হারমাইট বহুপদী: 9 সম্পূর্ণ দ্রুত তথ্য

  হার্মাইট বহুপদী একটি অস্থির ফাংশন হিসাবে অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যাপকভাবে ঘটে। হারমাইট বহুপদী হল হারমাইট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধান।

হারমাইটের সমীকরণ

    হিসাবে নির্দিষ্ট সহগ সহ দ্বিতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

d²y/dx² - 2x dy/dx + 2xy = 0

হারমাইটের সমীকরণ হিসাবে পরিচিত, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করে আমরা বহুবচন পাব যা হল হারমাইট বহুপদী.

আসুন সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করি

d²y/dx² - 2x dy/dx + 2ny = 0

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিরিজ সমাধানের সাহায্যে

এখন আমাদের কাছে হারমাইটের সমীকরণে এই সমস্ত মান প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে

এই সমীকরণটি k = 0 এর মানকে সন্তুষ্ট করে এবং যেমন আমরা ধরে নিয়েছিলাম k এর মান নেতিবাচক হবে না, এখন সর্বনিম্ন ডিগ্রী মেয়াদ x এর জন্য^M-2 প্রথম সমীকরণে k = 0 নিন কারণ দ্বিতীয়টি নেতিবাচক মান দেয়, তাই সহগ x^M-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

হিসেবে₀ । 0

এখন একইভাবে x এর সহগের সমান^M-1 দ্বিতীয় সারসংক্ষেপ থেকে

এবং x এর সহগ^{মি+কে} শূন্যে,

a_{কে + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারি

a_{কে + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

যদি m = 0

a_{কে + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

যদি m = 1

a_{কে + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) a_k

এই দুটি ক্ষেত্রে এখন আমরা কে এর ক্ষেত্রে আলোচনা করি

যখন $m=0, a_{কে + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

যদি, $k=0 a₂ =-2 n/2 ক₀=-না₀$

$k=1, ক₃=2(1-n)/6 ক₁ =-2(n-1)/3 ! ক₁$

যদি $k=2, a₄ =2(2-n)/12 ক₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4 ! ক₀$

এ পর্যন্ত m = 0 আমাদের দুটি শর্ত আছে যখন a₁= 0, তারপর a₃=a₅=a₇=…। = ক_{2 আর+1}= 0 এবং যখন a₁ তখন শূন্য নয়

এটি অনুসরণ করে a এর মানগুলি রাখুন₀,a₁,a₂,a₃,a₄ এবং একটি₅ আমাদের আছে

এবং m = 1 a এর জন্য₁= 0 কে = 0,1,2,3,… .. দিয়ে আমরা পেয়েছি

a_{কে + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

তাই সমাধান হবে

সুতরাং সম্পূর্ণ সমাধান হল

যেখানে A এবং B নির্বিচারে ধ্রুবক

হারমাইট বহুপদী

   হারমাইটের সমীকরণ সমাধানটি y (x) = Ay রূপে₁(x)+দ্বারা₂(x) যেখানে y₁(x) এবং y₂(x) উপরে আলোচনা করা সিরিজ পদ,

এই সিরিজগুলির মধ্যে একটি শেষ হয় যদি n অ negativeণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় যদি n এমনকি y হয়₁ অন্যথায় y শেষ করে₂ যদি n বিজোড় হয়, এবং আমরা সহজেই যাচাই করতে পারি যে n = 0,1,2,3,4 …… .. এই বহুপদগুলি হল

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

তাই আমরা এখানে বলতে পারি যে হারমাইটের সমীকরণের সমাধান এই বহুবচনগুলির ধ্রুবক একাধিক এবং x এর সর্বোচ্চ ক্ষমতা ধারণকারী পদগুলি হল ফর্ম 2ⁿxⁿ H দ্বারা চিহ্নিত_n(x) নামে পরিচিত হারমাইট বহুপদী

হারমাইট বহুপদী এর কাজ

Hermite বহুপদী সাধারণত জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে সম্পর্কের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়

[n/2] হল সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা n/2 এর কম বা সমান তাই এটি এর মান অনুসরণ করে H_n(এক্স) as

এই দেখায় যে H_n(এক্স) ডিগ্রী n এর একটি বহুবচন x এবং

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_এন-2 (এক্স)

কোথায় π_এন-2 (x) x- এ n-2 ডিগ্রির বহুবচন, এবং এটি n এর সমান মানের জন্য x এর এমনকি ফাংশন হবে এবং n এর বিজোড় মানের জন্য x এর বিজোড় ফাংশন হবে, তাই

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(এক্স)

হারমাইটের বহুরূপী কিছু

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

রডরিগ সূত্র দ্বারা হারমাইট বহুপদীর ফাংশন তৈরি করা

হারমাইট পলিনোমিয়ালকে জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করে রদ্রিগ সূত্রের সাহায্যেও সংজ্ঞায়িত করা যায়

ফাংশন তৈরির সম্পর্ক থেকে

  Maclaurin এর উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে

or

z = xt এবং

t = 0 এর জন্য, তাই z = x দেয়

এটি আমরা অন্যভাবে দেখাতে পারি

পার্থক্য

টি দেওয়ার ক্ষেত্রে

সীমা গ্রহণ করা শূন্য হয়

এখন x এর সাথে পার্থক্য

সীমা গ্রহণ করা শূন্য হয়

এই দুটি এক্সপ্রেশন থেকে আমরা লিখতে পারি

একই ভাবে আমরা লিখতে পারি

 n বার পার্থক্য করা t = 0, আমরা পাই

এই মানগুলি থেকে আমরা লিখতে পারি

এগুলো থেকে আমরা মান পেতে পারি

হারমাইট বহুপদী উদাহরণ           

1. এর সাধারণ বহুবচন খুঁজুন

সমাধান: হারমাইট বহুপদী সংজ্ঞা এবং আমাদের সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে

2. সাধারণ বহুবচনের হারমাইট বহুপদী খুঁজুন

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণকে আমরা Hermite এ রূপান্তর করতে পারি

এবং এই সমীকরণ থেকে সমান ক্ষমতা সমান সমীকরণ

অতএব হারমাইট বহুপদী হবে

হারমাইট বহুবচনের অর্থগোনালিটি | হারমাইট পলিনোমিয়ালের অর্থগোনাল সম্পত্তি

হারমাইট বহুপদী জন্য গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল তার অর্থগোনালিটি যা বলে

এই অরথগোনালিটি প্রমাণ করার জন্য আসুন আমরা তা স্মরণ করি

যা হার্মাইট বহুপদী জন্য জেনারেটিং ফাংশন এবং আমরা জানি

সুতরাং এই দুটি সমীকরণকে আমরা গুণ করব

অসীম সীমার মধ্যে গুণ এবং সংহতকরণ

এবং যেহেতু

so

আমাদের উপরের অভিব্যক্তিতে এই মান ব্যবহার করে

যা দেয়

এখন উভয় পক্ষের সহগের সমান

যা হারমাইট বহুপদী অর্থোপল সম্পত্তি দেখায়।

  পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক বিবেচনা করে হারমাইট বহুপদী অর্থোপল সম্পত্তির ফলাফল অন্যভাবে দেখানো যেতে পারে

হারমাইট পলিনোমিয়ালের অর্থগোনালিটির উদাহরণ

1. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন

সমাধান: হারমাইট বহুবচনের অর্থগোনালিটির সম্পত্তি ব্যবহার করে

যেহেতু এখানে মান m = 3 এবং n = 2 তাই

2. অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করুন

সমাধান: হারমাইট বহুপদী এর অর্থগোনালিটি সম্পত্তি ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি

হারমাইট বহুপদী এর পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক

পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের মাধ্যমে হারমাইট বহুপদীটির মান সহজেই বের করা যায়

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যের সাহায্যে এই সম্পর্কগুলি সহজেই পাওয়া যায়।

প্রমাণ: ১। আমরা হার্মাইট সমীকরণ জানি

y”-2xy'+2ny = 0

এবং সম্পর্ক

x কে আংশিকভাবে বিবেচনা করে আমরা এটিকে লিখতে পারি

এই দুটি সমীকরণ থেকে

এখন n- কে n-1 দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন

টি এর সহগ সমান করেⁿ

তাই প্রয়োজনীয় ফলাফল

2. একইভাবে টি সমীকরণের ক্ষেত্রে আংশিকভাবে পার্থক্য করা

আমরা পেতে

n = 0 অদৃশ্য হয়ে যাবে তাই e এর এই মানটি রেখে

এখন t এর সহগের সমানⁿ

এইভাবে

3. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা H কে নির্মূল করব_এন-1 থেকে

এবং

তাই আমরা পাই

এভাবে আমরা ফলাফল লিখতে পারি

4. এই ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমরা পার্থক্য করি

আমরা সম্পর্ক পাই

মান প্রতিস্থাপন

এবং n প্রতিস্থাপন n+1 দ্বারা

যা দেয়

হারমাইট বহুপদী পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের উদাহরণ

1. দেখান যে

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

সমাধান:

আমাদের ফলাফল দেখানোর জন্য

H2n(x) =

এখানে x = 0 নিচ্ছি

2. যে দেখান

জ'_{2n + + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + + 1} (3 / 2)²

সমাধান:

যেহেতু পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক থেকে

জ'_n(x) = 2nH_এন-1(এক্স)

এখানে n কে 2n+1 দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন

জ'_{2 এন -1}(x) = 2(2n+1) H_2n(এক্স)

x = 0 গ্রহণ করা

3. এর মান খুঁজুন

H_{2n + + 1}(0)

সমাধান

যেহেতু আমরা জানি

এখানে x = 0 ব্যবহার করুন

H_{2 এন -1}(0) = 0

4. H 'এর মান খুঁজুন_2n(0).

সমাধান :

আমাদের পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক আছে

জ'_n(x) = 2nH_এন-1(এক্স)

এখানে 2n দ্বারা n প্রতিস্থাপন করুন

জ'_2n(x) = =2(2n)H_{2 এন -1}(এক্স)

x = 0 লাগান

জ'_2n(0) = (4n)H_{2 এন -1}(0) = 4n*0=0

5. নিম্নলিখিত ফলাফল দেখান

সমাধান :

পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক ব্যবহার করে

জ'_n(x) = 2nH_এন-1 (এক্স)

so

এবং

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_এন-3(এক্স)

এই m বার পার্থক্য

যা দেয়

6. যে দেখান

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(এক্স)

সমাধান :

আমরা লিখতে পারি

t এর সহগ থেকেⁿ আমাদের আছে

এবং -x এর জন্য

7. অবিচ্ছেদ্য এবং মূল্যায়ন মূল্যায়ন

সমাধান : এই অবিচ্ছেদ্য ব্যবহারের জন্য ইন্টিগ্রেশন অংশগুলি সমাধান করুন

এখন অখণ্ড চিহ্নের অধীনে পার্থক্যের সাথে পার্থক্য করুন

x এর প্রতি শ্রদ্ধা

ব্যবহার

জ'_n(x) = 2_nH_এন-1 (এক্স)

এবং

জ'_m(x) = 2mH_M-1 (এক্স)

আমাদের আছে

এবং যেহেতু

𝝳 _n,m-1 = 𝝳_{n+1, মি}

সুতরাং অবিচ্ছেদ্য মান হবে

উপসংহার:

নির্দিষ্ট বহুবচন যা প্রায়শই প্রয়োগ করা হয় তা হল হারমাইট বহুপদী, তাই মৌলিক সংজ্ঞা, উৎপাদন ফাংশন, পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এবং হারমাইট বহুপদী সম্পর্কিত উদাহরণগুলি এখানে সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছে, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয়

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

গণিতে আরও পোস্টের জন্য, আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠা