জ্যামিতিকে সমন্বিত করার জন্য একটি সম্পূর্ণ গাইড

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

আজ আমরা এখানে এর মূল থেকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি নিয়ে আলোচনা করতে এসেছি। সুতরাং, পুরো নিবন্ধটি স্থানাঙ্ক জ্যামিতি কী, প্রাসঙ্গিক সমস্যা এবং যতটা সম্ভব তার সমাধান সম্পর্কে।

(ক) ভূমিকা

সমন্বিত জ্যামিতি গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র। এটি পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং বিমান, রকেটরি, মহাকাশ বিজ্ঞান, স্পেসফ্লাইট ইত্যাদি ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়

সমন্বিত জ্যামিতি সম্পর্কে জানতে প্রথমে জ্যামিতি কী তা আমাদের জানতে হবে।
গ্রীক ভাষায় 'জিও' অর্থ পৃথিবী এবং 'মেট্রন' অর্থ পরিমাপ অর্থ পৃথিবী পরিমাপ। এটি গণিতের সবচেয়ে প্রাচীন অংশ, স্থান এবং পরিসংখ্যান সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত, যেমন অবস্থান, আকার, আকার, কোণ এবং জিনিসগুলির মাত্রা।

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি কী?

সমন্বিত জ্যামিতি হ'ল সমন্বয় ব্যবস্থাটি ব্যবহার করে জ্যামিতি শেখার উপায়। এটি জ্যামিতি এবং বীজগণিতের মধ্যে সম্পর্কের বর্ণনা দেয়।
অনেক গণিতবিদও সমন্বিত জ্যামিতিকে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি বা কার্টেসিয়ান জ্যামিতি হিসাবে অভিহিত করেছিলেন।

কেন এটি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি বলা হয়?

জ্যামিতি এবং বীজগণিত গণিতের দুটি ভিন্ন শাখা। জ্যামিতিক আকারগুলি বীজগণিতের প্রতীকতা এবং পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করা যায় এবং বিপরীত অর্থাত্ বীজগণিত সমীকরণগুলি জ্যামিতিক গ্রাফ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায়। এজন্য এটিকে অ্যানালিটিক্যাল জ্যামিতিও বলা হয়।

কেন এটি কার্তেসিয়ান জ্যামিতি বলা হয়?

ফরাসী গণিতবিদ রেনি ডেসকার্টেসের পরে তিনি 17 তম শতাব্দীতে কার্টেসিয়ান সমন্বয়টি স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেছিলেন এবং এটি ব্যবহার করে বীজগণিত এবং জ্যামিতিকে একত্রিত করার পরে সমন্বিত জ্যামিতির নাম কার্টেসিয়ান জ্যামিতিরও নামকরণ করা হয়েছিল। এ জাতীয় দুর্দান্ত কাজের জন্য রিনি ডেসকার্টেস সমন্বিত জ্যামিতির জনক হিসাবে পরিচিত।

(খ) সমন্বয় ব্যবস্থা

একটি সমন্বিত সিস্টেম হ'ল বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির ভিত্তি। এটি উভয় দ্বিমাত্রিক এবং ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। সাধারণভাবে চার ধরণের সমন্বয় ব্যবস্থা রয়েছে।

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

সি। সমন্বিত জ্যামিতির পুরো বিষয়টিকে দুটি অধ্যায়ে বিভক্ত করা হয়েছে।

  1. একটি হ'ল 'দুটি মাত্রার সমন্বয় জ্যামিতি'।
  2. দ্বিতীয়টি হ'ল 'সমন্বয় জ্যামিতি ইন থ্রি ডাইমেনশনস'।

দুটি মাত্রা (2 ডি) তে জ্যোতিটিকে সমন্বিত করুন:

  1. এখানে আমরা কারটিশিয়ান এবং পোলার সমন্বয় উভয়কে একের পর এক দুটি মাত্রায় আলোচনা করতে যাচ্ছি। এর একটি পরিষ্কার ধারণা পেতে আমরা কিছু সমস্যাও সমাধান করব এবং পরে আমরা তাদের মধ্যে সম্পর্কও খুঁজে পাব।

2 ডি তে কার্টেসিয়ান সমন্বয়:

প্রথমে গ্রাফের মাধ্যমে আমাদের নিম্নলিখিত পদগুলি শিখতে হবে।
i) সমন্বয় অক্ষ
ii) উত্স
iii) স্থানাঙ্ক বিমান
iv) সমন্বয়কারী
v) চতুষ্কোণ

একসাথে চিত্রগুলি পড়ুন এবং অনুসরণ করুন।

জ্যামিতি গ্রাফ সমন্বয় করুন 1

ধরুন অনুভূমিক রেখা XXand vertical line YY O, XX বিন্দুতে ডান কোণে একে অপরকে ছেদ করে দুটি লম্ব লম্বand YY সংখ্যা লাইন, XX এর ছেদand YY এক্সওয়াই-প্লেন গঠন করে এবং পি এই এক্সওয়াই-প্লেনের যে কোনও পয়েন্ট।

অ্যাক্সেস 2 ডি তে সমন্বয় করুন

এখানে এক্সএক্স and YY স্থানাঙ্কিত অক্ষ হিসাবে বর্ণনা করা হয়। এক্সএক্স is indicated by X-Axis and YY ওয়াই-অ্যাক্সিস দ্বারা নির্দেশিত। এক্সএক্সের পর থেকে and YY সংখ্যা লাইন, ওএক্স এবং ওওয়াইয়ের সাথে পরিমাপ করা দূরত্বগুলি ইতিবাচক হিসাবে নেওয়া হয় এবং ওএক্সের সাথে পরিমাপ করা দূরত্বগুলিও and OY নেতিবাচক হিসাবে নেওয়া হয়। (উপরের চিত্র 1 দেখুন)

2 ডি-তে মূল কী?

O বিন্দুটিকে মূল বলা হয়। ও সর্বদা প্রাথমিক সূচনা পয়েন্ট বলে মনে করা হয়। স্থানাংক বিমানে যে কোনও পয়েন্টের অবস্থান সন্ধান করতে আমাদের সর্বদা উত্স থেকে যাত্রা শুরু করতে হবে। সুতরাং উৎপত্তিটিকে জিরো পয়েন্ট বলা হয়। (দয়া করে উপরের গ্রাফ 1 দেখুন)

সমন্বিত বিমানটি আমরা কী বুঝতে পারি?

এক্সওয়াই প্লেনটি দুটি সংখ্যার লাইনের এক্সএক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত and YY বা এক্স-অক্ষ এবং ওয়াই-অক্ষকে স্থানাঙ্ক বিমান বা কার্তেসিয়ান প্লেন বলে। এই প্লেনটি সমস্ত দিক থেকে অসীম প্রসারিত। এটি দ্বি-মাত্রিক বিমান হিসাবেও পরিচিত। (উপরের চিত্র 1 দেখুন)

সমন্বয় প্লেন গ্রাফ 2

* উপরের চিত্রটিতে x> 0 এবং y> 0 ভেরিয়েবলগুলি ধরুন।

2 ডি তে সমন্বয় কী?

স্থানাঙ্ক হ'ল সংখ্যার বা অক্ষরের একটি জুড়ি যা দ্বারা স্থানাঙ্কী সমতলের বিন্দুর অবস্থান অবস্থিত। এক্স পি স্থানাঙ্ক বিমানের কোনও বিন্দু এখানে is বিন্দু P এর স্থানাঙ্কগুলি পি (x, y) দ্বারা প্রতীকীকৃত যেখানে x অক্ষের বরাবর Y অক্ষ থেকে P এর দূরত্ব এবং y যথাক্রমে X অক্ষ থেকে পি এর লম্ব দূরত্ব। এখানে এক্সকে অ্যাবসিসা বা এক্স-কো-অর্ডিনেট বলা হয় এবং y কে অর্ডিনেট বা ওয়াই-কো-অর্ডিনেট বলা হয় (উপরের গ্রাফ 2 দেখুন)

2 ডি গ্রাফ 3 এ সমন্বয় করুন

স্থানাঙ্ক প্লেনে কীভাবে একটি পয়েন্ট প্লট করবেন?

সর্বদা আমাদের সূচনা থেকে শুরু করতে হবে এবং এক্স-স্থানাঙ্ক বা অ্যাবসিসার দূরত্বটি কাটতে প্রথমে এক্স অক্ষ বরাবর ডান বা বাম দিকে চলতে হবে, তারপরে ইউনিটগুলি ব্যবহার করে অর্ডিনেটের দূরত্বটি আবরণ করার জন্য দিকটি লম্বালম্বভাবে X বা অক্ষরে পরিণত হবে turn এবং সেই অনুযায়ী তাদের লক্ষণ। তারপরে আমরা প্রয়োজনীয় পয়েন্টে পৌঁছে যাই।

প্রদত্ত বিন্দু পি (x, y) কে গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করতে বা প্রদত্ত XY প্লেনে প্লট করার জন্য প্রথমে উত্স O থেকে শুরু করুন এবং এক্স অক্ষ (OX বরাবর) বরাবর দূরত্ব x ইউনিটগুলি আবরণ করুন এবং তারপরে 90 ডিগ্রি কোণে ঘুরুন এক্স অক্ষ বা সমান্তরালভাবে Y অক্ষের (এখানে ওওয়াই) এবং দূরত্ব y ইউনিটগুলিকে আবরণ করুন। (উপরে গ্রাফ 3 দেখুন)

কীভাবে 2 ডি তে প্রদত্ত পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করবেন?

জ্যামিতি গ্রাফ সমন্বয় করুন 4

এক্সওয়াইকে প্রদত্ত সমতল হতে দিন, ওটির উত্স হতে দিন এবং পি প্রদত্ত বিন্দু হোন।
প্রথমে X অক্ষের P বিন্দু A থেকে বিন্দু A তে একটি লম্ব আঁকুন ধরুন OA = x ইউনিট এবং এপি = y ইউনিট, তারপরে বিন্দু P এর সমন্বয়গুলি (OA, AP) অর্থাৎ (x, y) হয়ে যায়।

একইভাবে আমরা যদি বিন্দু B তে Y অক্ষের পয়েন্ট P থেকে অন্য একটি লম্ব আঁকি, তবে BP = x এবং OB = y।
এখন যেহেতু A এক্স অক্ষের বিন্দু, তাই X অক্ষ বরাবর Y অক্ষ থেকে A এর দূরত্ব OA = x এবং এক্স অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্ব শূন্য, সুতরাং A এর স্থানাঙ্কগুলি (x, 0) হয়।
একইভাবে, Y অক্ষের উপর বিন্দু B এর স্থানাঙ্কগুলি (0, y) এবং মূল হে এর স্থানাঙ্কগুলি (0,0) হয়।

জ্যামিতি স্থানাঙ্ক- গ্রাফ 5

গ্রাফ 5 * রঙের সবুজ সূচনাটি বোঝায়

2D তে কোয়াড্রেন্ট কী?

স্থানাঙ্ক অক্ষটি দ্বারা স্থানাঙ্ক সমতলকে চারটি সমান বিভাগে বিভক্ত করা হয়। প্রতিটি বিভাগকে বলা হয় চতুষ্কোণ। উপরের ডান দিক থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বা অ্যান্টিલોকওয়াইজ ঘুরে দেখা যায়, বিভাগগুলি ক্রমানুসারে চতুষ্কোণ প্রথম, চতুর্ভুজ দ্বিতীয়, চতুর্ভুজ তৃতীয় এবং চতুর্ভুজ iv হিসাবে নামকরণ করা হয়েছে।

এখানে আমরা এক্স এবং ওয়াই অক্ষগুলি এক্সওয়াই প্লেনটিকে চারটি শাখায় বিভক্ত করে XOY, YOX দেখতে পাচ্ছি, XOY and Yওএক্স অনুসারে। সুতরাং, XOY অঞ্চলটি হ'ল কোয়াড্র্যান্ট I বা প্রথম চতুর্ভুজ, YOX is the Quadrant II or second quadrant, XOY is the Quadrant III or third quadrant and Yওএক্স হ'ল চতুর্ভুজ চতুর্থ বা চতুর্থ চতুর্ভুজ। (দয়া করে গ্রাফ 5 দেখুন)

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
গ্রাফ 6

সমন্বয়কারী বিমানের বিভিন্ন চতুর্থাংশের পয়েন্টগুলি:

যেহেতু OX + ve এবং OX হয় is -ve side of X axis and OY is +ve and OY Y- অক্ষের পাশের দিক, বিভিন্ন চতুষ্কোণে পয়েন্টের স্থানাঙ্কের চিহ্ন —-
চতুর্ভুজ I: (+, +)
চতুর্ভুজ দ্বিতীয়: (-, +)
চতুর্ভুজ তৃতীয়: (- - -)
চতুর্ভুজ চতুর্থ: (+, -)

উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি O থেকে OX বরাবর যাই এবং X অক্ষ (OX) এ A এর বিন্দুতে কোয়াড্র্যান্ট I এর যে কোনও বিন্দু P থেকে লম্ব আঁকুন যাতে OA = x এবং AP = y হয় তবে P এর স্থানাঙ্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ( x, y) নিবন্ধে বর্ণিত (কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুর সমন্বয় কীভাবে পাওয়া যায়?)


আবার যদি আমরা ওএক্স বরাবর যান from O and draw a perpendicular from any point Q in the Quadrant II on the X axis (on OX) সি বিন্দুতে যাতে OC = x এবং CQ = y হয় তখন Q এর স্থানাঙ্কগুলি (-x, y) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
তেমনি চতুর্ভুজ তৃতীয় যে কোনও বিন্দু আর এর স্থানাঙ্কগুলি (-x, -y) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং চতুর্ভুজ চতুর্থের যে কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ককে (x, -y) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। (গ্রাফিক see দেখুন)

উপসংহার

 সম্পর্কে সংক্ষিপ্ত তথ্য স্থানাঙ্ক জ্যামিতি বিষয়টি শুরু করার জন্য একটি পরিষ্কার ধারণা পেতে প্রাথমিক ধারণাগুলি সহ সরবরাহ করা হয়েছে। পরবর্তী সময়ে আমরা আসন্ন পোস্টগুলিতে 2D এবং 3 ডি সম্পর্কে বিশদ আলোচনা করব। আপনি যদি আরও পড়াশোনা করতে চান তবে:

উল্লেখ

  1. 1. https://en.wikedia.org/wiki/Analytic_geometry
  2. 2. https://en.wikedia.org/wiki/ জ্যামিতি

গণিতে আরও বিষয়ের জন্য, দয়া করে এটি অনুসরণ করুন লিংক .

নাসরিনা পারভিন সম্পর্কে

আমি নাসরিনা পারভিন, ভারতের যোগাযোগ ও তথ্য প্রযুক্তি মন্ত্রণালয়ে দশ বছরের কাজ করার অভিজ্ঞতা পেয়েছি। আমি গণিতে স্নাতকোত্তর করেছি। আমার ফ্রি সময়ে আমি পড়াতে, গণিতের সমস্যাগুলি সমাধান করতে পছন্দ করি। আমার শৈশব থেকেই ম্যাথই একমাত্র বিষয় যা আমাকে সবচেয়ে বেশি আকর্ষণ করেছিল।

লাম্বদা গিক্স