গামা বিতরণ: 7টি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য যা আপনার জানা উচিত

গামা বিতরণ

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং অবিচ্ছিন্ন বিতরণগুলির মধ্যে একটি হ'ল গামা বিতরণ, আমরা যেমন জানি যে ধারাবাহিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন মান বা অন্তরগুলির সাথে সম্পর্কিত তাই নির্দিষ্ট সম্ভাবনার ঘনত্ব ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা গণ ফাংশন সহ গামা বিতরণ, আমরা যে ধারাবাহিক আলোচনায় আলোচনা করি গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং গামা বিতরণের উদাহরণ সহ ধারণা, বৈশিষ্ট্য এবং ফলাফলগুলি বিশদ করুন।

গামা র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বা গামা বিতরণ | গামা বিতরণ কি | গামা বিতরণ সংজ্ঞায়িত | গামা বিতরণ ঘনত্ব ফাংশন | গামা বিতরণ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন | গামা বিতরণ প্রমাণ

সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গামা বিতরণ হিসাবে পরিচিত যেখানে α> 0, λ> 0 এবং গামা ফাংশন

অংশ হিসাবে ইন্টিগ্রেশন দ্বারা আমাদের গামা ফাংশনটির খুব ঘন ঘন সম্পত্তি রয়েছে

আমরা যদি প্রক্রিয়াটি n থেকে শুরু করে চালিয়ে যাই তবে

এবং সর্বশেষে একজনের গামার মান হবে

এইভাবে মান হবে

গামা বিতরণের সিডিএফ | संचयी গামা বিতরণ | গামা বিতরণ একীকরণ

সার্জারির ক্রমবর্ধমান বিতরণ গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশন(সিডিএফ) বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ফাংশন ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মতোই হয় তবে সম্ভাবনার ঘনত্বের ফাংশনটি ভিন্ন হয় যেমন

এখানে সম্ভাব্যতার ঘনত্বের ফাংশনটি গামা বিতরণের জন্য উপরে বর্ণিত হিসাবে সংশ্লেষিত বিতরণ ফাংশন হিসাবে আমরা লিখতে পারি

উপরের উভয় বিন্যাসে পিডিএফ এর মান নিম্নরূপ

যেখানে α> 0, λ> 0 হল আসল সংখ্যা।

গামা বিতরণ সূত্র | গামা বিতরণের সূত্র | গামা বিতরণ সমীকরণ | গামা বিতরণ ডেরাইভেশন

গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা সন্ধানের জন্য আমাদের প্রদত্ত বিভিন্ন ঘনত্বের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি ব্যবহার করতে হবে α> 0, λ> 0 হিসাবে রয়েছে

এবং উপরের পিডিএফ ব্যবহার করে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিতরণটি আমরা পেতে পারি

সুতরাং গামা বিতরণ সূত্রে পিডিএফ মান এবং গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রয়োজনীয়তা অনুযায়ী সীমাবদ্ধতা প্রয়োজন।

গামা বিতরণের উদাহরণ

দেখান যে জন্য মোট সম্ভাব্যতা গামা বিতরণ প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ এক

λ> 0, α> 0 এর জন্য।
সমাধান:
গামা বিতরণের জন্য সূত্র ব্যবহার করে

যেহেতু গামা বিতরণের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

যা শূন্যের তুলনায় সমস্ত মানের জন্য শূন্য তাই সম্ভাবনা এখন হবে

গামা ফাংশন সংজ্ঞা ব্যবহার করে

এবং আমরা প্রতিস্থাপন পেতে

এইভাবে

গামা বিতরণ গড় এবং বৈকল্পিক | গামা বিতরণের প্রত্যাশা এবং তারতম্য | গামা বিতরণের প্রত্যাশিত মান এবং তারতম্য গামা বিতরণের গড় | গামা বিতরণের প্রত্যাশিত মান গামা বিতরণ প্রত্যাশা

নিম্নলিখিত আলোচনায় আমরা প্রত্যাশার মান সংজ্ঞা এবং ক্রমাগত এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের সাহায্যে গামা বিতরণের জন্য গড় এবং তারতম্যটি খুঁজে পেতে পারি,

সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর প্রত্যাশিত মান বা গড়

বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স হবে

গামা বিতরণ প্রমাণের অর্থ | গামা বিতরণ প্রমাণের প্রত্যাশিত মান

গামা বিতরণের প্রত্যাশিত মান বা গড় পেতে আমরা গামা ফাংশন সংজ্ঞা এবং সম্পত্তি অনুসরণ করব,
প্রথমে আমাদের কাছে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন প্রত্যাশার সংজ্ঞা দ্বারা

সাধারণ ফ্যাক্টর বাতিল করে এবং গামা ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে

এখন যেমন আমাদের গামা ফাংশনের সম্পত্তি রয়েছে

প্রত্যাশার মান হবে

এইভাবে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গামা বিতরণের আমরা প্রাপ্ত গড় বা প্রত্যাশিত মান

গামা বিতরণের বৈকল্পিক | গামা বিতরণের বৈকল্পিকতা

প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের সাথে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক

বা গামা বিতরণের বিভিন্নতা হবে

গামা বিতরণ প্রমাণের বৈকল্পিক

যেমনটি আমরা জানি যে প্রকরণটি প্রত্যাশিত মানগুলির পার্থক্য

গামা বিতরণের জন্য আমাদের কাছে ইতিমধ্যে গড়ের মান রয়েছে

এখন প্রথমে E [X এর মান গণনা করা যাক²], সুতরাং আমাদের কাছে ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুসারে
যেহেতু ফ (এক্স) ফাংশনটি গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন হিসাবে রয়েছে

সুতরাং অবিচ্ছেদ্য শূন্য থেকে অনন্তের মধ্যেই থাকবে

সুতরাং গামা ফাংশন সংজ্ঞা দ্বারা আমরা লিখতে পারেন

এইভাবে গামা ফাংশনের সম্পত্তি ব্যবহার করে আমরা এরূপ মান পেয়েছি

এখন এই প্রত্যাশার মানটি .ুকিয়ে দিন

সুতরাং, গামা বিতরণ বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের মান

গামা বিতরণ পরামিতি | দুটি প্যারামিটার গামা বিতরণ | 2 পরিবর্তনশীল গামা বিতরণ

Am> 0, α> 0 পরামিতি এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ গামা বিতরণ

পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলির গড় এবং বৈচিত্র রয়েছে

এবং

যেহেতু positive ইতিবাচক আসল সংখ্যা, সরলকরণের জন্য এবং অন্য কোনও পদ্ধতিতে সহজভাবে পরিচালনা করা set = 1 / set সেট করা তাই এটি ফর্মটিতে সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্য দেয়

সংক্ষিপ্তভাবে এই ঘনত্বের জন্য বিতরণ ফাংশন বা ক্রম বিতরণ ফাংশনটি আমরা হিসাবে প্রকাশ করতে পারি

এই গামা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে গড় এবং বৈকল্পিক দেয়

এবং

যা প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সুস্পষ্ট।
উভয় উপায়ই প্যারামিটার the এবং by দ্বারা চিহ্নিত দ্বারা গামা বিতরণ হয় সাধারণত ব্যবহৃত হয় গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ (α, λ) বা পরামিতিগুলির সাথে গামা বিতরণ β এবং। দ্বারা চিহ্নিত গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ (β, λ) প্রতিটি ফর্মের সম্পর্কিত পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলির গড় এবং বৈচিত্র্য সহ।
দুটোই এক ছাড়া আর কিছুই নয়।

গামা বিতরণের প্লট | গামা বিতরণ গ্রাফ | গামা বিতরণ হিস্টোগ্রাম

প্যারামিটারের নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য গ্রাফের সাহায্যে গামা বিতরণের প্রকৃতি আমরা সহজেই কল্পনা করতে পারি, এখানে আমরা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং প্যারামিটারগুলির কয়েকটি মানগুলির জন্য ক্রম ঘনত্ব ফাংশনের প্লটগুলি আঁকছি
আসুন হিসাবে সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন গ্রহণ করা যাক

তারপরে ক্রম বিতরণ ফাংশন হবে

বিবরণ: আলফার মান 1 হিসাবে স্থির করে এবং বিটার মান পৃথক করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং संचयी বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি।

বিবরণ: আলফার মান 2 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং বিটার মান পৃথক করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং संचयी বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

বিবরণ: আলফার মান 3 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং বিটার মান পৃথক করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং संचयी বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

বর্ণনা: সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশনের জন্য গ্রাফ এবং ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন বিটার মান 1 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং আলফার মান পরিবর্তন করে

বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং বিটার মান 2 হিসাবে সংশোধন করে এবং আলফার মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং বিটার মান 3 হিসাবে স্থির করে এবং আলফা এর মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি।

সাধারণত আলফা হিসাবে বিভিন্ন বিভিন্ন বক্ররেখা হয়

গামা বিতরণ টেবিল | স্ট্যান্ডার্ড গামা বিতরণ টেবিল

গামা ফাংশনের সাংখ্যিক মান

নিম্নলিখিত হিসাবে অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন সংখ্যার মান হিসাবে পরিচিত

সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের জন্য প্লটটি স্কেচিংয়ের জন্য গামা বিতরণ সংখ্যার মান এবং কিছু প্রাথমিক মানগুলির জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন নিম্নরূপ

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	পি (এক্স), α = 1, β = 1	পি (এক্স), α = 2, β = 2	পি (এক্স), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

গামা বিতরণের জন্য আলফা এবং বিটা সন্ধান করা গামা বিতরণের জন্য কীভাবে আলফা এবং বিটা গণনা করবেন গামা বিতরণ প্যারামিটার অনুমান

একটি গামা বিতরণের জন্য আলফা এবং বিটা সন্ধানের জন্য আমরা গামা বিতরণের অর্থ এবং তারতম্য গ্রহণ করব

এবং

এখন আমরা হিসাবে বিটার মান পাবেন

so

এবং

এইভাবে

কেবল গামা বিতরণ থেকে কিছু ভগ্নাংশ নিয়ে আমরা আলফা এবং বিটার মান পাব।

গামা বিতরণ সমস্যা এবং সমাধান | গামা বিতরণ উদাহরণ সমস্যা | গামা বিতরণ টিউটোরিয়াল | গামা বিতরণ প্রশ্ন

1. একটি গ্রাহকের জন্য সমস্যা সমাধানের জন্য যে সময় প্রয়োজন তা বিবেচনা করুন গামা গড় 1.5 এবং 0.75 ভ্যারিয়েন্সের সাথে ঘন্টায় বিতরণ করা হয় কী হবে? সম্ভাবনা যে সমস্যা সমাধানের সময় 2 ঘন্টার বেশি, যদি সময় 2 ঘন্টার বেশি হয় তবে কমপক্ষে 5 ঘন্টার মধ্যে সমস্যাটি সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা কত হবে।

সমাধান: যেহেতু র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি গড় 1.5 এবং ভেরিয়েন্স 0.75 দিয়ে বিতরণ করা হয় তাই আমরা আলফা এবং বিটার মান খুঁজে পেতে পারি এবং এই মানগুলির সাহায্যে সম্ভাবনা হ'ল

পি (এক্স> 2) = 13 এ^-4= 0.2381

এবং

পি (এক্স> 5 | এক্স> 2) = (61/13) ই^-6= 0.011631

২. যদি 2 সপ্তাহের পরে নেতিবাচক প্রতিক্রিয়াটি মানের পুনর্গঠনের পরে আসে তবে ব্যবহারকারীদের কাছ থেকে সপ্তাহে নেতিবাচক প্রতিক্রিয়াটি আলফা 2 এবং বিটার সাথে পরামিতিগুলির সাথে গামা বিতরণে মডেল করা হয়, এই তথ্য থেকে পুনর্গঠন কার্যকারিতা উন্নত করতে পারে?

সমাধান: এটি α = 2, β = 4 দিয়ে গামা বিতরণে মডেল করা হয়েছে

আমরা and = ই (এক্স) = α * β = 4 * 2 = 8 হিসাবে গড় এবং মান বিচ্যুতিটি খুঁজে পাব

যেহেতু এক্স = 12 মানটি গড় থেকে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মধ্যে রয়েছে তাই আমরা এইটিকে উন্নতি বা মান পুনর্গঠন করে বলতে পারি না, দেওয়া পুনর্গঠন তথ্যের ফলে যে উন্নতি হয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য এটি অপর্যাপ্ত।

3. X হতে দিন গামা বিতরণ প্যারামিটার সহ α=1/2, λ=1/2, ফাংশন Y=X এর বর্গমূলের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন খুঁজুন

সমাধান: আসুন আমরা Y এর জন্য ক্রম বিতরণ ফাংশন গণনা করি

এখন y এর সাথে এটির পার্থক্য করা Y এর জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্য দেয়

এবং y এর ব্যাপ্তি 0 থেকে অনন্ত হবে

উপসংহার:

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানগুলিতে গামা বিতরণের ধারণাটি হ'ল তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারগুলির প্রতিদিন প্রযোজ্য বিতরণে অন্যতম একটি গুরুত্বপূর্ণ, উচ্চতর স্তরের ধারণার সাথে এ পর্যন্ত সম্পর্কিত আলোচনা করা হয়েছিল গামা বিতরণ, আপনার যদি আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে দয়া করে উল্লিখিত বইগুলি পড়ুন। আপনিও ঘুরে দেখতে পারেন অংক আরও টপিকের জন্য পৃষ্ঠা

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা