হারমাইট বহুপদী: 9 সম্পূর্ণ দ্রুত তথ্য

  হারমাইট বহুপদী একটি অর্থোগোনাল ফাংশন হিসাবে অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যাপকভাবে ঘটে। হারমাইট বহুপদী হল হারমাইট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধান।

হার্মাইটের সমীকরণ

    হিসাবে নির্দিষ্ট সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

d2y/dx2 - 2x dy/dx + 2xy = 0

হার্মাইটের সমীকরণ হিসাবে পরিচিত, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করে আমরা বহুপদ পাব যা হারমাইট বহুপদী.

আসুন সমীকরণের সমাধান বের করি

d2y/dx2 - 2x dy/dx + 2ny = 0

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধানের সাহায্যে

101 1

এখন আমাদের কাছে হার্মাইটের সমীকরণে এই সমস্ত মান প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে

136 চিত্র

এই সমীকরণটি k=0 এর মানের জন্য সন্তুষ্ট হয় এবং আমরা যেমন ধরে নিয়েছিলাম k এর মান ঋণাত্মক হবে না, এখন সর্বনিম্ন ডিগ্রী মেয়াদ x এর জন্যM-2 প্রথম সমীকরণে k=0 নিন যেহেতু দ্বিতীয়টি ঋণাত্মক মান দেয়, সুতরাং সহগ xM-2 is

a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

হিসেবে0 । 0

এখন একইভাবে x এর সহগকে সমান করা হচ্ছেM-1 দ্বিতীয় সমষ্টি থেকে

104

এবং x এর সহগ সমান করাm+k শূন্য থেকে,

aকে + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0

আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারি

aকে + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak

যদি m=0

aকে + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak

যদি m=1

aকে + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ak

এই দুটি ক্ষেত্রে এখন আমরা k-এর ক্ষেত্রে আলোচনা করি

যখন $m=0, aকে + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$

যদি, $k=0 a2 =-2 n/2 ক0=-না0$

$k=1, ক3=2(1-n)/6 ক1 =-2(n-1)/3 ! ক1$

যদি $k=2, a4 =2(2-n)/12 ক2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4 ! ক0$

108

এখন পর্যন্ত m=0 আমাদের দুটি শর্ত আছে যখন a1=0, তারপর ক3=a5=a7=….=ক2 আর+1=0 এবং যখন a1 তাহলে শূন্য নয়

140 চিত্র

এটি অনুসরণ করে a এর মান রাখুন0,a1,a2,a3,a4 এবং একটি5 আমাদের আছে

141 চিত্র

এবং m=1 ক জন্য1k=0,….. বসিয়ে =0,1,2,3 আমরা পাই

aকে + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak

142 চিত্র

তাই সমাধান হবে

143 চিত্র

তাই সম্পূর্ণ সমাধান হয়

144 চিত্র

যেখানে A এবং B হল নির্বিচারে ধ্রুবক

হারমাইট বহুপদী

   হার্মাইটের সমীকরণ সমাধানটি y(x)=Ay আকারের1(x)+দ্বারা2(x) যেখানে y1(x) এবং y2(x) উপরে আলোচিত সিরিজ পদগুলি,

145 চিত্র
146 চিত্র

এই সিরিজের একটি শেষ যদি n অ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় যদি n জোড় y হয়1 অন্যথায় y2 যদি n বিজোড় হয়, এবং আমরা সহজেই যাচাই করতে পারি যে n=0,1,2,3,4…….. এই বহুপদ হল

1,x,1-2x2, x-2/3 x3, 1-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5

তাই আমরা এখানে বলতে পারি যে হার্মাইটের সমীকরণের সমাধান এই বহুপদীর ধ্রুবক একাধিক এবং x এর সর্বোচ্চ শক্তি সম্বলিত পদগুলি হল 2 ফর্মnxn এইচ দ্বারা চিহ্নিতn(x) নামে পরিচিত হারমাইট বহুপদী

হারমাইট বহুপদীর ফাংশন তৈরি করা

হারমাইট বহুপদী সাধারণত জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে সম্পর্কের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়

150 চিত্র
149 চিত্র

[n/2] হল সর্বশ্রেষ্ঠ পূর্ণসংখ্যা n/2 এর থেকে কম বা সমান তাই এটি এর মান অনুসরণ করে Hn(এক্স) as

151 চিত্র
152 চিত্র

এই যে দেখায় Hn(এক্স) x এবং এর মধ্যে ডিগ্রী n এর একটি বহুপদী

Hn(x) = 2nxn + πএন-2 (এক্স)

কোথায় πএন-2 (x) হল x-এ ডিগ্রি n-2-এর বহুপদী, এবং এটি n-এর জোড় মানের জন্য x-এর জোড় ফাংশন এবং n-এর বিজোড় মানের জন্য x-এর বিজোড় ফাংশন হবে, তাই

Hn(-x) = (-1)n Hn(এক্স)

কিছু প্রারম্ভিক হারমাইট বহুপদ হল

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12

H4(x) = 16x4 - 48x2+12

H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x

রডরিগ সূত্র দ্বারা হারমাইট বহুপদীর ফাংশন তৈরি করা

হারমাইট বহুপদীকেও রডরিগ সূত্রের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে

153 চিত্র

উৎপন্ন ফাংশন সম্পর্ক থেকে

154 চিত্র

  Maclaurin এর উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা আছে

155 চিত্র

or

z=xt এবং বসিয়ে

t=0 এর জন্য, তাই z=x দেয়

এটি আমরা অন্যভাবে দেখাতে পারি

পার্থক্য

t প্রদানের ক্ষেত্রে

সীমা টি গ্রহণ শূন্য হয়

এখন x এর সাথে পার্থক্য করা হচ্ছে

সীমা টি গ্রহণ শূন্য হয়

এই দুটি অভিব্যক্তি থেকে আমরা লিখতে পারি

একই ভাবে আমরা লিখতে পারি

 n বারের পার্থক্য করা t=0, আমরা পাই

এই মান থেকে আমরা লিখতে পারি

এগুলো থেকে আমরা মান পেতে পারি

হারমাইট বহুপদী উদাহরণ           

  1. এর সাধারণ বহুপদ নির্ণয় কর

সমাধান: হারমাইট বহুপদী সংজ্ঞা এবং আমাদের সম্পর্ক ব্যবহার করে

2. সাধারণ বহুপদীর হারমাইট বহুপদ নির্ণয় কর

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণটিকে আমরা হারমাইট হিসাবে রূপান্তর করতে পারি

এবং এই সমীকরণ থেকে একই ক্ষমতা সহগ সমীকরণ করা হয়

তাই হারমাইট বহুপদী হবে

হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটি | হারমাইট বহুপদীর অর্থোগোনাল সম্পত্তি

হারমাইট বহুপদীর জন্য গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এর অর্থগোনালিটি যা বলে

এই অর্থগোনালিটি প্রমাণ করার জন্য আসুন এটি স্মরণ করি

যা হারমাইট বহুপদীর জন্য উৎপন্ন ফাংশন এবং আমরা জানি

সুতরাং এই দুটি সমীকরণকে গুণ করলে আমরা পাব

অসীম সীমার মধ্যে সংখ্যাবৃদ্ধি এবং সংহত করা

এবং যেহেতু

so

উপরের অভিব্যক্তিতে এই মানটি ব্যবহার করে আমাদের কাছে রয়েছে

যা দেয়

এখন উভয় পক্ষের সহগ সমান করুন

যা হারমাইট বহুপদীর অর্থোগোনাল সম্পত্তি দেখায়।

  হারমাইট বহুপদীর অর্থোগোনাল সম্পত্তির ফলাফল পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্যভাবে দেখানো যেতে পারে

হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটির উদাহরণ

1. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন

সমাধান: হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে

যেহেতু এখানে মান m=3 এবং n=2 তাই

2. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন

সমাধান: হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটি বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি

হারমাইট বহুপদীর পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক

হারমাইট বহুপদীর মান পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক দ্বারা সহজেই খুঁজে পাওয়া যায়

হারমাইট বহুপদী
হারমাইট বহুপদী পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যের সাহায্যে এই সম্পর্কগুলি সহজেই পাওয়া যায়।

প্রমাণ: 1. আমরা হারমাইট সমীকরণ জানি

y”-2xy'+2ny = 0

এবং সম্পর্ক

174 চিত্র

আংশিকভাবে x এর সাথে পার্থক্য নিয়ে আমরা এটিকে লিখতে পারি

175 চিত্র

এই দুটি সমীকরণ থেকে

176 চিত্র
177 চিত্র

এখন n-এর পরিবর্তে n-1

178 চিত্র
179 চিত্র

t এর সহগ সমান করেn

180 চিত্র
181 চিত্র

তাই প্রয়োজনীয় ফলাফল

182 চিত্র

2. একইভাবে t সমীকরণের সাথে আংশিকভাবে পার্থক্য করা

183 চিত্র

আমরা পেতে

184 চিত্র
185 চিত্র

n=0 অদৃশ্য হয়ে যাবে তাই e-এর এই মান বসিয়ে

186 চিত্র
187 চিত্র

এখন t এর সহগ সমীকরণ করা হচ্ছেn

188 চিত্র

এইভাবে

189 চিত্র

3. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা H বাদ দেবএন-1 থেকে

190 চিত্র

এবং

191 চিত্র

তাই আমরা পেতে

192 চিত্র

এইভাবে আমরা ফলাফল লিখতে পারি

193 চিত্র

4. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা পার্থক্য করি

194 চিত্র

আমরা সম্পর্ক পেতে

195 চিত্র

মান প্রতিস্থাপন

196 চিত্র

এবং n+1 দ্বারা n প্রতিস্থাপন

197 চিত্র

যা দেয়

173 চিত্র

হারমাইট বহুপদীর পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের উদাহরণ

1. যে দেখান

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

সমাধান:

আমাদের ফলাফল দেখানোর জন্য

172 চিত্র

H2n(x) =

এখানে x=0 নিচ্ছেন

171 চিত্র

2. যে দেখান

জ'2n + + 1(0) = (-1)n 22n + + 1 (3 / 2)2

সমাধান:

যেহেতু পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক থেকে

জ'n(x) = 2nHএন-1(এক্স)

এখানে n কে 2n+1 দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন তাই

জ'2 এন -1(x) = 2(2n+1) H2n(এক্স)

x=0 নিচ্ছে

170 চিত্র

3. এর মান খুঁজুন

H2n + + 1(২০১০)

সমাধান

যেহেতু আমরা জানি

169 চিত্র

এখানে x=0 ব্যবহার করুন

H2 এন -1(0) = 0

4. H' এর মান খুঁজুন2n(0).

সমাধান :

আমাদের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক আছে

জ'n(x) = 2nHএন-1(এক্স)

এখানে n কে 2n দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন

জ'2n(x) = =2(2n)H2 এন -1(এক্স)

x=0 বসান

জ'2n(0) = (4n)H2 এন -1(0) = 4n*0=0

5. নিম্নলিখিত ফলাফল দেখান

168 চিত্র

সমাধান :

পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক ব্যবহার করে

জ'n(x) = 2nHএন-1 (এক্স)

so

167 চিত্র

এবং

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hএন-3(এক্স)

এই মি বার পার্থক্য

166 চিত্র

যা দেয়

165 চিত্র

6. যে দেখান

Hn(-x) = (-1)n Hn(এক্স)

সমাধান :

আমরা লিখতে পারি

163 চিত্র
164 চিত্র

t এর সহগ থেকেn আমাদের আছে

162 চিত্র

এবং -x এর জন্য

161 চিত্র

7. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন এবং দেখান

সমাধান : এই অবিচ্ছেদ্য সমাধানের জন্য ইন্টিগ্রেশন অংশ হিসাবে ব্যবহার করুন

160 চিত্র

এখন অখণ্ড চিহ্নের অধীনে পার্থক্যের সাথে পার্থক্য করুন

x এর প্রতি শ্রদ্ধা

159 চিত্র

ব্যবহার

জ'n(x) = 2nHএন-1 (এক্স)

এবং

জ'm(x) = 2mHM-1 (এক্স)

আমাদের আছে

157 চিত্র

এবং যেহেতু

𝝳 n,m-1 = 𝝳n+1, মি

তাই integral এর মান হবে

156 চিত্র

উপসংহার:

সুনির্দিষ্ট বহুপদী যা প্রায়শই প্রয়োগে ঘটে তা হল হার্মাইট বহুপদী, তাই মৌলিক সংজ্ঞা, জেনারেটিং ফাংশন, পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এবং হারমাইট বহুপদী সম্পর্কিত উদাহরণগুলি এখানে সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছে, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তাহলে দেখুন

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

গণিত বিষয়ে আরও পোস্টের জন্য, অনুগ্রহ করে আমাদের অনুসরণ করুন গণিত পাতা