অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল | এটির গুরুত্বপূর্ণ বিতরণ

ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল, প্রকার এবং এর বিতরণ

     সীমাবদ্ধ বা অগণিত অসীম মানগুলি গ্রহণ করে এমন এলোমেলো ভেরিয়েবলটি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিচিত এবং সম্ভাবনার সাথে এর জুটি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণ তৈরি করে। এখন এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য যারা মূল্যকে অগণিত হিসাবে গ্রহণ করে, তার সম্ভাবনা এবং অবশিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি কী হবে যা আমরা আলোচনা করতে চলেছি। সুতরাং সংক্ষেপে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল এলোমেলো পরিবর্তনশীল যার মানগুলির সেটটি অগণিত। অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আসল জীবনের উদাহরণ হ'ল বৈদ্যুতিন বা ইলেকট্রনিক উপাদানগুলির আয়ু এবং স্টপগুলিতে নির্দিষ্ট পাবলিক গাড়ির আগমন etc.

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

                আমার স্নাতকের  x এ যদি নেতিবাচক আসল মূল্যবান ফাংশনটির জন্য অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় এবং বি  এবং  

    \ [পি \ বামে \ {এক্স \ এ বি \ রাইট \} = \ ইন্ট_ {বি} এফ (এক্স) ডিএক্স \]

এই ফাংশন চ হিসাবে পরিচিত হয় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন  প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর

সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন স্পষ্টতই নিম্নলিখিত সম্ভাবনার অক্ষগুলি সন্তুষ্ট করে

    \ [১। \ \ f (x) \ geq 1 \]

    \ [2। \ \ \ অন্ত _ _ {- ty infty} ^ {\ infty} f (x) dx = 1 \]

যেহেতু সম্ভাবনার অক্ষরেখা থেকে আমরা জানি যে মোট সম্ভাব্যতা তাই এক

\ 1 = পি [এক্স \ ইন (- \ ইনফটি, \ ইনফটি)] = \ \ \ ইন _ _ {- ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} এফ (এক্স) ডিএক্স \

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সম্ভাবনাটি এই জাতীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে গণনা করা হবে, ধরুন আমরা ধারাবাহিক বিরতি বলার সম্ভাবনাটি খুঁজে পেতে চাই [a, b] তাহলে এটি হবে

পি \ বাম {আ \ লেক এক্স \ লেক বি \ রাইট} = \ ইন্ট_ {এ} ^ {বি} এফ (এক্স) ডিএক্স

যেমনটি আমরা জানি যে ইন্টিগ্রেশনটি বক্ররেখার অধীনে অঞ্চল প্রতিনিধিত্ব করে তাই সম্ভাব্যতার মতো সম্ভাবনার জন্য এই সম্ভাবনাটি এমন ক্ষেত্রটি দেখায়

অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল | এটির গুরুত্বপূর্ণ বিতরণ
অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

a = b সমান করে মান হবে

পি {\ বাম {এক্স = আ \ ডান}} = \ ইনট_ {এ} ^ {এ} ফ (এক্স) ডিএক্স = 0

এবং একইভাবে এটি অনুসরণ করে নির্দিষ্ট মানের চেয়ে কম বা সমান মানের সম্ভাবনা হবে

পি \ বাম {এক্স <a \ ডান} = পি \ বাম {এক্স \ লেক এ \ ডান} = এফ (এ) = \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি

উদাহরণ: বৈদ্যুতিন উপাদানগুলির অবিচ্ছিন্ন কর্ম সময়টি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আকারে প্রকাশ করা হয় এবং সম্ভাবনার ঘনত্বের ফাংশন হিসাবে দেওয়া হয়

x = \ শুরু {কেস} \ ল্যাম্বদা ই ^ {- x / 100} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x \ geq 0 \ শেষ {কেস}

উপাদানটি কার্যকরভাবে 50 থেকে 150 ঘন্টা এবং 100 ঘন্টার কম সম্ভাবনার মধ্যে কাজ করবে এমন সম্ভাবনাটি সন্ধান করুন।

যেহেতু র্যান্ডম ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিনিধিত্ব করে তাই প্রশ্নে প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি মোট সম্ভাব্যতা হিসাবে দেয়

1 = \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} f (x) dx = \ ল্যাম্বদা \ ইন্ট_ {0} ^ {ty ইনফটি} ই ^ {- এক্স / 100} ডেক্স

সুতরাং আমরা এর মান পেতে হবে λ

1=-\lambda (100)e^{-x/100}\lvert_{\infty }^{0}=100\lambda

। = 1/100

আমাদের কাছে 50 ঘন্টা থেকে 150 ঘন্টা সম্ভাব্যতার জন্য

পি \ বাম {50 <এক্স <150 \ ডান} = \ ইনট_ {50} ^ {150} rac frac {1} {100} ই ^ {- x / 100} dx

= - ই ^ {- এক্স / 100} vert lvert_ {150} ^ {50}

=e^{-1/2} -e^{-3/2}\approx .384

একইভাবে 100 এর কম সম্ভাবনাও থাকবে

পি \ বাম {এক্স <100 \ ডান} = \ ইনট_ {0} ^ {100} rac frac {1} {100} ই ^ {- এক্স / 100} ডেক্স

= - ই ^ {- এক্স / 100} vert lvert_ {0} ^ {100}

= 1- ই ^ {- 1} \ প্রায় .633

উদাহরণ: কম্পিউটার ভিত্তিক ডিভাইসে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত আজীবনসংখ্যক চিপসেট রয়েছে

f (x) = \ আরম্ভ {কেস} 0 & \ x \ লিক 100 \ rac frac {100} {x ^ {2}} & \ x> 100 \ শেষ {কেস}

তারপরে 150 ঘন্টা পরে সম্ভাবনাটি খুঁজে পান যে আমাদের মোট 2 চিপস থেকে 5 টি চিপসেট প্রতিস্থাপন করতে হবে।

বিবেচনা করতে পারি আমরা Ei আই-থ্রি চিপসেটটি প্রতিস্থাপন করার ইভেন্ট হোন। সুতরাং এই জাতীয় ইভেন্টের সম্ভাবনা হবে

পি (ই_ {আই}) = \ ইন্ট_ {0} ^ {150} ফ (এক্স) ডিএক্স

=100\int_{100}^{150} x^{-2}dx =\frac{1}{3}

সমস্ত চিপসকে স্বাধীন হিসাবে কাজ করার ফলে 2 প্রতিস্থাপনের সম্ভাবনা থাকবে

p(X) = \binom{5}{2} (\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{80}{243}

ক্রম বিতরণ ফাংশন

  অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হিসাবে সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশনটির সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়

এফ (এক্স) = পি (এক্স \ লেক এক্স) = \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {এক্স} ফ (ইউ) ডু

অন্য রূপে

F (a) = P (X \ in (- \ infty, a)) = = int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

হিসাবে হিসাবে বিতরণ ফাংশন সাহায্যে আমরা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন পেতে পারি

rac frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F (a) = f (a)

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক

প্রত্যাশা

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা বা গড়  সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ  হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

E [এক্স] = \ অন্তঃ _ {- ty infty}} {\ infty} xf (x) dx

  • অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কোনও আসল মূল্যবান ফাংশনের জন্য এক্স প্রত্যাশা হবে

E [g (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f (x) dx

যেখানে g হ'ল আসল মূল্যবান ফাংশন।

  1. যেকোন অ-নেতিবাচক ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল ওয়াইয়ের জন্য প্রত্যাশা হবে

E [Y] = \ int_ {0} ^ {\ infty} P \ বাম {Y> y \ ডান} dy

  • যে কোনও ধ্রুবকের জন্য ক এবং খ

E [aX + b] = aE [এক্স] + খ

অনৈক্য

                প্যারামিটারের গড় বা প্রত্যাশা সহ ধারাবাহিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সের প্রকরণ  বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেমন হয় তেমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়

ভার (এক্স) = ই [(এক্স - ম্যু) ^ {2}]

ভার (এক্স) = ই [এক্স ^ {2}] - (ই [এক্স]) ^ {2}

যে কোনও ধ্রুবকের জন্য ক এবং খ

ভার (অ্যাক্স + বি) = এ {{2} ভার (এক্স)

   প্রত্যাশা এবং বৈকল্পিকের উপরের সমস্ত বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ আমরা স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যে পদক্ষেপগুলি পেয়েছি এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রত্যাশা, বৈকল্পিকতা এবং সম্ভাবনার সংজ্ঞাগুলি দিয়ে আমরা সহজেই তা অর্জন করতে পারি

উদাহরণ: যদি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দেওয়া হয়

f (x) = \ start {কেসগুলি 2x & \ যদি \ \ 0 1 \ লেক এক্স \ লেক 0 \ XNUMX & \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

তারপরে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর প্রত্যাশা এবং তারতম্যটি সন্ধান করুন।

সমাধান:  প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের জন্য

f (x) = \ start {কেসগুলি 2x & \ যদি \ \ 0 1 \ লেক এক্স \ লেক 0 \ XNUMX & \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

সংজ্ঞা দ্বারা প্রত্যাশিত মান হবে

ই [এক্স] = \ ইন্ট এক্সএফ (এক্স) ডিএক্স = \ ইন্ট_ {0} ^ {1} 2 এক্স ^ {2} ডিএক্স = \ ফ্র্যাক {2} {3}

এখন আমাদের প্রয়োজনীয় বৈচিত্রটি সন্ধান করতে ই [এক্স2]

ই [এক্স ^ {2}] = \ ইন _ _ {- ইনফটি frac {2} {0}

থেকে

বর্ণ (এক্স) = ই [এক্স ^ {2}] - (ই [এক্স]) ^ {2}

so

ভার (এক্স) = \ ফ্র্যাক {1} {2} - (\ ফ্রাক {2} {3}) ^ {2} = \ ফ্রাক {1} {18}

অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

    যদি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর দ্বারা প্রদত্ত সম্ভাবনা ঘনত্বের ক্রিয়া থাকে

f (x) = \ আরম্ভ {কেস} 1 & \ 0 <x <1 \\ 0 & \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

ব্যবধানে (0,1) এর পরে এই বিতরণটি ইউনিফর্ম বিতরণ হিসাবে পরিচিত এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিচিত।

  • যে কোনও ধ্রুবকের জন্য এ এবং বি 0

পি \ বাম

  • ব্যবধান (0,1) এর পরিবর্তে আমরা কোনও সাধারণ ব্যবধানে (α, β) অভিন্ন বিতরণকে সাধারণীকরণ করতে পারি  যদি এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হয়

f (x) = \ start {কেস} rac frac {1} {\ বিটা - \ আলফা} & \ যদি \ \ \ আলফা

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল
অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল: অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা এবং প্রকরণ

      সাধারণ ব্যবধানে অবিচ্ছিন্নভাবে ক্রমাগত র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য (α, β) সংজ্ঞা দ্বারা প্রত্যাশা হবে

E [এক্স] = \ অন্তঃ _ {- ty infty}} {\ infty} xf (x) dx

= \ অন্তঃ _ {\ আলফা} ^ {\ বিটা} \ ফ্র্যাক্স {এক্স} {\ বিটা - \ আলফা} ডেক্স

= \ frac {\ বিটা ^ 2} - \ আলফা ^ {2}} {2 (\ বিটা - \ আলফা)}

= \ frac {\ বিটা + \ আলফা} {2}

এবং প্রথমত যদি আমরা পাই তবে বৈকল্পিকতা আমরা পাব ই [এক্স2]

ই [এক্স ^ {2}] = \ ইন্ট _ {\ আলফা} ^ {\ বিটা} \ ফ্র্যাক {এক্স ^ {2}} {\ বিটা - \ আলফা} ডেক্স

= \ frac {\ বিটা ^ 3} - \ আলফা ^ {3}} {3 (\ বিটা - \ আলফা)}

= rac frac {\ বিটা ^ {2} + \ বিটা \ আলফা + \ আলফা ^ {2}} {3}

so

ভার (এক্স) = \ ফ্রাক {\ বিটা ^ {2} + \ বিটা \ আলফা + \ আলফা ^ {2}} {3} - \ ফ্র্যাক {(\ আলফা + \ বিটা) {{2}} {4}

= \ frac {(\ বিটা - \ আলফা) {{2}} {12}

উদাহরণ: একটি নির্দিষ্ট স্টেশনে প্রদত্ত গন্তব্যগুলির জন্য ট্রেনগুলি 15 মিনিটের আকারের সাথে 7 মিনিটের আকারে পৌঁছায় AM সকাল 7 এর মধ্যে স্টেশনে থাকা যাত্রীর জন্য সমানভাবে বিতরণ করা হয় যে যাত্রীর 7.30 মিনিটের মধ্যে ট্রেনের সম্ভাবনা কী হবে? এবং 5 মিনিটেরও বেশি সময় ধরে সম্ভাবনা কী হবে।

সমাধান: যেহেতু to থেকে from.৩০ অবধি যাত্রীদের রেলস্টেশনে থাকার জন্য অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয় এটি অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স দ্বারা বোঝায় তাই অন্তরাল হবে (০, ৩০)

যেহেতু ৫ মিনিটের মধ্যে ট্রেনটি পাওয়ার জন্য যাত্রী অবশ্যই 5..১০ থেকে .7.10.১৫ বা .7.15.২৫ থেকে 7.25.৩০ এর মধ্যে স্টেশনে থাকতে হবে তাই সম্ভাবনা হ'ল

পি \ বাম {10 <এক্স <15 \ ডান} + পি \ বাম {25 <এক্স <30 \ ডান} = \ ইন্ট_ {10} ^ {15} rac frac {1} {30} ডেক্স + \ আন্ত_ {25} {{30} rac frac {1} {30} dx

= 1 / 3

একইভাবে 10 মিনিটেরও বেশি অপেক্ষা করার পরে ট্রেনটি পেতে যাত্রী 7 থেকে 7.05 বা 7.15 থেকে 7.20 পর্যন্ত স্টেশনে থাকতে হবে তাই সম্ভাবনাটি হবে

পি \ বাম {0 <এক্স <5 \ ডান} + পি \ বাম {15 <এক্স <20 \ ডান} = \ frac {1} {3}

উদাহরণ: ব্যবধানে বিতরণ করা ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের সম্ভাবনাটি সন্ধান করুন (0,10)

এক্স <3, এক্স> 6 এবং 3 এর জন্য

সমাধান: যেহেতু এলোমেলো ভেরিয়েবলটি সমানভাবে বিতরণ হিসাবে দেওয়া হয় তাই সম্ভাবনা থাকবে

পি \ বাম \ {এক্স <3 \ ডান \} = \ ইনট_ {0} ^ {3} rac frac {1} {10} dx = \ frac {3} {10}

পি \ বাম {এক্স> 6 \ ডান} = \ ইনট_ {6} ^ {10} \ frac {1} {10} ডেক্স = \ frac {4} {10}

পি \ বাম {3 <এক্স <8 \ ডান} = \ ইনট_ {3} ^ {8} rac ফ্র্যাক {1} {10} ডেক্স = \ ফ্র্যাক {1} {2}

উদাহরণ: (বার্ট্র্যান্ড প্যারাডক্স) একটি বৃত্তের যেকোনও এলোমেলো জলের জন্য। সেই বৃত্তাকার জাকার দৈর্ঘ্য একই বৃত্তটিতে উল্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের পাশের চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কী হবে?

এই সমস্যাগুলির এলোমেলো জোর সম্পর্কে ছাড়পত্র নেই তাই এই সমস্যাটি ব্যাস বা কোণের দিক দিয়ে সংস্কার করা হয়েছিল এবং তার পরে উত্তর 1/3 হিসাবে প্রাপ্ত হয়েছিল answer

উপসংহার:

   এই নিবন্ধে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ধারণা এবং এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ বিতরণ নিয়ে আলোচনা করা হয়েছিল এবং পরিসংখ্যানগত পরামিতিটির অর্থ, অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বৈচিত্র্য দেওয়া হয়েছে। অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং উদাহরণ সহ এর বিতরণ দেওয়া হয় যা ধারাবাহিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের ধরণের ধারাবাহিক নিবন্ধে আমরা উপযুক্ত উদাহরণ এবং বৈশিষ্ট্য সহ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধ্রুবক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল ফোকাস করব। , আপনি যদি আরও পড়তে চান তবে এর মাধ্যমে যান:

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

আপনি যদি গণিতে আরও বিষয় পড়তে চান তবে অবশ্যই যান go গণিতের পৃষ্ঠা.

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

আমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

লাম্বদা গিক্স