গামা বিতরণ: 7টি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য যা আপনার জানা উচিত

গামা বিতরণ

ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং অবিচ্ছিন্ন বন্টনের মধ্যে একটি হল গামা বন্টন, যেমন আমরা জানি ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল ক্রমাগত মান বা ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত তাই নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং সম্ভাব্য ভর ফাংশন সহ গামা বন্টন, ধারাবাহিক আলোচনায় আমরা আলোচনা করব গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং গামা ডিস্ট্রিবিউশনের উদাহরণ সহ ধারণা, বৈশিষ্ট্য এবং ফলাফল বিশদ করুন।

গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গামা ডিস্ট্রিবিউশন | গামা বন্টন কি | গামা বন্টন সংজ্ঞায়িত করুন | গামা বন্টন ঘনত্ব ফাংশন | গামা বন্টন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন | গামা বিতরণ প্রমাণ

সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

GIF

গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গামা ডিস্ট্রিবিউশন হিসাবে পরিচিত যেখানে α>0, λ>0 এবং গামা ফাংশন

GIF

আমাদের কাছে অংশগুলির দ্বারা একীকরণের মাধ্যমে গামা ফাংশনের খুব ঘন ঘন সম্পত্তি রয়েছে

GIF
GIF
GIF

যদি আমরা n থেকে শুরু করে প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যাই

GIF
GIF
gif.latex?%3D%28n 1%29%20%28n 2%29....3.

এবং সবশেষে একটির গামার মান হবে

CodeCogsEqn

এইভাবে মান হবে

GIF

গামা বিতরণের cdf | ক্রমবর্ধমান গামা বিতরণ | গামা বিতরণের একীকরণ

সার্জারির ক্রমবর্ধমান বিতরণ গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশন(সিডিএফ) বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মতোই হয় তবে সম্ভাবনার ঘনত্ব ফাংশনটি ভিন্ন হয়

GIF

এখানে সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশনটি গামা বন্টনের জন্য উপরে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনটি আমরা লিখতে পারি

GIF

উপরের উভয় ফরম্যাটেই পিডিএফ এর মান নিম্নরূপ

GIF

যেখানে α >0, λ>0 হল বাস্তব সংখ্যা।

গামা বন্টন সূত্র | গামা বিতরণের সূত্র | গামা বন্টন সমীকরণ | গামা বিতরণ ডেরিভেশন

গামা র‍্যান্ডম চলকের সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করতে আমাদের বিভিন্ন প্রদত্ত α >0, λ >0 এর জন্য সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন ব্যবহার করতে হবে

GIF


এবং উপরের পিডিএফ ব্যবহার করে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন আমরা পেতে পারি

GIF

এইভাবে গামা ডিস্ট্রিবিউশন সূত্রের প্রয়োজন অনুযায়ী পিডিএফ মান এবং গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমা প্রয়োজন।

গামা বিতরণের উদাহরণ


এর জন্য মোট সম্ভাব্যতা দেখান গামা বিতরণ প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ এক

GIF

λ >0, α>0 এর জন্য।
সমাধান:
গামা বন্টনের জন্য সূত্র ব্যবহার করে

GIF
GIF

যেহেতু গামা বন্টনের জন্য সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন

GIF


যা শূন্যের চেয়ে কম সমস্ত মানের জন্য শূন্য তাই সম্ভাবনা এখন হবে

GIF
GIF

গামা ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে

GIF

এবং প্রতিস্থাপন আমরা পেতে

GIF

এইভাবে

GIF

গামা বণ্টন গড় এবং প্রকরণ | গামা বণ্টনের প্রত্যাশা এবং প্রকরণ | গামা বন্টনের প্রত্যাশিত মান এবং প্রকরণ | গামা বণ্টনের গড় | গামা বিতরণের প্রত্যাশিত মান | গামা বিতরণের প্রত্যাশা


নিম্নলিখিত আলোচনায় আমরা প্রত্যাশার মানক সংজ্ঞা এবং ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণের সাহায্যে গামা বণ্টনের গড় এবং প্রকরণ খুঁজে পাব,

সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর প্রত্যাশিত মান বা গড়

GIF

অথবা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল X হবে

GIF

গামা বন্টন প্রমাণের গড় | গামা বিতরণ প্রমাণের প্রত্যাশিত মান

গামা বন্টনের প্রত্যাশিত মান বা গড় পেতে আমরা গামা ফাংশনের সংজ্ঞা এবং সম্পত্তি অনুসরণ করব,
গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের প্রত্যাশার সংজ্ঞা দ্বারা প্রথমে আমাদের আছে

GIF
GIF
GIF

সাধারণ ফ্যাক্টর বাতিল করে এবং গামা ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে

GIF

এখন আমাদের কাছে গামা ফাংশনের সম্পত্তি আছে

GIF

প্রত্যাশার মান হবে

GIF

এইভাবে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গামা ডিস্ট্রিবিউশনের গড় বা প্রত্যাশিত মান হল

GIF

গামা বন্টনের বৈচিত্র | একটি গামা বিতরণের বৈচিত্র্য

প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের সাথে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ

GIF

বা গামা বন্টনের বৈচিত্র্য হবে

GIF

গামা বন্টন প্রমাণের বৈচিত্র্য


আমরা জানি যে প্রকরণ হল প্রত্যাশিত মানগুলির পার্থক্য হিসাবে

GIF

গামা ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য আমাদের ইতিমধ্যে গড় মান আছে

GIF

এখন প্রথমে E[X এর মান গণনা করা যাক2], তাই একটানা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের আছে
যেহেতু ফাংশন f(x) হল গামা ডিস্ট্রিবিউশনের সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন হিসাবে

GIF

তাই অবিচ্ছেদ্য হবে শূন্য থেকে অনন্ত পর্যন্ত

GIF
GIF

তাই গামা ফাংশনের সংজ্ঞা অনুসারে আমরা লিখতে পারি

GIF
GIF

এইভাবে গামা ফাংশনের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে আমরা হিসাবে মান পেয়েছি

GIF


এখন এই প্রত্যাশার মূল্য নির্বাণ

GIF
GIF
GIF

এইভাবে, গামা ডিস্ট্রিবিউশন বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ভ্যারিয়েন্সের মান হল

GIF

গামা বন্টন পরামিতি | দুই প্যারামিটার গামা বিতরণ | 2 পরিবর্তনশীল গামা বিতরণ


প্যারামিটার λ>0, α>0 এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ গামা বন্টন

GIF

পরিসংখ্যানগত পরামিতি গড় এবং প্রকরণ হিসাবে আছে

GIF

এবং

GIF

যেহেতু λ হল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, সহজ করার জন্য এবং সহজে পরিচালনা করার জন্য আরেকটি উপায় হল λ=1/β সেট করা যাতে এটি আকারে সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন দেয়

GIF

সংক্ষেপে এই ঘনত্বের জন্য ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন বা ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন আমরা প্রকাশ করতে পারি

এই গামা ঘনত্ব ফাংশন গড় এবং পার্থক্য হিসাবে দেয়

GIF

এবং

GIF


যা প্রতিস্থাপন দ্বারা সুস্পষ্ট।
উভয় উপায়ই সাধারণত ব্যবহৃত হয় গামা বন্টন প্যারামিটার সহ α এবং λ দ্বারা চিহ্নিত গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ (α, λ) বা প্যারামিটার সহ গামা বন্টন β এবং λ দ্বারা চিহ্নিত গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ (β, λ) সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলির সাথে গড় এবং প্রতিটি ফর্মের পার্থক্য।
দুটোই একই ছাড়া আর কিছুই নয়।

গামা বিতরণ প্লট | গামা ডিস্ট্রিবিউশন গ্রাফ| গামা বিতরণ হিস্টোগ্রাম

প্যারামিটারের নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য গ্রাফের সাহায্যে গামা বন্টনের প্রকৃতি আমরা সহজেই কল্পনা করতে পারি, এখানে আমরা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের জন্য প্লট আঁকি এবং প্যারামিটারের কিছু মানের জন্য ক্রমবর্ধমান ঘনত্ব ফাংশন
সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে নেওয়া যাক

GIF

তাহলে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হবে

গামা বিতরণ

বর্ণনা: আলফার মান 1 হিসাবে ঠিক করে এবং বিটার মান পরিবর্তন করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের জন্য গ্রাফ।

গামা বিতরণ

বর্ণনা: আলফার মান 2 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং বিটার মান পরিবর্তন করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের জন্য গ্রাফ

গামা বিতরণ

বর্ণনা: আলফার মান 3 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং বিটার মান পরিবর্তন করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের জন্য গ্রাফ

গামা বিতরণ

বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের জন্য গ্রাফ এবং ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন বিটার মান 1 হিসাবে ঠিক করে এবং আলফার মান পরিবর্তন করে

গামা বিতরণ

বর্ণনা: বিটার মান 2 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং আলফার মান পরিবর্তন করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনের জন্য গ্রাফ

গামা বিতরণ

বর্ণনা: বিটার মান 3 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং আলফার মান পরিবর্তন করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের জন্য গ্রাফ।

সাধারণভাবে বিভিন্ন বক্ররেখা যেমন আলফা পরিবর্তিত হয়

গামা বিতরণ
গামা বিতরণ গ্রাফ

গামা বিতরণ টেবিল | স্ট্যান্ডার্ড গামা বিতরণ টেবিল


গামা ফাংশনের সংখ্যাসূচক মান

GIF


নিম্নরূপ অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন সংখ্যাসূচক মান হিসাবে পরিচিত

গামা বিতরণ



সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশনের জন্য প্লট স্কেচ করার জন্য গামা বন্টন সংখ্যাসূচক মান এবং কিছু প্রাথমিক মানের জন্য ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন নিম্নরূপ

1xf(x),α=1,β=1f(x),α=2,β=2f(x),α=3,β=3P(x),α=1,β=1P(x),α=2,β=2P(x),α=3,β=3
0100000
0.10.9048374180.023780735611.791140927E-40.095162581960.0012091042746.020557215E-6
0.20.81873075310.04524187096.929681371E-40.18126924690.004678840164.697822176E-5
0.30.74081822070.064553098230.0015080623630.25918177930.010185827111.546530703E-4
0.40.6703200460.081873075310.002593106130.3296799540.017523096313.575866931E-4
0.50.60653065970.097350097880.0039188968750.39346934030.026499021166.812970042E-4
0.60.54881163610.11112273310.0054582050210.45118836390.036936313110.001148481245
0.70.49658530380.12332041570.0071856645830.50341469620.048671078880.001779207768
0.80.44932896410.13406400920.0090776691950.55067103590.061551935550.002591097152
0.90.40656965970.14346633410.011112273310.59343034030.075439180150.003599493183
10.36787944120.15163266490.013269098340.63212055880.090204010430.004817624203
1.10.33287108370.15866119790.015529243520.66712891630.10572779390.006256755309
1.20.30119421190.16464349080.017875201230.69880578810.12190138220.007926331867
1.30.2725317930.16966487750.02029077660.7274682070.13862446830.00983411477
1.40.24659696390.17380485630.022761011240.75340303610.15580498360.01198630787
1.50.22313016010.17713745730.025272110820.77686983990.17335853270.01438767797
1.60.2018965180.17973158570.027811376330.7981034820.19120786460.01704166775
1.70.18268352410.18165134610.030367138940.81731647590.20928237590.01995050206
1.80.16529888820.18295634690.032928698170.83470111180.22751764650.02311528775
1.90.14956861920.18370198610.035486263270.85043138080.24585500430.02653610761
20.13533528320.18393972060.038030897710.86466471680.26424111770.03021210849
2.10.12245642830.18371731830.040554466480.87754357170.28262761430.03414158413
2.20.11080315840.1830790960.043049586250.88919684160.30097072420.03832205271
2.30.10025884370.18206614240.045509578110.89974115630.31923094580.04275032971
2.40.090717953290.18071652720.047928422840.90928204670.33737273380.04742259607
2.50.082084998620.1790654980.050300718580.91791500140.35536420710.052334462
2.60.074273578210.17714566550.052621640730.92572642180.3731768760.05748102674
2.70.067205512740.17498717590.054886904070.93279448730.39078538750.0628569343
2.80.060810062630.17261787480.057092726880.93918993740.40816728650.06845642568
2.90.055023220060.17006345890.059235797090.94497677990.42530279420.07427338744
30.049787068370.16734762010.06131324020.95021293160.44217459960.08030139707
Image9
গামা বিতরণ গ্রাফ
Image10
Image11

গামা বিতরণের জন্য আলফা এবং বিটা খোঁজা | গামা বিতরণের জন্য আলফা এবং বিটা কীভাবে গণনা করবেন | গামা বিতরণ পরামিতি অনুমান


একটি গামা ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য আলফা এবং বিটা খুঁজে বের করার জন্য আমরা গামা ডিস্ট্রিবিউশনের গড় এবং তারতম্য নেব

GIF

এবং

GIF


এখন আমরা beta এর মান পাব

GIF


so

GIF


এবং

GIF

এইভাবে

GIF

শুধুমাত্র গামা ডিস্ট্রিবিউশন থেকে কিছু ভগ্নাংশ নিলেই আমরা আলফা এবং বিটার মান পাব।

গামা বিতরণ সমস্যা এবং সমাধান | গামা বিতরণ উদাহরণ সমস্যা | গামা বিতরণ টিউটোরিয়াল | গামা বিতরণ প্রশ্ন

1. একটি গ্রাহকের জন্য সমস্যা সমাধানের জন্য যে সময় প্রয়োজন তা বিবেচনা করুন গামা গড় 1.5 এবং 0.75 এর পার্থক্যের সাথে ঘন্টায় বিতরণ করা হয় কী হবে? সম্ভাবনা যে সমস্যা সমাধানের সময় 2 ঘন্টার বেশি, যদি সময় 2 ঘন্টার বেশি হয় তবে কমপক্ষে 5 ঘন্টার মধ্যে সমস্যাটি সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা কত হবে।

সমাধান: যেহেতু র্যান্ডম ভেরিয়েবল গামাকে গড় 1.5 এবং ভ্যারিয়েন্স 0.75 দিয়ে বিতরণ করা হয় তাই আমরা আলফা এবং বিটার মান খুঁজে পেতে পারি এবং এই মানের সাহায্যে সম্ভাব্যতা হবে

P(X>2)=13e-4= 0.2381

এবং

P(X>5 | X>2)=(61/13)ই-6= 0.011631

2. যদি ব্যবহারকারীদের কাছ থেকে সপ্তাহে নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া গামা ডিস্ট্রিবিউশনে মডেল করা হয় প্যারামিটার আলফা 2 এবং বিটা 4 হিসাবে 12 সপ্তাহের পরে গুণমান পুনর্গঠনের পরে নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া আসে, এই তথ্য থেকে পুনর্গঠন কর্মক্ষমতা উন্নত করতে পারে?

সমাধান: যেহেতু এটি α=2, β=4 দিয়ে গামা বণ্টনে মডেল করা হয়েছে

আমরা গড় এবং আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজে পাব μ =E(x)=α * β=4 * 2=8

যেহেতু মান X=12 গড় থেকে প্রমিত বিচ্যুতির মধ্যে রয়েছে তাই আমরা বলতে পারি না যে এটি উন্নতি বা গুণমানের পুনর্গঠন দ্বারা নয়, প্রদত্ত পুনর্গঠন তথ্য দ্বারা সৃষ্ট উন্নতি অপর্যাপ্ত প্রমাণ করার জন্য।

3. X হতে দিন গামা বিতরণ প্যারামিটার সহ α=1/2, λ=1/2, ফাংশন Y=X এর বর্গমূলের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন খুঁজুন

সমাধান: আসুন Y এর জন্য ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন গণনা করি

2%7D

এখন এটিকে y এর সাথে পার্থক্য করলে Y এর জন্য সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন পাওয়া যায়

2%7D

এবং y এর পরিসর হবে 0 থেকে অনন্ত পর্যন্ত


উপসংহার:

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানে গামা বণ্টনের ধারণাটি সূচকীয় পরিবারের প্রতিদিনের প্রযোজ্য বন্টনগুলির মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ, সমস্ত মৌলিক থেকে উচ্চ স্তরের ধারণার সাথে সম্পর্কিত এখন পর্যন্ত আলোচনা করা হয়েছে গামা বিতরণ, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয়, অনুগ্রহ করে উল্লেখিত বইগুলি দেখুন। আপনিও ঘুরে আসতে পারেন অংক আরো বিষয়ের জন্য পৃষ্ঠা

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
শেলডন রসের সম্ভাব্যতার প্রথম কোর্স
Schaum এর সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা