এই নিবন্ধে শর্তসাপেক্ষ ভিন্নতা এবং ভবিষ্যদ্বাণীগুলি বিভিন্ন ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করে কিছু উদাহরণ সহ আমরা আলোচনা করব।
শর্তাধীন বৈচিত্র
Y প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর শর্তসাপেক্ষ প্রকরণ একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেমন Y প্রদত্ত এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা
(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|ওয়াই]
এখানে ভ্যারিয়েন্স হল র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং Y এর মান দেওয়া হলে X প্রদত্ত Y এর শর্তাধীন প্রত্যাশার বর্গক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্যের শর্তাধীন প্রত্যাশা।
মধ্যে সম্পর্ক শর্তাধীন প্রকরণ এবং শর্তাধীন প্রত্যাশা is
(X|Y) = E[X2|Y] - (E[X|Y])2
E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] - E[(E[X|Y])2]
= ই[এক্স2] – E[(E[X\Y])2]
যেহেতু E[E[X|Y]] = E[X], আমাদের আছে
(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] - (E[X])2
এটি নিঃশর্ত প্রকরণ এবং প্রত্যাশার সম্পর্ক থেকে একরকম অনুরূপ যা ছিল
Var(X) = E[X2] - (E[X])2
এবং আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রকরণের সাহায্যে বৈচিত্র্য খুঁজে পেতে পারি
Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])
শর্তাধীন বৈচিত্রের উদাহরণ
বাসে প্রবেশকারী যাত্রীদের সংখ্যার গড় এবং তারতম্য খুঁজুন যদি মানুষ বাস ডিপোতে পৌঁছায় তাহলে পয়সন গড় λt দিয়ে বিতরণ করা হয় এবং বাস ডিপোতে আসা প্রাথমিক বাসটি মানুষের মধ্যে ব্যবধানে (0,T) সমানভাবে বিতরণ করা হয়। এসেছে কি না।
সমাধান:
গড় এবং প্রকরণ খুঁজে বের করার জন্য যে কোন সময় t , Y হল বাসের আগমনের সময়ের জন্য এলোমেলো চলক এবং N(t) হল আগমনের সংখ্যা
E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]
Y এবং N(t) এর স্বাধীনতা দ্বারা
=λt
যেহেতু N(t) মানে Poisson \lambda t
অত: পর
E[N(Y)|Y]=λY
তাই প্রত্যাশা গ্রহণ করে
E[N(Y)] = λই[ওয়াই] = λটি/2
Var(N(Y)) পেতে, আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রকরণ সূত্র ব্যবহার করি
এইভাবে
(N(Y)|Y) = λY
E[N(Y)|Y] = λY
অতএব, শর্তসাপেক্ষ বৈচিত্র সূত্র থেকে,
Var(N(Y)) = E[λY]+(λY)
=λT/2 + λ2T2/ 12
যেখানে আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করেছি যে Var(Y)=T2 / এক্সএনএমএক্স
র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এলোমেলো সংখ্যার যোগফলের প্রকরণ
স্বাধীন এবং অভিন্ন ক্রম বিবেচনা করুন বণ্টিত এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স1,X2,X3,……… এবং এই ক্রম থেকে স্বাধীন আরেকটি এলোমেলো চলক N, আমরা খুঁজে পাব যোগফলের ভিন্নতা এই ক্রম হিসাবে
ব্যবহার
যা স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ভিন্নতা এবং শর্তসাপেক্ষ প্রকরণের সংজ্ঞার সাথে সুস্পষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অনুক্রমের যোগফলের সাথে
ভবিষ্যদ্বাণী
ভবিষ্যদ্বাণীতে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান অন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণের ভিত্তিতে ভবিষ্যদ্বাণী করা যেতে পারে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি X হয় তবে আমরা জি(এক্স) ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করি যা পূর্বাভাসিত মানকে বলে, স্পষ্টতই আমরা Y এর সাথে বন্ধ g(X) বেছে নেওয়ার চেষ্টা করুন এর জন্য সেরা g হল g(X)=E(Y|X) এর জন্য আমাদের অবশ্যই অসমতা ব্যবহার করে g এর মান কমাতে হবে
এই অসমতা আমরা পেতে পারি
যাইহোক, দেওয়া X, E[Y|X]-g(X), X এর একটি ফাংশন হওয়ায়, একটি ধ্রুবক হিসাবে গণ্য করা যেতে পারে। এইভাবে,
যা প্রয়োজনীয় বৈষম্য দেয়
ভবিষ্যদ্বাণী উপর উদাহরণ
1. এটা দেখা যায় যে একজন ব্যক্তির উচ্চতা ছয় ফুট, বড় হওয়ার পরে তার ছেলেদের উচ্চতা কত হবে যদি ছেলের উচ্চতা যা এখন x ইঞ্চি তা সাধারণত x+1 এবং পার্থক্য 4 দিয়ে বন্টন করা হয়।
সমাধান: X-কে ব্যক্তির উচ্চতা নির্দেশ করে র্যান্ডম চলক এবং Y হল পুত্রের উচ্চতার জন্য র্যান্ডম চলক, তারপর র্যান্ডম চলক Y হল
Y=X+e+1
এখানে e র্যান্ডম ভেরিয়েবল X থেকে মুক্ত স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে উপস্থাপন করে গড় শূন্য এবং ভ্যারিয়েন্স চার সহ।
তাই ছেলেদের উচ্চতার ভবিষ্যদ্বাণী
তাই বৃদ্ধির পর ছেলের উচ্চতা হবে ৭৩ ইঞ্চি।
2. অবস্থান A এবং অবস্থান B থেকে সংকেত পাঠানোর একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন, যদি অবস্থান A থেকে একটি সংকেত মান s পাঠানো হয় যা অবস্থান B এ সাধারণ বন্টন দ্বারা গড় s এবং প্রকরণ 1 দ্বারা প্রাপ্ত হয় যখন A এ প্রেরিত সংকেত S সাধারণত বিতরণ করা হয় গড় \mu এবং প্রকরণ \sigma^2 সহ, আমরা কীভাবে ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারি যে অবস্থান A থেকে পাঠানো সংকেত মান Rটি B অবস্থানে r?
সমাধান: সংকেত মান S এবং R এখানে সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিকে নির্দেশ করে, প্রথমে আমরা শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশনটি খুঁজে পাই যে R দেওয়া হয়েছে
এই K এখন S থেকে স্বাধীন
এখানেও সি1 এবং সি2 S-এর উপর স্বাধীন, তাই শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশনের মান
Cও s-এর উপর স্বাধীন, এইভাবে অবস্থান A থেকে R হিসাবে প্রেরিত সংকেত এবং B অবস্থানে r হিসাবে গৃহীত হয় গড় এবং পার্থক্য সহ স্বাভাবিক
এবং এই পরিস্থিতির জন্য গড় বর্গক্ষেত্র ত্রুটি হয়
রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণীকারী
যতবার আমরা যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন খুঁজে পাই না এমনকি গড়, প্রকরণ এবং দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কও জানা যায়, এই ধরনের পরিস্থিতিতে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণী অন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে খুবই সহায়ক যা সর্বনিম্ন ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারে। , তাই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণীকারীর জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর সাপেক্ষে আমরা a এবং b মিনিমাইজ করি
এখন a এবং b এর সাপেক্ষে আংশিক পার্থক্য করুন আমরা পাব
a nd b এর এই দুটি সমীকরণ সমাধান করলে আমরা পাব
এইভাবে এই প্রত্যাশা কমিয়ে দেওয়া রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণী হিসাবে দেয়
যেখানে উপায়গুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y এর নিজ নিজ মাধ্যম, রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণীর জন্য ত্রুটির প্রত্যাশার সাথে প্রাপ্ত করা হবে
এই ত্রুটিটি শূন্যের কাছাকাছি হবে যদি পারস্পরিক সম্পর্ক পুরোপুরি ধনাত্মক বা পুরোপুরি ঋণাত্মক হয় যা পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ হয় +1 বা -1 হয়।
উপসংহার
বিযুক্ত এবং জন্য শর্তাধীন প্রকরণ ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বিভিন্ন উদাহরণের সাথে আলোচনা করা হয়েছে, ভবিষ্যদ্বাণীতে শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগটি উপযুক্ত উদাহরণ এবং সেরা রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণী সহ ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে নীচের লিঙ্কগুলির মাধ্যমে যান৷
গণিত বিষয়ে আরও পোস্টের জন্য, অনুগ্রহ করে আমাদের দেখুন গণিত পাতা
শেলডন রসের সম্ভাব্যতার প্রথম কোর্স
Schaum এর সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা
আমি ড. মোহাম্মদ মাজহার উল হক। আমি আমার পিএইচডি সম্পন্ন করেছি। গণিতে এবং গণিতে সহকারী অধ্যাপক হিসাবে কাজ করছেন। শিক্ষকতার 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। বিশুদ্ধ গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, সঠিকভাবে বীজগণিতের উপর। সমস্যা ডিজাইন এবং সমাধানের অপরিসীম ক্ষমতা থাকা। প্রার্থীদের তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে অনুপ্রাণিত করতে সক্ষম।
আমি নতুনদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করতে ল্যাম্বডেগেক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।