ধারাবাহিকতা সমীকরণ: 7টি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

কন্টেন্ট তালিকা

• ধারাবাহিক সমীকরণ
• ধারাবাহিকতা সমীকরণ ডিফারেনশনাল ফর্ম
• অসম্পূর্ণ প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণ
• দ্বি-মাত্রিক কোপ্লানার প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণ
• ধারাবাহিকতা সমীকরণ উদাহরণ
• প্রশ্নোত্তর
• MCQ
• উপসংহার

ধারাবাহিক সমীকরণ

স্ট্রিম টিউব দিয়ে প্রবাহিত তরলটি আদর্শ তরল হিসাবে ধরে নেওয়া হয়। স্ট্রিমলাইন জুড়ে কোনও প্রবাহ ঘটে না। এর অর্থ হ'ল তরলটি এক প্রান্তে প্রবেশ করে এবং অন্য প্রান্তে ছেড়ে যায়- নীচে হিসাবে 1-1 ইনলেট ক্রস-বিভাগে প্রবাহের শর্তটি বিবেচনা করুন,

এই দুটি বিবেচিত বিভাগের মধ্যে প্রবাহিত তরল ভর নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়,

dm = (AV? dt) - (A + dA) (V + dV) (? + d?) dt Eq… 1

উপরের সমীকরণটি সহজ করে আমরা পাই,

dm/dt = - (AV d? + V? dA + A? dV) Eq… 2

যেহেতু আমরা জানি যে অবিচলিত প্রবাহের অর্থ ধ্রুবক ভর প্রবাহের হার, এর অর্থ এখানে dm / dt = 0. এখন Eq। 2 নীচের দিকে পরিণত হয়েছে,

(AV d? + V? DA + A? DV) = 0 Eq… 3

এখন, Eq ভাগ করুন। 3 সঙ্গে? AV, সমীকরণ হবে,

(d?/?) + (dA/A) + (dV/V) = 0 Eq… 4

d (? AV) = 0 Eq… 5

? AV = ধ্রুবক Eq… 6

এখানে, এক। 6 আমাদের জানতে দেয় যে স্ট্রিম টিউব দিয়ে প্রবাহিত তরল পদার্থের প্রতিটি অংশে স্থির থাকে।

ধরুন তরলটি সংকোচনীয় (তরল) হয় তবে তরলটির ঘনত্ব কোনও পর্যায়ে পরিবর্তিত হবে না। এর অর্থ হ'ল তরল ঘনত্ব ধ্রুবক।

এভি = কনস্ট্যান্ট

A₁ V₁ = ক₂ V₂                                                                                                                           Eq… 7

এক। 7 স্ট্রিম টিউবের অভ্যন্তরে অবিচ্ছিন্ন প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণকে উপস্থাপন করে। ধারাবাহিকতা সমীকরণ অঞ্চল এবং বেগের প্রাথমিক ধারণা দেয়। ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চলের পরিবর্তন স্ট্রিম টিউব, পাইপ, ফাঁকা চ্যানেল ইত্যাদির অভ্যন্তরে প্রবাহের গতিবেগকে প্রভাবিত করে Here এই পণ্যটি স্ট্রিম টিউবের যে কোনও সময়ে স্থির থাকে। বেগটি স্ট্রিম টিউব বা পাইপের ক্রস-বিভাগের ক্ষেত্রের সাথে বিপরীতভাবে সমানুপাতিক।

ধারাবাহিকতা সমীকরণ ডিফারেনশনাল ফর্ম

ধারাবাহিকতা সমীকরণের ডিফারেন্সিয়াল রূপটি অর্জন করতে, চিত্রটিতে প্রদর্শিত হিসাবে কোনও বিষয় বিবেচনা করুন। মাত্রাগুলি হ'ল ডিএক্স, ডাই এবং ডিজে। এই গঠনের জন্য কিছু অনুমান আছে। তরলের ভর তৈরি বা ধ্বংস হয় না, গহ্বর বা তরল পদার্থে বুদবুদ (অবিচ্ছিন্ন প্রবাহ) হয় না। আমরা এক্স-দিকনির্দেশে ডিএক্স, ডাই ওয়াই এবং ডিজেডকে z দিকনির্দেশে উদ্ভাসনে স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য বিবেচনা করি।

আপনি যদি চিত্রটিতে প্রদর্শিত মুখ অনুযায়ী তরল প্রবাহের বেগ হয়। ধারণা করা হয় যে মুখ ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চল জুড়ে বেগ একরকম। 1-2-3-4 পৃষ্ঠতলের তরলের বেগ হ'ল u। এখন; পৃষ্ঠটি 5-6-7-8 থেকে 1-2-৪-৪ থেকে অনেক দূরে একটি ডেক্স দুরত্ব। সুতরাং, 3-4-5-6 এ গতিবেগ হিসাবে দেওয়া আছে

u + ∂u / ∂x dx

যেমনটি আমরা জানি যে সংকোচযোগ্য তরল ব্যবহার করে ঘনত্বের পরিবর্তন ঘটে। সংকোচযোগ্য তরল যদি কোনও বস্তুর মধ্য দিয়ে যায় তবে ঘনত্ব পরিবর্তন হবে।

বস্তুতে প্রবেশকারী গণপ্রবাহ হিসাবে দেওয়া হয়

ভর প্রবাহ =? AV

ভর প্রবাহ হার =? AV তারিখ

২-০-৩-৩ এ তরল প্রবেশ করছে

খাঁড়ি তরল = ঘনত্ব (অঞ্চল * বেগ) তারিখ

খাঁটি তরল = ρ u dy dz dt

Eq… 1

তরল 5-6-7-8 থেকে ছেড়ে যাচ্ছে

আউটলেট তরল

আউটলেট তরল = [ρu + ∂ / ∂x ()u) dx] ডাই ডিজে ডিটি	

Eq… 2

এখন, খাঁড়ি তরল এবং আউটলেট তরল মধ্যে পার্থক্য ভর দিক নির্দেশিত প্রবাহে স্থায়ী।

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x ()u) dx] dy dz dt

= - ∂ / ∂x ()u) dx dy dz dt

Eq… 3

একইভাবে, আমরা y এবং z দিকের মধ্যে তরল পদার্থের গণ্য বিবেচনা করি নীচে হিসাবে দেওয়া হয়েছে,

= - ∂ / ∂y ()v) dx dy dz dt

Eq… 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Eq… 5

এখানে, v এবং w হ'ল যথাক্রমে y এবং z দিকের তরলের বেগ।

তিনটি দিকেই তরলের ব্যাপক প্রবাহের জন্য, একের যোগ দ্বারা অক্ষ দেওয়া হয়। 3, 4, এবং 5। এটি মোট তরল ভর নীচে হিসাবে দেওয়া হয়,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y ()v) + ∂ / ∂z (ρw)] ডেক্স ডাই ডিজে ডিটি

Eq… 6

বস্তুর মধ্যে ভর পরিবর্তনের হার দ্বারা প্রদত্ত,

/M / dt dt = ∂ / ∂t (× × ভলিউম) dt = ∂ρ / dt dx dy dz dt

Eq… 7

গণ সংরক্ষণ সমঝোতা হিসাবে একা। 6 একা সমান। 7

- [∂ / ∂x ()u) + ∂ / ∂y ()v) + ∂ / ∂z (ρw)] ডেক্স ডাই ডিজে ডিটি = ∂ρ / dt ডেক্স ডাই ডিজে ডিটি ডি

উপরের সমীকরণটি সমাধান করা এবং এটি সরল করে আমরা পেয়েছি,

∂ρ / +t + ∂ / (x (ρu) + ∂ / ∂y ()v) + ∂ / ∂z ()w) = 0

Eq… 8

এক। 8 হয়। সাধারণ প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণ। এটি অবিচলিত বা অস্থির, সংকোচনযোগ্য বা সংকোচনের হতে পারে।

অসম্পূর্ণ প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণ

যদি আমরা বিবেচনা করি প্রবাহ স্থির এবং অসম্পূর্ণ। আমরা জানি যে স্থির প্রবাহের ক্ষেত্রে ??/? T = 0. যদি প্রবাহ অসম্পূর্ণ হয়, তাহলে ঘনত্ব? ধ্রুবক. সুতরাং, এই শর্তটি বিবেচনা করে, Eq। 8 হিসাবে লেখা যেতে পারে,

/U / ∂x + /v / +y + /w / ∂z = 0

দ্বি-মাত্রিক কোপ্লানার প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণ

দ্বিমাত্রিক প্রবাহে, x এবং y দুটি দিক রয়েছে। সুতরাং, u এক্স-দিকের গতিবেগ এবং v y- দিকের গতিবেগ কোনও জেড-দিকনির্দেশ নেই, তাই জেড-দিকের বেগটি শূন্য। এই শর্তগুলি বিবেচনা করে, এক। 8 নীচে হিসাবে পরিণত হয়েছে

∂ / ∂x ()u) + ∂ / ∂y ()v) = 0

সংকোচনের প্রবাহ

/U / ∂x + /v / ∂y = 0 

সঙ্কোচনীয় প্রবাহ, ঘনত্ব শূন্য

ধারাবাহিকতা সমীকরণ উদাহরণ

পাইপ দিয়ে 0.25 কেজি / সেকেন্ডের হারে ধীরে ধীরে 2.25 বারের তাপমাত্রা এবং 300 কে-এর তাপমাত্রায় প্রবাহ বায়ু রয়েছে If

ডেটা

মি = 0.25 কেজি / সে,

পি = 2.25 বার,

টি = 300 কে,

ভি = 7.5 মি / সে,

বায়ুর ঘনত্ব গণনা করুন,

পি =? আরটি

? = পি / আরটি

? = (2.25 * 10⁵ ) / (287 * 300) = 2.61 কেজি / মি³

বায়ুর গণ প্রবাহের হার,

মি =? AV

A = m /? ভি

এ = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 মি²

আমরা যে অঞ্চলটি জানি,

এ = π ডি² / 4

ডি = √ ((এ * 4) / π)

ডি = √ ((0.012 * 4) /3.14)

ডি = 0.127 মি = 12.7 সেমি

Wardর্ধ্বমুখী দিকের জলের একটি জেটটি 15 মি / সেকেন্ডের গতিতে অগ্রভাগের ডগা ছেড়ে দেয়। অগ্রভাগ ব্যাস 20 মিমি। মনে করুন অপারেশনের সময় কোনও শক্তি হ্রাস নেই। অগ্রভাগের ডগা থেকে 5 মিটার উপরে জল জেটের ব্যাস কী হবে।

উওর।

প্রথমত, সিস্টেমটি কল্পনা করুন; প্রবাহটি একটি উল্লম্ব দিকের।

ডেটা

অগ্রভাগের ডগায় ভি 1 = জেটের বেগ

অগ্রভাগের ডগা থেকে 2 মিটার উপরে ভি 5 = জেটের গতিবেগ

একইভাবে, অঞ্চলগুলি A1 এবং A2।

আমাদের নীচের মতো গতির সাধারণ সমীকরণ রয়েছে,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s

〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

ভি 2 = 11.26 মি / সে

এখন, ধারাবাহিকতা সমীকরণ প্রয়োগ করুন,

এ 1 ভি 1 = এ 2 ভি 2

এ 2 = (এ 1 ভি 1) / ভি 2

এ 2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) /11.26=4.18* 10 ^ -4 মি ^ 2

π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 মি ^ 2

ব্যাস = 0.023 মি = 23 মিমি

প্রশ্ন এবং উত্তর

ধারাবাহিকতা সমীকরণ এবং নাভিয়ার স্টোকস সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী?

সংজ্ঞা অনুসারে তরলগুলি প্রবাহিত হতে পারে তবে এটি প্রকৃতিতে মূলত সঙ্কুচিত নয়। দ্য ধারাবাহিকতা সমীকরণ পাইপের / পায়ের পাতার মোজাবিশেষের মধ্যে যা যায় তা অবশ্যই প্রকাশ করা উচিত fact সুতরাং, শেষে, পাইপ / পায়ের পাতার মোজাবিশেষের শেষে গতিবেগের অঞ্চলটি অবশ্যই স্থির থাকতে হবে।

প্রয়োজনীয় ফলস্বরূপ যদি পাইপ / পায়ের পাতার মোজাবিশেষের ক্ষেত্র হ্রাস পায় তবে ফ্লাওয়ার অবিচ্ছিন্ন রাখতে তরলটির বেগও বৃদ্ধি করতে হবে।

যদিও নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ গতিবেগ, চাপ, তাপমাত্রা এবং চলন্ত তরলের ঘনত্বের মধ্যে সম্পর্কের বর্ণনা দেয়। এই সমীকরণটি সাধারণত বিভিন্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ফর্মগুলির সাথে মিলিত হয়। সাধারণত, এটি বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করা বেশ জটিল।

ধারাবাহিকতা সমীকরণ কিসের উপর ভিত্তি করে?

ধারাবাহিকতার সমীকরণটি বলে যে কোনও ক্রস-সেকশনের পাইপে প্রবেশ করা তরলটির পরিমাণটি ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চলের অপর প্রান্তে তরল ভলিউমের সমান হওয়া উচিত, যার অর্থ প্রবাহ হারের হার স্থির হওয়া উচিত এবং হওয়া উচিত সম্পর্ক অনুসরণ করুন-

মনে করুন তরলটি সংকোচনের (তরল) হয়, তবে তরল ঘনত্ব কোনও পর্যায়ে পরিবর্তিত হবে না। এর অর্থ হ'ল তরল ঘনত্ব ধ্রুবক।

এভি = কনস্ট্যান্ট

প্রবাহ হার = ক₁ V₁ = ক₂ V₂

ধারাবাহিকতা সমীকরণটি কী জন্য ব্যবহৃত হয়?

ধারাবাহিক সমীকরণ হাইড্রোডাইনামিক্স, এয়ারোডাইনামিক্স, তড়িৎচৌম্বকত্ব, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের ক্ষেত্রে অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। এটি বার্নোলির মূলনীতিটির মৌলিক নিয়মের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, এটি পরোক্ষভাবে অ্যারোডাইনামিকের নীতি এবং প্রয়োগগুলির সাথে জড়িত।

ধারাবাহিকতার সমীকরণ প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে একটি স্থানীয় সংরক্ষণ আইনকে প্রকাশ করে। এটি নিছক একটি গাণিতিক বক্তব্য যা নির্দিষ্ট পরিমাণের স্থানীয় সংরক্ষণ সম্পর্কিত সূক্ষ্ম হলেও শক্তিশালী।

ধারাবাহিকতার সমীকরণটি সুপারসনিক প্রবাহকে ধারণ করে?

হ্যাঁ, এটি সুপারসনিক প্রবাহের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি হাইপারসোনিক, সুপারসনিক এবং সাবসোনিকের মতো অন্যান্য প্রবাহের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। পার্থক্যটি হল আপনাকে সমীকরণের রক্ষণশীল ফর্মটি ব্যবহার করতে হবে।

অবিচ্ছিন্ন প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণের ত্রি-মাত্রিক রূপটি কী?

যদি আমরা বিবেচনা করি প্রবাহ স্থির এবং অসম্পূর্ণ। আমরা জানি যে স্থির প্রবাহের ক্ষেত্রে ??/? T = 0. যদি প্রবাহ অসম্পূর্ণ হয়, তাহলে ঘনত্ব? ধ্রুবক. সুতরাং, এই শর্তটি বিবেচনা করে, Eq। 8 হিসাবে লেখা যেতে পারে,

 /U / ∂x + /v / +y + /w / ∂z = 0

অবিচ্ছিন্ন সংকোচযোগ্য এবং সংকোচনীয় প্রবাহের জন্য ধারাবাহিকতা সমীকরণের 3 ডি রূপ কী?

দ্বি-মাত্রিক প্রবাহে, x এবং y দুটি দিক রয়েছে। সুতরাং, আপনি x- দিকের গতি এবং y- দিকের মধ্যে v গতিবেগ। কোনও জেড-দিকনির্দেশ নেই, তাই জেড-দিকের বেগটি শূন্য। এই শর্তগুলি বিবেচনা করে, এক। 8 নীচে হিসাবে পরিণত হয়েছে

∂ / ∂x ()u) + ∂ / ∂y ()v) = 0

 /U / ∂x + /v / ∂y = 0

বহু নির্বাচনী প্রশ্ন

নিচের কোনটি ধারাবাহিকতা সমীকরণের একটি রূপ?

1. v₁ A₁ = ভি₂ A₂
2. v₁ t₁ = ভি₂ t₂
3. /ভি / টি
4. v₁ / প্রতি₁ = ভি₂ / প্রতি₂

ধারাবাহিকতা সমীকরণ আদর্শ তরলটির গতিবিধি সম্পর্কে ধারণাটি কী দেয়?

1. ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চল বাড়ার সাথে সাথে গতিও বৃদ্ধি পায়।
2. ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চল হ্রাস হওয়ায়, গতি বৃদ্ধি পায়।
3. ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চল হ্রাস হওয়ায়, গতি হ্রাস পায়।
4. ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চল বাড়ার সাথে সাথে আয়তন হ্রাস পাবে।
5. আয়তন বাড়ার সাথে সাথে গতি হ্রাস পায়।

ধারাবাহিকতার সমীকরণ নীতির উপর ভিত্তি করে

a) জনগনের আলাপ

খ) গতিবেগ সংরক্ষণ

গ) শক্তি সংরক্ষণ

ঘ) শক্তি সংরক্ষণ

ডি এর দুটি অনুরূপ পাইপ ব্যাস ডি ব্যাস ডি পাইপ পেতে একত্রিত হয় ডি এবং ডি এর মধ্যে পর্যবেক্ষণ কী হতে পারে ?. নতুন পাইপে প্রবাহের বেগ দুটি পাইপের প্রত্যেকটির দ্বিগুণ হবে?

a) ডি = ডি

খ) ডি = 2 ডি

গ) ডি = 3 ডি

d) ডি = 4 ডি

বিভিন্ন ব্যাসের পাইপগুলি ডি 1 এবং ডি 2 এর ব্যাস 2 ডি এর পাইপ পেতে একত্রিত হয়। উভয় পাইপের তরল বেগ যদি v1 এবং v2 হয় তবে নতুন পাইপে প্রবাহের বেগ কত হবে?

ক) ভি 1 + ভি 2

খ) ভি 1 + ভি 2/2

c) ভি 1 + ভি 2/4

d) 2 (ভি 1 + ভি 2)

উপসংহার

এই নিবন্ধটিতে তাদের বিভিন্ন ফর্ম এবং শর্তগুলির সাথে ধারাবাহিকতা সমীকরণ ডেরিভেশন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। ধারাবাহিকতা সমীকরণের ধারণাটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য বেসিক উদাহরণ এবং প্রশ্নগুলি দেওয়া হয়।

সম্পর্কিত বিষয়ে আরও নিবন্ধের জন্য, এখানে ক্লিক করুন

আরও পড়ুন বৈজ্ঞানিক নীতি.