গোপনীয়তা, সমের বিভিন্নতা এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির সংশোধন
এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশার সংজ্ঞা ব্যবহার করে বিভিন্ন প্রকৃতির র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলি প্রাপ্তি এবং বুঝতে সহজ, নীচে আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার সাহায্যে কিছু পরামিতি খুঁজে পাব।
ঘটে যাওয়া সংখ্যার মুহুর্তগুলি
এখন পর্যন্ত আমরা জানি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিভিন্ন শক্তির প্রত্যাশাটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহুর্ত এবং ইভেন্টের সংখ্যাটি ইতিমধ্যে ঘটলে ঘটনা থেকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়, এখন আমরা সংখ্যার সংখ্যার ইভেন্টের সংখ্যায় যোগ দিলে আমরা প্রত্যাশায় আগ্রহী ইতিমধ্যে ঘটেছে, এখন যদি এক্স ইভেন্টগুলির সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে তবে ইভেন্ট এ এর জন্য1, একটি2,…।, এn সূচক ভেরিয়েবল নির্ধারণ করুন Ii as
বিযুক্ত অর্থে এক্স এর প্রত্যাশা হবে
কারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স
এখন প্রত্যাশা খুঁজে পেতে যদি ইভেন্টের জোড়া সংখ্যা ইতিমধ্যেই আমাদের ব্যবহার করতে হবে সমাহার as
এই হিসাবে প্রত্যাশা দেয়
এটি থেকে আমরা এক্স বর্গের প্রত্যাশা এবং এর দ্বারা পরিবর্তনের মানও পাই
এই আলোচনাটি ব্যবহার করে আমরা এই জাতীয় মুহূর্তগুলি খুঁজতে বিভিন্ন ধরণের এলোমেলো পরিবর্তনশীল ফোকাস করি।
দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি
পি যদি n টি স্বতন্ত্র পরীক্ষাগুলি থেকে সাফল্যের সম্ভাবনা হয় তবে এটিকে বোঝাতে দিনi সাফল্যের হিসাবে আমি বিচারের জন্য
এবং তাই দ্বিপদ এলোমেলো চলকের প্রকরণ হবে
কারণ
আমরা যদি কে ইভেন্টগুলির জন্য সাধারণকরণ করি
এই প্রত্যাশাটি আমরা 3 এর চেয়ে বেশি মানের k এর জন্য ক্রমান্বয়ে পেতে পারি আসুন 3 এর জন্য সন্ধান করি
এই পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে আমরা পেতে পারি
হাইপারজেমেট্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি
এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি আমরা উদাহরণের সাহায্যে বুঝতে পারি ধরুন এন কলমগুলি এমন একটি বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হয়েছে যার মধ্যে এন পেন রয়েছে যার নীল নীল, লেট এi আই-তম কলমটি নীল বর্ণিত ইভেন্টগুলি বোঝান, এখন এক্সটি নির্বাচিত নীল কলমের সংখ্যা ক এর ইভেন্ট সংখ্যার সমান1,A2,… .., এn যেটি ঘটেছিল কারণ নির্বাচিত ith কলমটি যে কোনও এন কলমের নীল রঙের সমান সম্ভাবনা রয়েছে
এবং তাই
এই দেয়
সুতরাং হাইপারজোমেট্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিকতা হবে
উচ্চতর মুহুর্তের জন্য একইভাবে
অত: পর
নেতিবাচক হাইপারজিমেট্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি
এন + এম ভ্যাকসিনযুক্ত একটি প্যাকেজের উদাহরণ বিবেচনা করুন যার মধ্যে এন বিশেষ এবং এম সাধারণ, এই ভ্যাকসিনগুলি একবারে একটি করে সরিয়ে ফেলা হয়, প্রতিটি নতুন অপসারণ প্যাকেজে থাকা যে কোনও ভ্যাকসিনের সমান সম্ভাবনা থাকে। এখন এলোমেলো পরিবর্তনশীল ওয়াই সম্পূর্ণরূপে বিশেষ বিশেষ ভ্যাকসিনগুলি অপসারণ না করা অবধি যে ভ্যাকসিনগুলি প্রত্যাহার করতে হবে তা বোঝাতে দিন, এটি নেতিবাচক হাইপারজিম্যাট্রিক বিতরণ, হাইপারজমেট্রিক বিতরণের ক্ষেত্রে এটি কোনওভাবেই দ্বিপদী হিসাবে নেতিবাচক দ্বিখণ্ডিতের সাথে মিল রয়েছে। খুঁজে পেতে সম্ভাবনা K-1 ড্র পরে আর -1 বিশেষ এবং কে.আর.কে সাধারণ ভ্যাকসিন দেওয়ার পরে কেথ ড্র যদি বিশেষ ভ্যাকসিন দেয় তবে ভর ফাংশন
এখন এলোমেলো পরিবর্তনশীল Y
Y = r + X
ইভেন্টের জন্য এi
as
সুতরাং ওয়াইয়ের বৈকল্পিকটি খুঁজে পেতে আমাদের অবশ্যই এক্স এর প্রকরণটি জানতে হবে
অত: পর
গোপনীয়তা
দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যকার সম্পর্কটি পরিসংখ্যানগত প্যারামিটার কোভারিয়েন্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সমাহার সংজ্ঞা দেওয়ার পূর্বে যে দুটি এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই এর দুটি কার্যকারিতা প্রত্যাশা প্রত্যাশা করে
প্রত্যাশা এই সম্পর্ক ব্যবহার করে আমরা হিসাবে covariance সংজ্ঞায়িত করতে পারেন
"র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল ওয়াই কোভ (এক্স, ওয়াই) দ্বারা নির্দেশিত মধ্যে সংঘটিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
প্রত্যাশা এবং বিস্তারের সংজ্ঞা ব্যবহার করে আমরা পাই
এটি স্পষ্ট যে যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র হয়
তবে রূপান্তরটি উদাহরণস্বরূপ সত্য নয়
এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে সংজ্ঞা দেওয়া
so
এখানে স্পষ্টত এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র নয় তবে সমবায় শূন্য।
সমবায় বৈশিষ্ট্য
নিম্নরূপে এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যকার সহকারীগুলির কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে
সংঘবদ্ধতা সংজ্ঞা ব্যবহার করে প্রথম তিনটি সম্পত্তি তাত্ক্ষণিক এবং চতুর্থ সম্পত্তি বিবেচনা করে অনুসরণ করে
সংজ্ঞা অনুসারে এখন
অঙ্কের প্রকরণ
এই বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল
as
যদি এক্সi এর পরে যুগলভাবে স্বাধীন হয়
উদাহরণ: দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ
এক্স যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়
যেখানে এক্সi স্বতন্ত্র বার্নৌলির এলোমেলো পরিবর্তনশীল
তারপরে n এবং p পরামিতিগুলির সাথে দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের প্রকরণটি সন্ধান করুন।
সমাধান:
থেকে
তাই একক ভেরিয়েবলের জন্য আমাদের রয়েছে
সুতরাং বৈকল্পিক হয়
উদাহরণ
স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্যi সম্পর্কিত উপায় এবং বৈকল্পিক এবং বিচ্যুতি সঙ্গে একটি নতুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল সঙ্গে
তারপরে গণনা করুন
সমাধান:
উপরোক্ত সম্পত্তি এবং সংজ্ঞা ব্যবহার করে
এখন এলোমেলো ভেরিয়েবল এস এর জন্য
প্রত্যাশা নিতে
উদাহরণ:
এ এবং বি ইভেন্টগুলির জন্য সূচক ফাংশনের সমবায় সন্ধান করুন
সমাধান:
ইভেন্টগুলির জন্য ক এবং বি সূচক ফাংশনগুলি
সুতরাং এগুলি প্রত্যাশা হয়
সুতরাং covariance হয়
উদাহরণ:
দেখান
যেখানে এক্সi ভেরিয়েন্স সহ স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল।
সমাধান:
বৈশিষ্ট্য এবং সংজ্ঞা ব্যবহার করে সমবায় হবে
উদাহরণ:
এলোমেলো ভেরিয়েবল এস এর গড় এবং বৈকল্পিক গণনা করুন যা এন নমুনা মূল্যের সমষ্টি যদি N জন সেট করে থাকে যার প্রত্যেকটির একটি নির্দিষ্ট বিষয় সম্পর্কে একটি মতামত থাকে যা একটি আসল সংখ্যা দ্বারা পরিমাপ করা হয় v যা বিষয় সম্পর্কে ব্যক্তির "অনুভূতির শক্তি" উপস্থাপন করে। দিন ব্যক্তির অনুভূতির শক্তি উপস্থাপন করুন
যা অজানা, তথ্য সংগ্রহের জন্য এন থেকে এন এর একটি নমুনা এলোমেলোভাবে নেওয়া হয়, এই এন লোকদের জিজ্ঞাসাবাদ করা হয় এবং তাদের অনুভূতি vi গণনা করার জন্য প্রাপ্ত হয়
সমাধান
আসুন সূচক ফাংশন হিসাবে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক
সুতরাং আমরা এস হিসাবে প্রকাশ করতে পারেন
এবং তার প্রত্যাশা হিসাবে
এই হিসাবে বৈকল্পিক দেয়
থেকে
আমাদের আছে
আমরা পরিচয় জানি
so
সুতরাং উল্লিখিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় এবং তারতম্য হবে
উপসংহার:
দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ককে কোভরিয়েন্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং কোভারিয়েন্স ব্যবহার করে বিভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিভিন্নতার যোগফল পাওয়া যায়, প্রত্যাশার সংজ্ঞার সাহায্যে সমবায়িকতা এবং বিভিন্ন মুহুর্ত প্রাপ্ত হয়, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা।
গণিতে আরও পোস্টের জন্য, আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠা
