শর্তাধীন বৈচিত্র এবং পূর্বাভাস | 5+ উদাহরণ সহ এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

এই নিবন্ধে শর্তসাপেক্ষ ভেরিয়েন্স এবং ভবিষ্যদ্বাণীগুলি বিভিন্ন ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা ব্যবহার করে কয়েকটি উদাহরণ সহ আমরা আলোচনা করব।

সূচি তালিকা

শর্তসাপেক্ষ বৈচিত্র্য

Y প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর শর্তসাপেক্ষ প্রকরণটি Y হিসাবে প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা হিসাবে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

ভার (এক্স | ওয়াই) = ই [(এক্সই [এক্স | ওয়াই]) ^ {2} | ওয়াই]

এখানে ভেরিয়েন্সটি হ'ল Y এর মান দেওয়া হলে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং X এর প্রদত্ত শর্তাধীন প্রত্যাশার বর্গের মধ্যে পার্থক্যের শর্তাধীন প্রত্যাশা।

শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিক এবং শর্তাধীন প্রত্যাশার মধ্যে সম্পর্ক relation

rat অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স \ মিড ওয়াই) = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ মিড ওয়াই \ ডান] - (ই [এক্স \ মিড ওয়াই]) ^ {2} \\\ আর্টিং} ই [ \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স \ মিড ওয়াই)] এবং = ই \ বাম [ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ মিড ওয়াই \ ডান] \ ডান] -ই \ বাম [(ই [এক্স \ মিড ওয়াই]) ^ {2} \ ডান] \\ & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] -E \ বাম [(ই [এক্স \ মিড ওয়াই]) {{2} \ ডান] \ শেষ {সারিবদ্ধ} \ \থেকে \; ই [ই [এক্স \ মিড ওয়াই]] = ই [এক্স], \; আমরা \; \\\ অপেরাটর্নাম {ভার} (ই [এক্স \ মিড ওয়াই]) = ই \ বাম [(ই [এক্স \ মিড ওয়াই]) ^ {2} \ ডান] - (ই [এক্স]) ^ {2}

এটি শর্তহীন বৈকল্পিকতা এবং প্রত্যাশার সম্পর্ক থেকে একরকম অনুরূপ

\ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] - (ই [এক্স]) ^ {2}

এবং আমরা শর্তাধীন বৈকল্পিকের সাহায্যে বৈকল্পিকটি খুঁজে পেতে পারি

\ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) = ই [\ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স \ মিড ওয়াই)] + \ অপেরাটর্নাম {ভার} (ই [এক্স \ মিড ওয়াই])

শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিকতার উদাহরণ

বাসে প্রবেশকারী যাত্রীদের সংখ্যার গড় এবং তারতম্য সন্ধান করুন লোকেরা বাস ডিপোতে পৌঁছে যদি পয়সনকে মাঝারি সাথে বিতরণ করা হয় এবং বাস ডিপোতে আগত প্রাথমিক বাসটি সমানভাবে ব্যবধানে বিতরণ করা হয় (0, টি) লোকজন পৌঁছেছে কি না।

সমাধান:

গড় এবং তারতম্যটি যে কোনও সময়ের জন্য আসা যাক, ওয়াই হ'ল সময় বাসের জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এন (টি) আগতদের সংখ্যা

E [N (Y) \ মাঝের Y = t] = ই [এন (টি) \ মাঝের Y = t] \\ = ই [এন (টি)]

ওয়াই এবং এন (টি) এর স্বাধীনতার দ্বারা

= \ ল্যাম্বদা টি

যেহেতু এন (টি) মানে পইসন \lambda t
অত: পর

E [N (Y) \ মধ্য Y] = \ ল্যাম্বদা ওয় Y

সুতরাং প্রত্যাশা গ্রহণ দেয়

E [N (Y)] = \ ল্যাম্বদা E [Y] = \ frac {\ ল্যাম্বদা টি} {2}

ভার (এন (ওয়াই)) পেতে, আমরা শর্তযুক্ত বৈকল্পিক সূত্রটি ব্যবহার করি

\ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন (ওয়াই) \ মিড ওয়াই = টি) = \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন (টি) \ মিড ওয়াই = টি) \\ = \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন (টি)) \ কোয়াডবি \ কোয়াড স্বাধীনতা \ কোয়াড \ কোয়াড \\ = \ ল্যাম্বদা টি t

এইভাবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন (ওয়াই) \ মিডওয়াই) এবং = \ ল্যাম্বডা ওয়াই \\ ই [এন (ওয়াই) \ মিড ওয়াই] & = \ ল্যাম্বদা ওয়াই-এন্ড igned সারিবদ্ধ}

সুতরাং, শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিক সূত্র থেকে,

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন (ওয়াই)) এবং = ই [\ ল্যাম্বডা ওয়াই] + \ অপেরাটর্নাম {ভার} (\ ল্যাম্বদা ওয়াই) \\ & = \ ল্যাম্বদা \ ফ্র্যাক {টি} {2} + mb ল্যাম্বদা ^ {2} rac frac {T ^ {2}} {12} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

যেখানে আমরা ভার (Y) = টি ব্যবহার করেছিলাম2 / এক্সএনএমএক্স

একটি এলোমেলো সংখ্যার এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের বৈচিত্র

স্বতন্ত্র এবং একইভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্রম বিবেচনা করুন1,X2,X3, ………। এবং এই ক্রম থেকে পৃথক অন্য একটি এলোমেলো পরিবর্তনীয় N, আমরা হিসাবে এই ক্রমের যোগফলের বৈচিত্র খুঁজে পাবেন

\ অপেরাটর্নাম {ভার} \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ ডান)

ব্যবহার

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ মধ্য এন \ ডান] এবং = NE [এক্স] \ \ অপেরাটর্নাম {ভার} \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ মাঝের এন \ ডানদিকে) এবং = এন \ অপারেটর্নাম {ভার} (এক্স) \ ডান] \ প্রান্ত igned সারিবদ্ধ}

যা পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম যোগফলের জন্য বৈকল্পিক এবং শর্তসাপেক্ষ পরিবর্তনের সংজ্ঞা সহ সুস্পষ্ট hence

rat rat অপেরাটর্নাম {ভার} \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {এন} এক্স_ {আই} \ ডান) = ই [এন] \ অপারেটর্নাম {ভার} (এক্স) + (ই [এক্স]) ^ { 2} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এন)

ভবিষ্যদ্বাণী

পূর্বাভাসে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণের ভিত্তিতে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান পূর্বাভাস দেওয়া যেতে পারে, র্যান্ডম ভেরিয়েবল ওয়াইয়ের পূর্বাভাসের জন্য যদি পর্যবেক্ষণ করা হয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স হয় তবে আমরা ফাংশন হিসাবে জি (এক্স) ব্যবহার করি যা পূর্বাভাসিত মানকে বলে, অবশ্যই আমরা এর জন্য জি (এক্স) বন্ধ করে বেছে নেওয়ার চেষ্টা করুন এর জন্য সেরা জি হ'ল জি (এক্স) = ই (ওয়াই | এক্স) এর জন্য আমাদের অবশ্যই অসমতা ব্যবহার করে জি এর মান হ্রাস করতে হবে

\\ E \ বাম [(Yg (X)) ^ {2} \ ডান] \ geq E \ বাম [(YE [ওয়াই - মিড এক্স]) ^ {2}

এই অসমতা আমরা হিসাবে পেতে পারেন

\ start {সারিবদ্ধ} E \ বাম [[Yg (X)) ^ {2} \ মিড এক্স \ ডান] = এবং ই \ বাম [(YE [Y \ মিড এক্স] + ই [ওয়াই-মিড এক্স] -g ( এক্স)) ^ {2} \ মিড এক্স \ ডান] \\ = এবং ই \ বাম [(ওয়াই [ওয়াই - মিড এক্স]] ^ {2} \ মিড এক্স \ ডান] \\ & + ই \ বাম [(ই [ওয়াই \ মিড এক্স] -জি (এক্স)) {{2} \ মিড এক্স \ রাইট] \\ & + 2 ই [(ওয়াই [ওয়াই - মিড এক্স]) (ই [ওয়াই-মিড এক্স] -জি (এক্স )) \ মিড এক্স] \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

তবে এক্স, ই [ওয়াই | এক্স] -জি (এক্স) দেওয়া এক্স এর ক্রিয়াকলাপ হিসাবে ধ্রুবক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এইভাবে,

\ \ শুরু igned সারিবদ্ধ} ই [এবং (ওয়াই [ওয়াই - মিড এক্স]) (ই [ওয়াই - মিড এক্স] -জি (এক্স)) \ মিড এক্স] \\ & = (ই [ওয়াই - মিড এক্স] -জি (এক্স)) ই [ইয়ে [ওয়াই] মিড এক্স] \ মিড এক্স] \\ এবং = (ই [ওয়াই-মিড এক্স] -জি (এক্স)) (ই [ওয়াই-মিড এক্স) -ই [ওয়াই-মিড এক্স ]) \\ & = 0 \ শেষ {সারিবদ্ধ}

যা প্রয়োজনীয় বৈষম্য দেয়

\ E \ বাম [(Yg (X)) ^ {2} \ ডান] \ geq E \ বাম [(YE [Y \ মাঝের এক্স]) ^ {2}

a

ভবিষ্যদ্বাণী উপর উদাহরণ

১. দেখা যায় যে কোনও ব্যক্তির উচ্চতা ছয় ফুট, বড় হওয়ার পরে তার ছেলের উচ্চতার ভবিষ্যদ্বাণী কী হবে যদি ছেলের উচ্চতা এখন x ইঞ্চি হয় তবে সাধারণত x + 1 এবং বৈকল্পিক 1 দিয়ে বিতরণ করা হয়?

সমাধান: এক্স এর ব্যক্তির উচ্চতা বোঝাতে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন এবং ওয়াই এর ছেলের উচ্চতার জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে হবে, তারপরে এলোমেলো পরিবর্তনশীল ওয়াই হবে is

Y = X + e + 1

এখানে এবং গড় শূন্য এবং ভেরিয়েন্স ফোর সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের চেয়ে সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিনিধিত্ব করে।

সুতরাং পুত্রের উচ্চতা সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী

E [Y \ মাঝের এক্স = 72] = ই [এক্স + 1 + ই \ মিড এক্স = 72] \\ = 73 + ই [ই \ মিড এক্স = 72] \\ = 73 + ই (ই) \ কোয়াড \ কোয়াডের স্বাধীনতা 73 = XNUMX

সুতরাং বৃদ্ধির পরে ছেলের উচ্চতা হবে 73 ইঞ্চি।

২. অবস্থানের স্থান থেকে এবং অবস্থান বি থেকে সিগন্যাল প্রেরণের উদাহরণ বিবেচনা করুন, অবস্থান থেকে যদি একটি সিগন্যাল মান প্রেরণ করা হয় যা অবস্থান বিতে যথাযথ বন্টন দ্বারা প্রাপ্ত হয় গড় এবং ভেরিয়েন্স 2 যখন এ-তে প্রেরিত সিগন্যালটি সাধারণত বিতরণ করা হয় গড় \ মিউ এবং বৈকল্পিক ig সিগমা ^ 1 দিয়ে আমরা কীভাবে ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারি যে অবস্থান A থেকে প্রেরণ করা সিগন্যাল মানটি কী অবস্থানে থাকবে?

সমাধান: সংকেত মানগুলি এস এবং আরকে বোঝায় এখানে এলোমেলো পরিবর্তনগুলি সাধারণত বিতরণ করা হয়, প্রথমে আমরা শর্তযুক্ত ঘনত্বের ফাংশনটি S হিসাবে আর প্রদান করি

\ \ শুরু igned সারিবদ্ধ} f_ {এস \ মিড আর} (গুলি \ মিড আর) এবং = \ ফ্র্যাক {f_ {এস, আর} (গুলি, আর)} _ f_ {আর} (র)} \\ & = \ frac {f_ {S} (গুলি) f_ {R \ মাঝের এস r (r \ মাঝের গুলি)} {f_ {আর} (আর)} \\ & = কে ই ^ {- (এস- \ মিউ) ^ {2 } / 2 \ সিগমা {2 2}} ই ^ {- (আরএসএস) {{2} / XNUMX} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এই কে এখন এস থেকে স্বতন্ত্র

\ \begin{aligned} \frac{(s-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}+\frac{(r-s)^{2}}{2}&=s^{2}\left(\frac{1}{2 \sigma^{2}}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{\mu}{\sigma^{2}}+r\right) s+C_{1}\\ &=\frac{1+\sigma^{2}}{2 \sigma^{2}}\left[s^{2}-2\left(\frac{\mu+r \sigma^{2}}{1+\sigma^{2}}\right) s\right]+C_{1} \\ &=\frac{1+\sigma^{2}}{2 \sigma^{2}}\left(s-\frac{\left(\mu+r \sigma^{2}\right)}{1+\sigma^{2}}\right)^{2}+C_{2} \end{aligned}

এখানেও সি1 এবং সি2 এস-তে স্বতন্ত্র, সুতরাং শর্তসাপেক্ষ ঘনত্ব ফাংশনের মান

\ f_S \ মিড আর (গুলি r মিড আর) = সি ই ^ {\ বাম \ {\ frac {- \ বাম [s- \ frac {\ বাম (\ মিউ + আর ig সিগমা ^ {2} \ ডান)} { 1+ ig সিগমা ^ {2}} \ ডান] ^ {2}} {2 \ বাম (\ frac {\ সিগমা {{2}} {1+ \ সিগমা {2 XNUMX}} \ ডান)} \ ডান \ }}

সি এর ক্ষেত্রেও স্বতন্ত্র, সুতরাং এ স্থান থেকে আর হিসাবে সি হিসাবে সংকেত প্রেরণ করা হয়েছিল এবং বি হিসাবে অবস্থিত বি হিসাবে প্রাপ্ত সংকেতটি গড় এবং ভিন্নতার সাথে স্বাভাবিক is

\ শুরু {অ্যারে} {l} ই [এস \ মিড আর আর = আর] = rac ফ্র্যাক {\ মিউ + আর \ সিগমা {{2}} {1+ \ সিগমা {{2} \\ \ অপেরাটর্নাম {ভার} ( এস \ মিড আর = আর) = \ ফ্র্যাক {ig সিগমা ^ {2} {1+ ig সিগমা ^ {2}} \ এন্ড {অ্যারে}

এবং এই পরিস্থিতির জন্য গড় বর্গ ত্রুটি

ই [এস \ মিড আর আর = আর] = \ ফ্র্যাক {1} {1+ \ সিগমা ^ {2}} \ মু + \ ফ্র্যাক {ig সিগমা {{2}} {1+ \ সিগমা ^ ^ 2}} আর

লিনিয়ার প্রেডিক্টর

প্রতিবার আমরা যৌথ সম্ভাব্যতার ঘনত্বের ফাংশনটিও খুঁজে পাই না এমনকি গড়, বৈচিত্র এবং দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক জানা যায়, এমন পরিস্থিতিতে অন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণী অত্যন্ত সহায়ক যা নূন্যতম পূর্বাভাস দিতে পারে সুতরাং, এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবল ওয়াইয়ের লিনিয়ার প্রেডিকটারের জন্য আমরা একটি এবং বি কমিয়ে আনতে চাই

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [(Y- (a + b X)) ^ {2} \ ডান] = এবং E \ বাম [Y ^ {2} -2 a Y-2 b X Y + a ^ { 2} +2 আব এক্স + বি ^ {2} এক্স ^ {2} \ ডান] \\ = এবং ই \ বাম [ওয়াই ^ {2} \ ডান] -2 এ ই [ওয়াই] -2 খ ই [এক্সওয়াই] + a ^ {2} +2 আব E E [এক্স] + বি ^ {2} ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এখন আমরা একটি এবং খ সম্মানের সাথে আংশিক পার্থক্য করুন

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ frac {\ আংশিক} {\ আংশিক a} E \ বাম [(ইয়াব এক্স) ^ {2} \ ডান] & = - 2 ই [ওয়াই] +২ এ + 2 বি ই [এক্স] \ \ rac frac {tial আংশিক} {tial আংশিক বি} ই \ বাম [[ইয়াব এক্স) ^ {2} \ ডান] এবং = - 2 ই [এক্সওয়াই] +2 এ ই [এক্স] +২ বি ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] \\ \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এনডি বি এর জন্য এই দুটি সমীকরণ সমাধান করা আমরা পাব

\ শুরু {সারিবদ্ধ} বি & = \ ফ্র্যাক {ই [এক্সওয়াই] -ই [এক্স] ই [ওয়াই]} {ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] - (ই [এক্স]) ^ {2}} = rac frac {\ Operatorname {Cov} (X, Y)} {\ sigma_ {x} ^ {2}} = \ rho \ frac {\ সিগমা_ {y}} {ig সিগমা_ {x}} \\ a & = E [ Y] -বি ই [এক্স] = ই [ওয়াই] - \ ফ্র্যাক {\ rh\ \ সিগমা_ {ই [ই [এক্স]} {\ সিগমা_ {এক্স}} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

সুতরাং এই প্রত্যাশা হ্রাস হিসাবে রৈখিক ভবিষ্যদ্বাণী হিসাবে দেয়

\ mu_ {y} + \ frac {ho rho \ সিগমা_ {Y}} {\ সিগমা_ {x}} \ বাম (X- \ mu_ {x} \ ডান)

যেখানে উপায়গুলি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সংশ্লিষ্ট মাধ্যম, লিনিয়ার প্রেডিক্টরের ত্রুটিটি প্রত্যাশা নিয়ে প্রাপ্ত হবে

\ আরম্ভ {অ্যারে} {l} E \ বাম [\ বাম (Y- \ mu_ {y} - ho rho \ frac {\ সিগমা_ {Y}} {\ সিগমা_ {x}} \ বাম (এক্স- \ মি_ {x } \ ডান) \ ডান) ^ {2} \ ডান] \\ \ কোয়াড = ই \ বাম [\ বাম (Y- \ mu_ {y} \ ডান) ^ {2} \ ডান] + \ rho ^ {2} rac frac {\ sigma_ {y} ^ {2}} {ig sigma_ {x} ^ {2}} E \ বাম [\ বাম (X- \ mu_ {x} \ ডান) ^ {2} \ ডান] -2 ho rho \ frac {\ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x}} E \ বাম [\ বাম (Y- \ mu_ {y} \ ডান) \ বাম (X- \ mu_ {x} \ ডান) \ ডান ] \\ \ কোয়াড = \ সিগমা_ {ই} ^ {{2} + \ rho ^ {2} \ সিগমা_ {Y} ^ 2} -2 \ rho ^ {2} ig সিগমা_ {ই} ^ {2} \\ \ কোয়াড = \ সিগমা_ {y} ^ {2} \ বাম (1- \ rho ^ {2} \ ডান) \ শেষ {অ্যারে}

শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিকতা
শর্তাধীন বৈকল্পিক: পূর্বাভাসে ত্রুটি

এই ত্রুটি শূন্যের নিকটে হবে যদি পারস্পরিক সম্পর্ক পুরোপুরি ইতিবাচক হয় বা পুরোপুরি নেতিবাচক হয় যা পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ হয় +1 বা -1 হয়।

উপসংহার

বিভিন্ন উদাহরণ সহ স্বতন্ত্র এবং ক্রমাগত র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিকতা নিয়ে আলোচনা করা হয়েছিল, পূর্বাভাসে শর্তাধীন প্রত্যাশার একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগও উপযুক্ত উদাহরণগুলির সাথে এবং সেরা লিনিয়ার ভবিষ্যদ্বাণী সহ ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে নীচের লিঙ্কগুলিতে যান।

গণিতে আরও পোস্টের জন্য দয়া করে আমাদের দেখুন গণিতের পৃষ্ঠা

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

আমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

লাম্বদা গিক্স