গামা বিতরণ তদন্তকারী পরিবার | এটির 5 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

সন্তুষ্ট

  1. গামা বিতরণ এবং গামা বিতরণের সম্পর্কগুলির বিশেষ ফর্ম
  2. গামা বিতরণ সূচক পরিবার
  3. গামা এবং সাধারণ বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক
  4. পয়সন গামা বিতরণ | poisson গামা বিতরণ নেতিবাচক দ্বিপদী
  5. ওয়েইবুল গামা বিতরণ
  6. বাস্তব জীবনে গামা বিতরণের আবেদন | গামা বিতরণ ব্যবহার করে | পরিসংখ্যান মধ্যে গামা বিতরণ প্রয়োগ 
  7. বিটা গামা বিতরণ | গামা এবং বিটা বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক
  8. বিভারিয়েট গামা বিতরণ
  9. ডাবল গামা বিতরণ
  10. গামা এবং সূচকীয় বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক | ক্ষতিকারক এবং গামা বিতরণ | গামা সূচকীয় বিতরণ
  11. ফিট গামা বিতরণ
  12. শিফটে গামা বিতরণ
  13. কাটা গামা বিতরণ
  14. গামা বিতরণের বেঁচে থাকার কাজ
  15. গামা বিতরণের MLE | সর্বাধিক সম্ভাবনা গামা বিতরণ | গামা বিতরণের সম্ভাবনা ফাংশন
  16. গামার বিতরণ প্যারামিটার অনুমানের পদ্ধতি মুহুর্তগুলির মুহূর্তগুলির হিসাবরক্ষক গামা বিতরণ পদ্ধতি
  17. গামা বিতরণের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান
  18. তাত্ক্ষণিক বিতরণের আগে গামা বিতরণ কনজুগেট | গামা পূর্বে বিতরণ | পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন poisson গামা
  19. গামা বিতরণ কোয়ান্টাইল ফাংশন
  20. গামা বিতরণ সাধারণকরণ
  21. বিটা জেনারালাইজড গামা বিতরণ

গামা বিতরণ এবং গামা বিতরণের সম্পর্কগুলির বিশেষ ফর্ম

  এই নিবন্ধে আমরা গামা বিতরণের বিশেষ ফর্মগুলি এবং বিভিন্ন ধারাবাহিক এবং বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে গামা বিতরণের সম্পর্কগুলি নিয়েও আলোচনা করব এবং গামা বিতরণ ব্যবহার করে জনসংখ্যার নমুনা নেওয়ার কয়েকটি অনুমান পদ্ধতিও সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছে।

গামা বিতরণ সূচক পরিবার

  গামা বিতরণ সূচকীয় পরিবার এবং এটি দুটি প্যারামিটার এক্সফেনশনিয়াল পরিবার যা বিতরণের মূলত এবং প্রযোজ্য পরিবার, কারণ বাস্তব জীবনের বেশিরভাগ সমস্যা গামা বিতরণ সূচক পরিবারে তৈরি করা যায় এবং তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারের মধ্যে দ্রুত এবং দরকারী গণনা সহজেই করা যায়, দুটি প্যারামিটারে যদি আমরা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে গ্রহণ করি

rac frac {e ^ {- mb ল্যাম্বদা / এক্স} x ^ {\ আলফা -1}} {\ লাম্বদা ^ {pha আলফা} \ গামা (\ আলফা)} আই_ {এক্স}> 0

যদি আমরা al (আলফা) এর জ্ঞাত মানকে সীমাবদ্ধ রাখি তবে এই দুটি প্যারামিটার পরিবার হ'ল এক প্যারামিটারের ঘনিষ্ঠ পরিবারে পরিণত হবে

f (x / \ ল্যাম্বদা) = ই ^ {- \ ল্যাম্বদা / এক্স} -এ \ \ লগ \ ল্যাম্বদা \ ফ্র্যাক {এক্স ^ {pha আলফা -1}} {\ গামা (pha আলফা)} আই_ {এক্স}> 0

এবং λ (ল্যাম্বদা) এর জন্য

f (x | pha alpha) = e ^ {\ alpha logx -a (log \ lambda)} - লগ {am গামা (\ আলফা)} ই ^ {- \ frac \ x} {mb ল্যাম্বদা} _ I_ {x} > 0

গামা এবং সাধারণ বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক

  গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ক্রিয়ায় আমরা যদি আলফার কাছাকাছি পৌঁছে যাই তবে আমরা ঘনত্বের কার্যকারিতাটি পেয়ে যাব

গামা বিতরণ সূচক পরিবার
গামা বিতরণ সূচক পরিবার

এমনকি গামা বিতরণে আকৃতির প্যারামিটারটি আমরা বাড়িয়ে দিচ্ছি যার ফলে স্বাভাবিক বন্টন স্বাভাবিক বক্ররেখার অনুরূপ হয়, আমরা যদি আকারের প্যারামিটারের আলফাকে অনন্ততার দিকে ঝোঁক দিই তবে গামার বন্টন আরও প্রতিসাম্যিক এবং স্বাভাবিক হবে তবে আলফা গামায় এক্সের অসীম মানের দিকে ঝোঁক দেয় বিতরণ মাইনাস অনন্তের দিকে ঝুঁকবে যার ফলে গামা বিতরণটির অর্ধিক অসীম সমর্থন অসীম তাই গামা বিতরণ প্রতিসম হয়ে যায় তবে সাধারণ বিতরণের সাথে একই হয় না।

poisson গামা বিতরণ | poisson গামা বিতরণ নেতিবাচক দ্বিপদী

   পোইসন গামা বিতরণ এবং দ্বি-দ্বি বিতরণ হ'ল বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে আলাদা মূল্যবোধের সাথে বিশেষভাবে সাফল্য এবং ব্যর্থতা ব্যারনোল্লি ট্রায়াল আকারে ব্যর্থ হয় যা কেবলমাত্র ফলাফল হিসাবে এলোমেলো সাফল্য বা ব্যর্থতা দেয়, এখন পয়সন এবং গামা বিতরণের মিশ্রণও রয়েছে নেতিবাচক দ্বি-দ্বি বিতরণ হিসাবে পরিচিত বার্নোলির বিচারের পুনরাবৃত্ত বিচারের ফলাফল, এটি বিভিন্ন উপায়ে প্যারামিটারাইজ করা যেতে পারে যেন পরীক্ষার সংখ্যায় r-th সাফল্য দেখা দেয় তবে এটি প্যারামিটারাইজ করা যেতে পারে

পি (এক্স_ {1} = এক্স | পি, আর) = \ বাইনোম {এক্স -1} {আর -1} পি ^ {আর} (1-পি) ^ {এক্সআর

আর যদি r-th সাফল্যের আগে ব্যর্থতার সংখ্যা হয় তবে এটি প্যারামিটারাইজ করা যেতে পারে

পি (এক্স_ {2} = এক্স | পি, আর) = \ বাইনোম {এক্স + আর -১} {এক্স} পি ^ {আর} (১-পি) ^ {x}

এবং আর ও পি এর মান বিবেচনা করে

r = \ frac {\ mu ^ {2}} {\ সিগমা {2 XNUMX} - \ মিউ}

p = rac frac {r} {r + \ mu

নেতিবাচক দ্বিপদী বা poisson গামা বিতরণের জন্য প্যারামিটারাইজেশন সাধারণ ফর্ম হয়

পি (এক্স = এক্স) = \ বোনম {এক্স + আর -1}} এক্স} পি ^ ^ আর} (1-পি) {{এক্স} \ \ এক্স = 0,1,2,…

এবং বিকল্প এক

পি (এক্স = এক্স) = \ বিনোম {x + আর -1 {{এক্স} \ বাম (\ frac {\ আলফা} {\ আলফা +1} \ ডান) ^ {r} \ বাম (\ frac {1} { \ আলফা +1} \ ডান) ^ {x} \ \ x = 0,1,2,…

এই দ্বিপদী বিতরণটি সহগের কারণে negativeণাত্মক হিসাবে পরিচিত

\ বিনম {x + আর -1} {x} = \ frac {(এক্স + আর -1) (এক্স + আর -2)… .আর} {এক্স!} \ = (-1) ^ {এক্স} \ frac {(-r- (x-1)) (- r- (x-2))… .. ((r)} {x!} \ = (-1) ^ {x} \ frac {(- আর) (-r-1)…। -r- (x-1))} {x!} \ = (- 1) ^ {x} \ বিনম {-r} {x

এবং এই নেতিবাচক দ্বিপদী বা পোয়েসন গামা বিতরণটি আমরা এই বন্টনের জন্য এক হিসাবে প্রাপ্ত মোট সম্ভাবনা হিসাবে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

1 = পি ^ {আর} পি ^ {- আর} \ = পি ^ {আর} (1-কিউ) ^ {- আর} \ = পি ^ {আর} \ সম_ {0} ^ {\ ইনফটি} \ বিনোম { -r} {x} (- কিউ) {{x} \ = পি ^ {আর} \ যোগ_ {0} ^ {\ ইনফটি} (-1) ^ {x} \ বিনোম r -r} {x} (কিউ ) ^ {x} \ = \ যোগ_ {0} ^ {\ ইনফটি} \ বিনম {এক্স + আর -1}} এক্স} পি ^ ^ আর} কিউ ^ {এক্স} \

এই নেতিবাচক দ্বিপদী বা পোইসন গামা বিতরণের জন্য গড় এবং প্রকরণটি

E (এক্স) = \ frac {r (1-পি)} {পি}

var (এক্স) = \ frac {r (1-পি)} {পি ^ {2}

পোয়েসন এবং গামা সম্পর্ক আমরা নিম্নলিখিত গণনা দ্বারা পেতে পারি

পি (এক্স = এক্স) = \ ফ্র্যাক {1} {\ গামা (\ আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা} \ \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} rac ফ্রোক {ই ^ {- mb ল্যাম্বদা} \ ল্যাম্বদা ^ {x}} {x!} mb ল্যাম্বদা ^ {\ আলফা -1} ই ^ {- mb লাম্বদা / \ বিটা} ডি \ ল্যাম্বদা

= rac frac {1} {x! am গামা (\ আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা} \ \ ইনট_ {0} ^ {\ ইনফটি} mb লাম্বদা {\ pha আলফা + এক্স -1} ই ^ {- \ ল্যাম্বদা (1 + 1 / \ বিটা)} d \ ল্যাম্বদা

= rac frac {1} {\ গামা (x + 1) am গামা (\ আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা}} am গামা (\ আলফা + এক্স) \ বামে (\ frac {\ বিটা} {\ বিটা +1 } \ ডানদিকে) ^ {\ আলফা + এক্স

= \ বিনোম {\ আলফা + x-1} {x} \ বাম (\ frac {1} {\ বিটা +1} \ ডান) ^ {pha আলফা \ \ বাম (1- \ frac {1} {\ বিটা + 1} \ ডান) ^ {x

সুতরাং নেতিবাচক দ্বিপদীটি হ'ল পয়েসন এবং গামা বিতরণের মিশ্রণ এবং এই বিতরণটি প্রতিদিনের সমস্যাগুলির মডেলিংয়ে ব্যবহৃত হয় যেখানে আমাদের প্রয়োজন বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন মিশ্রণ।

গামা বিতরণ সূচক পরিবার
গামা বিতরণ সূচক পরিবার

ওয়েইবুল গামা বিতরণ

   তাত্পর্য বিতরণকে সাধারণীকরণ করা হয় যা ওয়েইবুলের সাথে গামা বিতরণকেও জড়িত কারণ ওয়েইবুল বিতরণে সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কাজ রয়েছে

f (x) = \ start {কেস} \ 0 & x \ leq v \ \\ \ frac {\ beta} {\ alpha} \ বাম (\ frac {xv} {\ আলফা} \ ডান) ^ {\ বিটা - 1} এক্সপ্রেস {{- \ বাম (\ frac {xv} {\ আলফা} \ ডান) ^ {\ বিটা}}} & \ x> ভি \ শেষ {কেস}

এবং संचयी বিতরণ ফাংশন হিসাবে

এফ (এক্স) = \ শুরু {কেসগুলি} \ 0 এবং \ x \ লেক ভি \\ \ 1- এক্সপ্রেস {- \ বাম (\ frac {xv} {pha আলফা} \ ডান) ^ {\ বিটা}} & \ x > ভি \ শেষ {কেস}

যেখানে গামা বিতরণের পিডিএফ এবং সিডিএফ হিসাবে ইতিমধ্যে আমরা ওয়েবুল এবং গামা বিতরণের মধ্যকার মূল সংযোগের উপরে আলোচনা করেছি উভয়ই তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণকে সাধারণীকরণ করা হয় যখন ভেরিয়েবলের শক্তি একের বেশি হয় তখন ওয়েবুল বিতরণ দ্রুত ফলাফল দেয় যখন কম জন্য 1 গামার চেয়ে দ্রুত ফলাফল দেয়।

     আমরা এখানে সাধারণীকরণ করা ওয়েইবুল গামা বিতরণ নিয়ে আলোচনা করব না যার জন্য পৃথক আলোচনার প্রয়োজন।

বাস্তব জীবনে গামা বিতরণের আবেদন | গামা বিতরণ ব্যবহার করে | পরিসংখ্যান মধ্যে গামা বিতরণ প্রয়োগ 

  এমন অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে যেখানে পরিস্থিতি মডেল করতে গামা বিতরণ ব্যবহৃত হয় যেমন বীমা সংগ্রহের জন্য দাবী, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ জমে থাকা, যে কোনও পণ্যটির উত্পাদন ও বিতরণ, নির্দিষ্ট ওয়েবে ভিড়, এবং টেলিকম এক্সচেঞ্জের ক্ষেত্রে আসলে গামা বিতরণ দেওয়া হয় নবম ইভেন্টের জন্য পরবর্তী ইভেন্ট পর্যন্ত অপেক্ষা সময়ের পূর্বাভাস। বাস্তব জীবনে গামা বিতরণের প্রয়োগের সংখ্যা রয়েছে।

বিটা গামা বিতরণ | গামা এবং বিটা বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক

    বিটা বিতরণ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ এলোমেলো পরিবর্তনীয়

f (x) = \ start {কেস} \ \ frac {1} {বি (ক, খ)} x ^ {a-1} (1-x) {{বি -1} & <0 <x <1 \ \ 0 & \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

কোথায়

B(a,b)= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx

যার সাথে গামা ফাংশনের সাথে সম্পর্ক রয়েছে

বি (এ, বি) = \ ফ্রাক {am গামা (ক) am গামা (খ)} {\ গামা (এ + বি)

এবং গামা বিতরণের সাথে সম্পর্কিত বিটা বিতরণ যেমন এক্স প্যারামিটার আলফা এবং বিটা এক হিসাবে গামা বিতরণ এবং ওয়াই গ্যামার বিতরণ হিসাবে প্যারামিটার আলফা এবং বিটা হয় তবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স / (এক্স + ওয়াই) বিটা বিতরণ।

অথবা যদি X গামা (α, 1) এবং ওয়াই গামা (1, β) হয় তবে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স / (এক্স + ওয়াই) হল বিটা (α, β) 

এবং আরো

\ mathbf {\ lim_ {n \ থেকে \ infty} nB (কে, এন) = \ গামা (কে, 1)}

বিভাজনে গামা বিতরণ

     একটি দ্বি মাত্রিক বা দ্বিবিভক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন থাকে যদি কোনও ফাংশন f (x, y) থাকে যেমন যৌথ বিতরণ ফাংশন

F (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ বাম [\ int _ {- \ infty} ^ {y} f (u, v) dv \ right] du

কোথায়

F (+ \ infty, + \ infty) = \ lim_ \ x \ to + \ infty, y \ to + \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ int _ {- \ infty} ^ {y} f (u, v) dvdu

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ int _ _ - ty infty ^ ^ {\ infty} f (u, v) dvdu = 1

এবং যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা প্রাপ্ত

rac frac {\ আংশিক F 2 F (x, y)} {tial আংশিক x \ আংশিক y} = f (x, y)

বিভাজনে গামা বিতরণ সংখ্যা রয়েছে তাদের মধ্যে একটি হ'ল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ দ্বিবিভক্ত গামা বিতরণ

f (x, y) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha + \ gamma}} {\ Gamma (\ alpha) am Gamma (\ gamma)} x ^ {\ আলফা -1} (yx) ^ {\ গামা -1} ই ^ {- \ বিটা ওয়াই}, \ \ 0 <x 0

ডাবল গামা বিতরণ

  ডাবল গামা বিতরণ প্যারামিটার আলফাযুক্ত গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে দ্বিখণ্ডিত বিতরণগুলির মধ্যে একটি এবং যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি

f_ {Y_ {1} {Y_ {2}}} (y_ {1}, y_ {2}) = \ frac {1} {am গামা (\ আলফা {1}) \ গামা (\ আলফা {2})} y_ {1} ^ {\ আলফা_ {1} -1} y_ {2} ^ {\ pha আলফা_ {2} -1} এক্সপ্রেস (-y_ {1} -y_ {2}), y_ {1}> 0, y_ {2}> 0

এই ঘনত্বটি संबंधित র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে দ্বিগুণ গামা বিতরণ গঠন করে এবং ডাবল গামা বিতরণের জন্য মুহূর্ত উত্পন্ন করার ফাংশনটি

th mathbf {M_ {Y_ {1} Y_ {2} (টি, গুলি)} = \ বাম (\ frac {1} {1-t} \ ডান) ^ {\ আলফা {1}} \ বাম (\ frac { 1} {1-s} \ ডান) ^ {\ আলফা {2}}}

গামা এবং সূচকীয় বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক | ক্ষতিকারক এবং গামা বিতরণ | গামা সূচকীয় বিতরণ

   সূচকীয় বিতরণ হ'ল সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ বিতরণ

f (x) = \ start {কেসস} \ \ ল্যাম্বদা ই ^ {- \ লাম্বদা এক্স} & \ যদি \ \ x \ geq 0 \ \ 0 এবং <\ \ x x <0 \ শেষ {কেস}

এবং গামা বিতরণে সম্ভাব্যতার ঘনত্বের কার্য রয়েছে

f (x) = \ start {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- \ ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

স্পষ্টতই আলফার মানটি যদি আমরা এক হিসাবে রাখি তবে আমরা তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ পাব, তা হ'ল গামা বিতরণ তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণকে সাধারণীকরণ ছাড়া আর কিছুই নয়, যা পরবর্তী নবম ইভেন্টের আগ পর্যন্ত অপেক্ষা সময়ের পূর্বাভাস দেয় এবং ঘনিষ্ঠ বিতরণ অপেক্ষা করার পূর্বাভাস দেয় পরবর্তী ইভেন্টের উপস্থিতি পর্যন্ত সময়।

ফিট গামা বিতরণ

   যতক্ষণ না গামা বিতরণ আকারে প্রদত্ত ডেটা ফিট করে বোঝানো হয় সেই আকার, অবস্থান এবং স্কেল প্যারামিটারের সাথে জড়িত দুটি পরামিতি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সন্ধান করা যাতে বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনের সাথে এই পরামিতিগুলি সন্ধান করা হয় এবং গড়, বৈচিত্র, মানক বিচ্যুতি এবং মুহুর্ত উত্পন্নকরণের কার্য গণনা করা হয় গামা বিতরণের উপযুক্ততা, যেহেতু বিভিন্ন বাস্তব জীবনের সমস্যাগুলি গামা বিতরণে মডেল করা হবে তাই পরিস্থিতি অনুযায়ী তথ্যটি গামা বিতরণে উপযুক্ত হতে হবে এই উদ্দেশ্যে বিভিন্ন পরিবেশের বিভিন্ন কৌশল ইতিমধ্যে রয়েছে যেমন, আর, মতলব, এক্সেল ইত্যাদি ক্ষেত্রে technique

স্থানান্তরিত গামা বিতরণ

     অ্যাপ্লিকেশন এবং প্রয়োজন অনুসারে যখনই দুটি প্যারামিটার গামা বিতরণ থেকে প্রয়োজনীয় বিতরণ স্থানান্তর করার প্রয়োজন হয় নতুন সাধারণীকৃত তিনটি প্যারামিটার বা অন্য কোনও সাধারণীকৃত গামা বিতরণ আকারের অবস্থান এবং স্কেল পরিবর্তন করে, এই ধরনের গামা বিতরণ স্থানান্তরিত গামা বিতরণ হিসাবে পরিচিত

কাটা গামা বিতরণ

     যদি আমরা শেপ স্কেল এবং অবস্থানের প্যারামিটারের জন্য গামা বিতরণের পরিসীমা বা ডোমেনকে সীমাবদ্ধ করি তবে সীমাবদ্ধ গামা বিতরণ শর্তগুলির উপর ভিত্তি করে কাটা গামা বিতরণ হিসাবে পরিচিত।

গামা বিতরণ বেঁচে থাকার ফাংশন

                গামা বিতরণের জন্য বেঁচে থাকার কাজটি ফাংশনটি (এক্স) হিসাবে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

এস (এক্স) = 1- rac ফ্রাক {am গামা_ {এক্স} (\ গামা)} {am গামা (\ গামা)} \ \ x \ গিক 0; am গামা> 0 \ যেখানে \ \ \ গামা_ {x} (ক) = \ ইনট_ {0} ^ {এক্স} টি ^ {এ -1} ই ^ {- টি} ডিটি

গামা বিতরণ mle | সর্বাধিক সম্ভাবনা গামা বিতরণ | গামা বিতরণের সম্ভাবনা ফাংশন

আমরা জানি যে সর্বাধিক সম্ভাবনা একটি প্রতিনিধি হিসাবে জনসংখ্যার কাছ থেকে নমুনা গ্রহণ করে এবং এই নমুনাটি ঘনত্ব ফাংশনের পরামিতিগুলির সর্বাধিককরণের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটির জন্য অনুমানকারী হিসাবে বিবেচনা করে, গামা বিতরণে যাওয়ার আগে এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স হিসাবে কিছু বেসিকগুলি পুনরুদ্ধার করতে হবে পরামিতি হিসাবে থিটা সহ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে সম্ভাবনা ফাংশন আছে

এল (ta থিতা; x_ {1}, x_ {2}, ……। X_ {n}) = চ _ {\ থিতা} (x_ {1}, x_ {2}, …… x_ {n}),

এটি আমরা হিসাবে প্রকাশ করতে পারেন

এল (\ থেটা; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n}) = \ উন্নত_ {i = 1} ^} n} f \ থিতা (x_ {i})

এবং এই সম্ভাবনা ফাংশন সর্বাধিক করার পদ্ধতি হতে পারে

এল (\ থেটা; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n}) = সুপার _ {(\ থেটায় \ থেইটা))} এল (ta থিয়েটা; x_ {1 x, x_ {2}, …… .x_ {n})

যদি এই জাতীয় থীটা এই সমীকরণটি পূরণ করে এবং লগ হিসাবে একঘেয়ে ফাংশন হয় আমরা লগের শর্তে লিখতে পারি

লগএল (\ theta; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n}) = সুপার _ {(\ থেটায় \ থেইটা))} লগ এল (\ theta; x_ {1}, x_ {2} , …… .x_ {n})

এবং যদি এরকম একটি আধিপত্য বিদ্যমান if

{rac frac {tial আংশিক লগএল (\ টুপি \ \ থেটা; x_ {1}… ..x_ {n}})} {tial আংশিক \ থিতা_ {জ}}} = 0, \ \ জে = 1,2,… কে, \ \ \ থেটা = (\ থটা {1},… .. \ থেটা {কে})

এখন আমরা গামা বিতরণ ফাংশনের সর্বাধিক সম্ভাবনা প্রয়োগ করি

f (x | \ আলফা, \ বিটা) = \ প্রোড_ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} | pha বিটা) = \ বাম (\ frac {\ বিটা ^ {\ আলফা}} Am am গামা (\ আলফা) \ \ ডান) _ {n} \ প্রোড_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ pha আলফা -1} এক্সপ্রেস (- \ বিটা এক্স_ {আই}) \ প্রপ্টো \ বিটা ^ {n \ আলফা} এক্সপ্রেস \ বাম (- \ বিটা \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ ডান)

ফাংশনটির লগ সম্ভাবনা হবে

\ ইমমাথ (\ বিটা | pha আলফা, এক্স) \ প্রপ্টো এন \ আলফা লগ \ বিটা - \ বিটা এন \ বার {এক্স} \ প্রোপ্টো \ আলফা লগ \ বিটা - \ বার {x} \ বিটা

তাই হয়

0 = rac frac {tial আংশিক l} {tial আংশিক \ বিটা} = \ frac {\ আলফা} {\ বিটা} - \ বার {x},

এবং অতঃপর

\ টুপি {\ বিটা} = \ ফ্র্যাক {\ আলফা} {\ বার {এক্স}

এটি হিসাবে অর্জন করা যেতে পারে

\ textbf {L} (\ আলফা, \ বিটা | x) = \ বাম (\ frac {\ বিটা ^ {\ আলফা}} {am গামা (\ আলফা)} x_ {1} ^ {\ আলফা -1} ই ^ {- \ বিটা x_ {1}} \ ডান) …… .. \ বাম (\ frac {\ বিটা ^ {\ আলফা} {{am গামা (\ আলফা)} x_ {n} ^ {pha আলফা -1} ই ^ {- \ বিটা x_ {n}} \ ডান) = \ বাম (\ frac {\ বিটা ^ {\ আলফা}} {am গামা (\ আলফা)} \ ডান) ^ {n} (x_ {1} (x__) {2} …… (x_ {n}) ^ {\ আলফা -1} ই ^ {- \ বিটা} (x_ {1} + x_ {2} + …… x_ {n})

by

\ Textbf {L} (\ alpha, \ beta | x) = n (\ alpha In pha beta -In \ Gamma (\ alpha)) + (\ alpha -1) \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} Inx_ {i} - \ বিটা \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} x_ {i

এবং পরামিতি পার্থক্য দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে

rac frac {tial আংশিক {{tial আংশিক \ আলফা} ইন \ টেক্সটবিএফ {এল} (\ টুপি {\ আলফা}, \ টুপি \ বিটা} | x) = n (ইন \ টুপি {\ বিটা} - \ ফ্র্যাক গাণিতিক {d}} {th ম্যাথর্ম {ডি} \ আলফা} ইন am গামা (\ টুপি {\ আলফা})) + \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = 0

rac frac {tial আংশিক} {tial আংশিক \ বিটা} ইন \ টেক্সটবিএফ {এল} (\ টুপি {\ আলফা}, \ টুপি \ বিটা} | x) = n \ ফ্র্যাক {\ টুপি \ আলফা}} {\ টুপি {\ বিটা}} - \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = 0 \ \ বা \ \ \ বার {এক্স} = \ ফ্র্যাক {\ টুপি \ আলফা}} {\ টুপি \ \ বিটা }}

n (\ টুপি {\ আলফা} -আইন \ টুপি {এক্স} - rac গ্যামায় (\ টুপি \ pha আলফা}) + ফ্র্যাক {\ ম্যাথর্ম {ডি}} {th ম্যাথরম {ডি} \ আলফা)) + \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} ইনক্স_ {i} = 0

গামার বিতরণ প্যারামিটার অনুমানের পদ্ধতি মুহুর্তগুলির moments মুহূর্তগুলির হিসাবরক্ষক গামা বিতরণ পদ্ধতি

   আমরা যথাক্রমে নবম অর্ডার প্রত্যাশার সাহায্যে জনসংখ্যার মুহুর্ত এবং নমুনা গণনা করতে পারি, মুহুর্তের পদ্ধতিটি প্যারামিটারগুলি অনুমান করার জন্য বিতরণ এবং নমুনার এই মুহুর্তগুলিকে সমান করে, মনে করুন আমাদের সম্ভাবনা ঘনত্বের কার্যকারিতা সহ গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নমুনা রয়েছে

f (x | \ alpha, \ lambda) = \ frac {\ lambda ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ lambda x}, \ \ x q geq 0

আমরা জানি এই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন জন্য প্রথম দুটি মুহুর্ত হয়

\ মিউ {1} = \ ফ্র্যাক {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা} \ \ \ \ মু {2} = \ ফ্রাক {\ আলফা (\ আলফা +1)} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}}

so

{\ ল্যাম্বদা} = \ ফ্রাক {\ আলফা} {\ মু _ {1}

আমরা লাম্বদা বিকল্প যদি আমরা দ্বিতীয় মুহূর্ত থেকে পেতে হবে

rac frac {\ mu {2}} {\ mu {1} ^ {2}} = \ frac {\ আলফা +1} {\ আলফা

এবং আলফার এই মানটি থেকে

pha আলফা = \ ফ্র্যাক {\ মিউ {1} ^ {2}} {\ মিউ {2} - \ মু _ {1} ^ {2}}

এবং এখন ল্যাম্বদা হবে

\ ল্যাম্বদা = rac ফ্রাক {\ মিউ {1} ^ {2}} {\ মু {2} - \ মিউ {1} ^ 2}} rac ফ্র্যাক {1} {\ মিউ {1}} \ \ \ \ \ = rac frac {\ mu {1} ^ {2}} {\ mu {2} - \ mu _ {1} ^ {2}}

এবং নমুনা ব্যবহারের মুহুর্তের অনুমানকারী হবে

\ টুপি {\ ল্যাম্বদা} = \ ফ্র্যাক {\ বার {এক্স}} {\ টুপি \ সিগমা ^ {2 XNUMX}

গামা বিতরণের জন্য আস্থার ব্যবধান

   গামা বিতরণের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হ'ল তথ্য এবং তার অনিশ্চয়তা অনুমান করার উপায় যা ব্যবধানকে বলে দেয় যে কত শতাংশে পরামিতিটির সত্যিকারের মূল্য থাকবে, এই আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণ থেকে প্রাপ্ত হয়, যেহেতু এটি থেকে প্রাপ্ত হয় এলোমেলোভাবে এটি গামা বিতরণের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি পেতে এলোমেলোভাবে বিভিন্ন প্রয়োগের বিভিন্ন কৌশল রয়েছে যা আমাদের অনুসরণ করতে হবে।

তাত্ক্ষণিক বিতরণের আগে গামা বিতরণ কনজুগেট | গামা পূর্বে বিতরণ | পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন poisson গামা

     পূর্ববর্তী এবং পূর্ববর্তী বিতরণটি বয়েশিয়ান সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পরিভাষা এবং তারা একে অপরের সাথে সংযোগ স্থাপন করে, যে কোনও দুটি বন্টন কনজুগেট হয় যদি একটি বিতরণের উত্তরবর্তী অন্য বিতরণ হয়, থিতোর পরিপ্রেক্ষিতে দেখানো যাক যে গামা বিতরণ পূর্বের সংযোগের আগে তাত্ক্ষণিক বিতরণ

যদি থিটার শর্তে গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশনটি হয়

f _ {\ থেটা} (\ থিতা) = \ ফ্র্যাক {\ বিটা ^ \ pha আলফা \ \ থিতা ^ {pha আলফা -1} ই ^ {- \ বিটা \ থিতা}} {\ গামা (\ আলফা)

ধরে নিও যে থিতার জন্য বিতরণ কার্যটি প্রদত্ত ডেটা থেকে ক্ষতিকারক

f_ {X_ {i} | ta থেটা} (x_ {i} | \ theta) = \ থিতা ই ^ {- ta থিতা x_ {i}}

সুতরাং যৌথ বিতরণ হবে

f (X | \ Theta) = \ theta ^ {n} e ^ {- \ theta \ যোগ x_ {i}

এবং সম্পর্ক ব্যবহার করে

\ টেক্সটফএফ {পোস্টেরিয়ের ior \ প্রপো f টেক্সটবিএফ lihood সম্ভাবনা \ \ এক্স \ \ \ টেক্সটবিএফ {অগ্রণী}

আমাদের আছে

f _ {\ থেটা | এক্স} (\ theta | x) \ প্রপ্টো \ থিটা ^ {n} ই ^ {- \ থিতা \ যোগ x_ {i} x \ থিতা ^ {\ আলফা -1} ই ^ {- \ বিটা \ থাটা

= \ থিটা {{n + \ আলফা -1} ই ^ {- \ থিতা (\ যোগফল x_ {i} + \ বিটা)}

\ অতএব \ থিতা | এক্স \ সিম \ টেক্সটবিএফ {গামা} (এন + \ আলফা, \ যোগ x_ {i} + \ বিটা)

যা হলো

f \ লাম্বদা | এক্স (\ ল্যাম্বদা | এক্স) \ প্রপ্টো \ ল্যাম্বদা {{\ যোগ x_ {i} + \ আলফা -1} ই ^ {- (এন + \ বিটা) \ ল্যাম্বদা}

সুতরাং গামা বিতরণ পূর্ববর্তী গামা বিতরণ হিসাবে তাত্ক্ষণিক বিতরণ আগে সংহত হয়।

গামা বিতরণ কোয়ান্টাইল ফাংশন

   গামা বিতরণের কাওনটাইল ফাংশনটি গামা বিতরণে পয়েন্ট দেয় যা গামা বিতরণে মানগুলির র‌্যাঙ্ক ক্রম সম্পর্কিত, এটি গুমা বিতরণের পরিমাণের জন্য পৃথক ভাষার বিভিন্ন অ্যালগরিদম এবং ফাংশনগুলির প্রয়োজন।

সাধারণ গামা বিতরণ

    যেহেতু গামা বিতরণ নিজেই বিতরণের তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারের সাধারণীকরণ হ'ল এই বিতরণে আরও প্যারামিটার যুক্ত করা আমাদেরকে সাধারণীকরণ করা গামা বিতরণ দেয় যা এই বন্টন পরিবারের আরও সাধারণীকরণ, শারীরিক প্রয়োজনীয়তা বিভিন্ন জেনারালাইজেশন দেয় ঘনত্বের ক্রিয়াটি ক্রম ব্যবহার করে যেমন

f (x) = \ frac {(\ frac {x- \ mu} {\ beta}) ^ {am gamma -1} exp (- \ frac {x- \ mu} {\ beta})} {\ বিটা \ গামা (\ গামা)} \ \ x \ গেক \ মু; am গামা, \ বিটা> 0

যেমন সাধারণীকরণ করা গামা বিতরণের জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনটি প্রাপ্ত হতে পারে

F (x) = \ frac {\ Gamma _ {x} (\ gamma)} {\ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq 0, am gmama> 0

যেখানে অঙ্কটি অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করে

Am গামা {এক্স} (ক) = \ ইনট {0} ^ {\ ইনফটি} টি ^ {এ -1} ই ^ {- টি} ডিটি

এই অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনটি ব্যবহার করে সাধারণীকরণ করা গামা বিতরণের জন্য বেঁচে থাকার ফাংশনটি পাওয়া যায়

এস (x) = 1- rac frac {am গামা _ {x} (\ গামা)} {\ গামা (\ গামা)} \ \ x \ গিগ 0, \ গামা> 0

সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনযুক্ত এই তিনটি প্যারামিটার জেনারালাইজড গামা বিতরণের আরেকটি সংস্করণ

f (t) = \ frac {\ beta} {\ Gamma (k) \ theta} \ বাম (\ frac {t} {ta theta} \ ডান) ^ {k \ বিটা -1} e ^ {- \ বাম ( rac frac {t} {\ theta} \ ডান) ^ {\ বিটা}

যেখানে কে, β, θ প্যারামিটারগুলি শূন্যের চেয়ে বড়, সেখানে এই সাধারণীকরণের সাথে ওয়েবুল প্যারামিটারগুলি প্রতিস্থাপনের জন্য রূপান্তরিত সমস্যা রয়েছে

\ মিউ = ইন (\ থেটা) + \ ফ্র্যাক {1} {\ বিটা}} \ বামে (\ frac {1} {\ lambda ^} 2}} \ \ ডান) \ \ \ \ সিগমা = \ frac {1} {a বিটা \ স্ক্র্যাব্ট {কে}} \ \ \ \ ল্যাম্বদা = \ ফ্র্যাক {1 \ {q স্ক্রিট {কে}} \ \ \ কোথায় \ \ - ty ইনফটি <\ মু 0, 0 <\ ল্যাম্বদা

এই পরামিতিটি ব্যবহার করে ঘনত্বের ক্রিয়াটি রূপান্তরিত হ'ল তাই অভিযানের সাথে গামা বিতরণের জন্য আরও সাধারণীকরণ হ'ল সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ বিতরণ

এফ (এক্স) = \ শুরু {কেসগুলি} rac ফ্র্যাক {| \ ল্যাম্বদা |} {ig সিগমা .t}। \ Frac {1} {am গামা \ বাম (\ frac {1} {\ ল্যাম্বদা {{2}} \ ডান)}। ই \ বাম [\ frac {\ ল্যাম্বদা। \ frac {ইন (টি) - \ মিউ} {\ সিগমা} + ইন \ বামে (\ frac {1} {\ ল্যাম্বদা {2 2}} \ ডান) -e ^ {\ ল্যাম্বদা। \ ফ্র্যাক {ইন। (টি) - \ মিউ} {ig সিগমা}}} {\ ল্যাম্বদা {{0}} \ ডান] এবং] পাঠ্য {যদি} \ লাম্বদা \ নেক 1 \\\ frac {2} {t। \ sigma \ sqrt {1 \ pi}} e ^ {- \ frac {2} {2} \ বাম (\ frac {ইন (টি) - \ মু} {ig সিগমা} \ ডান) } {0}} & \ পাঠ্য {যদি} \ ল্যাম্বদা = XNUMX \ শেষ {কেস}

বিটা জেনারালাইজড গামা বিতরণ

   ঘনত্ব ফাংশনে প্যারামিটার বিটার সাথে জড়িত গামা বিতরণ যার কারণে মাঝে মাঝে গামা বিতরণ ঘনত্ব ফাংশন সহ বিটা জেনারালাইজড গামা বিতরণ হিসাবে পরিচিত

g _ {\ বিটা, \ গামা, সি} (এক্স) = \ ফ্রাক {সি \ ল্যাম্বদা {{সি \ বিটা} {\ গামা (\ বিটা)} x ^ {সি \ বিটা -1} এক্সপ্রেস \ বাম {- ( \ ল্যাম্বদা এক্স) ^ {সি} \ রাইট}, \ \ x> 0

হিসাবে संचयी বিতরণ ফাংশন সহ

জি _ {\ বিটা, \ গামা, সি} (এক্স) = \ ফ্রাক {\ গামা (\ বিটা, (\ লাম্বদা এক্স) {{সি})} {\ গামা (\ বিটা)},

যা গামা বিতরণের আলোচনায় ইতিমধ্যে বিশদে আলোচনা করা হয়েছে, আরও বিটা সাধারণীকরণ করা গামা বিতরণ সিডিএফ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

F (x) = I_ {G} (x) (a, b) = \ frac {1} {B (a, b)} \ int_ {0} ^ {G (x)} \ ওমেগা {a-1 } (1- \ ওমেগা) {-বি -1} ডি \ ওমেগা,

যেখানে বি (ক, খ) হ'ল বিটা ফাংশন, এবং এর জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি পার্থক্য দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে এবং ঘনত্বের ক্রিয়াটি হবে

f (x) = \ frac {g (x)} {B (a, b)} G (x) ^ {a-1} \ বাম {1-জি (x) \ ডান} ^ {বি -1}

এখানে জি (এক্স) হ'ল গামা বিতরণের উপরোক্ত সংজ্ঞাগত বন্টন ফাংশন, যদি আমরা এই মানটি রাখি তবে বিটা জেনারেলাইজড গামা বিতরণের संचयी বিতরণ ফাংশনটি হ'ল

এফ (এক্স) = আমি _ {\ গামা (\ বিটা, (\ লাম্বদা এক্স) ^ {সি}) / \ গামা (\ বিটা)} (ক, খ) = \ ফ্র্যাক {1} {বি (ক, বি)} \ int_ {0} ^ {{\ গামা (\ বিটা, (\ লাম্বদা এক্স) ^ {সি}) / \ গামা (\ বিটা)}} \ ওমেগা {--1} (1- \ ওমেগা) ^ {বি -1} d \ ওমেগা

এবং সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন

f (x) = rac frac {c \ lambda ^ {c \ beta} x ^ {c \ beta -1} Exp \ বাম {- (\ ল্যাম্বদা এক্স) ^ {c} \ ডান} am গামা (\ বিটা, ( \ ল্যাম্বদা এক্স) ^ {সি}) ^ {এ -1} \ বাম {am গামা (\ বিটা) - \ গামা (\ বিটা, (\ লাম্বদা এক্স) ^ {সি}) \ ডান} ^ {বি -1} } {বি (ক, খ) am গামা (\ বিটা) ^ {এ + বি -১}

বাকী বৈশিষ্ট্যগুলি সাধারণ সংজ্ঞা সহ এই বিটা জেনারালাইজড গামা বিতরণের জন্য বাড়ানো যেতে পারে।

উপসংহার:

এর বিভিন্ন ফর্ম এবং সাধারণীকরণ রয়েছে গামা বিতরণ এবং বাস্তব জীবনের পরিস্থিতি অনুসারে গামা বিতরণ সূচকীয় পরিবার তথ্যের জনসংখ্যার নমুনা গ্রহণে গামা বিতরণের প্রাক্কলন পদ্ধতি ছাড়াও যেমন ফর্ম এবং সাধারণীকরণগুলি আচ্ছাদিত ছিল, যদি আপনার গামা বিতরণ সূচকীয় পরিবার সম্পর্কে আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে দয়া করে নীচের লিঙ্কটি দিয়ে যান এবং বই। গণিতে আরও বিষয়ের জন্য দয়া করে ভিজিট করুন আমাদের পৃষ্ঠা.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

গামা বিতরণ তদন্তকারী পরিবার | এটির 5 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X