হারমাইট বহুপদী | 10+ গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণের সাথে এর গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক

সন্তুষ্ট

  হার্মাইট বহুপদী একটি অস্থির ফাংশন হিসাবে অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যাপকভাবে ঘটে। হারমাইট বহুপদী হল হারমাইট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধান।

হারমাইটের সমীকরণ

    হিসাবে নির্দিষ্ট সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}-2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0

হারমাইটের সমীকরণ হিসাবে পরিচিত, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করে আমরা বহুবচন পাব যা হল হারমাইট বহুপদী.

আসুন সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করি

\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}-2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধানের সাহায্যে

\ start {array} {l} y = a_ {0} x^{m}+a_ {1} x^{m+1}+a_ {2} x^{m+2}+a_ {3} x \ {m+3}+\ ldots \ ldots।+a_ {k} x^{m+k} \\ y = \ sum_ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{m+k} \ \ frac {dy} {dx} = \ sum a_ {k} (m+k) x^{m+k-1} \ \ frac {d^{2} y} {dx^{2}} = \ sum_ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{m+k-2} \ end {array}

এখন আমাদের কাছে হারমাইটের সমীকরণে এই সমস্ত মান প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে

$ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{m+k-2} -2 x \ sum a_ {k} (m+k) x^{m +k-1} +2 n \ sum a_ {k} x^{m+k} = 0 $ $ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{ m+k-2} -2 \ sum a_ {k} (m+k) x^{m+k} +2 n \ sum a_ {k} x^{m+k} = 0 $ $ \ Rightarrow \ quad \ যোগ a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{m+k-2} -2 \ যোগ a_ {k} [(m+k) -n] x^{m+k } = 0 $

এই সমীকরণটি k = 0 এর মানকে সন্তুষ্ট করে এবং যেমন আমরা ধরে নিয়েছিলাম k এর মান নেতিবাচক হবে না, এখন সর্বনিম্ন ডিগ্রী মেয়াদ x এর জন্যM-2 প্রথম সমীকরণে k = 0 নিন কারণ দ্বিতীয়টি নেতিবাচক মান দেয়, তাই সহগ xM-2 is

a_ {0} m (m-1) = 0 \ Rightarrow m = 0, m = 1

\ quad a_ {0} \ neq 0 হিসাবে

এখন একইভাবে x এর সহগের সমানM-1 দ্বিতীয় সারসংক্ষেপ থেকে

a_ {1} m (m+1) = 0 \ Rightarrow \ left [\ start {array} {l} {a _ {1} \ text {may or not may be when when m = 0} \\ {a _ {1} = 0, \ text {when} m = 1} \ end {array} \ quad \ left (\ start {array} {l} m+1 \ neq 0 \ text {as} \ mathrm {m} \ টেক্সট {হল} \\ \ টেক্সট {ইতিমধ্যেই শূন্যের সমান} \ শেষ {অ্যারে} \ ডান) \ ডান।

এবং x এর সহগমি+কে শূন্যে,

a_{k+2}(m+k+2)(m+k+1)-2 a_{k}(m+k-n)=0

আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারি

a_ {k+2} = \ frac {2 (m+kn)} {(m+k+2) (m+k+1)} a_ {k}

যদি m = 0

\ quad a_ {k+2} = \ frac {2 (kn)} {(k+2) (k+1)} a_ {k} \ quad

যদি m = 1

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

এই দুটি ক্ষেত্রে এখন আমরা কে এর ক্ষেত্রে আলোচনা করি

যখন \ quad $ m = 0, a_ {k+2} = \ frac {2 (kn)} {(k+2) (k+1)} a_ {k} $

যদি \ quad $ k = 0, a_ {2} = \ frac {-2 n} {2} a_ {0} =-n a_ {0} $

যদি \ quad $ k = 1, a_ {3} = \ frac {2 (1-n)} {6} a_ {1} =-2 \ frac {(n-1)} {3!} A_ {1} $

যদি \ quad $ k = 2, a_ {4} = \ frac {2 (2-n)} {12} a_ {2} = 2 \ frac {(2-n)} {12} \ বাকি (-n a_ {0} \ right) = (2)^{2} \ frac {n (n-2)} {4!} A_ {0} $

যদি \ quad $ k = 3, a_ {5} = \ frac {2 (3-n)} {20} a_ {3} = \ frac {2 (3-n)} {20} \ বাকি (-\ frac {2 (n-1)} {3!} A_ {1} \ right) = (2)^{2} \ frac {(n-1) (n-3)} {5!} A_ {1} $ \\ $ a_ {2 r} = \ frac {(-2)^{r} n (n-2) (n-4) \ ldots \ ldots (n-2 r+2)} {(2 r)! } a_ {0} $ \\ $ a_ {2 r+1} = \ frac {(-2)^{r} (n-1) (n-3) \ ldots \ ldots (n-2 r+1) } {(2 r+1)!} A_ {1} = 0 $

এ পর্যন্ত m = 0 আমাদের দুটি শর্ত আছে যখন a1= 0, তারপর a3=a5=a7=…। = ক2 আর+1= 0 এবং যখন a1 তখন শূন্য নয়

\ start {array} {c} y = \ sum_ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k} \\ y = a_ {0}+a_ {1} x+a_ {2} x^{2}+a_ {3} x^{3}+a_ {4} x^{4}+a_ {5} x^{5}+\ ldots \ ldots \ ldots \\ = a_ {0}+ a_ {2} x^{2}+a_ {4} x^{4}+\ ldots। ।+a_ {1} x+a_ {3} x^{3}+a_ {5} x^{5} \ end {array}

এটি অনুসরণ করে a এর মানগুলি রাখুন0,a1,a2,a3,a4 এবং একটি5 আমাদের আছে

\ start {array} {l} = a_ {0} \ left [1- \ frac {2 n} {2!} x^{2}+\ frac {2^{2} n (n-2)} { 4!} X^{4}-\ ldots+(-1)^{r} \ frac {2} {(2 r)!} N (n-2) \ ldots (n-2 r+2) x^{ 2 r}+\ ldots \ right]+a_ {1} x \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} X^{2}+\ frac {2^{2} (n-1) (n-3)} {5!}-\ ldots। \ ঠিক। (\ বাকি।+(-1)^{r} \ frac {2^{r}} {(2 r+1)!} (n-1) (x-3) d ldots (n-2 r+ 1) x^{2 r}+\ ldots \ right] \\ = a_ {0} \ left [1+ \ sum_ {r = 1}^{\ infty} \ frac {(-1)^{r} 2 ^{r}} {(2 r)!} n (n-2) \ ldots (n-2 r+2) x^{2 r} \ right] \\ \ left।+a_ {0} \ left [ x+\ sum_ {r = 1}^{\ infty} \ frac {(-1)^{r} 2^{r}} {(2 r+1)} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r+2) x^{2 r+1} \ right] \ quad \ text {(if} a_ {1} = a_ {0} \ right) \ end {array}

এবং m = 1 a এর জন্য1= 0 কে = 0,1,2,3,… .. দিয়ে আমরা পেয়েছি

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

\ start {array} {l} a_ {2} =-\ frac {2 (n-1)} {3!} a_ {0} \\ a_ {4} = \ frac {2^{2} (n- 1) (n-3)} {5!} A_ {0} \\ d ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \\ a_ {2 r } = (-1)^{r} \ frac {2^{r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r+1)} {(2 r+1)!} A_ { 0} \ শেষ {অ্যারে}

তাই সমাধান হবে

= a_ {0} x \ বাকি [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x^{2}+\ frac {2^{2} (n-1) (n-3)} {5!} X^{4} \ cdots+\ frac {(-1)^{r} 2^{r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r+1)} {( 2 r+1)!} X^{2 r}+\ ldots \ right]

সুতরাং সম্পূর্ণ সমাধান হল

y = A \ বাকি [1- \ frac {2 n} {2!} x^{2}+\ frac {2^{2} n (n-2)} {4!} x^{4}- ldots \ right]+B \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x^{2}+\ frac {2^{2} (n-1) (n-3)} {5!} X^{4} d ldots \ right]

যেখানে A এবং B নির্বিচারে ধ্রুবক

হারমাইট বহুপদী

   হারমাইটের সমীকরণ সমাধানটি y (x) = Ay রূপে1(x)+দ্বারা2(x) যেখানে y1(x) এবং y2(x) উপরে আলোচনা করা সিরিজ পদ,

y_ {1} (x) = 1- \ frac {2 n} {2!} x^{2}+2^{2} n \ frac {(n-2)} {4!} x^{4} -\ frac {2^{3} n (n-2) (n-4)} {6!} x^{6}+\ cdots

y_{2}(x)=x-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{3}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} x^{5}-\frac{2^{3}(n-1)(n-3)(n-5)}{7 !} x^{7}+\cdots

এই সিরিজগুলির মধ্যে একটি শেষ হয় যদি n অ negativeণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় যদি n এমনকি y হয়1 অন্যথায় y শেষ করে2 যদি n বিজোড় হয়, এবং আমরা সহজেই যাচাই করতে পারি যে n = 0,1,2,3,4 …… .. এই বহুপদগুলি হল

1, x, 1-2 x^{2}, x- \ frac {2} {3} x^{3}, 1-4 x^{2}+\ frac {4} {3} x^{4 }, x- \ frac {4} {3} x^{3}+\ frac {4} {15} x^{5}

তাই আমরা এখানে বলতে পারি যে হারমাইটের সমীকরণের সমাধান এই বহুবচনগুলির ধ্রুবক একাধিক এবং x এর সর্বোচ্চ ক্ষমতা ধারণকারী পদগুলি হল ফর্ম 2nxn H দ্বারা চিহ্নিতn(x) নামে পরিচিত হারমাইট বহুপদী

হারমাইট বহুপদী এর কাজ

Hermite বহুপদী সাধারণত জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে সম্পর্কের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়

\ mathrm {e}^{\ left (2 x tt^{2} \ right)} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ mathbf {H} _ {th mathrm {n}} (\ mathbf {x}) \ frac {\ mathrm {t}^{\ mathrm {a}}} {\ mathrm {n}!}, \ quad

\ শুরু {aligned} \ mathrm {e}^{\ left (2 x tt^{2} \ right)} = mathrm {e}^{2 ut} \ mathrm {e}^{-t^{2} } & = \ বাকি [\ sum_ {m = 0}^{\ infty} \ frac {(2 \ mathrm {xt})^{\ mathrm {m}}} {\ mathrm {m}!} \ right] লেফট k}!} \ right] \\ & = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0}^{\ infty} \ sum _ {\ mathrm {k} = 2}^{[\ mathrm {n} / 0]} \ frac {(-0)^{\ mathrm {k}} (2 \ mathrm {x})^{\ mathrm {n} -1 \ mathrm {k}}} {\ mathrm {k}! (\ mathrm { n} -2 \ mathrm {k})!} \ mathrm {t}^{\ mathrm {n}} \ end {aligned}

[n/2] হল সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা n/2 এর কম বা সমান তাই এটি এর মান অনুসরণ করে Hn(এক্স) as

\ mathrm {H} _ {th mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = \ sum _ {\ mathrm {k} = 0}^{[th mathrm {n} / 2]} \ frac {(-1 )^{\ mathrm {k}} \ mathrm {n}!} {\ mathrm {k}! (\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k})!} (2 \ mathrm {x})^{\ গণিত {n} -2 \ গণিত {k}}

যেখানে \ quad $ \ বাকি [\ frac {\ mathrm {n}} {2} \ right] = \ left \ {\ start {array} {ll} \ frac {\ mathrm {n}} {2}, & পাঠ্য {if} \ mathrm {n} \ text {is even} \\ \ frac {\ mathrm {n} -1} {2}, এবং \ text {if} \ mathrm {n} \ text {is odd} শেষ {array} \ ডান। $

এই দেখায় যে Hn(এক্স) ডিগ্রী n এর একটি বহুবচন x এবং

\ গণিত {H} _ {th গণিত {n}} (\ গণিত {x}) = 2^{\ গণিত {n}} \ গণিত {x}^{\ গণিত {n}}+\ পাই _ {\ গণিত { n} -2} (\ গণিত {x})

কোথায় πএন-2 (x) x- এ n-2 ডিগ্রির বহুবচন, এবং এটি n এর সমান মানের জন্য x এর এমনকি ফাংশন হবে এবং n এর বিজোড় মানের জন্য x এর বিজোড় ফাংশন হবে, তাই

\ গণিত {H} _ {\ গণিত {n}} (-\ গণিত {x}) = (-1)^{\ গণিত {n}} \ গণিত {H} _ {th গণিত {n}} (\ গণিত {এক্স})

হারমাইটের বহুরূপী কিছু

\ start {array} {l} \ mathrm {H} _ {0} (\ mathrm {x}) = 1 \\ th mathrm {H} _ {1} (\ mathrm {x}) = 2 \ mathrm {x } \ th গণিত {H} _ {2} (\ গণিত {x}) = 4 \ গণিত {x}^{2} -2 \\ \ গণিত {H} _ {3} (\ গণিত {x}) = 8 \ mathrm {x}^{3} -12 \\ th mathrm {H} _ {4} (\ mathrm {x}) = 16 \ mathrm {x}^{4} -48 \ mathrm {x} {2} +12 \\ th mathrm {H} _ {5} (\ mathrm {x}) = 32 \ mathrm {x}^{5} -160 \ mathrm {x}^{3} +120 \ mathrm { x} \ শেষ {অ্যারে}

হারমাইট বহুপদী রদ্রিগ সূত্র রদ্রিগ ফর্মুলা দ্বারা হারমাইট বহুপদী এর কাজ তৈরি করা

হারমাইট পলিনোমিয়ালকে জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে রদ্রিগ সূত্রের সাহায্যেও সংজ্ঞায়িত করা যায়

\ গণিত {H} _ {th গণিত {n}} (\ গণিত {x}) = (-1)^{\ গণিত {n}} \ গণিত {e}^{\ গণিত {x}^{2}} \ frac {\ mathrm {d}^{\ mathrm {n}}} {\ mathrm {dx}^{\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{ 2}} \ ডান)

ফাংশন তৈরির সম্পর্ক থেকে

\ mathrm {e}^{2 \ mathrm {tx}-\ mathrm {t}^{2}} = \ mathrm {e}^{th mathrm {x}^{2}-(\ mathrm {t}- mathrm {x})^{2}} = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0}^{\ infty} \ frac {\ mathrm {H} _ {th mathrm {n}} (\ mathrm {x}) } {\ গণিত {n}!} \ গণিত {t}^{\ গণিত {n}}

  Maclaurin এর উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে

\ বামে। -\ mathrm {t}^{2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {t} = 2} = \ left। th mathrm {e}^{\ mathrm {x}^{0}} \ frac {\ partial^{\ mathrm {n}}} {\ partial \ mathrm {t}^{\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e}^{-(t- \ mathrm {x}) {2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {t} = 2} = \ mathrm {H} _ {th mathrm {n}} (\ mathrm {x})

or

\ বামে। }-\ mathrm {x})^{2}} \ right] \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ mathrm {e}^{-th mathrm {x}^{2}} \ mathrm {H} _ {th গণিত {n}} (\ গণিত {x})

z = xt এবং

\ frac {\ partial} {\ partial \ mathrm {t}} =-\ frac {\ partial} {\ partial \ mathrm {z}}

t = 0 এর জন্য, তাই z = x দেয়

\ শুরু {array} {l} \ বাকি। (-1)^{\ গণিত {n}} \ frac {\ গণিত {d}^{\ গণিত {n}}} {\ গণিত {d} \ গণিত {z }^{\ গণিত {n}}} \ বাম (\ গণিত {e}^{-z^{2}} \ ডান) \ ডান | _ {th গণিত {z} = \ গণিত {x}} = (- 1)^{\ mathrm {n}} \ frac {\ mathrm {d}^{\ mathrm {n}} \ left (\ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{2}} \ right) } {\ mathrm {dx}^{\ mathrm {n}}} = \ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{2}} th mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} ( mathrm {x}) \ \ অতএব th mathrm {H} _ {th mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = (-1)^{\ mathrm {n}} th mathrm {e} \ { mathrm {x}^{2}} \ frac {\ mathrm {d}^{th mathrm {n}}} {\ mathrm {d} \ mathrm {x}^{\ mathrm {n}}} \ left ( mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{2}} \ right) \ end {array}

এটি আমরা অন্যভাবে দেখাতে পারি

e^{x^{2}} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial t^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = H_ {n} (x)+H_ {n+1} (x) t+H_ {n+2} (x)। t^{2}+\ ldots \ ldots

পার্থক্য

e^{\ left। (tx)^{2} \ right \}

টি দেওয়ার ক্ষেত্রে

\ frac {\ partial} {\ partial t} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} =-2 (tx) e^{\ left \ {-(tx)^{ 2} \ ঠিক \}}

সীমা গ্রহণ করা শূন্য হয়

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial t} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = 2 xe^{-x^{2 }}

এখন x এর সাথে পার্থক্য

\ frac {\ partial} {\ partial x} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = (-1)^{2} (tx) e^{\ left \ { -(tx)^{2} \ ডান \}}

সীমা গ্রহণ করা শূন্য হয়

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial x} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} =-2 xe^{-x^{ 2}}

এই দুটি এক্সপ্রেশন থেকে আমরা লিখতে পারি

\ বাম। \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial t} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = (-1)^{ 1} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial x} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right।} \ Right \}

একই ভাবে আমরা লিখতে পারি

\ বাম। \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{2}} {\ partial t^{2}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \} } = (-1)^{2} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{2}} {\ partial x^{2}} e^{\ left \ {-(tx) {2} \ ডান।} \ ডান \}

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial t^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = ( -1)^{n} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial x^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ অধিকার \}} = (-1)^{n} \ frac {d^{n}} {dx^{n}} e^{-x^{2}}

 n বার পার্থক্য করা t = 0, আমরা পাই

\ lim _ {t \ rightarrow 0} e^{x^{2}} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial t^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{ 2} \ ডান \}} = H_ {n} (x)

এই মানগুলি থেকে আমরা লিখতে পারি

\ start {array} {l} (-1)^{n} e^{x^{2}} \ frac {d^{n}} {dx^{n}} e^{-x^{2} } = H_ {n} (x) \\ H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} \ frac {d^{n}} {dx^{n }} e^{-x^{2}} n = 0 \ শেষ {array}

এগুলো থেকে আমরা মান পেতে পারি

\ start {array} {l} n = 0 \\ H_ {0} (x) = (-1)^{0} e^{x^{2}} e^{-x^{2}} = 1 \\ H_ {0} (x) = 1 \ শেষ {array}

\ start {array} {l} n = 1 \\ H_ {1} (x) = (-1)^{1} e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} e^{- x^{2}} =-e^{x^{2}} (-2 x) e^{-x^{2}} = 2 x \\ H_ {1} (x) = 2 x \\ n = 2 \ শেষ {অ্যারে}

\ শুরু {aligned} H_ {2} (x) & = (-1)^{2} e^{x^{2}} \ frac {d^{2}} {dx^{2}} e^{ -x^{2}} = e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 xe^{-x^{2}} \ right) \\ & = e^{ x^{2}} \ বাম [-2 e^{x^{2}}-2 x (-2 x) e^{-x^{2}} \ ডান। \\ & =-2+4 x ^{2} \\ & H_ {2} (x) = 4 x^{2} -2 \\ n = 3 \ end {aligned}

\ শুরু {aligned} H_ {3} (x) & = (-1)^{3} e^{x^{2}} \ frac {d^{3}} {dx^{3}} \ বাকি ( e^{-x^{2}} \ right) =-e^{x^{2}} \ frac {d^{2}} {dx^{2}} \ left (-2 xe^{-x ^{2}} \ ডান) \\ & =-e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 e^{-x^{2}}+(-2 x ) (-2 x) e^{-x^{2}} \ right) \\ & =-e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2+4 x {2} \ ডান) e^{-x^{2}} =-e^{x^{2}} \ বাম [8 xe^{-x^{2}}+\ বাম (4 x^{2 } -2 \ ডান) (-2 x) e^{-x^{2}} \ ডান] \ শেষ {সারিবদ্ধ}

\ start {array} {l} =-\ left [8 x+\ left (4 x^{2} -2 \ right) (-2 x) \ right] =-8 x+8 x^{3} -4 x = 8 x^{3} -12 x \\ H_ {3} (x) = 8 x^{3} -12 x \\ H_ {4} (x) = 16 x^{4} -48 x {2} +12 \ শেষ {অ্যারে}

\ start {array} {l} H_ {5} (x) = 32 x^{5} -160 x^{3} +120 x \\ H_ {6} (x) = 64 x^{6} -480 x^{4} +720 x^{2} -120 \\ H_ {7} (x) = 128 x^{7} -1344 x^{5} +3360 x^{3} -1680 x \ শেষ { অ্যারে}

হারমাইট বহুপদী উদাহরণ           

  1. এর সাধারণ বহুবচন খুঁজুন

2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0}

সমাধান: হারমাইট বহুপদী সংজ্ঞা এবং আমাদের সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে

\ শুরু {array} {l} 2 H_ {4} (x) +3 H_ {3} (x) -H_ {2} (x) +5 H_ {1} (x) +6 H_ {0} \ quad = 2 \ left [16 x^{4} -48 x^{2} +12 \ right] +3 \ left \ {8 x^{3} -12 x \ right \}-\ left (4 x ^{2} -2 \ ডান) +5 (2 x) +6 (1) \ \ quad = 32 x^{4} -96 x^{2}+24+24 x^{3} -36 x -4 x^{2}+2+10 x+6 \\ = 32 x^{4} +24 x^{3} -100 x^{2} -26 x+32 \ শেষ {array}

2. সাধারণ বহুবচনের হারমাইট বহুপদী খুঁজুন

64 x^{4} +8 x^{3} -32 x^{2} +40 x+10

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণকে আমরা Hermite এ রূপান্তর করতে পারি

\ শুরু {aligned} 64 x^{4} +8 x^{3} & -32 x^{2} +40 x+10 = \ mathrm {AH} _ {4} (x)+\ mathrm {BH} _ {3} (x)+th গণিত {CH} _ {2} (x)+\ গণিত {DH} _ {1} (x)+\ গণিত {EH} _ {0} (x) \\ & = \ mathrm {A} \ left (16 x^{4} -48 x^{2} +12 \ right)+\ mathrm {B} \ left (8 x^{3} -12 x \ right)+\ mathrm {C} \ left (4 x^{2} -2 \ right)+\ mathrm {D} (2 x)+\ mathrm {E} (1) \\ & = 16 \ mathrm {~ A} x^{ 4} +8 \ গণিত {~ B} x^{3} (-48 \ গণিত {~ A} +4 \ গণিত {C}) x^{2}+(-12 \ গণিত {~ B} +2 mathrm {D}) x+12 \ mathrm {~ A} -2 \ mathrm {C}+\ mathrm {E} \ end {aligned}

এবং এই সমীকরণ থেকে সমান ক্ষমতা সমান সমীকরণ

\ শুরু {aligned} 16 \ mathrm {~ A} = 64 & \ Rightarrow \ mathrm {A} = 4 \\ 8 \ mathrm {~ B} = 8 & \ Rightarrow \ mathrm {B} = 1 \\ -48 \ mathrm {~ A} +4 \ mathrm {C} =-32 & \ Rightarrow 4 \ mathrm {C} =-32+192 \ Rightarrow \ mathrm {C} = 40 \\ -12 \ mathrm {~ B} +2 \ mathrm {D} = 40 & \ Rightarrow-12+2 \ mathrm {D} = 40 \ Rightarrow 2 \ mathrm {D} = 52 \ Rightarrow \ mathrm {D} = 26 \\ 12 \ mathrm {~ A}- 2 \ গণিত {C}+\ গণিত {E} = 10 এবং \ রাইটারো 12 \ গুণ 4-2 (40)+\ গণিত {E} = 10 \ রাইটারো \ গণিত {E} = 42 \ শেষ {সারিবদ্ধ}

অতএব হারমাইট বহুপদী হবে

4 \mathrm{H}_{4}(x)+\mathrm{H}_{3}(x)+40 \mathrm{H}_{2}(x)+26 \mathrm{H}_{1}(x)+42 \mathrm{H}_{0}(x)

হারমাইট বহুবচনের অর্থগোনালিটি | হারমাইট পলিনোমিয়ালের অর্থগোনাল সম্পত্তি

হারমাইট বহুপদী জন্য গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল তার অর্থগোনালিটি যা বলে

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ start {array} {ll} 0, & m \ neq n \\ 2^{n} n! \ sqrt {\ pi}, & m = n \ end {array} \ ডান।

এই অরথগোনালিটি প্রমাণ করার জন্য আসুন আমরা তা স্মরণ করি

e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {1} -x \ right)^{2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {n} (x)} {n !} t_ {1}^{n}

যা হার্মাইট বহুপদী জন্য জেনারেটিং ফাংশন এবং আমরা জানি

e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {2} -x \ right)^{2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {m} (x)} {m !} t_ {2}^{m}

সুতরাং এই দুটি সমীকরণকে আমরা গুণ করব

\ শুরু {aligned} e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {1} -x \ right)^{2} \ right \}} \ cdot e^{\ left \ {x^ {2}-\ বাম (t_ {2} -x \ right)^{2} \ right \}} & = \ left [\ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} ( x)} {n!} t_ {1}^{n} \ right] \ left [\ sum_ {m = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {m} (x)} {m!} t_ { 2}^{m} \ right] \\ & = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ left [H_ {n} (x) \ left | H_ {m} (x) \ right | \ right ] \ frac {t_ {1}^{n} \ cdot t_ {2}^{m}} {n! মি!} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

অসীম সীমার মধ্যে গুণ এবং সংহতকরণ

\ শুরু {array} {l} \ left। \ left। \ sum_ {nm} \ left [\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {n} (x ) H_ {m} (x) dx \ right] \ frac {t_ {1}^{n} t_ {2}^{m}} {n! m!} = e^{-x^{2}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {1} -x \ right )^{2} \ ডান।} \ ডান \} _ {।} E^{\ বাম \ {x^{2}-\ বাম (t_ {2} -x \ ডান)^{2} \ ডান।} \ ডান \} _ {dx} \\ = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {1} -x \ right)^{ 2} \ ডান \}-\ বাম (t_ {2} -x \ ডান)^{2}} dx \\ = e^{\ বাম (-\ বাম (t_ {1}^{2}+t_ {2 }^{2} \ ডান) \ ডান \}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {-x^{2} +2 x \ left (t_ {1}+t_ {2} \ right) \ right \}} dx \ end {array}

এবং যেহেতু

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {-ax^{2} +2 bx \ right \}} dx = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2} e^{ \ frac {b^{2}} {a}}} ad চতুর্ভুজ

so

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {-x^{2} +2 x \ left (t_ {1}+t_ {2} \ right) \ right \}} dx = \ sqrt {\ pi} e^{\ left (t_ {1}+t_ {2} \ right)^{2}}

আমাদের উপরের অভিব্যক্তিতে এই মান ব্যবহার করে

\ শুরু {aligned} e^{\ left \ {-\ left (i+1+r_ {2} \ right)^{2} \ right \}} \ cdot \ sqrt {\ pi} e^{\ left ( t_ {1}+t_ {2} \ right)^{2}} & = \ sqrt {\ pi} e^{-t^{2} -t_ {2}^{2}+t_ {1}^{ 2}+t_ {2}^{2} +2 \ uparrow r_ {2}} = \ sqrt {\ pi} e^{2 l_ {1} l_ {2}} \\ & = \ sqrt {\ pi} \ বাম [1+2 t_ {1} t_ {2}+\ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right)^{2}} {2!}+\ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right)^{3}} {3!}+d ldots \ ldots। \ right] = \ sqrt {\ pi} \ sum \ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ ডান)^{n}} {n!} & = \ Sqrt {\ pi} \ sum \ frac {2^{n} t_ {1}^{n} t_ {2}^{n }} {n!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {m = 0 \ at n = 0}^{\ infty} 2^{n} t_ {1}^{n} t_ {2}^{m } \ delta_ {m, n} \ quad \ left [t_ {2}^{n} = t_ {2}^{m} \ delta_ {n, m} \ right] \ end {aligned}

যা দেয়

\ sum_ {nm} \ left [\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] \ frac {t_ {1}^{n} t_ {2}^{m}} {n! m!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {nm} \ frac {2^{n}} {n!} e^{n} t_ {2}^{m} \ delta_ {n, m}

এখন উভয় পক্ষের সহগের সমান

\ start {array} {ll} & \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ frac {H_ {n} (x) H_ {m} (x)} { n! m!} dx = \ frac {\ sqrt {\ pi} 2^{n}} {n!} \ delta_ {n, m} \ \ Rightarrow & \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e {-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {\ pi} 2^{n} m \ mid \ delta_ {n, m} \ \ Rightarrow & \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ start {array} {ll} 0 & m \ neq n \ left [\ delta_ {n, m} = 0, \ text {if} m \ neq n \ right। \\ 2^{n} n! \ sqrt {\ pi}, & m = n \ end {array} \ left [\ start {array} {l} = 1, \ text {if} m = n \ end {array} \ right] \ right। \ শেষ {অ্যারে}

যা হারমাইট বহুপদী অর্থোপল সম্পত্তি দেখায়।

  পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক বিবেচনা করে হারমাইট বহুপদী অর্থোপল সম্পত্তির ফলাফল অন্যভাবে দেখানো যেতে পারে

হারমাইট পলিনোমিয়ালের অর্থগোনালিটির উদাহরণ

1. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) dx

সমাধান: হারমাইট বহুবচনের অর্থগোনালিটির সম্পত্তি ব্যবহার করে

\ start {array} {l} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) = 0 \ text {if } m \ neq n \ end {array}

যেহেতু এখানে মান m = 3 এবং n = 2 তাই

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) = 0

2. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ বাঁ [H_ {2} (x) \ ডান]^{2} dx

সমাধান: হারমাইট বহুপদী এর অর্থগোনালিটি সম্পত্তি ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি

\ start {array} {l} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ left [H_ {n} (x) \ right]^{2} dx = 2 ^{n} (n)! \ sqrt {\ pi} \ \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ left [H_ {2} (x) \ right]^{2} dx = 2 ^{2} (2!) \ Sqrt {\ pi} = 8 \ sqrt {\ pi} \ end {array}

হারমাইট বহুপদী এর পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক

পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের মাধ্যমে হারমাইট বহুপদীটির মান সহজেই বের করা যায়

হারমাইট বহুপদী
হারমাইট বহুপদী পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যের সাহায্যে এই সম্পর্কগুলি সহজেই পাওয়া যায়।

প্রমাণ: ১। আমরা হার্মাইট সমীকরণ জানি

y^{\ prime \ prime} -2 xy^{\ prime} +2 ny = 0

এবং সম্পর্ক

e^{2 tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!}

x কে আংশিকভাবে বিবেচনা করে আমরা এটিকে লিখতে পারি

2 te^{2t xt^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n}^{'} (x) \ frac {r^{m}} {n!}

এই দুটি সমীকরণ থেকে

\ quad 2 t \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n}^{'} (x) \ frac {t^{n}} {n!}

\ quad 2 \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n+1}} {n!} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n}^{\ prime} (x) \ frac {t^{n}} {n!}

এখন n- কে n-1 দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন

2 \ frac {H _ {th mathrm {m} -1} (\ mathrm {x}) t^{n}} {(n-1)!} = H_ {n}^{'} (x) \ frac { t^{n}} {n!}

\ quad \ frac {2 n H_ {n-1} (x) t^{n}} {n!} = H_ {n}^{\ prime} (x) \ frac {t^{n}} {n !}

টি এর সহগ সমান করেn

2 \ frac {n!} {(N-1)!} H_ {n-1} (x) = H^{\ prime} {} _ {n} (x)

\ quad 2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n}^{\ prime} (x)

তাই প্রয়োজনীয় ফলাফল

\ mathbf {2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n}^{\ prime} (x)}

2. একইভাবে টি সমীকরণের ক্ষেত্রে আংশিকভাবে পার্থক্য করা

e^{2 tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!}

আমরা পেতে

2 (xt) e^{2 tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {nt^{n-1}} {(n -1)!}

2 (xt) e^{2tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 1}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n-1}} {(n- 1)!}

n = 0 অদৃশ্য হয়ে যাবে তাই e এর এই মানটি রেখে

2 (xt) \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n}} {n!} = \ Sum_ {n = 1}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n-1}} {(n-1)!}

\ quad 2 x \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n}} {n!}-2 \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n+1}} {n!} = \ Sum_ {n = 1}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {r^{n- 1}} {(n-1)!}

এখন t এর সহগের সমানn

2 x \ frac {H_ {n} (x)} {n!}-2 \ frac {H_ {n-1} (x)} {(n-1)!} = \ Frac {H_ {n+1} (x)} {n!} \ চতুর্ভুজ

এইভাবে

\ quad \ mathbf {2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)+H_ {n+1} (x)}

3. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা H কে নির্মূল করবএন-1 থেকে

2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)+H_ {n+1} (x)

এবং

2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n}^{\ prime} (x)

তাই আমরা পাই

\ শুরু {aligned} 2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)+H_ {m+1} (x) & (x) \\ 2 x H_ {n} (x ) = H_ {n} r {r} (x)+H_ {n+1} (x) \\\ ldots \ ldots \ end {aligned}

এভাবে আমরা ফলাফল লিখতে পারি

\ mathbf {H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n+1} (x)}

4. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা পার্থক্য করি

H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n+1} (x)

আমরা সম্পর্ক পাই

H_ {n}^{\ prime \ prime} (x) = 2 x H_ {n}^{'} (x) +2 H_ {n} (x) -H_ {n+1}^{\ prime} ( এক্স)

মান প্রতিস্থাপন

H_ {n+1}^{'} (x) = 2 (n+1) H_ {n} (x)

এবং n প্রতিস্থাপন n+1 দ্বারা

H_ {n}^{'} (x) = 2 \ গণিত {x} H_ {n}^{\ prime} (x) +2 H_ {n} (x) -2 (n+1) H_ {n} (এক্স)

\ quad H_ {n}^{'} (x) -2 x H_ {n}^{\ prime} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0

যা দেয়

\ mathbf {H_ {n}^{\ prime \ prime} (x) -2 x H_ {n}^{1} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0]}

হারমাইট বহুপদী পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের উদাহরণ

1. দেখান যে

H_ {2 n} (0) = (-1)^{n} \ cdot 2^{2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right)^{n}

সমাধান:

আমাদের ফলাফল দেখানোর জন্য

H_{2 n}(x)=\sum\frac{(-1)^{n}(2m)!(2x)^{2n+2x}}{x!(2n-2x)!}

এখানে x = 0 নিচ্ছি

\ শুরু {aligned} H_ {2 n} (0) & = \ frac {(-1)^{n} (2 n)!} {(n)!} = (-1)^{n} \ frac { (2 n) (2 n-1) (2 n-2) \ cdot \ ldots} {n (n-1) (n-2) \ ldots \ ldots 1} \\ & = (-1)^{n } \ frac {2 (2 n-1) 2 (2 n-3) 2 (2 n-5) 2 \ cdot \ ldots 2.1} {n!} n! \\ & = (-1)^{n} 2^{n} \ cdot 2^{n} \ frac {(2 n-1)} {2} frac {(2 n-3)} {2} \ frac {(2 n-5)} {2} \\ & = (-1)^{n} 2^{2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left (\ frac {3} {2} \ ডান) \ বাম (\ frac {5} {2} \ ডান) \ বাম (\ frac {7} {2} \ ডান) \ ldots \ ldots \ left (\ frac {2 n- 3} {2} \ ডান) \ বাম (\ frac {2 n-1} {2} \ ডান) \\ & = (-1)^{n} 2^{2 n} \ বাম (\ frac {1 } {2} \ ডান)^{m} \ শেষ {aligned}

2. যে দেখান

H^{\prime}{ }_{2 n+1}(0)=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}

সমাধান:

যেহেতু পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক থেকে

H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

এখানে n কে 2n+1 দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন

H_ {2 n+1}^{\ prime} (x) = 2 (2 n+1) H_ {2 n} (x)

x = 0 গ্রহণ করা

\ শুরু {aligned} H_ {2 n+1}^{\ prime} (0) & = 2 (2 n+1) H_ {2 n} (0) \\ & = 2 (2 n+1) (- 1)^{n} 2^{2 n} \ বাম (\ frac {1} {2} \ ডান)^{n} \\ & = (2 n+1) (-1)^{n} 2 {2 n+1} \ বাকি [\ frac {(2 n-1) (2 n-3) \ ldots \ ldots 3.1} {2^{n}} \ right] \\ & = (-1)^{ n} 2^{2 n+1} \ বাম [\ frac {3} {2} \ বাম (\ frac {3} {2} +1 \ ডান) \ ldots \ ldots \ left (\ frac {3} { 2}+n-1-right) \ right] \\ & = (-1)^{n} \ cdot 2^{2 n+1} \ left (\ frac {3} {2} \ right)^{ n} \ শেষ {aligned}

3. এর মান খুঁজুন

H_ {2 n+1} (0)

সমাধান

যেহেতু আমরা জানি

H_ {2 n+1} (x) = \ sum_ {k = 0}^{2 n+1 /2} \ frac {(-1)^{k} (2 n+1)! (2 x) {2 n+1-2 k}} {k! (2 n+1-2 k)}

এখানে x = 0 ব্যবহার করুন

\ অতএব H_ {2 n+1} (0) = 0

4. H 'এর মান খুঁজুন2n(0).

সমাধান :

আমাদের পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক আছে

H^{\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

এখানে 2n দ্বারা n প্রতিস্থাপন করুন

H^{\ prime} _ {2 n} (x) = 2 (2 n) H_ {2 n-1} (x)

x = 0 লাগান

H^{\prime}_{2 n}(0)=(4 n) H_{2 n-1}(0)=4n*0=0

5. নিম্নলিখিত ফলাফল দেখান

\ frac {d^{m}} {dx^{m}} \ বাঁ \ {H_ {n} (x) \ right \} = \ frac {2^{n} (n)!} {(nm)! } H_ {nm} \ quad m <n

সমাধান :

পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক ব্যবহার করে

H^{\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

so

\ শুরু {aligned} \ quad \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} & = 2 m H_ {n-1} (x) \\ \ quad \ frac { d^{2}} {dx^{2}} \ বাঁ \ {H_ {n} (x) \ right \} & = 2 n \ frac {d} {dx} \ left [H_ {n-1} ( x) \ right] \\ & = 2 n H^{\ prime} n-1 \ atop (x) \\ & = 2 n \ left [2 (n-1) H_ {n-2} (x) ডান] \\ & = 2^{2} n (n-1) H_ {n-2} (x) \ end {aligned}

এবং

\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{3} n(n-1)(n-2) H_{n-3}(x)

এই m বার পার্থক্য

\ frac {d^{m}} {d^{m}} \ বাঁ \ {H_ {n} (x) \ right \} = 2^{m} n (n-1) \ ldots \ ldots (n- m+1) H_ {nm} (x) \\ = \ frac {2^{\ prime m}} {(nm)!} H_ {nw} (x), m <n

যা দেয়

\ frac {d^{m}} {dx^{m}} \ বাঁ {H_ {n} (x) \ right} = \ frac {2^{n} (n)!} {(nm)!} H_ {nm} \ quad m <n

6. যে দেখান

H_ {n} (-x) = (-1)^{n} H_ {n} (x)

সমাধান :

আমরা লিখতে পারি

\ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!} = e^{2 nt^{2}} = e^{2 \ pi } e^{-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {(2 x)^{n} t^{n}} {n!} \ times \ sum_ { n = 0}^{\ infty} \ frac {(-1) t^{2 n}} {n!}

= \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} (2 x)^{n-2 k}} { k (n-2 k)!}

t এর সহগ থেকেn আমাদের আছে

H_ {n} (x) = \ sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} n! ​​(2 x)^{n-2 k}} {k! ( n-2 কে)!}

এবং -x এর জন্য

\ শুরু {aligned} H_ {n} (-x) & = \ sum_ {k = 0}^{\ pi / 2} \ frac {(-1)^{k} n! ​​(-2 x)^{n -2 k}} {k (n-2 k)!} & = \ Sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} (-1)^{n -2 k} n! ​​(2 x)^{n-2 k}} {k (n-2 k)!} \\ & = (-1)^{n} \ sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} n! ​​(2 x)^{n-2 k}} {k (n-2 k)!} = (-1)^{n} H_ {n } (x) \ শেষ {aligned}

7. অবিচ্ছেদ্য এবং মূল্যায়ন মূল্যায়ন

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} xe^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {x} \ left [2^{n -1} মি \ মধ্য 8_ {মি, n-1}+2^{n} (n+1) \ ডেল্টা_ {n * 1, m} \ ডান]।

সমাধান : এই অবিচ্ছেদ্য ব্যবহারের জন্য ইন্টিগ্রেশন অংশগুলি সমাধান করুন

\ start {array} {l} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} xe^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ left [- \ frac {1} {2} e^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] _ {-\ infty}^{\ infty} \ quad+\ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) H_ {m} (x) \ right \} dx \\ = 0+\ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ frac { d} {dx} \ বাম \ {H_ {n} (x) H_ {m} (x) \ right \} dx \ text {(Orthogonality property)} \ end {array}

এখন ইন্টিগ্রাল সাইন এর অধীনে পার্থক্য x এর সাথে পার্থক্য করে

= \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ বাকি \ {H_ {n}^{\ prime} (x) H_ {m } (x)+H_ {n} (x) H_ {m}^{\ prime} (x) \ right \} dx

ব্যবহার

H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

এবং

H_ {m}^{\ prime} (x) = 2 m H_ {m-1} (x)

আমাদের আছে

\ start {array} {l} = \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ বাকি [2 n H_ {n-1} (x) H_ {m} (x) +2 m H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) \ right] dx \\ = n \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e ^{-x^{2}} H_ {n-1} (x) H_ {m} (x) d x+m \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2} } H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) dx \\ = n \ sqrt {\ pi} 2^{n-1} (n-1)! \ delta_ {m, n-1}+m \ sqrt {\ pi} 2^{n} n! \ ডেল্টা_ {এন, এম -1} \ শেষ {অ্যারে}

এবং যেহেতু

\ delta_ {n, m-1} = \ delta_ {n+1, m}

সুতরাং অবিচ্ছেদ্য মান হবে

= \ sqrt {\ pi} \ বাকি [2^{n-1} n! \ delta_ {m, n-1}+2^{n} (n+1)! \ ডেল্টা_ {n+1, m} \ ডান]

উপসংহার:

নির্দিষ্ট বহুবচন যা প্রায়শই প্রয়োগ করা হয় তা হল হারমাইট বহুপদী, তাই মৌলিক সংজ্ঞা, উৎপাদন ফাংশন, পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এবং হারমাইট বহুপদী সম্পর্কিত উদাহরণগুলি এখানে সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছে, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয়

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

গণিতে আরও পোস্টের জন্য, আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

হারমাইট বহুপদী | 10+ গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণের সাথে এর গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X