বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং গাণিতিক প্রত্যাশা: 5টি ঘটনা

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং গাণিতিক প্রত্যাশা

সাধারণত আমরা কোনো এলোমেলো বা নন-এলোমেলো পরীক্ষার সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলে আগ্রহী নই পরিবর্তে আমরা অনুকূল ঘটনার জন্য কিছু সম্ভাব্যতা বা সংখ্যাসূচক মানের প্রতি আগ্রহী, উদাহরণস্বরূপ ধরুন আমরা যোগফলের জন্য 8 হিসাবে দুটি পাশা নিক্ষেপ করছি তাহলে আমরা নই 2 বা (6), (3,5), (5,3), (4,4), ইত্যাদি হিসাবে 6,2 দ্বিতীয় পাশা থাকার প্রথম ডাইস হিসাবে ফলাফলে আগ্রহী। একইভাবে দৈনন্দিন জীবনে জলাধারের এলোমেলো পরীক্ষা-নিরীক্ষার জন্য আমরা পানির স্তরের দৈনিক বৃদ্ধি বা হ্রাসে আগ্রহী নই, শুধুমাত্র বর্ষাকালের জলস্তর শেষ হওয়ার পরে আগ্রহী।

সুতরাং এই জাতীয় সংখ্যাগত পরিমাণে আমরা আগ্রহী যেগুলিকে সংশ্লিষ্ট র্যান্ডম পরীক্ষার এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এই উদ্দেশ্যে আমরা র্যান্ডম পরীক্ষার ফলাফলের সম্ভাব্য বাস্তব মানগুলিকে সংখ্যাগতভাবে বরাদ্দ করি। ফলাফলে সাংখ্যিক মান নির্ধারণের দৃষ্টান্তের জন্য একটি মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলার পরীক্ষা বিবেচনা করুন, আমরা এলোমেলো পরীক্ষার নমুনা স্থানে মাথা এবং লেজের জন্য যথাক্রমে সংখ্যাসূচক মান 0 এবং 1 নির্ধারণ করি। 

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা সংখ্যায় সসীম বা গণনাযোগ্যভাবে অসীম এবং যারা সসীম বা গণনাযোগ্যভাবে অসীম নয় তারা অ-বিযুক্ত র্যান্ডম চলক। নমুনা স্থানের প্রতিটি উপাদানের জন্য আমরা একটি বাস্তব সংখ্যা নির্ধারণ করছি, এটি X অর্থাৎ X:S→R দ্বারা চিহ্নিত বাস্তব মূল্যবান ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। আমরা এই ফাংশনটিকে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা স্টোকাস্টিক ফাংশন বলে থাকি, যার কিছু ভৌত, জ্যামিতিক বা অন্য কোনো গুরুত্ব রয়েছে।

উদাহরণ: দুটি পাশা নিক্ষেপের একটি পরীক্ষা বিবেচনা করুন তারপর ধরুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা স্টোকাস্টিক ফাংশন নমুনা স্থানের জন্য সম্ভাব্য মান তারপর ডাইস উপর প্রদর্শিত পয়েন্ট যোগফল প্রতিনিধিত্ব

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) ,

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

X=2 হবে, (1,1) এর জন্য

X=3 for (1,2), (2,1) ইত্যাদি নিচের থেকে আমরা সহজেই বুঝতে পারি

এক্স = 2(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)
এক্স = 3(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)
এক্স = 4(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)
(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)
এক্স = 5(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)
এক্স = 6(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)(২০১০)
এক্স = 7এক্স = 8এক্স = 9এক্স = 10এক্স = 11এক্স = 12

উপরের সারণীতে ডান থেকে বামে তির্যক উপাদানগুলি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বা স্টোকাস্টিক ফাংশন দ্বারা প্রকাশ করা যোগফল দেবে।

সংশ্লিষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল: দুটি পাশা নমুনা স্থান নিক্ষেপ

বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ

বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা যা প্রকৃতিতে বিচ্ছিন্ন, বিশেষ করে যদি x হয়1, এক্স2, এক্স3, এক্স4, ………., এক্সk এর মান বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X তারপর P(x1), P(x2), P(x3), P(x4), ……… .P(xk) হল সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা।

সম্ভাব্যতা ফাংশন/সম্ভাব্যতা বন্টন হিসাবে আমরা বোঝাতে পারি 

P(X=x)=f(x)

এবং সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা অনুসরণ করে এই ফাংশনটি নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে।

  1. f(x)≥0
  2. Σ f(x)=1, যেখানে এই যোগফলটি x এর জন্য মোট যোগফল।

উদাহরণ: যদি একটি কয়েন দুইবার ছুঁড়ে ফেলা হয়, তাহলে আমরা যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X হিসাবে ট্রেলের সংখ্যা প্রকাশ করি, তাহলে তা হবে 

ফলাফলTTTHHTHH
X2110

যদি আমরা ন্যায্য মুদ্রা গ্রহণ করি তাহলে উপরেরটি হবে দুবার টস করার ফলাফল এবং এই ধরনের র‍্যান্ডম পরিবর্তনশীলের সম্ভাবনা হবে

P (X=0) = P (H,H) = 1/4

P (X=1) = P (TH বা HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT)=1/4+1/4=1/2

এবং P ( X=2) = P (TT) = 1/4

এই সম্ভাব্যতা বন্টনটি আমরা নিম্নরূপ সারণী করতে পারি

X012
P(X=x)=f(x)¼½1/4

ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (cdf)/বন্টন ফাংশন

আমরা সংজ্ঞায়িত করব বিতরণ কার্যক্রম or ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (cdf) বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X-এর জন্য F(x) দ্বারা চিহ্নিত, for-∞≤x≤∞ হিসাবে

F(x)=P(X≤x)

এটি অনুসরণ করে প্রদান করা হয়

  1. যেকোনো x,y, x≤y, F(x) ≤ F(y) অর্থাৎ ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের জন্য F(x) অ-হ্রাস হয়।
  2. F(x) =0 এবং F(x)=1
  3. F(x+h)=F(x), ∀ x অর্থাৎ। ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন F(x) ডান অবিচ্ছিন্ন।

যেহেতু জন্য বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X=x এর সম্ভাব্যতা হল P(X=x), x এর জন্য1<X<x2 P(x) হবে1<X<x2) এবং X≤x এর জন্য হল P(X≤x)।

আমরা নিম্নরূপ বিযুক্ত ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের জন্য ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন লিখতে পারি

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল: ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন

আমরা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন থেকে সম্ভাব্যতা ফাংশন হিসাবে পেতে পারি

P (X=x) = f(x) =F(x)-F(u)

উদাহরণ: সার্জারির সম্ভাবনা বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য নিম্নরূপ দেওয়া হয়

X01234567
পি (এক্স)01/101/51/53/101/1001/5017/100
ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন

F2, F5, F(7) খুঁজুন?

সমাধান:

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল
বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল: উদাহরণ

গাণিতিক প্রত্যাশা 

   গাণিতিক প্রত্যাশা জন্য খুব গুরুত্বপূর্ণ ধারণা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব পাশাপাশি পরিসংখ্যানের দৃষ্টিকোণ থেকে এটি প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান হিসাবেও পরিচিত, এটিকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি এবং গুণে এর সম্ভাব্যতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেমন x যদি1, এক্স2, এক্স3, এক্স4, ……….এক্সn বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর মানগুলি তারপর P(x1), P(x2), P(x3), P(x4),……….P(xn) তখন সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা Xকে E(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল
বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল: উদাহরণ

উদাহরণ: 72 থেকে 1 নম্বরের 72টি কার্ডের একটি প্যাক থেকে একবারে 8টি কার্ড আঁকা হয়, অঙ্কিত টিকিটে সংখ্যার যোগফলের প্রত্যাশিত মান খুঁজুন।

সমাধান:. র্যান্ডম ভেরিয়েবল x বিবেচনা করুন1, এক্স2, এক্স3, এক্স4,……….এক্সn 1, 2, 3, 4, ………, 72 নম্বরের কার্ডের প্রতিনিধিত্ব করে

তাই 72 কার্ডের মধ্যে যেকোনো x হওয়ার সম্ভাবনা 

P(xi)=1/n=1/72

তারপর থেকে প্রত্যাশা থাকবে

E(x)=x1.(1/n)+x2.(1/n)+x3.(1/n)+………………+xn.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

এখন এই ধরনের 8টি কার্ডের জন্য প্রত্যাশিত মান হবে 

E(x)=x1.(1/n)+x2.(1/n)+x3.(1/n)+………………+x8.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

অনৈক্য, আদর্শ চ্যুতি এবং বিচ্যুতি গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা

সার্জারির পরিসংখ্যানের গুরুত্বপূর্ণ ধারণা আদর্শ চ্যুতি এবং অনৈক্য আমরা গাণিতিক প্রত্যাশার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে পারি, তাই যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল x হয়1, এক্স2, এক্স3, এক্স4, ……….এক্সn সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে P(x1), P(x2), P(x3), P(x4), ……….P(xn) তাহলে ভ্যারিয়েন্স হবে

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল: আদর্শ বিচ্যুতি

উদাহরণ: একটি খেলায় যদি একটি ন্যায্য পাশা ব্যবহার করা হয় এবং পাশায় কোন বিজোড় মান এলে প্লেয়ার জিতবে এবং 20টি হলে 1 টাকা, 40 টির জন্য 3 টাকা এবং 60 টির জন্য 5 টাকা এবং পাশার অন্য কোন মুখ হলে প্রাইজমানি দেওয়া হবে। খেলোয়াড়ের ক্ষতি হয়েছে ১০ টাকা। প্রত্যাশিত অর্থ খুঁজে বের করুন যা প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি দিয়ে জেতা যায়।

সমাধান:

ন্যায্য পাশার জন্য আমরা সম্ভাব্যতার বন্টন জানি,

X123456
P(X=x)1/61/61/61/61/61/6
আদর্শ চ্যুতি

X কে খেলার প্রয়োজন অনুযায়ী ডাইস কনভার্টের জন্য র্যান্ডম পরিবর্তনশীল হতে দিন

X+20-1040-1060-10
P(X=x)1/61/61/61/61/61/6
আদর্শ চ্যুতি

তাই যে কোনো খেলোয়াড়ের জয়ের প্রত্যাশিত পরিমাণ হবে

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

তাই যেকোনো খেলোয়াড়ের জয়ের প্রত্যাশিত পরিমাণ হবে μ=15

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল
বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল: আদর্শ বিচ্যুতি

গাণিতিক প্রত্যাশার ফলাফলের পাশাপাশি প্রকরণ প্রয়োজন অনুসারে দুটির বেশি চলকের জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

উপসংহার:

   এই নিবন্ধে আমরা প্রধানত বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, সম্ভাব্যতা বন্টন এবং বিতরণ ফাংশন নিয়ে আলোচনা করেছি যা cdf ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন নামে পরিচিত, এছাড়াও ধারণাটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এই ধরনের বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় বিচ্যুতি, প্রকরণ এবং মানক বিচ্যুতি কী হবে তা উপযুক্ত উদাহরণের সাহায্যে ব্যাখ্যা করা হয়েছে পরবর্তী নিবন্ধে আমরা ধারাবাহিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একই বিষয়ে আলোচনা করব, আপনি যদি আরও পড়তে চান তাহলে দেখুন:

গণিত বিষয়ে আরও বিষয়ের জন্য, অনুগ্রহ করে এটি অনুসরণ করুন লিংক.

Schaum এর সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের রূপরেখা

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability