\ & = \ যোগ_ {x} x \ যোগ_ {y} পি \ {এক্স = এক্স, ওয়াই = ওয়াই \} \\ & = \ যোগ_ {এক্স} এক্স পি \ {এক্স = এক্স \} \\ & = ই [এক্স] \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

এবং অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো জন্য আমরা একইভাবে প্রদর্শন করতে পারেন

E [X] = \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} E \ বাকি [এক্স | ওয়াই = y | f_ {Y} (y) dy \ ডান।

উদাহরণ:

                কোনও ব্যক্তি ভূগর্ভস্থ তার বিল্ডিংয়ে আটকা পড়েছিল কারণ কিছুটা ভারী বোঝার কারণে প্রবেশ পথ আটকা পড়েছে ভাগ্যক্রমে তিনটি পাইপলাইন রয়েছে যেখান থেকে সে প্রথম পাইপটি নিরাপদে বাইরে নিয়ে যেতে পারে 3 ঘন্টা পরে, দ্বিতীয়টি 5 ঘন্টা পরে এবং তৃতীয় পাইপলাইন পরে 7 ঘন্টা, যদি এই পাইপলাইনগুলির কোনও তার দ্বারা সমানভাবে সম্ভাব্য হিসাবে বেছে নেওয়া হয়, তবে তিনি নিরাপদে বাইরে আসবেন এমন প্রত্যাশিত সময়টি কী হবে?

সমাধান:

এক্সটিকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন যে ব্যক্তিটি নিরাপদে বাইরে না আসা পর্যন্ত কয়েক ঘন্টা সময়কে বোঝায় এবং ওয়াই প্রথমে যে পাইপটি পছন্দ করেন তা বোঝায়, তাই

ই [এক্স] = ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 1] পি \ {ওয়াই = 1 \} + ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 2] পি \ {ওয়াই = 2 \} + ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 3] P \ {Y = 3 \} \\ = \ frac {1} {3} (E [X \ মিডওয়াই = 1] + ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 2] + ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 3])

থেকে

$ ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 1] = 3 $ \\ $ ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 2] = 5 + ই [এক্স] $ \\ $ ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 3] = 7 + ই [ এক্স] $

যদি ব্যক্তিটি দ্বিতীয় পাইপটি চয়ন করে তবে তিনি এতে 5 টি হাউস ব্যয় করেন তবে তিনি প্রত্যাশিত সময় নিয়ে বাইরে আসেন

ই [এক্স \ মিড ওয়াই = 2] = 5 + ই [এক্স]

সুতরাং প্রত্যাশা হবে

E[X]=\frac{1}{3}(3+5+E[X]+7+E[X]) \quad E[X]=15

শর্তাধীন প্রত্যাশা ব্যবহার করে এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যার যোগফলের প্রত্যাশা

                যাক N এলোমেলো ভেরিয়েবলের এলোমেলো সংখ্যা এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল  শর্তাধীন প্রত্যাশা | 5+ উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য   তাহলে প্রত্যাশা  

E \ বাম [\ যোগ_ {1} ^ {N} X_ {i} \ ডান] = ই \ বাম [ই \ বাম [\ যোগ_ {1} ^ {N} X_ {i} N মধ্য এন \ ডান] \ ডান ]

থেকে

E \ বাম [\ যোগ_ {1} ^ {N} X_ {i} \ মাঝারি N = n \ ডান] = ই \ বাম [\ যোগ_ {1} ^ {n} X_ {i} \ মধ্য এন = এন \ ডান ] \\ = E \ বাম [\ যোগ_ {1} ^ {n} X_ {i} \ ডান] \ পাঠ্য the দ্বারা স্বাধীনতার দ্বারা} X_ {i} \ পাঠ্য {এবং} N \\ = n ই [এক্স ] \ পাঠ্য {যেখানে} ই [এক্স] = ই \ বাম [X_ {i} \ ডান]

as

E \ বাম [\ যোগ_ {1} ^ {N} X_ {i} \ মধ্য এন \ ডান] = প্রাক [এক্স]

এইভাবে

E \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ ডান] = ই [এনই [এক্স]] = ই [এন] ই [এক্স]

দ্বিখণ্ডিত বিতরণের সম্পর্ক

যদি বিভাজনে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হয়

\ শুরু {অ্যারে} {সি} ফ (এক্স, ওয়াই) = \ ফ্র্যাক {1} {2 \ পাই ig সিগমা_ {এক্স} ig সিগমা_ {ই} q স্ক্রিট {1- ho rho ^ {2}}} \ এক্সপ্রেস \ বাম \ {- rac frac {1} {2 \ বাম (1- \ rho ^ {2} \ ডান)} \ ডান। & {\ বাম [\ বাম (\ frac {x- \ mu_ {x} {{ig সিগমা_ {x}} \ ডান) ^ {2} + \ বাম (\ frac {y- \ mu_ {y}} {\ সিগমা_ {ই}} \ \ ডান) ^ {2} \ ডান।} & \ বাম \ বাম -2 \ rho \ frac {\ বাম (x- \ mu_ {x} \ ডান) \ বাম (y- \ mu_ {y} \ ডান)} {ig সিগমা_ {x} ig সিগমা_ {y}} \ ডান] \ ডান \} \ শেষ {অ্যারে}

কোথায়

\ মু_ {এক্স} = ই [এক্স], \ সিগমা_ {এক্স} ^ {2} = \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) $, এবং $ \ মি_ {ই} = ই [ওয়াই], ig সিগমা_ {y} ^ {2} = \ অপেরাটর্নাম {ভার} (ওয়াই) $ $

তারপরে ঘনত্ব ফাংশন সহ দ্বিবিভক্ত বিতরণের জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক শর্তাধীন প্রত্যাশা | 5+ উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

পারস্পরিক সম্পর্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

\ rat অপেরাটর্নাম {করর} (এক্স, ওয়াই) = \ ফ্র্যাক {\ অপেরাটর্নাম {কোভ} (এক্স, ওয়াই) {{ig সিগমা_ {x} \ সিগমা_ {ই}} $ \\ $ = \ ফ্র্যাক {ই [এক্সওয়াই] - \ mu_ {x} \ mu_ {y}} {\ সিগমা_ {x} \ সিগমা_ {y}}

শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার প্রত্যাশা হয়

ই [এক্সওয়াই] = ই [ই [এক্সওয়াই \ মিডওয়াই]]

সাধারণ বিতরণের জন্য শর্তাধীন বিতরণ এক্স দেওয়া ওয়াইয়ের অর্থ হয়

mu_ {x} + \ rho \ frac {ig সিগমা_ {এক্স}} {ig সিগমা_ {Y {} \ বাম (y- \ mu_ {y} \ ডান)

এখন XY প্রদত্ত ওয়াইয়ের প্রত্যাশা

শর্তাধীন প্রত্যাশা
স্বাভাবিক বন্টন

এই দেয়

শুরু {সারিবদ্ধ} ই [এক্সওয়াই] এবং = ই \ বাম [Y \ mu_ {x} + \ rho \ frac {\ সিগমা_ {x}} {ig সিগমা_ {y} \ \ বাম (Y ^ {2} - \ mu_ {y} Y \ ডান) \ ডান] \\ & = \ মু_ {x} ই [ওয়াই] + ho রো \ ফ্র্যাক {\ সিগমা_ {এক্স}} {{সিগমা_ {ই {} ই \ বাম [ওয়াই ^ {2 } - \ mu_ {y} Y \ ডান] \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ frac {ig সিগমা_ {x}} {ig সিগমা_ {y}} \ বাম (E \ বাম [Y ^ {2} \ ডান] - \ mu_ {y} ^ {2} \ ডান) \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ frac {ig সিগমা_ {x}} {\ সিগমা_ {ই}} \ অপেরাটর্নাম {বর্ণ} (ওয়াই) \\ & = \ মু_ {x} \ মু_ {ই} + \ rho \ সিগমা_ {এক্স} \ সিগমা_ {ই} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

অত: পর

\ অপেরাটর্নাম {করর} (এক্স, ওয়াই) = \ ফ্র্যাক {\ rho \ সিগমা_ {এক্স} \ সিগমা_ {ই}} {ig সিগমা_ {এক্স} ig সিগমা_ {ই}} = \ আরএইচও

জ্যামিতিক বিতরণের বৈচিত্র্য

    জ্যামিতিক বিতরণে আসুন আমরা ধারাবাহিকভাবে স্বাধীন ট্রায়ালগুলি সম্পাদন করি যা ফলস্বরূপ p এর সাফল্যের ফলস্বরূপ, N যদি এই উত্তরসূরিদের মধ্যে প্রথম সাফল্যের সময়টি উপস্থাপন করে তবে সংজ্ঞা অনুসারে N এর ভিন্নতা হবে

\ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন) = ই \ বাম [এন ^ {2} \ ডান] - (ই [এন]) ^ {2}

প্রথম পরীক্ষার ফলাফল সাফল্যের সাথে সাথে এলোমেলো পরিবর্তনযোগ্য Y = 1 এবং প্রথম পরীক্ষার ফলাফল যদি ব্যর্থ হয় তবে এখন গাণিতিক প্রত্যাশা সন্ধান করার জন্য আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা হিসাবে প্রয়োগ করি

E \ বাম [এন ^ {2} \ ডান]] ই \ বাম [ই \ বাম [এন ^ {2} \ মিড ওয়াই \ ডান] \ ডান]

থেকে

ই \ বাম [এন ^ {2} \ মিড ওয়াই = 1 \ ডান] = 1 \\ ই \ বাম [এন ^ {2} \ মিড ওয়াই = 0 \ ডান]] ই \ বাম [(1 + এন) ^ 2} \ ডান]

যদি সাফল্য প্রথম বিচারে হয় তবে এন = 1 এবং এন2= 1 যদি প্রথম বিচারে ব্যর্থতা দেখা দেয়, তবে প্রথম সাফল্য পেতে মোট পরীক্ষার সংখ্যা 1 এর সমান বন্টন করতে হবে অর্থাৎ প্রথম ট্রায়াল যা ব্যতিরেকে অতিরিক্ত সংখ্যক বিচারের অতিরিক্ত সংখ্যার সাথে ব্যর্থতার ফলস্বরূপ,

ই \ বাম [এন ^ {2} \ মিড ওয়াই = 0 \ ডান] = ই \ বাম [(1 + এন) ^ {2} \ ডান]

এইভাবে প্রত্যাশা হবে

E \ বাম [এন ^ {2} \ ডান] = ই \ বাম [এন ^ {2} \ মিড ওয়াই = 1 \ ডান] পি \ {ওয়াই = 1 \ + ই \ বাম [এন ^ {2} \ মাঝখানে Y = 0 \ ডান] পি \ {Y = 0 \} \\ = পি + (1-পি) ই \ বাম [(1 + এন) ^ {2} \ ডান] \\ = 1 + (1-পি) ই \ বাম [2 এন + এন ^ {2} \ ডান]

যেহেতু জ্যামিতিক বিতরণের প্রত্যাশাশর্তাধীন প্রত্যাশা | 5+ উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য so

ই [এন] = 1 / পি

অত: পর

E\left[N^{2}\right]=1+\frac{2(1-p)}{p}+(1-p) E\left[N^{2}

এবং

E \ বাম [এন ^ {2} \ ডান]] = \ frac {2-পি} {পি ^ {2}}

সুতরাং জ্যামিতিক বিতরণের বৈচিত্র হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন) & = ই \ বাম [এন ^ {2} \ ডান] - (ই [এন]] ^ {2} \\ = & rac ফ্র্যাক {2-পি} { p {{2}} - \ বাম (\ frac {1} {p} \ ডান) ^ {2} \\ = & rac frac {1-p} {p ^ {2}} \ প্রান্তটি igned সারিবদ্ধ}

অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ন্যূনতম ক্রমের প্রত্যাশা

   অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম ইউ1, ইউ2 … .. বিরতি (0, 1) ও এন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

N = \ মিনিট \ বাম \ {n: \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} U_ {i}> 1 \ ডান \

তারপরে N এর প্রত্যাশার জন্য, কোনও x for [0, 1] এর জন্য N এর মান

N (x) = \ মিনিট \ বাম \ {n: \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} U_ {i}> x \ ডান \}

আমরা এন এর প্রত্যাশা হিসাবে সেট করব

মি (এক্স) = ই [এন (এক্স)]

প্রত্যাশাটি খুঁজতে আমরা ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তাধীন প্রত্যাশার সংজ্ঞাটি ব্যবহার করি

ই [এক্স \ মিড ওয়াই = ই] = \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} এক্স এফ_ {এক্স \ মিড ওয়াই} (এক্স \ মিড ওয়াই) ডেক্স

ক্রম প্রথম মেয়াদে এখন কন্ডিশনার শর্তাধীন প্রত্যাশা | 5+ উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য আমাদের আছে

মি (এক্স) = \ ইন্ট_ {0} ^ {1} ই \ বামে [এন (এক্স) \ মাঝের U_ {1} = y \ ডান] ডি

আমরা এখানে

E \ বাম [N (x) \ মাঝের U_ {1} = y \ ডান] = \ বাম \ {\ শুরু {অ্যারে} {ll} 1 & \ পাঠ্য {যদি} y> x \\ 1 + মি (এক্সআই) & \ পাঠ্য {যদি} y \ leq x \ শেষ {অ্যারে} \ ঠিক।

অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বাকী সংখ্যাটি সেই বিন্দুতে একই যেখানে প্রথম ইউনিফর্ম মানটি y হয়, শুরুতে এবং তারপরে তাদের যোগফল x - y ছাড়িয়ে যাওয়ার আগে পর্যন্ত অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যুক্ত করতে চলেছিল।

সুতরাং প্রত্যাশার এই মানটি ব্যবহার করে অবিচ্ছেদ্যের মান হবে

মি (এক্স) = 1 + \ ইন্ট_ {0} ^ {এক্স} এম (এক্সআই) ডিআই \\ = 1 + \ ইনট_ {0} ^ {এক্স} এম (ইউ) ডু \ পাঠ্য {{u = xy দিয়ে

যদি আমরা এই সমীকরণটি পৃথক করি

মি ^ {\ প্রাইম} (এক্স) = মি (এক্স)

এবং

rac frac {m ^ {\ prime} (x)} {m (x) 1 = XNUMX

এখন এই দেয় একীকরণ

\ লগ [এম (এক্স)] = এক্স + সি

অত: পর

মি (এক্স) = কে ^ {x

x = 1 হলে কে = 0 এর মান

মি (এক্স) = ই {{এক্স}

এবং মি (1) = ই, ব্যবধানে 0 (1, 1) অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির প্রত্যাশিত সংখ্যা যা তাদের যোগফল XNUMX ছাড়িয়ে যায় না, যোগ করার আগে সমান হবে

শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহারের সম্ভাবনা || কন্ডিশনার ব্যবহারের সম্ভাবনা

   আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার মতো শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করে শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করেও সম্ভাব্যতাটি খুঁজে পেতে পারি, এটি একটি ইভেন্ট এবং এলোমেলো পরিবর্তনীয় এক্স হিসাবে বিবেচনা করার জন্য

এক্স = \ বাম \ {\ শুরু {অ্যারে} {ll} 1 & \ পাঠ্য {যদি} E \ পাঠ্য {দেখা দেয়} \\ 0 & \ পাঠ্য {যদি} E \ পাঠ্য occur না ঘটে} \ শেষ {অ্যারে} \ ঠিক

এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংজ্ঞা থেকে এবং স্পষ্টভাবে প্রত্যাশা থেকে

ই [এক্স] = পি (ই) \\ ই [এক্স \ মিড ওয়াই = ইয়] = পি (ই \ মিড ওয়াই = ই) rand যেকোন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য $ ওয়াই $

এখন আমাদের যে কোনও অর্থে শর্তাধীন প্রত্যাশা দ্বারা

পি (ই) = \ যোগ_ {y} পি (ই \ মিড ওয়াই = ই) পি (ওয়াই = ই) \ কোয়াড $ যদি $ ওয়াই disc বিচ্ছিন্ন \\ $ = \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} P (E \ মাঝের Y = y) f_ {Y} (y) dy \ quad $ যদি $ Y continuous অবিচ্ছিন্ন থাকে

উদাহরণ:

র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনটি গণনা করুন, যদি ইউ ইন্টারভেল (0,1) এ অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় এবং ইউ = পি প্রদত্ত শর্তসাপেক্ষ বিতরণকে প্যারামিটার এন এবং পি দিয়ে দ্বিপদী হিসাবে বিবেচনা করুন।

সমাধান:

ইউ এর মান জন্য কন্ডিশনার দ্বারা সম্ভাবনা হয়

\ শুরু igned সারিবদ্ধ} পি [এক্স = আই] এবং = \ ইনট_ {0} ^ {1} পি \ বাম [এক্স = আমি \ মিড ইউ = পিএল f_ {ইউ} (পি) ডিপি \ ডান \\ = & = \ int_ {0} ^ {1} পি [এক্স = আমি \ মিড ইউ = পি \} ডিপি \\ & = \ ফ্র্যাক {এন!} {আই! (এনআই)!} \ ইন্ট_ {0} ^ {1} পি ^ {i} (1-পি) ^ i নি} ডিপি \ শেষ igned সারিবদ্ধ}

আমরা ফলাফল আছে

\ অন্তর্_ {0} ^ {1} পি ^ {আই} (1-পি) ^ {নি} ডিপি = \ ফ্র্যাক {আই! (এনআই)!} {(এন + 1)!

সুতরাং আমরা পেতে হবে

পি [এক্স = আই] = rac ফ্র্যাক {1} {n + 1} \ কোয়াড আই = 0, d এলডটস, এন

উদাহরণ:

এক্স <ওয়াই এর সম্ভাব্যতা কত, যদি এক্স এবং ওয়াই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়X এবং চY যথাক্রমে.

সমাধান:

শর্তাধীন প্রত্যাশা এবং শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা ব্যবহার করে

\ start {সারিবদ্ধ} পি \ {এক্স

as

FX (y) = \ int _ _ - \ infty} ^ {y} f_ {X} (x) dx

উদাহরণ:

এক্স এবং ওয়াই অবিচ্ছিন্ন স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের গণনা করুন

সমাধান:

এক্স + ওয়াইয়ের বিতরণ খুঁজতে আমাদের নীচের হিসাবে কন্ডিশনার ব্যবহার করে যোগফলের সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে হবে

\ start {সারিবদ্ধ} পি (এক্স + ওয়াই)

উপসংহার:

স্বতন্ত্র এবং নিয়মিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা বিভিন্ন উদাহরণের সাথে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং বিভিন্ন পরিস্থিতিতে যৌথ বন্টন ব্যবহার করে আলোচিত এ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কয়েকটি প্রকার বিবেচনা করে, শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করে কীভাবে সন্ধান করা যায় তার প্রত্যাশা এবং সম্ভাবনাও ব্যাখ্যা করা হয়েছে উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় নীচের বইগুলি বা সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত আরও নিবন্ধের জন্য, দয়া করে আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠাগুলি.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

শর্তাধীন প্রত্যাশা | 5+ উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X