একে অপরের উপর নির্ভর করে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য শর্তাধীন সম্ভাবনার গণনার প্রয়োজন যা আমরা ইতিমধ্যে আলোচনা করেছি, এখন আমরা এ জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবল বা শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা এবং বিভিন্ন ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ পরিবর্তনের মতো পরীক্ষাগুলির জন্য আরও কিছু পরামিতিগুলি নিয়ে আলোচনা করব।
শর্তাধীন প্রত্যাশা
Y দেওয়া প্রদত্ত ডিস্ক্রিট এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা ভর কার্যকারিতার সংজ্ঞা
এখানে pY(y)>0, তাই শর্তসাপেক্ষ পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য প্রত্যাশা PY (y)>0 হলে X দেওয়া হয় Y
উপরের প্রত্যাশায় সম্ভাবনা হল শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা.
একইভাবে যদি এক্স এবং ওয়াই ধারাবাহিকভাবে থাকে তবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর শর্তাধীন সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন ওয়াই দেওয়া হবে
যেখানে f (x, y) হল যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং সমস্ত yf এর জন্যY(y)> 0, সুতরাং y দেওয়া র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা হবে
সমস্ত yf জন্যY(y)> 0।
আমরা জানি যে সব সম্ভাবনার বৈশিষ্ট্য শর্তসাপেক্ষে প্রযোজ্য সম্ভাব্যতা শর্তাধীন প্রত্যাশার ক্ষেত্রেও একই, গাণিতিক প্রত্যাশার সমস্ত বৈশিষ্ট্য শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, উদাহরণস্বরূপ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশনের শর্তাধীন প্রত্যাশা হবে
এবং শর্তাধীন প্রত্যাশায় এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল হবে
দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা
শর্তসাপেক্ষ খুঁজে পেতে দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টির প্রত্যাশা n এবং p পরামিতি সহ X এবং Y যেগুলি স্বাধীন, আমরা জানি যে X+Yও 2n এবং p পরামিতিগুলির সাথে দ্বিপদী র্যান্ডম চলক হবে, তাই র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর জন্য X+Y=m গণনা করে শর্তাধীন প্রত্যাশা পাওয়া যাবে সম্ভাবনা
যেহেতু আমরা জানি
সুতরাং এক্স প্রদত্ত এক্স + ওয়াই = মিটার শর্তাধীন প্রত্যাশা
উদাহরণ:
শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা সন্ধান করুন
যদি জয়েন্ট অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন X এবং Y হিসাবে দেওয়া হয়
সমাধান:
শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা গণনা করার জন্য আমাদের শর্তযুক্ত সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন প্রয়োজন require
যেহেতু ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য শর্তাধীন প্রত্যাশা হয়
অতএব প্রদত্ত ঘনত্ব ফাংশনের জন্য শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা হবে ation
কন্ডিশনার দ্বারা প্রত্যাশা || শর্তাধীন প্রত্যাশা দ্বারা প্রত্যাশা
আমরা গণনা করতে পারেন গাণিতিক প্রত্যাশা X এর শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার সাহায্যে Y হিসাবে দেওয়া হয়েছে
বিযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এটি হবে
যা হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে
এবং অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো জন্য আমরা একইভাবে প্রদর্শন করতে পারেন
উদাহরণ:
কোনও ব্যক্তি ভূগর্ভস্থ তার বিল্ডিংয়ে আটকা পড়েছিল কারণ কিছুটা ভারী বোঝার কারণে প্রবেশ পথ আটকা পড়েছে ভাগ্যক্রমে তিনটি পাইপলাইন রয়েছে যেখান থেকে সে প্রথম পাইপটি নিরাপদে বাইরে নিয়ে যেতে পারে 3 ঘন্টা পরে, দ্বিতীয়টি 5 ঘন্টা পরে এবং তৃতীয় পাইপলাইন পরে 7 ঘন্টা, যদি এই পাইপলাইনগুলির কোনও তার দ্বারা সমানভাবে সম্ভাব্য হিসাবে বেছে নেওয়া হয়, তবে তিনি নিরাপদে বাইরে আসবেন এমন প্রত্যাশিত সময়টি কী হবে?
সমাধান:
এক্সটিকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন যে ব্যক্তিটি নিরাপদে বাইরে না আসা পর্যন্ত কয়েক ঘন্টা সময়কে বোঝায় এবং ওয়াই প্রথমে যে পাইপটি পছন্দ করেন তা বোঝায়, তাই
থেকে
যদি ব্যক্তিটি দ্বিতীয় পাইপটি চয়ন করে তবে তিনি এতে 5 টি হাউস ব্যয় করেন তবে তিনি প্রত্যাশিত সময় নিয়ে বাইরে আসেন
সুতরাং প্রত্যাশা হবে
শর্তাধীন প্রত্যাশা ব্যবহার করে এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যার যোগফলের প্রত্যাশা
যাক N এলোমেলো ভেরিয়েবলের এলোমেলো সংখ্যা এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল তাহলে প্রত্যাশা
থেকে
as
এইভাবে
দ্বিখণ্ডিত বিতরণের সম্পর্ক
যদি বিভাজনে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হয়
কোথায়
তারপরে ঘনত্ব ফাংশন সহ দ্বিবিভক্ত বিতরণের জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক
পারস্পরিক সম্পর্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার প্রত্যাশা হয়
সাধারণ বিতরণের জন্য শর্তাধীন বিতরণ এক্স দেওয়া ওয়াইয়ের অর্থ হয়
এখন XY প্রদত্ত ওয়াইয়ের প্রত্যাশা
এই দেয়
অত: পর
জ্যামিতিক বিতরণের বৈচিত্র্য
জ্যামিতিক বিতরণে আসুন আমরা ধারাবাহিকভাবে স্বাধীন ট্রায়ালগুলি সম্পাদন করি যা ফলস্বরূপ p এর সাফল্যের ফলস্বরূপ, N যদি এই উত্তরসূরিদের মধ্যে প্রথম সাফল্যের সময়টি উপস্থাপন করে তবে সংজ্ঞা অনুসারে N এর ভিন্নতা হবে
প্রথম পরীক্ষার ফলাফল সাফল্যের সাথে সাথে এলোমেলো পরিবর্তনযোগ্য Y = 1 এবং প্রথম পরীক্ষার ফলাফল যদি ব্যর্থ হয় তবে এখন গাণিতিক প্রত্যাশা সন্ধান করার জন্য আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা হিসাবে প্রয়োগ করি
থেকে
যদি সাফল্য প্রথম বিচারে হয় তবে এন = 1 এবং এন2= 1 যদি প্রথম বিচারে ব্যর্থতা দেখা দেয়, তবে প্রথম সাফল্য পেতে মোট পরীক্ষার সংখ্যা 1 এর সমান বন্টন করতে হবে অর্থাৎ প্রথম ট্রায়াল যা ব্যতিরেকে অতিরিক্ত সংখ্যক বিচারের অতিরিক্ত সংখ্যার সাথে ব্যর্থতার ফলস্বরূপ,
এইভাবে প্রত্যাশা হবে
যেহেতু জ্যামিতিক বিতরণের প্রত্যাশা so
অত: পর
এবং
E
সুতরাং জ্যামিতিক বিতরণের বৈচিত্র হবে
অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ন্যূনতম ক্রমের প্রত্যাশা
অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম ইউ1, ইউ2 … .. বিরতি (0, 1) ও এন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
তারপরে N এর প্রত্যাশার জন্য, কোনও x for [0, 1] এর জন্য N এর মান
আমরা এন এর প্রত্যাশা হিসাবে সেট করব
প্রত্যাশাটি খুঁজতে আমরা ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তাধীন প্রত্যাশার সংজ্ঞাটি ব্যবহার করি
ক্রম প্রথম মেয়াদে এখন কন্ডিশনার আমাদের আছে
আমরা এখানে
অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বাকী সংখ্যাটি সেই বিন্দুতে একই যেখানে প্রথম ইউনিফর্ম মানটি y হয়, শুরুতে এবং তারপরে তাদের যোগফল x - y ছাড়িয়ে যাওয়ার আগে পর্যন্ত অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যুক্ত করতে চলেছিল।
সুতরাং প্রত্যাশার এই মানটি ব্যবহার করে অবিচ্ছেদ্যের মান হবে
যদি আমরা এই সমীকরণটি পৃথক করি
এবং
এখন এই দেয় একীকরণ
অত: পর
x = 1 হলে কে = 0 এর মান
m
এবং মি (1) = ই, ব্যবধানে 0 (1, 1) অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির প্রত্যাশিত সংখ্যা যা তাদের যোগফল XNUMX ছাড়িয়ে যায় না, যোগ করার আগে সমান হবে
শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহারের সম্ভাবনা || কন্ডিশনার ব্যবহারের সম্ভাবনা
আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার মতো শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করে শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করেও সম্ভাব্যতাটি খুঁজে পেতে পারি, এটি একটি ইভেন্ট এবং এলোমেলো পরিবর্তনীয় এক্স হিসাবে বিবেচনা করার জন্য
এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংজ্ঞা থেকে এবং স্পষ্টভাবে প্রত্যাশা থেকে
এখন আমাদের যে কোনও অর্থে শর্তাধীন প্রত্যাশা দ্বারা
উদাহরণ:
গণনা সম্ভাব্য ভর ফাংশন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর , যদি U হল ব্যবধানে অভিন্ন র্যান্ডম চলক (0,1), এবং X-এর শর্তসাপেক্ষ বন্টন বিবেচনা করুন U=p পরামিতি n এবং p সহ দ্বিপদী হিসাবে।
সমাধান:
ইউ এর মান জন্য কন্ডিশনার দ্বারা সম্ভাবনা হয়
আমরা ফলাফল আছে
সুতরাং আমরা পেতে হবে
উদাহরণ:
এক্স <ওয়াই এর সম্ভাব্যতা কত, যদি এক্স এবং ওয়াই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়X এবং চY যথাক্রমে.
সমাধান:
শর্তাধীন প্রত্যাশা এবং শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা ব্যবহার করে
as
উদাহরণ:
এক্স এবং ওয়াই অবিচ্ছিন্ন স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের গণনা করুন
সমাধান:
এক্স + ওয়াইয়ের বিতরণ খুঁজতে আমাদের নীচের হিসাবে কন্ডিশনার ব্যবহার করে যোগফলের সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে হবে
উপসংহার:
স্বতন্ত্র এবং নিয়মিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা বিভিন্ন উদাহরণের সাথে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং বিভিন্ন পরিস্থিতিতে যৌথ বন্টন ব্যবহার করে আলোচিত এ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কয়েকটি প্রকার বিবেচনা করে, শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করে কীভাবে সন্ধান করা যায় তার প্রত্যাশা এবং সম্ভাবনাও ব্যাখ্যা করা হয়েছে উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় নীচের বইগুলি বা সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত আরও নিবন্ধের জন্য, দয়া করে আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠাগুলি.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা
