কিভাবে ত্বরণ এবং সময়ের সাথে বেগ খুঁজে বের করা যায়: বিভিন্ন পদ্ধতি, সমস্যা, উদাহরণ

গতির সমীকরণ বের করার জন্য বেগ, ত্বরণ এবং সময় হল মৌলিক পরিমাণ। সাধারণভাবে, বেগের সময় ডেরিভেটিভ ত্বরণ দেয়।

গতিবিদ্যায়, ত্বরণ এবং সময় ব্যবহার করে বেগ খুঁজে পাওয়া যায়। থেকে বেগ এবং ত্বরণ মাত্রা এবং দিকনির্দেশের সাথে যুক্ত, বেগ খুঁজে বের করার জন্য, আমরা বীজগণিত পদ্ধতি এবং অখণ্ড ক্যালকুলাস উভয়ই ব্যবহার করি। উভয় পদ্ধতি ব্যবহার করে, কিভাবে ত্বরণ এবং সময়ের সাথে বেগ খুঁজে বের করা যায় তা এই পোস্টে আলোচনা করা হয়েছে।

আসুন আমরা বিবেচনা করি যে শরীরটি ত্বরণের সাথে চলছে 'a' নির্দিষ্ট দূরত্ব জুড়ে 't' সময়ে।

বীজগণিত পদ্ধতি দ্বারা:

গতির সংজ্ঞা থেকে, ত্বরণ ট্রাভেলিং বডির বেগের পরিবর্তনের হার।

a=v/t

এখানে আমরা বিবেচনা করি; প্রাথমিকভাবে, শরীরের ন্যূনতম বেগ আছে; তাই প্রাথমিক বেগ প্রায় শূন্য বিবেচনা করা যেতে পারে.

পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করলে, আমরা শরীরের বেগ পেতে পারি;

v = a*t

অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস পদ্ধতি দ্বারা:

এর সময় ডেরিভেটিভ বেগ দেয় ত্বরণ শরীরের. এটি নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়।

d/dt[v(t)] = a(t)

উপরের সমীকরণটি পুনরায় সাজানো

dv(t) = a(t) dt

সময় t সাপেক্ষে উপরোক্ত সমীকরণ একত্রিত করা

∫d/dt[v(t)]=∫a(t) dt+C

কোথায়; C হল অবিচ্ছেদ্য ধ্রুবক।

অতএব; v = at + C

উপরের সমীকরণটি বেগ দেয়; এইভাবে, ত্বরণ বার সময় বেগ দেয়।

কিভাবে ত্বরণ এবং সময় গ্রাফ সহ বেগ খুঁজে বের করতে হয়?

ত্বরণ বনাম সময়ের গ্রাফটি প্লট করা হয়েছে, যার ফলে বিভিন্ন ভৌত রাশি যেমন ঝাঁকুনি এবং বেগ. ত্বরণ-সময় গ্রাফের অধীনে আচ্ছাদিত এলাকাটি বেগ দেয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি গাড়ি 16 মি/সেকেন্ডের প্রাথমিক বেগ নিয়ে চলছে। সময়ের সাথে সাথে গাড়ির গতি বাড়তে থাকে। দ্য ত্বরণ গাড়ী সময়ের সাথে ধ্রুবক. কিছু সময় পরে, গাড়িটি হঠাৎ থেমে যায়, যা নীচে দেওয়া গ্রাফে উপস্থাপন করা হয়েছে।

বিন্দুযুক্ত রেখাটি রেফারেন্স লাইন হিসাবে ব্যবহৃত হয় যখন বডি থেমে যায়।

এলাকা দখলে নেয় ত্বরণ-সময় গ্রাফ একটি আয়তক্ষেত্র। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দ্বারা দেওয়া হয়

A = l×b

উপরের গ্রাফ থেকে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য হল ত্বরণ, এবং প্রস্থ হল সময়; তাই সমীকরণ হয়

A = a*t

কিন্তু গ্রাফের ক্ষেত্রফল হল বেগ, তাহলে

v = a*t

v = 7×8

v = 56 m/s

অতএব, এর সংজ্ঞা দ্বারা ত্বরণ সময় গ্রাফ, ক্ষেত্রফল বেগ ছাড়া আর কিছুই নয়।

কিভাবে ত্বরণ এবং সময়ের সাথে প্রাথমিক বেগ খুঁজে বের করা যায়?

যখন একটি শরীর এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে ভ্রমণ শুরু করে, প্রাথমিকভাবে, এটি কিছু বেগ ধারণ করে। শরীরের প্রয়োজন নেই ধ্রুব বেগ যতক্ষণ না এটি তার চূড়ান্ত গন্তব্যে পৌঁছায়। শরীরের গতিবেগ সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়, এবং তাই শরীর দ্বারা ত্বরণ অর্জিত হয়।

উপরের ব্যাখ্যা থেকে এটা স্পষ্ট যে একটি ভ্রমণকারী দেহের বিভিন্ন বেগ থাকতে পারে। শরীরের বেগ প্রাথমিক পর্যায়ে চূড়ান্ত পর্যায়ে থেকে ভিন্ন হতে পারে. প্রাথমিক বিন্দুতে ত্বরণ এবং সময়ের সাথে বেগ খুঁজে বের করা নিয়ে আলোচনা করা যাক।

আসুন আমরা বিবেচনা করি যে একটি গাড়ী প্রাথমিকভাবে বেগের সাথে চলমান v_i, এবং একটি নির্দিষ্ট সময়ের পরে এর বেগ পরিবর্তিত হয়। শরীর এখন ত্বরণ 'a' দিয়ে ত্বরান্বিত হচ্ছে, এবং অবশেষে, যখন এটি শেষ বিন্দুতে পৌঁছায়, তখন এটির বেগ v_f.

প্রাথমিক বেগ তিনটি পদ্ধতি দ্বারা গণনা করা যেতে পারে।

বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে:

বেগের পরিবর্তনের কারণে ত্বরণ দেওয়া হয়

a=(v_f-v_i)/টি

a*t = v_f - v_i

পুনর্বিন্যাস উপর

v_i = ভি_f - এ

উপরের সমীকরণটি চলমান দেহের প্রাথমিক বেগ দেয়।

ক্যালকুলাস দ্বারা:

ত্বরণের সংজ্ঞা থেকে, সমীকরণ দেওয়া হয় দ্বারা

a=dv/dt

শর্তাবলী পুনর্বিন্যাস;

adt = dv

t=0 সময়ে প্রাথমিক বেগ vi এবং চূড়ান্ত বেগ v হিসাবে সীমা বেছে নিয়ে উপরের সমীকরণটিকে একীভূত করা_f সময়ে t.

a ( t – 0) = (v_f - v_i)

at = v_f - v_i

উপরের সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করলে আমরা প্রাথমিক বেগ পাই।

v_i = ভি_f - এ

গ্রাফিকাল পদ্ধতি দ্বারা:

বেগ বনাম সময়ের একটি গ্রাফ প্লট করা হয়েছে, যার ঢাল ত্বরণ দেয়—তারপর ঢাল খুঁজে বের করে প্রাথমিক বেগ গণনা করা যেতে পারে।

উপরের গ্রাফ থেকে, আমরা এটি বলতে পারি।

• একটি অভিন্ন সময়ের ব্যবধানে, শরীরের গতিবেগ পরিবর্তিত হয়।
• OD হল শরীরের দ্বারা ভ্রমণের জন্য নেওয়া সময়, এবং BD হল শরীরের চূড়ান্ত বেগ।
• একটি লম্ব রেখা BD থেকে A পর্যন্ত OD এর সমান্তরালে আঁকা হয়। একইভাবে, OD এর সমান্তরালে একটি রেখা BE টানা হয়।

উপরের গ্রাফটি প্রতিনিধিত্ব করে যে,

শরীরের প্রাথমিক বেগ v_i = OA

শরীরের চূড়ান্ত বেগ v_f = বিডি

গ্রাফ থেকে, BD = BC+ DC

অতএব, v_f = BC + DC

কিন্তু DC= OA= v_i

v_f = BC + vi

গ্রাফ থেকে, ঢাল = ত্বরণ a

a=BC/AC

কিন্তু AC = t (গ্রাফ থেকে)

a=BC/t

এ = BC

BC এর মান প্রতিস্থাপন

v_f = at +v_i

v_i = ভি_f - এ

কিভাবে ত্বরণ এবং সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তন খুঁজে পাওয়া যায়

সাধারণভাবে, সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তন ত্বরণ দেয়।

ধরুন একটি দেহ 'a' ত্বরণের সাথে সময় 't' এর সাথে গতিশীল হয় প্রাথমিকভাবে বস্তুটির বেগ v হয়_i, এবং চূড়ান্ত বিন্দুতে, এর বেগ v আছে_f. তারপর সমীকরণ ব্যবহার করে বেগের পরিবর্তন বের করা হয়,

∆a=(Δv/Δt)

যেখানে ∆v হল বেগের পরিবর্তন এবং ∆t হল সময়ের পরিবর্তন।

∆v= ∆a∆t

কিন্তু বেগের পরিবর্তন দিয়ে দেওয়া হয় প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত বেগের মধ্যে পার্থক্য। এটি নীচের সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়।

∆v = v_f -v_i

পরিবর্তন বেগ ত্বরণ-সময় গ্রাফ ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে. অ্যাট গ্রাফের অধীনে দখলকৃত এলাকাটি বেগের পরিবর্তন দেয়।

নীচে দেওয়া গ্রাফ দ্বারা উপস্থাপিত উদাহরণ বিবেচনা করে আমাদের এটি পরিষ্কারভাবে বুঝতে দিন।

ত্বরণ সময় গ্রাফে আচ্ছাদিত এলাকাটি একটি ত্রিভুজ। অতএব, গণনা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করে বেগের পরিবর্তন দেওয়া হয়। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্র হল

A=(1/2)hb

এখানে, h হল ত্রিভুজের উচ্চতা, ত্বরণকে উচ্চতা ধরা হয় এবং b হল ত্রিভুজের ভিত্তি, যা সময় অক্ষ দ্বারা দেওয়া হয়। এইভাবে বেগের পরিবর্তন হয়

∆v=(1/2)*6*9

∆v = ২৯ মি/সেকেন্ড।

বেগের পরিবর্তন ব্যবহার করে, আমরা শরীরের প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত বেগ খুঁজে বের করতে পারি।

কিভাবে ত্বরণ এবং সময়ের সাথে বেগ খুঁজে বের করা যায় তার সমস্যার সমাধান করা হয়েছে

সমস্যা 1) একটি নৌকা 11 মি/সেকেন্ডের প্রাথমিক বেগ নিয়ে চলে। নৌকাটি 3 মিটার/সেকেন্ডের ত্বরণ অর্জন করে² প্রতি 10 সেকেন্ডের জন্য। তারপর নৌকার গতিবেগ এবং চূড়ান্ত বেগের পরিবর্তন গণনা করুন।

সমাধান:

গণনার জন্য দেওয়া তথ্য:

নৌকার প্রাথমিক বেগ v_i = 11 মি/সেকেন্ড

নৌকা দ্বারা পরিবর্তনের ত্বরণ a = 3 m/s².

সময়ের পরিবর্তন t = 10 সেকেন্ড।

∆v = ∆a∆t

∆v = 3 × 10

∆v = 30 m/s

চূড়ান্ত বেগ খুঁজে বের করতে, সমীকরণ হয়

∆v = v_f -v_i

v_f = ∆v + v_i

v_f = 30 + 11

v_f = 41 মি/সেকেন্ড

সমস্যা 2) ত্বরণ-সময় গ্রাফটি নীচে দেওয়া হল। বেগের পরিবর্তন খুঁজুন এবং চূড়ান্ত বেগ 54 m/s হলে প্রাথমিক বেগ গণনা করুন।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্য:

চূড়ান্ত বেগ v_f = 54 মি/সেকেন্ড। ত্বরণ-সময় গ্রাফ থেকে, আচ্ছাদিত এলাকা হল ট্র্যাপিজিয়াম। তাই ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল দেওয়া হয়,

A=[(a+b)/2)]*h

যেখানে a, এবং b হল ট্র্যাপিজিয়ামের সংলগ্ন ভিত্তি, h হল উচ্চতা। গ্রাফ থেকে; a = 9 একক, b = 5 একক, h = 4 একক।

A=[(9+5)/2]*4

A = 28 একক।

বেগের পরিবর্তন ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফলের সমান।

∆v = ২৮ মি/সেকেন্ড।

প্রাথমিক বেগ খুঁজে বের করতে

∆v = v_f -v_i

v_i = ভি_f – ∆v

v_i = 54 - 28

v_i = 26 মি/সেকেন্ড

সমস্যা 3) বেগের পরিবর্তন খুঁজে বের করার জন্য ত্বরণ –সময় গ্রাফ দেওয়া হয়েছে।

সমাধান:

উপরের গ্রাফটিকে তিনটি ভাগে বিভক্ত করা যেতে পারে, বিন্দুযুক্ত লাইনে উপস্থাপন করা হয়েছে, যেমনটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

উপরের গ্রাফে, নিম্নলিখিত পদগুলি বোঝা যায়।

OAD এবং BCE হল ত্রিভুজ; এলাকা ত্রিভুজ দ্বারা দেওয়া হয়

a=(1/2) hb

ABCD হল আয়তক্ষেত্র; আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দ্বারা দেওয়া হয়

A = l × খ

বেগের পরিবর্তন খুঁজে পেতে, সমস্ত জ্যামিতিক কাঠামোর ক্ষেত্রফলের যোগফল নির্ণয় করতে হবে।

∆v = A=(1/2)hb+lb+(1/2)hb

বেগের পরিবর্তন ∆v = 180 m/s.

সমস্যা 4) বলের প্রাথমিক বেগ নির্ণয় করুন, যা 6m/s দিয়ে ত্বরান্বিত হচ্ছে² 8 সেকেন্ডের সময় সহ। বলের চূড়ান্ত বেগ হল 100 m/s.

সমাধান:

প্রদত্ত ডেটা: বলের ত্বরণ a = 6 m/s2।

সময় t = 8 সেকেন্ড।

চূড়ান্ত বেগ v_f = 100 মি/সেকেন্ড

সমীকরণ দ্বারা শরীরের প্রাথমিক বেগ খুঁজে বের করা হয়

v_i = ভি_f - এ

v_i = 100 – (6 × 8)

v_i = 100 - 48

v_i = 52 মি/সেকেন্ড

সমস্যা 5) একটি চলমান বস্তুর বেগের পরিবর্তন গণনা করুন যার প্রাথমিক বেগ 34 m/s। বস্তুর ত্বরণ 12 মি/সেকেন্ড², এবং সময়ের পরিবর্তন হল 7 সেকেন্ড।

সমাধান:

প্রদত্ত:

বস্তুর প্রাথমিক বেগ v_i = 34 মি/সেকেন্ড

বস্তুর ত্বরণ a = 12 m/s².

সময়ের পরিবর্তন t = 7 সেকেন্ড।

বস্তুর চূড়ান্ত বেগ দ্বারা দেওয়া হয়;

v_f = ভি_i + এ

v_f = 34 + (12*7)

v_f = 34 + 84

v_f = 118 মি/সেকেন্ড

বেগের পরিবর্তন দ্বারা দেওয়া হয়;

∆v = v_f - v_i

∆v = 118 – 34

∆v = ২৮ মি/সেকেন্ড।

সমস্যা 6) একটি ডিস্ক 25 মি/সেকেন্ডের প্রাথমিক বেগ নিয়ে চলে। ডিস্ক প্রতি 10 সেকেন্ডে তার গতিবেগ পরিবর্তন করে। ত্বরণের পরিবর্তন 5 মি/সেকেন্ড². ডিস্কের চূড়ান্ত বেগ গণনা করুন।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্য:

ডিস্কের প্রাথমিক বেগ v_i = 25 মি/সেকেন্ড

ত্বরণ পরিবর্তন ∆a = 5 m/s².

সময়ের পরিবর্তন ∆t = 10 সেকেন্ড।

বেগের পরিবর্তন হল

∆v = ∆a∆t

∆v = 5 × 10

∆v = ২৮ মি/সেকেন্ড।

নিচের সূত্রটি ব্যবহার করে ডিস্কের চূড়ান্ত বেগ গণনা করা যেতে পারে

∆v = v_f - v_i

50 = v_f - 25

v_f = 50 + 25

v_f = 75 মি/সেকেন্ড