স্বতন্ত্র র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং গাণিতিক প্রত্যাশা

সাধারণত আমরা যেকোনও এলোমেলো বা নন-এলোমেলো পরীক্ষার সম্ভাব্য ফলাফলের প্রতি আগ্রহী না হয়ে পরিবর্তে আমরা অনুকূল ইভেন্টগুলির জন্য কিছু সম্ভাবনা বা সংখ্যাসূচক মানতে আগ্রহী, উদাহরণস্বরূপ ধরুন যে আমরা 8 হিসাবে সংখ্যার জন্য দুটি পাইস নিক্ষেপ করছি তবে আমরা নই প্রথম পাশা হিসাবে 2 বা (6), (3,5), (5,3), (4,4), ইত্যাদি হিসাবে দ্বিতীয় পাশা হিসাবে ফলাফল আগ্রহী একইভাবে দৈনন্দিন জীবনে জলাশয়ের পরীক্ষার এলোমেলোভাবে আমরা পানির স্তর প্রতিদিন বৃদ্ধি বা হ্রাস সম্পর্কে আগ্রহী নই তবে কেবল সম্পূর্ণ হওয়ার পরে বর্ষার জলের স্তরে আগ্রহী।

সুতরাং আমরা যেমন আগ্রহী এমন সংখ্যাসূচক পরিমাণগুলিকে সংশ্লিষ্ট এলোমেলো পরীক্ষার এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এই উদ্দেশ্যে আমরা সংখ্যায় এলোমেলো পরীক্ষার ফলাফলগুলিতে সম্ভাব্য আসল মান নির্ধারণ করি। ফলাফলটি সংখ্যার মান নির্ধারণের উদাহরণের জন্য একটি মুদ্রা টস করার পরীক্ষা বিবেচনা করুন, আমরা এলোমেলো পরীক্ষার নমুনা স্থানে যথাক্রমে মাথা এবং ট্রেইলের জন্য সংখ্যাগত মান 0 এবং 1 নির্ধারণ করি। 

স্বতন্ত্র র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

স্বচ্ছ র্যান্ডম ভেরিয়েবল vari এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা সংখ্যায় সীমাবদ্ধ বা অগণিত অসীম এবং যারা সসীম বা অগণিত অসীম নয় তারা হ'ল নন-ডিস্রেক্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবল। নমুনা স্পেসের প্রতিটি উপাদানের জন্য আমরা একটি আসল সংখ্যা নির্ধারণ করছি, এটি এক্স অর্থাত এক্স: এস → আর দ্বারা চিহ্নিত প্রকৃত মূল্যবান ফাংশনের ক্ষেত্রে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। আমরা এই ফাংশনটিকে এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা স্টোকাস্টিক ফাংশন হিসাবে ডাকি, যার কিছু শারীরিক, জ্যামিতিক বা অন্য কোনও গুরুত্ব রয়েছে।

উদাহরণ: দুটি পাশা নিক্ষেপের একটি পরীক্ষা বিবেচনা করুন তারপরে ধরুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা স্টোকাস্টিক ফাংশন পাশের পয়েন্টে উপস্থিত পয়েন্টগুলির সমষ্টি উপস্থাপন করুন যাতে নমুনা জায়গার জন্য সম্ভাব্য মানগুলি

এস = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

(2) এর জন্য এক্স = 1,1 হবে

এক্স = 3 এর জন্য (1,2), (2,1) ইত্যাদি থেকে আমরা সহজেই বুঝতে পারি

এক্স = 2	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)
এক্স = 3	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)
এক্স = 4	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)
	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)
এক্স = 5	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)
এক্স = 6	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)	(২০১০)
এক্স = 7	এক্স = 8	এক্স = 9	এক্স = 10	এক্স = 11		এক্স = 12

উপরের সারণীতে ডান থেকে বামে তির্যক উপাদানগুলি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা স্টোচাস্টিক ফাংশন দ্বারা প্রকাশের যোগফল দেবে।

সম্পর্কিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে

পৃথক সম্ভাবনা বন্টন

পৃথক সম্ভাবনা বন্টন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা যা প্রকৃতিতে আলাদা, বিশেষত x হলে₁, এক্স₂, এক্স₃, এক্স₄, ………., এক্স_k মান হয় স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স তারপর পি (এক্স)₁), পি (এক্স)₂), পি (এক্স)₃), পি (এক্স)₄), ……… .পি (এক্স_k) সম্পর্কিত সম্ভাবনা।

সম্ভাব্যতা ফাংশন / সম্ভাবনা বন্টন আমরা হিসাবে চিহ্নিত করতে পারি 

পি (এক্স = এক্স) = এফ (এক্স)

এবং সম্ভাবনার সংজ্ঞা অনুসরণ করে এই ফাংশন নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে।

1. f (x) ≥0
2. Σ f (x) = 1, যেখানে এই যোগফলটি এক্স এর জন্য মোট যোগফল।

উদাহরণ: যদি একটি মুদ্রা দুটি বার ছুঁড়ে দেওয়া হয়, তবে আমরা যদি ট্রেইলের সংখ্যাটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স হিসাবে প্রকাশ করি তবে তা হবে 

ফলাফল	TT	TH	HT	HH
X	2	1	1	0

আমরা যদি ন্যায্য মুদ্রাটি নিই তবে উপরেরটি দু'বার টসিংয়ের ফলাফল হবে এবং এ জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা হ'ল

পি (এক্স = 0) = পি (এইচ, এইচ) = 1/4

পি (এক্স = 1) = পি (টিএইচ বা এইচটি) = পি (টিএইচ ∪ এইচটি) = পি (টিএইচ) + পি (এইচটি) = 1/4 + 1/4 = 1/2

এবং পি (এক্স = 2) = পি (টিটি) = 1/4

এই সম্ভাব্যতা বিতরণটি আমরা নীচে যেমন ট্যাবলেট করতে পারি

X	0	1	2
পি (এক্স = এক্স) = এফ (এক্স)	¼	½	1 / 4

संचयी বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) / বিতরণ ফাংশন

আমরা সংজ্ঞায়িত করব বিতরণ কার্যক্রম or ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য F (x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে, ∞≤x≤∞ হিসাবে

F (x) = P (X≤x)

প্রদত্ত এটি অনুসরণ করে

1. যে কোনও x, y, x≤y, F (x) ≤ F (y) এর জন্য অর্থাত ক্রম বিতরণ ফাংশন F (x) হ্রাস হ্রাস পাচ্ছে না।
2. এফ (এক্স) = 0 এবং এফ (এক্স) = 1
3. F (x + h) = F (x), ∀ x ie। संचयी বিতরণ ফাংশন এফ (এক্স) সঠিক ক্রমাগত।

যেহেতু স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স = এক্স এর সম্ভাবনা হ'ল পি (এক্স = এক্স), এক্স এর জন্য₁<X<x₂ পি (এক্স) হবে₁<X<x₂) এবং এক্সক্সের জন্য পি (এক্সএক্স)।

নিম্নলিখিত হিসাবে পৃথক বিতরণ ফাংশন জন্য বিতরণ ফাংশন লিখতে পারেন

আমরা হিসাবে হিসাবে বিতরণ ফাংশন থেকে সম্ভাব্যতা ফাংশন পেতে পারি

পি (এক্স = এক্স) = এফ (এক্স) = এফ (এক্স) -ফ (ইউ)

উদাহরণ: সার্জারির সম্ভাবনা বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য নিম্নরূপ দেওয়া হয়

X	0	1	2	3	4	5	6	7
পি (এক্স)	0	1 / 10	1 / 5	1 / 5	3 / 10	1 / 100	1 / 50	17 / 100

এফ 2, এফ 5, এফ (7) সন্ধান করবেন?

সমাধান:

গাণিতিক প্রত্যাশা 

   গাণিতিক প্রত্যাশা জন্য খুব গুরুত্বপূর্ণ ধারণা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব পাশাপাশি পরিসংখ্যানের দৃষ্টিকোণ থেকে এটি প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান হিসাবেও পরিচিত, এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি এবং গুণে এর সম্ভাব্যতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেমন x যদি₁, এক্স₂, এক্স₃, এক্স₄, ……….এক্স_n বিযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর পরে পি (এক্স) এর মান₁), পি (এক্স)₂), পি (এক্স)₃), পি (এক্স)₄),……….P(xn) তখন সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা X E(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে

উদাহরণ: 72 থেকে 1 নম্বরযুক্ত 72 টি কার্ডের একটি প্যাক থেকে একবারে 8 টি কার্ড আঁকা, টিকিটের টিকিটে সংখ্যার যোগফলের প্রত্যাশিত মানটি সন্ধান করুন।

সমাধান:। এক্স এলোমেলো ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন₁, এক্স₂, এক্স₃, এক্স₄,……….এক্স_n 1, 2, 3, 4, ………, 72 নম্বরযুক্ত কার্ডগুলি উপস্থাপন করছে

সুতরাং 72 কার্ডের মধ্যে কোনও এক্স এর সম্ভাবনা 

পি (এক্স_i) = 1 / এন = 1/72

তারপর থেকে প্রত্যাশা হবে

E (x) = x₁। (1 / এন) + এক্স₂। (1 / এন) + এক্স₃। (1 / এন) + …………… + এক্স_n(1 / এন)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

এখন এই জাতীয় 8 টি কার্ডের প্রত্যাশিত মান হবে 

E (x) = x₁। (1 / এন) + এক্স₂। (1 / এন) + এক্স₃। (1 / এন) + …………… + এক্স₈(1 / এন)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

অনৈক্য, আদর্শ চ্যুতি এবং বিচ্যুতি গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা

সার্জারির পরিসংখ্যানের গুরুত্বপূর্ণ ধারণা আদর্শ চ্যুতি এবং অনৈক্য আমরা গাণিতিক প্রত্যাশার শর্তে প্রকাশ করতে পারি, তাই যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল x হয়₁, এক্স₂, এক্স₃, এক্স₄, ……….এক্স_n সম্পর্কিত সম্ভাব্যতাগুলির সাথে পি (এক্স)₁), পি (এক্স)₂), পি (এক্স)₃), পি (এক্স)₄), ……… .পি (এক্স_n) তাহলে ভেরিয়েন্স হবে

উদাহরণ: একটি খেলায় যদি সুষ্ঠু ডাইস ব্যবহার করা হয় এবং খেলোয়াড় বিজয়ী হয় যে কোনও দামের ডাইস আসে এবং পুরস্কারের টাকা যদি 20 আসে তবে 1 টাকা দেওয়া হয়, 40 কে 3 টাকা এবং 60 এর জন্য 5০ টাকা এবং পাশার অন্য কোনও মুখ যদি দেওয়া হয় খেলোয়াড়ের জন্য 10 টাকার ক্ষতি হয়েছে। বৈকল্পিক এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দিয়ে জিততে পারে এমন প্রত্যাশিত অর্থ সন্ধান করুন।

সমাধান:

ফেয়ার ডাইসের জন্য আমরা সম্ভাব্যতার বন্টন জানি,

X	1	2	3	4	5	6
পি (এক্স = এক্স)	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6

গেমের প্রয়োজনীয়তা অনুসারে ডাইস কনভার্টের জন্য এক্সটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়ে উঠুক, যখন মুখের নীচে এসেছিল টাকা পয়সা জিতেছে বা লোকসান হচ্ছে,

X	+20	-10	40	-10	60	-10
পি (এক্স = এক্স)	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6

সুতরাং যে কোনও খেলোয়াড় দ্বারা জিতে প্রত্যাশিত পরিমাণ হবে

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

সুতরাং যে কোনও খেলোয়াড় দ্বারা জিত প্রত্যাশিত পরিমাণ μ = 15 হবে

প্রয়োজন অনুসারে গাণিতিক প্রত্যাশার পাশাপাশি পরিবর্তনের ফলস্বরূপ দুটিরও বেশি ভেরিয়েবলের জন্য সাধারণীকরণ করা যায়।

উপসংহার:

   এই নিবন্ধে আমরা প্রধানত বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল, সম্ভাব্যতা বন্টন এবং ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন নিয়ে আলোচনা করেছি যা cdf ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন নামে পরিচিত, এছাড়াও ধারণাটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এই ধরনের বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় বিচ্যুতি, প্রকরণ এবং মানক বিচ্যুতি কী হবে তা উপযুক্ত উদাহরণের সাহায্যে ব্যাখ্যা করা হয়েছে পরবর্তী নিবন্ধে আমরা অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একই বিষয়ে আলোচনা করব, আপনি যদি আরও পড়তে চান তাহলে দেখুন:

গণিতে আরও বিষয়ের জন্য, দয়া করে এটি অনুসরণ করুন লিংক.

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability