হারমাইট বহুপদী একটি অর্থোগোনাল ফাংশন হিসাবে অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যাপকভাবে ঘটে। হারমাইট বহুপদী হল হারমাইট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধান।
হার্মাইটের সমীকরণ
হিসাবে নির্দিষ্ট সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
d2y/dx2 - 2x dy/dx + 2xy = 0
হার্মাইটের সমীকরণ হিসাবে পরিচিত, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করে আমরা বহুপদ পাব যা হারমাইট বহুপদী.
আসুন সমীকরণের সমাধান বের করি
d2y/dx2 - 2x dy/dx + 2ny = 0
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধানের সাহায্যে
এখন আমাদের কাছে হার্মাইটের সমীকরণে এই সমস্ত মান প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে
এই সমীকরণটি k=0 এর মানের জন্য সন্তুষ্ট হয় এবং আমরা যেমন ধরে নিয়েছিলাম k এর মান ঋণাত্মক হবে না, এখন সর্বনিম্ন ডিগ্রী মেয়াদ x এর জন্যM-2 প্রথম সমীকরণে k=0 নিন যেহেতু দ্বিতীয়টি ঋণাত্মক মান দেয়, সুতরাং সহগ xM-2 is
a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1
হিসেবে0 । 0
এখন একইভাবে x এর সহগকে সমান করা হচ্ছেM-1 দ্বিতীয় সমষ্টি থেকে
এবং x এর সহগ সমান করাm+k শূন্য থেকে,
aকে + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0
আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারি
aকে + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak
যদি m=0
aকে + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak
যদি m=1
aকে + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ak
এই দুটি ক্ষেত্রে এখন আমরা k-এর ক্ষেত্রে আলোচনা করি
যখন $m=0, aকে + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$
যদি, $k=0 a2 =-2 n/2 ক0=-না0$
$k=1, ক3=2(1-n)/6 ক1 =-2(n-1)/3 ! ক1$
যদি $k=2, a4 =2(2-n)/12 ক2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4 ! ক0$
এখন পর্যন্ত m=0 আমাদের দুটি শর্ত আছে যখন a1=0, তারপর ক3=a5=a7=….=ক2 আর+1=0 এবং যখন a1 তাহলে শূন্য নয়
এটি অনুসরণ করে a এর মান রাখুন0,a1,a2,a3,a4 এবং একটি5 আমাদের আছে
এবং m=1 ক জন্য1k=0,….. বসিয়ে =0,1,2,3 আমরা পাই
aকে + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak
তাই সমাধান হবে
তাই সম্পূর্ণ সমাধান হয়
যেখানে A এবং B হল নির্বিচারে ধ্রুবক
হারমাইট বহুপদী
হার্মাইটের সমীকরণ সমাধানটি y(x)=Ay আকারের1(x)+দ্বারা2(x) যেখানে y1(x) এবং y2(x) উপরে আলোচিত সিরিজ পদগুলি,
এই সিরিজের একটি শেষ যদি n অ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় যদি n জোড় y হয়1 অন্যথায় y2 যদি n বিজোড় হয়, এবং আমরা সহজেই যাচাই করতে পারি যে n=0,1,2,3,4…….. এই বহুপদ হল
1,x,1-2x2, x-2/3 x3, 1-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5
তাই আমরা এখানে বলতে পারি যে হার্মাইটের সমীকরণের সমাধান এই বহুপদীর ধ্রুবক একাধিক এবং x এর সর্বোচ্চ শক্তি সম্বলিত পদগুলি হল 2 ফর্মnxn এইচ দ্বারা চিহ্নিতn(x) নামে পরিচিত হারমাইট বহুপদী
হারমাইট বহুপদীর ফাংশন তৈরি করা
হারমাইট বহুপদী সাধারণত জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে সম্পর্কের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়
[n/2] হল সর্বশ্রেষ্ঠ পূর্ণসংখ্যা n/2 এর থেকে কম বা সমান তাই এটি এর মান অনুসরণ করে Hn(এক্স) as
এই যে দেখায় Hn(এক্স) x এবং এর মধ্যে ডিগ্রী n এর একটি বহুপদী
Hn(x) = 2nxn + πএন-2 (এক্স)
কোথায় πএন-2 (x) হল x-এ ডিগ্রি n-2-এর বহুপদী, এবং এটি n-এর জোড় মানের জন্য x-এর জোড় ফাংশন এবং n-এর বিজোড় মানের জন্য x-এর বিজোড় ফাংশন হবে, তাই
Hn(-x) = (-1)n Hn(এক্স)
কিছু প্রারম্ভিক হারমাইট বহুপদ হল
H0(x) = 1
H1(x) = 2x
H2(x) = 4x2 - 2
H3(x) = 8x3-12
H4(x) = 16x4 - 48x2+12
H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x
রডরিগ সূত্র দ্বারা হারমাইট বহুপদীর ফাংশন তৈরি করা
হারমাইট বহুপদীকেও রডরিগ সূত্রের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে
উৎপন্ন ফাংশন সম্পর্ক থেকে
Maclaurin এর উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা আছে
or
z=xt এবং বসিয়ে
t=0 এর জন্য, তাই z=x দেয়
এটি আমরা অন্যভাবে দেখাতে পারি
পার্থক্য
t প্রদানের ক্ষেত্রে
সীমা টি গ্রহণ শূন্য হয়
এখন x এর সাথে পার্থক্য করা হচ্ছে
সীমা টি গ্রহণ শূন্য হয়
এই দুটি অভিব্যক্তি থেকে আমরা লিখতে পারি
একই ভাবে আমরা লিখতে পারি
n বারের পার্থক্য করা t=0, আমরা পাই
এই মান থেকে আমরা লিখতে পারি
এগুলো থেকে আমরা মান পেতে পারি
হারমাইট বহুপদী উদাহরণ
- এর সাধারণ বহুপদ নির্ণয় কর
সমাধান: হারমাইট বহুপদী সংজ্ঞা এবং আমাদের সম্পর্ক ব্যবহার করে
2. সাধারণ বহুপদীর হারমাইট বহুপদ নির্ণয় কর
সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণটিকে আমরা হারমাইট হিসাবে রূপান্তর করতে পারি
এবং এই সমীকরণ থেকে একই ক্ষমতা সহগ সমীকরণ করা হয়
তাই হারমাইট বহুপদী হবে
হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটি | হারমাইট বহুপদীর অর্থোগোনাল সম্পত্তি
হারমাইট বহুপদীর জন্য গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এর অর্থগোনালিটি যা বলে
এই অর্থগোনালিটি প্রমাণ করার জন্য আসুন এটি স্মরণ করি
যা হারমাইট বহুপদীর জন্য উৎপন্ন ফাংশন এবং আমরা জানি
সুতরাং এই দুটি সমীকরণকে গুণ করলে আমরা পাব
অসীম সীমার মধ্যে সংখ্যাবৃদ্ধি এবং সংহত করা
এবং যেহেতু
so
উপরের অভিব্যক্তিতে এই মানটি ব্যবহার করে আমাদের কাছে রয়েছে
যা দেয়
এখন উভয় পক্ষের সহগ সমান করুন
যা হারমাইট বহুপদীর অর্থোগোনাল সম্পত্তি দেখায়।
হারমাইট বহুপদীর অর্থোগোনাল সম্পত্তির ফলাফল পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্যভাবে দেখানো যেতে পারে
হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটির উদাহরণ
1. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন
সমাধান: হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে
যেহেতু এখানে মান m=3 এবং n=2 তাই
2. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন
সমাধান: হারমাইট বহুপদীর অর্থগোনালিটি বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি
হারমাইট বহুপদীর পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক
হারমাইট বহুপদীর মান পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক দ্বারা সহজেই খুঁজে পাওয়া যায়
সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যের সাহায্যে এই সম্পর্কগুলি সহজেই পাওয়া যায়।
প্রমাণ: 1. আমরা হারমাইট সমীকরণ জানি
y”-2xy'+2ny = 0
এবং সম্পর্ক
আংশিকভাবে x এর সাথে পার্থক্য নিয়ে আমরা এটিকে লিখতে পারি
এই দুটি সমীকরণ থেকে
এখন n-এর পরিবর্তে n-1
t এর সহগ সমান করেn
তাই প্রয়োজনীয় ফলাফল
2. একইভাবে t সমীকরণের সাথে আংশিকভাবে পার্থক্য করা
আমরা পেতে
n=0 অদৃশ্য হয়ে যাবে তাই e-এর এই মান বসিয়ে
এখন t এর সহগ সমীকরণ করা হচ্ছেn
এইভাবে
3. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা H বাদ দেবএন-1 থেকে
এবং
তাই আমরা পেতে
এইভাবে আমরা ফলাফল লিখতে পারি
4. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা পার্থক্য করি
আমরা সম্পর্ক পেতে
মান প্রতিস্থাপন
এবং n+1 দ্বারা n প্রতিস্থাপন
যা দেয়
হারমাইট বহুপদীর পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের উদাহরণ
1. যে দেখান
H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n
সমাধান:
আমাদের ফলাফল দেখানোর জন্য
H2n(x) =
এখানে x=0 নিচ্ছেন
2. যে দেখান
জ'2n + + 1(0) = (-1)n 22n + + 1 (3 / 2)2
সমাধান:
যেহেতু পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক থেকে
জ'n(x) = 2nHএন-1(এক্স)
এখানে n কে 2n+1 দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন তাই
জ'2 এন -1(x) = 2(2n+1) H2n(এক্স)
x=0 নিচ্ছে
3. এর মান খুঁজুন
H2n + + 1(২০১০)
সমাধান
যেহেতু আমরা জানি
এখানে x=0 ব্যবহার করুন
H2 এন -1(0) = 0
4. H' এর মান খুঁজুন2n(0).
সমাধান :
আমাদের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক আছে
জ'n(x) = 2nHএন-1(এক্স)
এখানে n কে 2n দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন
জ'2n(x) = =2(2n)H2 এন -1(এক্স)
x=0 বসান
জ'2n(0) = (4n)H2 এন -1(0) = 4n*0=0
5. নিম্নলিখিত ফলাফল দেখান
সমাধান :
পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক ব্যবহার করে
জ'n(x) = 2nHএন-1 (এক্স)
so
এবং
d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hএন-3(এক্স)
এই মি বার পার্থক্য
যা দেয়
6. যে দেখান
Hn(-x) = (-1)n Hn(এক্স)
সমাধান :
আমরা লিখতে পারি
t এর সহগ থেকেn আমাদের আছে
এবং -x এর জন্য
7. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন এবং দেখান
সমাধান : এই অবিচ্ছেদ্য সমাধানের জন্য ইন্টিগ্রেশন অংশ হিসাবে ব্যবহার করুন
এখন অখণ্ড চিহ্নের অধীনে পার্থক্যের সাথে পার্থক্য করুন
x এর প্রতি শ্রদ্ধা
ব্যবহার
জ'n(x) = 2nHএন-1 (এক্স)
এবং
জ'm(x) = 2mHM-1 (এক্স)
আমাদের আছে
এবং যেহেতু
𝝳 n,m-1 = 𝝳n+1, মি
তাই integral এর মান হবে
উপসংহার:
সুনির্দিষ্ট বহুপদী যা প্রায়শই প্রয়োগে ঘটে তা হল হার্মাইট বহুপদী, তাই মৌলিক সংজ্ঞা, জেনারেটিং ফাংশন, পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এবং হারমাইট বহুপদী সম্পর্কিত উদাহরণগুলি এখানে সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছে, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তাহলে দেখুন
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
গণিত বিষয়ে আরও পোস্টের জন্য, অনুগ্রহ করে আমাদের অনুসরণ করুন গণিত পাতা
আমি ড. মোহাম্মদ মাজহার উল হক। আমি আমার পিএইচডি সম্পন্ন করেছি। গণিতে এবং গণিতে সহকারী অধ্যাপক হিসাবে কাজ করছেন। শিক্ষকতার 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। বিশুদ্ধ গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, সঠিকভাবে বীজগণিতের উপর। সমস্যা ডিজাইন এবং সমাধানের অপরিসীম ক্ষমতা থাকা। প্রার্থীদের তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে অনুপ্রাণিত করতে সক্ষম।
আমি নতুনদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করতে ল্যাম্বডেগেক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।