গামা বিতরণ | এর 7 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

গামা বিতরণ

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং অবিচ্ছিন্ন বিতরণগুলির মধ্যে একটি হ'ল গামা বিতরণ, আমরা যেমন জানি যে ধারাবাহিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন মান বা অন্তরগুলির সাথে সম্পর্কিত তাই নির্দিষ্ট সম্ভাবনার ঘনত্ব ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা গণ ফাংশন সহ গামা বিতরণ, আমরা যে ধারাবাহিক আলোচনায় আলোচনা করি গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং গামা বিতরণের উদাহরণ সহ ধারণা, বৈশিষ্ট্য এবং ফলাফলগুলি বিশদ করুন।

গামা র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বা গামা বিতরণ | গামা বিতরণ কি | গামা বিতরণ সংজ্ঞায়িত | গামা বিতরণ ঘনত্ব ফাংশন | গামা বিতরণ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন | গামা বিতরণ প্রমাণ

সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল

f (x) = \ شروعات {কেস} rac frac {লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {\ আলফা -1}} {au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ 0 এবং \ x <0 \ শেষ {কেস}

গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গামা বিতরণ হিসাবে পরিচিত যেখানে α> 0, λ> 0 এবং গামা ফাংশন

\ তাউ (\ আলফা) = \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {- ওয়াই} ওয়াই ^ {\ আলফা -1} ডায়

অংশ হিসাবে ইন্টিগ্রেশন দ্বারা আমাদের গামা ফাংশনটির খুব ঘন ঘন সম্পত্তি রয়েছে

\ তাউ (\ আলফা) = - ই ^ {- ওয়াই} ওয়াই {^ {\ আলফা -1}} vert লভেট _ {\ ইনফটি} ^ {{0} + \ ইনট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {- y} (\ আলফা -1) y ^ {\ আলফা -2 y dy

= (\ আলফা -1) \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y y y ^ {\ আলফা -2 y ডায়

= (\ আলফা -1) \ তাউ (\ আলফা -1)

আমরা যদি প্রক্রিয়াটি n থেকে শুরু করে চালিয়ে যাই তবে

\ তাউ (এন) = (এন -১) au তাউ (এন -১)

= (এন -১) (এন -২) au তাউ (এন -২)

=(n-1) (n-2)....3..2\tau(1)

= .... ..

এবং সর্বশেষে একজনের গামার মান হবে

\ তাউ (1) = \ ইনট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {- এক্স} ডেক্স = 1

এইভাবে মান হবে

\ তাউ (এন) = (এন -১)!

গামা বিতরণের সিডিএফ | संचयी গামা বিতরণ | গামা বিতরণ একীকরণ

গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমবর্ধমান ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন (সিডিএফ) বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবলের সমান যেমন প্রদত্ত সম্ভাবনা ঘনত্বের কার্যটি পৃথক থাকে যেমন

এফ (এক্স) = পি (এক্স \ লেক এক্স) = \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {এক্স} ফ (ইউ) ডু

এখানে সম্ভাব্যতার ঘনত্বের ফাংশনটি গামা বিতরণের জন্য উপরে বর্ণিত হিসাবে সংশ্লেষিত বিতরণ ফাংশন হিসাবে আমরা লিখতে পারি

f (a) = P (X \ in (- \ infty, a]) = \ int _ {- ty infty} ^ {a} f (x) dx

উপরের উভয় বিন্যাসে পিডিএফ এর মান নিম্নরূপ

f (x) = \ start {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

যেখানে α> 0, λ> 0 হল আসল সংখ্যা।

গামা বিতরণ সূত্র | গামা বিতরণের সূত্র | গামা বিতরণ সমীকরণ | গামা বিতরণ ডেরাইভেশন

গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা সন্ধানের জন্য আমাদের প্রদত্ত বিভিন্ন ঘনত্বের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি ব্যবহার করতে হবে α> 0, λ> 0 হিসাবে রয়েছে

f (x) = \ شروعات {কেস} rac frac {লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {\ আলফা -1}} {au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}


এবং উপরের পিডিএফ ব্যবহার করে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিতরণটি আমরা পেতে পারি

পি \ বাম \ {আ \ লেক এক্স \ লেক বি \ ডান \} = \ ইনট_ {এ} ^ {বি} এফ (এক্স) ডিএক্স


সুতরাং গামা বিতরণ সূত্রে পিডিএফ মান এবং গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রয়োজনীয়তা অনুযায়ী সীমাবদ্ধতা প্রয়োজন।

গামা বিতরণের উদাহরণ


দেখান যে গামা বিতরণের জন্য মোট সম্ভাব্যতা প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ একটি

rac frac {1} {\ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {mb ল্যাম্বদা ই ^ {- mb লাম্বদা এক্স} {(\ লাম্বদা এক্স)} ^ {\ আলফা- 1} dx} = 1

λ> 0, α> 0 এর জন্য।
সমাধান:
গামা বিতরণের জন্য সূত্র ব্যবহার করে

পি \ বাম \ {আ \ লেক এক্স \ লেক বি \ ডান \} = \ ইনট_ {এ} ^ {বি} এফ (এক্স) ডিএক্স

পি \ বাম \ {এক্স \ ইন (- \ ইনফটি, \ ইনফটি) \ ডান \} = \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} এফ (এক্স) ডেক্স


যেহেতু গামা বিতরণের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

f (x) = \ شروعات {কেস} rac frac {লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {\ আলফা -1}} {au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}


যা শূন্যের তুলনায় সমস্ত মানের জন্য শূন্য তাই সম্ভাবনা এখন হবে

= rac frac {1} {\ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {mb লাম্বদা ই ^ {- mb লাম্বদা এক্স} {(\ লাম্বদা এক্স)} ^ {\ আলফা -1} dx}

= rac frac {\ ল্যাম্বদা ^ pha আলফা} {\ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} {(এক্স)} ^ {\ আলফা -1} dx}


গামা ফাংশন সংজ্ঞা ব্যবহার করে

\ তাউ (\ আলফা) = \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {- ওয়াই} ওয়াই ^ {\ আলফা -1} ডায়


এবং আমরা প্রতিস্থাপন পেতে

rac frac {1} {\ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {mb ল্যাম্বদা ই ^ {- mb লাম্বদা এক্স} {(\ লাম্বদা এক্স)} ^ {\ আলফা- 1} dx} = \ frac {\ ল্যাম্বদা ^ \ আলফা} \ am গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান) \ \ অ্যাস্ট \ ফ্র্যাক {\ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান)} {\ লাম্বদা ^ \ আলফা}

এইভাবে

rac frac {1} {\ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {mb ল্যাম্বদা ই ^ {- mb লাম্বদা এক্স} {(\ লাম্বদা এক্স)} ^ {\ আলফা- 1} dx = 1

গামা বিতরণ গড় এবং বৈকল্পিক | গামা বিতরণের প্রত্যাশা এবং তারতম্য | গামা বিতরণের প্রত্যাশিত মান এবং তারতম্য গামা বিতরণের গড় | গামা বিতরণের প্রত্যাশিত মান গামা বিতরণ প্রত্যাশা


নিম্নলিখিত আলোচনায় আমরা প্রত্যাশার মান সংজ্ঞা এবং ক্রমাগত এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের সাহায্যে গামা বিতরণের জন্য গড় এবং তারতম্যটি খুঁজে পেতে পারি,

সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর প্রত্যাশিত মান বা গড়

f (x) = \ start {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স হবে

E \ বাম [X \ ডান] = \ frac {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা}

গামা বিতরণ প্রমাণের অর্থ | গামা বিতরণ প্রমাণের প্রত্যাশিত মান

গামা বিতরণের প্রত্যাশিত মান বা গড় পেতে আমরা গামা ফাংশন সংজ্ঞা এবং সম্পত্তি অনুসরণ করব,
প্রথমে আমাদের কাছে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন প্রত্যাশার সংজ্ঞা দ্বারা

ই \ বাম [এক্স \ ডান] = \ ফ্রাক {1} {\ তাউ (\ আলফা) \ \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} \ ল্যাম্বদা এক্স ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ ল্যাম্বদা এক্স) ^ { alpha -1} dx

= rac frac {1} {\ ল্যাম্বদা \ তাউ (\ আলফা) \ \ int_ {0} ^ {\ infty} mb ল্যাম্বদা ই ^ {- mb লাম্বদা এক্স} (\ ল্যাম্বদা এক্স) ^ {\ আলফা} ডিএক্স

= \ frac {\ তাউ (\ আলফা +1)} {\ ল্যাম্বদা \ তাউ (\ আলফা)}

সাধারণ ফ্যাক্টর বাতিল করে এবং গামা ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে

\ তাউ (\ আলফা) = \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {- ওয়াই} ওয়াই ^ {\ আলফা -1} ডায়

এখন যেমন আমাদের গামা ফাংশনের সম্পত্তি রয়েছে

\ তাউ (এন) = (এন -১) au তাউ (এন -১)

প্রত্যাশার মান হবে

ই \ বাম [এক্স \ ডান] = \ ফ্র্যাক {\ আলফা \ গামা (\ আলফা) {\ লাম্বদা \ গামা (\ আলফা)}

এইভাবে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গামা বিতরণের আমরা প্রাপ্ত গড় বা প্রত্যাশিত মান

E \ বাম [X \ ডান] = \ frac {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা}

গামা বিতরণের বৈকল্পিক | গামা বিতরণের বৈকল্পিকতা

প্রদত্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের সাথে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক

f (x) = \ start {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

বা গামা বিতরণের বিভিন্নতা হবে

বর্ণ (এক্স) = \ ফ্রাক {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা {{^ {2}}}

গামা বিতরণ প্রমাণের বৈকল্পিক


যেমনটি আমরা জানি যে প্রকরণটি প্রত্যাশিত মানগুলির পার্থক্য

ভার (এক্স) = ই [এক্স ^ {2}] - (ই [এক্স]) ^ {2}

গামা বিতরণের জন্য আমাদের কাছে ইতিমধ্যে গড়ের মান রয়েছে

E \ বাম [X \ ডান] = \ frac {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা}

এখন প্রথমে E [X এর মান গণনা করা যাক2], সুতরাং আমাদের কাছে ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুসারে
যেহেতু ফ (এক্স) ফাংশনটি গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন হিসাবে রয়েছে

E \ বাম [X ^ 2 \ ডান]] = \ অন্তঃ _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x ^ 2f \ বাম (x \ ডান) dx}

সুতরাং অবিচ্ছেদ্য শূন্য থেকে অনন্তের মধ্যেই থাকবে

ই \ বাম [এক্স ^ 2 \ ডান]] = \ ফ্রাক {1} {\ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান)} \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} {{\ ল্যাম্বদা এক্স} ^ 2 ই ^ {- \ ল্যাম্বদা এক্স} {(\ ল্যাম্বদা এক্স)} ^ {\ আলফা -১} ডিএক্স}

ই \ বাম [X ^ 2 \ ডান]] = \ frac {1} {\ ল্যাম্বদা ^ 2 \ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান) \ _ int_ {0} ^ {\ infty} {\ লাম্বদা ই ^ {- { ল্যাম্বদা এক্স} {(\ ল্যাম্বদা এক্স)} ^ {\ আলফা + 1} ডিএক্স}

সুতরাং গামা ফাংশন সংজ্ঞা দ্বারা আমরা লিখতে পারেন

E \ বাম [এক্স ^ 2 \ ডান]] = \ ফ্র্যাক {\ গামা \ বাম (\ আলফা + 2 \ ডান)} {\ ল্যাম্বদা ^ {2} au তাউ (\ আলফা)} = \ ফ্র্যাক {(pha আলফা +1) ) \ গামা \ বাম (\ আলফা + 1 \ ডান)} {\ ল্যাম্বদা ^ {2} au তাউ (\ আলফা)} = \ ফ্র্যাক {(\ আলফা +1) \ আলফা \ গামা \ বাম (\ আলফা \ ডান) } {\ ল্যাম্বদা {{2} au তাউ (pha আলফা)}

E \ বাম [X ^ 2 \ ডান]] = \ frac {\ গামা \ বাম (\ আলফা + 2 \ ডান)} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}}

এইভাবে গামা ফাংশনের সম্পত্তি ব্যবহার করে আমরা এরূপ মান পেয়েছি

ই \ বাম [এক্স ^ 2 \ ডান]] = \ ফ্র্যাক {\ আলফা (\ আলফা + 1)} {\ ল্যাম্বদা ^ 2}


এখন এই প্রত্যাশার মানটি .ুকিয়ে দিন

ভার \ বাম (এক্স \ ডান) = ই [এক্স ^ {2}] - (ই [এক্স]) ^ {2}

ভার \ বাম (এক্স \ ডান) = \ ফ্র্যাক {\ আলফা (\ আলফা + 1)} {\ ল্যাম্বদা ^ 2} - \ বাম (\ frac {\ আলফা} {\ লাম্বদা \ \ ডান) ^ 2

Var\left(X\right)=\frac{\alpha^2+\alpha}{\lambda^2}-\frac{\alpha^2}{\lambda^2}=\frac{\alpha}{\lambda^2}

সুতরাং, গামা বিতরণ বা গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের মান

ভার \ বাম (X \ ডান) = \ frac {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}}


গামা বিতরণ পরামিতি | দুটি প্যারামিটার গামা বিতরণ | 2 পরিবর্তনশীল গামা বিতরণ


Am> 0, α> 0 পরামিতি এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ গামা বিতরণ

f (x) = \ start {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলির গড় এবং বৈচিত্র রয়েছে

E \ বাম [X \ ডান] = \ frac {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা}

এবং

ভার (এক্স) = \ ফ্রাক {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা {{2}

যেহেতু positive ইতিবাচক আসল সংখ্যা, সরলকরণের জন্য এবং অন্য কোনও পদ্ধতিতে সহজভাবে পরিচালনা করা set = 1 / set সেট করা তাই এটি ফর্মটিতে সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্য দেয়

f (x) = \ আরম্ভ {কেস}} frac {e ^ {- rac frac {x} {\ বিটা}} (x) {\ pha আলফা -1} {{\ বিটা ^ \ pha আলফা} au তাউ (\ আলফা)}, & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

সংক্ষিপ্তভাবে এই ঘনত্বের জন্য বিতরণ ফাংশন বা ক্রম বিতরণ ফাংশনটি আমরা হিসাবে প্রকাশ করতে পারি

এফ (এক্স) = \ শুরু {কেস} 0, এবং \ x \ লেক 0, \\ rac frac {1} {\ তাউ (pha আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা} \ \ int_ {0} ^ {x} y ^ {\ আলফা -1} ই ^ - {(y / \ বিটা) y dy & \ x> 0 \ শেষ {কেস}

এই গামা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে গড় এবং বৈকল্পিক দেয়

ই [এক্স] = {\ আলফা \ বিটা}

এবং

ভার (এক্স) = {{\ আলফা} \ বিটা} ^ 2


যা প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সুস্পষ্ট।
উভয় উপায়ই প্যারামিটার the এবং by দ্বারা চিহ্নিত দ্বারা গামা বিতরণ হয় সাধারণত ব্যবহৃত হয় গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ (α, λ) বা পরামিতিগুলির সাথে গামা বিতরণ β এবং। দ্বারা চিহ্নিত গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ (β, λ) প্রতিটি ফর্মের সম্পর্কিত পরিসংখ্যানগত পরামিতিগুলির গড় এবং বৈচিত্র্য সহ।
দুটোই এক ছাড়া আর কিছুই নয়।

গামা বিতরণের প্লট | গামা বিতরণ গ্রাফ | গামা বিতরণ হিস্টোগ্রাম

প্যারামিটারের নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য গ্রাফের সাহায্যে গামা বিতরণের প্রকৃতি আমরা সহজেই কল্পনা করতে পারি, এখানে আমরা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং প্যারামিটারগুলির কয়েকটি মানগুলির জন্য ক্রম ঘনত্ব ফাংশনের প্লটগুলি আঁকছি
আসুন হিসাবে সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন গ্রহণ করা যাক

f (x) = \ আরম্ভ {কেস}} frac {e ^ {- rac frac {x} {\ বিটা}} (x) {\ pha আলফা -1} {{\ বিটা ^ \ pha আলফা} au তাউ (\ আলফা)}, & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

তারপরে ক্রম বিতরণ ফাংশন হবে

এফ (এক্স) = \ শুরু {কেস} 0, এবং \ x \ লেক 0, \\ rac frac {1} {\ তাউ (pha আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা} \ \ int_ {0} ^ {x} y ^ {\ আলফা -1} ই ^ - {(y / \ বিটা) y dy & \ x> 0 \ শেষ {কেস}

গামা বিতরণ

বিবরণ: আলফার মান 1 হিসাবে স্থির করে এবং বিটার মান পৃথক করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং संचयी বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি।

গামা বিতরণ

বিবরণ: আলফার মান 2 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং বিটার মান পৃথক করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং संचयी বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

গামা বিতরণ

বিবরণ: আলফার মান 3 হিসাবে নির্ধারণ করে এবং বিটার মান পৃথক করে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং संचयी বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

গামা বিতরণ

বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং বিটার মান 1 হিসাবে সংশোধন করে এবং আলফার মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

গামা বিতরণ

বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং বিটার মান 2 হিসাবে সংশোধন করে এবং আলফার মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

গামা বিতরণ

বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং বিটার মান 3 হিসাবে স্থির করে এবং আলফা এর মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি।

সাধারণত আলফা হিসাবে বিভিন্ন বিভিন্ন বক্ররেখা হয়

গামা বিতরণ
গামা বিতরণ গ্রাফ

গামা বিতরণ টেবিল | স্ট্যান্ডার্ড গামা বিতরণ টেবিল


গামা ফাংশনের সাংখ্যিক মান

F (x; \ alpha) = \ int_ _ 0} ^ {x} rac frac {1} {au তাউ (\ আলফা)} y ^ \ \ আলফা -1} ই ^ {- y} dy


নিম্নলিখিত হিসাবে অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন সংখ্যার মান হিসাবে পরিচিত

গামা বিতরণ



সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের জন্য প্লটটি স্কেচিংয়ের জন্য গামা বিতরণ সংখ্যার মান এবং কিছু প্রাথমিক মানগুলির জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন নিম্নরূপ

1xf (x), α = 1, β = 1f (x), α = 2, β = 2f (x), α = 3, β = 3পি (এক্স), α = 1, β = 1পি (এক্স), α = 2, β = 2পি (এক্স), α = 3, β = 3
0100000
0.10.9048374180.023780735611.791140927E-40.095162581960.0012091042746.020557215E-6
0.20.81873075310.04524187096.929681371E-40.18126924690.004678840164.697822176E-5
0.30.74081822070.064553098230.0015080623630.25918177930.010185827111.546530703E-4
0.40.6703200460.081873075310.002593106130.3296799540.017523096313.575866931E-4
0.50.60653065970.097350097880.0039188968750.39346934030.026499021166.812970042E-4
0.60.54881163610.11112273310.0054582050210.45118836390.036936313110.001148481245
0.70.49658530380.12332041570.0071856645830.50341469620.048671078880.001779207768
0.80.44932896410.13406400920.0090776691950.55067103590.061551935550.002591097152
0.90.40656965970.14346633410.011112273310.59343034030.075439180150.003599493183
10.36787944120.15163266490.013269098340.63212055880.090204010430.004817624203
1.10.33287108370.15866119790.015529243520.66712891630.10572779390.006256755309
1.20.30119421190.16464349080.017875201230.69880578810.12190138220.007926331867
1.30.2725317930.16966487750.02029077660.7274682070.13862446830.00983411477
1.40.24659696390.17380485630.022761011240.75340303610.15580498360.01198630787
1.50.22313016010.17713745730.025272110820.77686983990.17335853270.01438767797
1.60.2018965180.17973158570.027811376330.7981034820.19120786460.01704166775
1.70.18268352410.18165134610.030367138940.81731647590.20928237590.01995050206
1.80.16529888820.18295634690.032928698170.83470111180.22751764650.02311528775
1.90.14956861920.18370198610.035486263270.85043138080.24585500430.02653610761
20.13533528320.18393972060.038030897710.86466471680.26424111770.03021210849
2.10.12245642830.18371731830.040554466480.87754357170.28262761430.03414158413
2.20.11080315840.1830790960.043049586250.88919684160.30097072420.03832205271
2.30.10025884370.18206614240.045509578110.89974115630.31923094580.04275032971
2.40.090717953290.18071652720.047928422840.90928204670.33737273380.04742259607
2.50.082084998620.1790654980.050300718580.91791500140.35536420710.052334462
2.60.074273578210.17714566550.052621640730.92572642180.3731768760.05748102674
2.70.067205512740.17498717590.054886904070.93279448730.39078538750.0628569343
2.80.060810062630.17261787480.057092726880.93918993740.40816728650.06845642568
2.90.055023220060.17006345890.059235797090.94497677990.42530279420.07427338744
30.049787068370.16734762010.06131324020.95021293160.44217459960.08030139707
গামা বিতরণ | এর 7 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য
গামা বিতরণ গ্রাফ
গামা বিতরণ | এর 7 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য
গামা বিতরণ | এর 7 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

গামা বিতরণের জন্য আলফা এবং বিটা সন্ধান করা গামা বিতরণের জন্য কীভাবে আলফা এবং বিটা গণনা করবেন গামা বিতরণ প্যারামিটার অনুমান


একটি গামা বিতরণের জন্য আলফা এবং বিটা সন্ধানের জন্য আমরা গামা বিতরণের অর্থ এবং তারতম্য গ্রহণ করব

ই [এক্স] = {\ আলফা \ বিটা}

এবং

ভার (এক্স) = {{\ আলফা} \ বিটা} ^ 2


এখন আমরা হিসাবে বিটার মান পাবেন

rac frac {Var \ বাম (X \ ডান)} {E \ বাম [X \ ডান]} = \ frac {{{\ আলফা} a বিটা ^ 2 XNUMX} {{pha আলফা \ বিটা}} = {\ বিটা}


so

{\ বিটা} = \ frac {ভার \ বাম (X \ ডান)} {E \ বাম [X \ ডান]}


এবং

rac frac {{E [X] ^ ^ 2} {Var \ বাম (X \ ডান)} = \ frac {\ বাম ({\ আলফা \ বিটা \ \ ডান) ^ \ mathbf {2}} {{{\ আলফা } \ বিটা ^ ^ 2} = {\ আলফা}

এইভাবে

{\ আলফা} = \ ফ্র্যাক {{ই [এক্স]} ^ 2} {ভার (এক্স)}

কেবল গামা বিতরণ থেকে কিছু ভগ্নাংশ নিয়ে আমরা আলফা এবং বিটার মান পাব।

গামা বিতরণ সমস্যা এবং সমাধান | গামা বিতরণ উদাহরণ সমস্যা | গামা বিতরণ টিউটোরিয়াল | গামা বিতরণ প্রশ্ন

১. গ্রাহকের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সময়টি বিবেচনা করুন গড় ১.৫ এবং বৈচিত্র্য ০.1৫ সহ ঘন্টাগুলিতে বিতরণ করা হবে সমস্যাটি সমাধানের সময়টি ২ ঘন্টা ছাড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা কী হবে, যদি সময় ২ ঘন্টা ছাড়িয়ে যায় তবে সম্ভাবনাটি কী হবে সমস্যাটি কমপক্ষে 1.5 ঘন্টার মধ্যে সমাধান হয়ে যাবে।

সমাধান: যেহেতু র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি গড় 1.5 এবং ভেরিয়েন্স 0.75 দিয়ে বিতরণ করা হয় তাই আমরা আলফা এবং বিটার মান খুঁজে পেতে পারি এবং এই মানগুলির সাহায্যে সম্ভাবনা হ'ল

পি (এক্স> 2) = 13 এ-4= 0.2381

এবং

পি (এক্স> 5 | এক্স> 2) = (61/13) ই-6= 0.011631

২. যদি 2 সপ্তাহের পরে নেতিবাচক প্রতিক্রিয়াটি মানের পুনর্গঠনের পরে আসে তবে ব্যবহারকারীদের কাছ থেকে সপ্তাহে নেতিবাচক প্রতিক্রিয়াটি আলফা 2 এবং বিটার সাথে পরামিতিগুলির সাথে গামা বিতরণে মডেল করা হয়, এই তথ্য থেকে পুনর্গঠন কার্যকারিতা উন্নত করতে পারে?

সমাধান: এটি α = 2, β = 4 দিয়ে গামা বিতরণে মডেল করা হয়েছে

আমরা and = ই (এক্স) = α * β = 4 * 2 = 8 হিসাবে গড় এবং মান বিচ্যুতিটি খুঁজে পাব

\sigma=\sqrt{\alpha\beta^2}=\sqrt{2\ast4^2}=4\sqrt2=5.6568

যেহেতু এক্স = 12 মানটি গড় থেকে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মধ্যে রয়েছে তাই আমরা এইটিকে উন্নতি বা মান পুনর্গঠন করে বলতে পারি না, দেওয়া পুনর্গঠন তথ্যের ফলে যে উন্নতি হয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য এটি অপর্যাপ্ত।

৩. এক্সকে প্যারামিটারগুলির সাথে গামা বিতরণ করা যাক α = 3/1, λ = 2/1, এক্স এর Y = বর্গমূলের ফাংশনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি সন্ধান করুন

সমাধান: আসুন আমরা Y এর জন্য ক্রম বিতরণ ফাংশন গণনা করি

F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=(P\sqrt{X}\leq y)=P(X\leq y^{2})=\int_{0}^{y^{2}}\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}}{\tau (\frac{1}{2})} x^{-1/2}e^{-x/2}

এখন y এর সাথে এটির পার্থক্য করা Y এর জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্য দেয়

f_{Y}(y)=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}}{\tau (\frac{1}{2})} y^{-1}e^{-y^{2}/2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}y^{2}=\frac{\sqrt{2}}{\tau (\frac{1}{2})}e^{-y^{2}/2}

এবং y এর ব্যাপ্তি 0 থেকে অনন্ত হবে


উপসংহার:

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানগুলিতে গামা বিতরণের ধারণাটি হ'ল তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারগুলির প্রতিদিন প্রযোজ্য বিতরণে অন্যতম একটি গুরুত্বপূর্ণ, উচ্চতর স্তরের ধারণার সাথে এ পর্যন্ত সম্পর্কিত আলোচনা করা হয়েছিল গামা বিতরণ, আপনার যদি আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে দয়া করে উল্লিখিত বইগুলি পড়ুন। আপনিও ঘুরে দেখতে পারেন অংক আরও টপিকের জন্য পৃষ্ঠা

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

গামা বিতরণ | এর 7 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X