গোপনীয়তা, সমের বিভিন্নতা এবং তাদের 5 টি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি

গোপনীয়তা, সমের বিভিন্নতা এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির সংশোধন

  এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশার সংজ্ঞা ব্যবহার করে বিভিন্ন প্রকৃতির র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলি প্রাপ্তি এবং বুঝতে সহজ, নীচে আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার সাহায্যে কিছু পরামিতি খুঁজে পাব।

ঘটে যাওয়া সংখ্যার মুহুর্তগুলি

    এখন পর্যন্ত আমরা জানি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিভিন্ন শক্তির প্রত্যাশাটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহুর্ত এবং ইভেন্টের সংখ্যাটি ইতিমধ্যে ঘটলে ঘটনা থেকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়, এখন আমরা সংখ্যার সংখ্যার ইভেন্টের সংখ্যায় যোগ দিলে আমরা প্রত্যাশায় আগ্রহী ইতিমধ্যে ঘটেছে, এখন যদি এক্স ইভেন্টগুলির সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে তবে ইভেন্ট এ এর ​​জন্য1, একটি2,…।, এn সূচক ভেরিয়েবল নির্ধারণ করুন Ii as

I_ {i} = \ শুরু হয় {কেস} 1, এবং \ পাঠ্য {যদি} A_ {i} \ \ হয় \\ 0, & \ পাঠ্য {অন্যথায়} \ শেষ {কেস}

বিযুক্ত অর্থে এক্স এর প্রত্যাশা হবে

E [এক্স] = ই \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} I_ {i} \ ডান] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} ই [আই_ {i}] = \ যোগ_ { i = 1} ^ {n} P \ বাম (A_ {i} \ ডান)

কারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স

E = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} E I_ {i

ইতিমধ্যে ইভেন্টের জুটির সংখ্যা ইতিমধ্যে ঘটেছে কিনা তা প্রত্যাশা খুঁজতে আমাদের হিসাবে সংমিশ্রণটি ব্যবহার করতে হবে

\ বিনম {এক্স} {2} = \ যোগ_ {i <জ} আই_ {আই} জ_ {আই}

এই হিসাবে প্রত্যাশা দেয়

ই \ বাম [\ বিনোম {এক্স} {2} \ ডান]] = \ যোগ_ {আই <জ} ই [আই_ {আই} আই_ {জে}] = \ যোগ_ {আই <জে} পি (এ_ {আই} এ_ {) জে})

E \ বাম [\ frac {X (X-1)} {2} \ ডান] = \ যোগ_ {i <জে} ^ {} পি (এ_ {আই} এ_ {জে})

ই [এক্স ^ {2}] -ই [এক্স] = 2 \ সম__ {i <জে} ^ {} পি (এ_ {আই} এ_ {জে})

এটি থেকে আমরা এক্স বর্গের প্রত্যাশা এবং এর দ্বারা পরিবর্তনের মানও পাই

বর্ণ (এক্স) = ই [এক্স ^ {2}] - (ই [এক্স]) ^ {2}

এই আলোচনাটি ব্যবহার করে আমরা এই জাতীয় মুহূর্তগুলি খুঁজতে বিভিন্ন ধরণের এলোমেলো পরিবর্তনশীল ফোকাস করি।

দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি

   পি যদি n টি স্বতন্ত্র পরীক্ষাগুলি থেকে সাফল্যের সম্ভাবনা হয় তবে এটিকে বোঝাতে দিনi সাফল্যের হিসাবে আমি বিচারের জন্য

যখন \ \ i \ neq জে, পি (এ_ {আই} এ_ {জে}) = পি ^ {2}

ই-বাম

E [এক্স (এক্স -1)] = এন (এন -1) পি ^ {2}

ই [এক্স ^ {2}] -ই [এক্স] = এন (এন -1) পি ^ {2}

এবং সুতরাং দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিকতা হবে

ভার (এক্স) = ই [এক্স ^ {2}] - (ই [এক্স]) ^ {2} = এন (এন -1) পি ^ {2} + এনপি - (এনপি) ^ {2} = এনপি (1) -পি)

কারণ

ই [এক্স] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} পি (এ_ {আই}) = এনপি

আমরা যদি কে ইভেন্টগুলির জন্য সাধারণকরণ করি

পি (এ_ {আই_ {1}} এ_ {আই_ {2}} d সিডট \ সিডট \ সিডট এ_ {আই_ {কে}}) = পি ^ {কে}

E [এক্স (এক্স -1) \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এক্স-কে + 1)] = এন (এন -1) \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এন-কে + 1) পি ^ {কে}

এই প্রত্যাশাটি আমরা 3 এর চেয়ে বেশি মানের k এর জন্য ক্রমান্বয়ে পেতে পারি আসুন 3 এর জন্য সন্ধান করি

E[X(X-1)(X-2) ] =n(n-1)(n-2)p^{3}

E[X^{3} -3X^{2} +2X] =n(n-1)(n-2)p^{3}

ই [এক্স ^ {3}] = 3 ই [এক্স ^ {2}] -2 ই [এক্স] + এন (এন -1) (এন -2) পি ^ {3}

= 3 এন (এন -1) পি ^ {2} + এনপি + এন (এন -1) (এন -2) পি ^ {3}

এই পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে আমরা পেতে পারি

E [এক্স ^ {কে}], কে \ গিগ 3,

হাইপারজেমেট্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি

  এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি আমরা উদাহরণের সাহায্যে বুঝতে পারি ধরুন এন কলমগুলি এমন একটি বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হয়েছে যার মধ্যে এন পেন রয়েছে যার নীল নীল, লেট এi আই-তম কলমটি নীল বর্ণিত ইভেন্টগুলি বোঝান, এখন এক্সটি নির্বাচিত নীল কলমের সংখ্যা ক এর ইভেন্ট সংখ্যার সমান1,A2,… .., এn যেটি ঘটেছিল কারণ নির্বাচিত ith কলমটি যে কোনও এন কলমের নীল রঙের সমান সম্ভাবনা রয়েছে

পি (এ_ {আই}) = \ ফ্র্যাক {এম} {এন} \ \, ই [এক্স] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} পি (এ_ {i})

এবং তাই

পি (এ_ {আই} এ_ {জে}) = পি (এ_ {আই}) পি (এ_ {জ} / এ_ {আই}) = \ ফ্র্যাক {এম} {এন} \ ফ্র্যাক {এম -১} {এন- 1

ই \ বাম [\ বিনোম {এক্স} {2} \ ডান]] = \ যোগ_ {আই <জে} ^}} \ ফ্র্যাক {এম (এম -1)} {n (এন -1)} = \ বিনোম {n} {2} \ frac{m (m-1)} {n (n-1)}

এক্স [এক্স (এক্স -1)] = এন (এন -1) rac ফ্র্যাক {এম (এম -1)} {এন (এন -1)}

এই দেয়

E [X ^ {2}] = n (n-1) rac frac{m (এম -1)} {এন (এন -1)} + ই [এক্স]

সুতরাং হাইপারজোমেট্রিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিকতা হবে

ভার (এক্স) = ই [এক্স ^ {2}] - (ই [এক্স]) ^ {2}

= n (n-1) \ frac {m (m-1)} {N (N-1)} + \ frac {nm} {N} - \ frac {n ^ {2} m ^ {2}} { এন ^ {2}

= \ frac {nm} {N} \ বাম [\ frac {(n-1) (m-1)} {N-1} +1 + - rac frac {mn} {N} \ ডান]

উচ্চতর মুহুর্তের জন্য একইভাবে

পি (এ_ {আই_ {১}} এ_ {আই_ {২}} d সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট এ_ {আই_ {কে}}) = rac ফ্র্যাক {এম (এম -১) \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এম-কে + 1)} {এন (এন -2) \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এন-কে + 1)}

ই-বাম এন (এন -1) \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এন-কে + 1)}

অত: পর

E [এক্স (এক্স -1) \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এক্স-কে + 1)] = এন (এন -1) \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এন-কে + 1) \ ফ্র্যাক {এম (এম) -1) \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এম-কে + 1)} {এন (এন -1) \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট (এন-কে + 1)}

নেতিবাচক হাইপারজিমেট্রিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলি

  এন + এম ভ্যাকসিনযুক্ত একটি প্যাকেজের উদাহরণ বিবেচনা করুন যার মধ্যে এন বিশেষ এবং এম সাধারণ, এই ভ্যাকসিনগুলি একবারে একটি করে সরিয়ে ফেলা হয়, প্রতিটি নতুন অপসারণ প্যাকেজে থাকা যে কোনও ভ্যাকসিনের সমান সম্ভাবনা থাকে। এখন এলোমেলো পরিবর্তনশীল ওয়াই সম্পূর্ণরূপে বিশেষ বিশেষ ভ্যাকসিনগুলি অপসারণ না করা অবধি যে ভ্যাকসিনগুলি প্রত্যাহার করতে হবে তা বোঝাতে দিন, এটি নেতিবাচক হাইপারজিম্যাট্রিক বিতরণ, হাইপারজমেট্রিক বিতরণের ক্ষেত্রে এটি কোনওভাবেই দ্বিপদী হিসাবে নেতিবাচক দ্বিখণ্ডিতের সাথে মিল রয়েছে। খুঁজে পেতে সম্ভাবনা K-1 ড্র পরে আর -1 বিশেষ এবং কে.আর.কে সাধারণ ভ্যাকসিন দেওয়ার পরে কেথ ড্র যদি বিশেষ ভ্যাকসিন দেয় তবে ভর ফাংশন

পি (এক্স = কে) = rac ফ্র্যাক {\ বিনোম} এন} {আর -1} \ বিনোম {এম} {কেআর} {\ বিনম {এন + এম} {কে-1} \ ফ্রাক {এন-আর + 1} {n + এম-কে + 1

এখন এলোমেলো পরিবর্তনশীল Y

Y = r + X

ইভেন্টের জন্য এi

ই [ওয়াই] = আর + ই [এক্স] = আর + \ যোগ_ {i = 1} ^ {এম} পি (এ_ {আই})

ই [ওয়াই] = আর + এম \ ফ্র্যাক {আর} {n + 1} = \ ফ্র্যাক {আর (এন + এম + 1)} {n + 1

as

পি (এ_ {আই}) = \ ফ্র্যাক {আর} {n + 1}

সুতরাং ওয়াইয়ের বৈকল্পিকটি খুঁজে পেতে আমাদের অবশ্যই এক্স এর প্রকরণটি জানতে হবে

ই (এক্স (এক্স -১)) = ২ \ যোগ_ {i <জে} ^ {} পি (এ_ {আই} এ_ {জে})

\ যোগ_ {i <জে} ^ {} পি (এ_ {আই} এ_ {জে}) = \ ফ্র্যাক {\ বিনোম {2} {2} \ \ বিনম {n} {আর -1}} {{বিনোম {n + 2} {r + 1}} = rac frac {r (r + 1)} {(n + 1) (n + 2)

E[X(X-1)]=2\binom{m}{2}\frac{r(r+1)}{(n+1)(n+2)}

ই [এক্স ^ {2}] = মি (এম -1) rac ফ্র্যাক {আর (আর + 1)} {(এন + 1) (এন + 2)} + ই [এক্স]

Var (Y) = Var (X) = m (m-1) rac frac {r (r + 1)} {(n + 1) (n + 2)} m \ frac {r} {n + 1} - \ বাম (এম \ frac {r} {n + 1} \ ডান) ^ {2}

অত: পর

Var(Y) =\frac{mr(n+1-r)(m+n+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}

গোপনীয়তা             

দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যকার সম্পর্কটি পরিসংখ্যানগত প্যারামিটার কোভারিয়েন্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সমাহার সংজ্ঞা দেওয়ার পূর্বে যে দুটি এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই এর দুটি কার্যকারিতা প্রত্যাশা প্রত্যাশা করে

E [g (X) h (Y)] = \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) h (y) f (x, y) dx dy

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ int _ _ - ty infty} ^ {\ infty} g (x) h (y) f_ {X} (x) f_ {Y} (x) dx dy

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} h (y) f_ {Y} (x) dy \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) dx

= ই [এইচ (ওয়াই)] ই [জি (এক্স)]

E [g (X) h (Y)] = E [h (Y)] E [g (X)]

প্রত্যাশা এই সম্পর্ক ব্যবহার করে আমরা হিসাবে covariance সংজ্ঞায়িত করতে পারেন

   "র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল ওয়াই কোভ (এক্স, ওয়াই) দ্বারা নির্দেশিত মধ্যে সংঘটিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

কোভ (এক্স, ওয়াই) = ই [(এক্সইএল [এক্স]) (ওয়াই [ওয়াই])]

প্রত্যাশা এবং বিস্তারের সংজ্ঞা ব্যবহার করে আমরা পাই

কোভ (এক্স, ওয়াই) = ই [এক্সওয়াই-ই [এক্স] ওয়াই-এক্সই [ওয়াই] + ই [ওয়াই] ই [এক্স]]

= ই [এক্সওয়াই] - ই [এক্স] ই [ওয়াই] - ই [এক্স] ই [ওয়াই] + ই [এক্স] ই [ওয়াই]

= ই [এক্সওয়াই] - ই [এক্স] ই [ওয়াই]

এটি স্পষ্ট যে যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র হয়

কোভ (এক্স, ওয়াই) = 0

তবে রূপান্তরটি উদাহরণস্বরূপ সত্য নয়

P(X=0)=P(X=1)=p(X=-1)=\frac{1}{3}

এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে সংজ্ঞা দেওয়া

Y = \ শুরু {কেস} 0 এবং \ পাঠ্য {যদি} X \ neq 0 \\ 1 এবং \ পাঠ্য {যদি} এক্স = 0 \ শেষ {কেস}

so

কোভ (এক্স, ওয়াই) = ই [এক্সওয়াই] -ই [এক্স] ই [ওয়াই] = 0

এখানে স্পষ্টত এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র নয় তবে সমবায় শূন্য।

সমবায় বৈশিষ্ট্য

  নিম্নরূপে এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যকার সহকারীগুলির কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে

\ \ (i) \ \ কোভ (এক্স, ওয়াই) = কোভ (ওয়াই, এক্স)

\ \ (ii) \ ov কোভ (এক্স, এক্স) = ভার (এক্স)

\ \ (iii) \ \ কোভ (aX, Y) = aCov (এক্স, ওয়াই)

\ \ (iv) \ ov কোভ \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i}, \ যোগ_ {জে = 1} ^ {এম} ওয়াই_ {জে} \ ডান) = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} \ যোগ_ {জে = 1} ^ {এম} কোভ (এক্স_ {আই}, ওয়াই_ {জে})

সংঘবদ্ধতা সংজ্ঞা ব্যবহার করে প্রথম তিনটি সম্পত্তি তাত্ক্ষণিক এবং চতুর্থ সম্পত্তি বিবেচনা করে অনুসরণ করে

E \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ডান] = \ যোগ_ {i = 1 ^ {n} \ মু {i}, \ \ ই \ বাম [\ যোগ {জ = 1} ^ {এম} ওয়াই_ {জে} \ ডান] = \ যোগ_ {জে = 1} ^ {এম} ভি_ {জে

সংজ্ঞা অনুসারে এখন

সমবায়

অঙ্কের প্রকরণ

এই বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল

var \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ডান) = \ যোগ_ {i = 1 ^ {{n} ভার (এক্স_ {i})

as

var \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ডান) = কোভ \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ যোগ_ {জে = 1} ^ {n} এক্স_ {জে} \ ডান)

= \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} \ যোগ_ {জ = 1} ^ {n} এক্স_ {i} এক্স_ {জ}

= \ যোগ_ {i = 1 ^ ^ {n} ভার (এক্স_ {আই}) \ যোগফল \ যোগ_ {i \ নেজ জে} {{কোভ (এক্স_ {আই}, এক্স_ {জে})

ভার \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ডান) = \ যোগ_ {i = 1 ^ ^} n} ভার (এক্স_ {i}) +২ \ যোগ \ যোগ_ {i < j} ^ {} কোভ (X_ {i}, এক্স_ {জে})

যদি এক্সi এর পরে যুগলভাবে স্বাধীন হয়

ভার \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ডান) = \ যোগ_ {i = 1 ^ ^ {n} ভার (এক্স_ {i})

উদাহরণ: দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ

  এক্স যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়

এক্স = এক্স_ {1} + \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + এক্স_ {n}

যেখানে এক্সi স্বতন্ত্র বার্নৌলির এলোমেলো পরিবর্তনশীল

এক্স-{i} = \ শুরু করুন {কেস} 1 এবং \ পাঠ্য {যদি আই-থ্রি ট্রেলটি সাফল্য হয়} \\ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায় \ \ শেষ {কেস}

 তারপরে n এবং p পরামিতিগুলির সাথে দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের প্রকরণটি সন্ধান করুন।

সমাধান:

থেকে

ভার \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ডান) = \ যোগ_ {i = 1 ^ ^ {n} ভার (এক্স_ {i})

ভার (এক্স) = ভার (এক্স_ {1}) + \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + ভার (এক্স_ {n})

তাই একক ভেরিয়েবলের জন্য আমাদের রয়েছে

বর্ণ (এক্স_ {i}) = ই [এক্স_ {আই} ^ {2}] - (ই [এক্স_ {আই}]) ^ {2}

= ই [এক্স_ {আই}] - (ই [এক্স_ {আই}]) \ {2} \ \ যেহেতু \ \ এক্স_ {আই} {2} = এক্স_ {আই

= পিপি ^ {2}

সুতরাং বৈকল্পিক হয়

ভার (এক্স) = এনপি (1-পি)

উদাহরণ

  স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্যi সম্পর্কিত উপায় এবং বৈকল্পিক এবং বিচ্যুতি সঙ্গে একটি নতুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল সঙ্গে

এস ^ {2} = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} \ frac {(এক্স_ {i} - \ ওভারলাইন {এক্স}) ^ {2}} {n-1

তারপরে গণনা করুন

\ \ (ক) \ \ ভার (\ ওভারলাইন {এক্স}) \ \ এবং \ \ (খ) \ \ ই [এস ^ {2}]

সমাধান:

উপরোক্ত সম্পত্তি এবং সংজ্ঞা ব্যবহার করে

\ \ (ক) \ \ ভার (\ ওভারলাইন {এক্স}) = \ বাম (\ frac {1} {n} \ ডান) ^ {2} ভার \ বাম (\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} এক্স_ {আমি সঠিক )

= \ বাম (\ frac {1} {n} \ ডান) ^ {2} \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} ভার (X_ {i}) \ \ দ্বারা \ \ স্বাধীনতা

= \ frac {\ সিগমা {{2}} {n}

এখন এলোমেলো ভেরিয়েবল এস এর জন্য

গোপনীয়তা

প্রত্যাশা নিতে

(n-1) E [এস ^ {2}] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} ই [(এক্স_{ {আই} - \ মিউ) ^ {2}] -ন [[\ ওভারলাইন {এক্স} - \ মিউ) ^ {2}]

উদাহরণ:

এ এবং বি ইভেন্টগুলির জন্য সূচক ফাংশনের সমবায় সন্ধান করুন

সমাধান:

ইভেন্টগুলির জন্য ক এবং বি সূচক ফাংশনগুলি

আই_ {এ} = \ শুরু হয় {কেস} 1 এবং \ পাঠ্য {যদি A হয়} \\ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায়} \ শেষ {কেস}

আই_ {বি} = \ শুরু হয় {কেস} 1 এবং \ পাঠ্য {যদি বি হয়} \\ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায়} \ শেষ {কেস}

সুতরাং এগুলি প্রত্যাশা হয়

E [I_ {A}] = পি (এ)

E [I_ {B}] = পি (বি)

ই [আই_ {এ} আই_ {বি}] = পি (এবি)

সুতরাং covariance হয়

কোভ (আই_ {এ}, আই_ {বি}) = পি (এবি) - পি (এ) পি (বি)

= পি (বি) [পি (এ / বি) - পি (এ)]

উদাহরণ:

     দেখান

কোভ (এক্স_ {i} - \ ওভারলাইন {এক্স}, \ ওভারলাইন {এক্স}) = 0

যেখানে এক্সi ভেরিয়েন্স সহ স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

সমাধান:

বৈশিষ্ট্য এবং সংজ্ঞা ব্যবহার করে সমবায় হবে

কোভ (এক্স_ {i} - \ ওভারলাইন {এক্স}, \ ওভারলাইন {এক্স}) = কোভ (এক্স_ {i}, \ ওভারলাইন {এক্স}) - কোভ (\ ওভারলাইন {এক্স}, \ ওভারলাইন {এক্স})

কোভ \ বাম (X_ {i}, \ frac {1} {n} \ যোগ_ {জ = 1} ^ {n} এক্স_ {জে \ \ ডান) - ভার (\ ওভারলাইন {এক্স})

= \ frac {1} {n} \ যোগ_ {জ = 1} ^ {n} কোভ (এক্স_ {আই}, এক্স_ {জে}) - rac ফ্র্যাক {ig সিগমা {2}} {n}

= rac frac {\ সিগমা ^ {2}} {n} - \ frac {ig সিগমা ^ {2}} {n} = 0

উদাহরণ:

  এলোমেলো ভেরিয়েবল এস এর গড় এবং বৈকল্পিক গণনা করুন যা এন নমুনা মূল্যের সমষ্টি যদি N জন সেট করে থাকে যার প্রত্যেকটির একটি নির্দিষ্ট বিষয় সম্পর্কে একটি মতামত থাকে যা একটি আসল সংখ্যা দ্বারা পরিমাপ করা হয় v যা বিষয় সম্পর্কে ব্যক্তির "অনুভূতির শক্তি" উপস্থাপন করে। দিন  ব্যক্তির অনুভূতির শক্তি উপস্থাপন করুন  যা অজানা, তথ্য সংগ্রহের জন্য এন থেকে এন এর একটি নমুনা এলোমেলোভাবে নেওয়া হয়, এই এন লোকদের জিজ্ঞাসাবাদ করা হয় এবং তাদের অনুভূতি vi গণনা করার জন্য প্রাপ্ত হয়

সমাধান

আসুন সূচক ফাংশন হিসাবে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক

I_ {i} = \ শুরু করুন {কেস} 1 এবং \ পাঠ্য {যদি আমি ব্যক্তি এলোমেলো নমুনায় থাকি তবে} \\ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায় \ \ শেষ {কেস}

সুতরাং আমরা এস হিসাবে প্রকাশ করতে পারেন

এস = \ যোগ_ {i = 1} ^ {এন} ভি_ {আই} আই_ {আই

এবং তার প্রত্যাশা হিসাবে

ই [এস] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {এন} ভি_ {আই} ই [আই_ {আই}]

এই হিসাবে বৈকল্পিক দেয়

ভার (এস) = \ যোগ_ {i = 1} ^ {এন} ভার (ভি_ {আই} আই_ {আই}) +২ \ যোগ _ {} ^ {} \ সম_ {আই <জে} ^ {ov কোভ (ভি_ {) i} I_ {i}, v_ {j} I_ {j})

= \ যোগ_ {i = 1} ^ {N} v_ {i} ^ {2} বর্ণ (I_ {i}) +2 \ যোগ _ {} ^ {} \ সাম_ {আমি <জে} ^ {_ ভি_ {আমি} v_ {j} কোভ (I_ {i}, I_ {j})

থেকে

E [I_ {i}] = \ frac {n} {N}

E [I_ {i} I_ {j}] = \ frac {n} {N} \ frac {n-1} {N-1

আমাদের আছে

বর্ণ (I_ {i}) = \ frac {n} {N} \ বাম (1- \ frac {n} {N} \ ডান)

কোভ (আই_ {আই}, আই_ {জে}) = \ ফ্র্যাক {এন (এন -১)} {এন (এন -১)} - \ বাম (\ frac {n} {N} \ ডান) ^ {1}

= \ frac {-n (N-1) {{N ^ {2} (এন -1)}

E [s] = n \ যোগ_ {i = 1} ^ {N} \ frac {v_ {i}} {N} = n \ ওভারলাইন {v}

বর্ণ (এস) = \ ফ্র্যাক {এন} {এন} \ ফ্র্যাক {এনএন} {এন} \ সম_ {i = 1} ^ {এন} ভি_ {আই} ^ {2} - rac ফ্র্যাক {2 এন (এনএন)} { এন ^ {2} (এন -১) \ \ যোগফল

আমরা পরিচয় জানি

(v_ {1} + \ সিডট \ সিডট \ সিডট + ভি_ {এন}) ^ {2} = \ সম_ {i = 1} ^ {এন} ভ_ {আই ^ {2} +2 \ সমষ্টি \ যোগ_ {i <জে} ^ {} ভি_ {আমি} ভি_ {জ}

so

বর্ণ (এস) = \ ফ্র্যাক {এন (এন -1)} {(এন -1) \ \ বাম (\ frac {\ যোগ_ {i = 1} ^ {N} v_ {i} ^ {2}} {N } - \ ওভারলাইন {ভি} ^ {2} \ ডানদিকে)

E [S] = n \ ওভারলাইন {v} = np \ \ যেহেতু \ \ n \ ওভারলাইন {v} = \ frac {Np} {N} = p

বর্ণ (এস) = \ ফ্র্যাক {এন (এনএন)} {এন -1} \ বাম (\ frac {Np} {N} -p ^ {2} \ ডান)

= \ frac {n (Nn) {{N-1} পি (1-পি)

সুতরাং উল্লিখিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় এবং তারতম্য হবে

E \ বাম [\ frac {S} {n} \ ডান] = পি

ভার \ বাম (\ frac {S} {n} \ ডান) = \ frac {Nn} {n (এন -1)} পি (1-পি)

উপসংহার:

দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ককে কোভরিয়েন্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং কোভারিয়েন্স ব্যবহার করে বিভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিভিন্নতার যোগফল পাওয়া যায়, প্রত্যাশার সংজ্ঞার সাহায্যে সমবায়িকতা এবং বিভিন্ন মুহুর্ত প্রাপ্ত হয়, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা।

গণিতে আরও পোস্টের জন্য, আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

আমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

লাম্বদা গিক্স