ফাংশন তত্ত্বের একটি সম্পূর্ণ গাইড

সূচনা

গণিত কী? এটা কি গণনা? এটা কি যুক্তি? এটি কি প্রতীক? ছবি? গ্রাফ? দেখা যাচ্ছে, এগুলি সমস্ত কিছুই এবং আরও অনেক কিছু। এটি একটি ভাষা কিন্তু। সর্বজনীন ভাষা, এর প্রতীক, অক্ষর, অভিব্যক্তি, শব্দভাণ্ডার, ব্যাকরণ, সমস্ত কিছু যা একটি ভাষা করে তোলে, পুরোপুরি যুক্তিযুক্ত, অনন্য এবং তাদের অর্থের ক্ষেত্রে দ্ব্যর্থহীন। এটি সেই ভাষা যা মহাবিশ্বের আইন লিখিত হয়। তাই প্রকৃতির রহস্য উদঘাটিত করার জন্য আমাদের ভাষাটি শিখতে এবং অন্বেষণ করতে হবে। আমাদের অবশ্যই এই দর্শনের মাধ্যমে সবচেয়ে সুন্দর এবং মৌলিক গণিতের একটি বিষয়, ফাংশন থিওরির উপর আমাদের আলোচনা শুরু করতে হবে।

এক্সপ্রেশন, সরঞ্জাম এবং পরিচয়গুলি কী?

সমস্ত সংজ্ঞায়িত ভাষার মতো, গণিত তার নিজস্ব চিহ্ন এবং অক্ষর, সংখ্যা এবং বর্ণানুক্রমিক সেট নিয়ে আসে। গণিতে একটি প্রকাশ হ'ল এই জাতীয় চিহ্ন এবং চরিত্রের সংমিশ্রণ। এই সমস্ত এই ব্যাখ্যা করা হবে ফাংশন তত্ত্ব আলোচনা।

5 + 2 / (9-3)

7 এ + 2 বি -3 সি

2\cos{\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}\cos{\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)}

এগুলি সব গাণিতিক এক্সপ্রেশন। তাদের মূল্যায়ন করা যায় কিনা বা তা বিচার্য নয়, যদি সেগুলি অর্থবহ হয় এবং যদি তারা যথাযথ বাক্য গঠন অনুসরণ করে তবে তা প্রকাশ express

এখন, যখন আমরা একটি '=' চিহ্নের সাথে দুটি এক্সপ্রেশন তুলনা করি, তখন আমাদের মতো কিছু থাকে ...


(1 + এক্স) ^ {2}= 1 + 2x +এক্স ^ {2}

কোনটি = চিহ্নের দুপাশে দুটি অভিব্যক্তির সমতার জন্য একটি অভিব্যক্তি। দ্রষ্টব্য, এই সমতাটি x এর সমস্ত মানের জন্য সত্য। এই ধরণের সমতাগুলিকে আইডেন্টিটিস বলা হয়।


(1 + এক্স) ^ {2}= 2 + 3x + 2এক্স ^ {2} …… …… .. (1)

বা পছন্দ


(1 + এক্স) ^ {2}= 7-3x + 2এক্স ^ {2} ……। …… (২)

তারপরে এগুলি x এর সমস্ত মানের জন্য সত্য হবে না, বরং তারা x (2) এর মতো কিছু মানের জন্য সত্য হবে বা তারা x (1) এর মতো কোনও মানের ক্ষেত্রে সত্য হবে। এগুলিকে EQUATIONS বলা হয়।

সুতরাং সংক্ষেপে বলতে গেলে, ভেরিয়েবলের সমস্ত মানগুলির জন্য সমতাগুলি হ'ল পরিচয়। এবং ভেরিয়েবলগুলির কিছু বা কোনও মানের জন্য সমতাগুলি হ'ল EQUATIONS।

কেন আমরা ফাংশন কনসেপ্ট প্রয়োজন?

এটা কি আশ্চর্যজনক নয় যে মহাবিশ্ব এত নিখুঁত ভারসাম্যপূর্ণ? এতগুলি ছোট আকারের এমন বিশাল আকারের একটি সিস্টেম, যার প্রত্যেকটিতে অনেকগুলি ভেরিয়েবল একে অপরের সাথে ইন্টারঅ্যাক্ট করে, তবে এত ভাল আচরণ করে। দেখে মনে হচ্ছে না যে সমস্ত কিছু নিয়মের এক সেট দ্বারা নিয়ন্ত্রিত, অদৃশ্য তবে সর্বত্র বিদ্যমান? মহাকর্ষ বলের উদাহরণ নিন। এটি দেহের মধ্যকার দূরত্বের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক এবং এই নিয়মটি মহাবিশ্বের সর্বত্রই সমস্ত বিষয় অনুসরণ করে। সুতরাং, আমাদের অবশ্যই এই জাতীয় বিধিগুলি প্রকাশের একটি উপায় থাকতে হবে, যেমন ভেরিয়েবলের মধ্যে সংযোগ।

আমরা এই জাতীয় ভেরিয়েবল দ্বারা বেষ্টিত যা অন্যান্য ভেরিয়েবলগুলির উপর নির্ভর করে। কোনও বিল্ডিংয়ের ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতা এবং দিনের সময়ের উপর নির্ভর করে। গাড়িতে ভ্রমণ করা দূরত্ব তার ইঞ্জিন দ্বারা উত্পাদিত টর্কের উপর নির্ভর করে। এটি ফাংশন তত্ত্বের ধারণা যা আমাদের এ জাতীয় সম্পর্কগুলি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করতে সক্ষম করে।

সুতরাং ম্যাথে একটি ফাংশন কি?

ফাংশন বিধি বা ফাংশন আইন মত

এটি সহজভাবে বলতে গেলে, একটি ফাংশন এমন একটি নিয়ম যা দুটি বা ততোধিক ভেরিয়েবলকে আবদ্ধ করে। যদি ভেরিয়েবলগুলিকে কেবল আসল মানগুলি গ্রহণ করার অনুমতি দেওয়া হয় তবে এটি কেবল একটি অভিব্যক্তি যা কোনও নিয়ম বা নিয়মের একটি সেট সংজ্ঞায়িত করে যা নির্দিষ্ট প্রতিটি সংখ্যার জন্য একটি আসল সংখ্যা নির্ধারণ করে।

এখন এই সংজ্ঞাটির অবশ্যই কিছু স্পষ্টতা দরকার যা উদাহরণস্বরূপ দেওয়া হয়

1. নিয়ম যা প্রতিটি সংখ্যার জন্য সেই সংখ্যার ঘনককে নির্ধারণ করে।

চ (x) এর=এক্স ^ {3}

২. যে বিধি বরাদ্দ করে (এক্স ^ {2}-x-1) /এক্স ^ {3}  প্রতিটি এক্স

                   চ (x) এর = (এক্স ^ {2}-x-1) /এক্স ^ {3}

২. যে বিধি বরাদ্দ করে (এক্স ^ {2}-x-1) / (এক্স ^ {2}+ x + 1) সমস্ত x যা 1 এর সমান এবং 0 থেকে 1 নম্বরের নয়

                                        চ (x) এর= (এক্স ^ {2}-x-1) / (এক্স ^ {2}x ≠ 1 এর জন্য + x + 1)

                                                     = 0 এর জন্য x = 1

  • চ (x) এর =এক্স ^ {2}  -1 <x <π / 3 এর জন্য
  • যে বিধি বরাদ্দ করে

  2 থেকে 5 নম্বরে

  3 থেকে 8/3 নম্বর

  π / 2 থেকে 1 নম্বর

  এবং  বাকী

  • যে নিয়মটি একটি সংখ্যা এক্সকে নির্ধারিত করে, গণনা সীমাবদ্ধ হলে এর দশমিক প্রসারণের 1s এর সংখ্যা এবং যদি প্রসারণে অসীম বহু 0s থাকে।

এই উদাহরণগুলির মধ্যে একটি জিনিস খুব স্পষ্ট করা উচিত যে একটি ফাংশন এমন কোনও নিয়ম যা নির্দিষ্ট অন্যান্য সংখ্যার জন্য সংখ্যা নির্ধারণ করে। এই নিয়মগুলি বীজগণিত গঠনের মাধ্যমে সর্বদা প্রকাশযোগ্য নাও হতে পারে। এগুলি এমন কোনও অনন্য শর্তের দিকেও নির্দেশ নাও করতে পারে যা সমস্ত সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এটি নিয়ম হওয়ার দরকার নেই যা নিয়ম হিসাবে বাস্তব হিসাবে বা বাস্তব বিশ্বে সন্ধান করতে পারে rule নিয়মের মতো No বা এই সংখ্যাটি কোন সংখ্যাকে নির্ধারণ করে No অথবা। নিয়মটি কিছু সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, বিধি 2 x = 0 তে প্রযোজ্য নয়। নিয়মটি প্রয়োগ করে এমন সংখ্যার সেটটিকে ফাংশনের ওম বলা হয়।

Y = f (x) অর্থ কী?

দ্রষ্টব্য, আমরা কোনও ফাংশন লিখতে y = f (x) এক্সপ্রেশনটি ব্যবহার করছি। আমরা যখনই একটি অভিব্যক্তি শুরু করি  তারপরে আমাদের অর্থ হ'ল আমরা এমন একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে যাচ্ছি যা ভেরিয়েবল এক্সের মানগুলির সেট সহ সংখ্যার একটি সেট সম্পর্কিত।

ফাংশনটির একটি সম্পর্ক হিসাবে

সুতরাং, অন্য কথায়, এবং সম্ভবত আরও সাধারণ অর্থে, একটি ফাংশন দুটি সেট A এবং B এর মধ্যে একটি সম্পর্ক, যেখানে সেট A এর সমস্ত উপাদানগুলিকে সেট বি থেকে তাদের নির্ধারিত একটি উপাদান থাকে। বলা হয় চিত্রগুলি এবং সেট এ এর ​​উপাদানগুলিকে বলা হয় প্রাক-চিত্রসমূহ.

উপাদানগুলি সম্পর্কিত প্রক্রিয়া বলা হয় ম্যাপিং। অবশ্যই এই ম্যাপিংগুলি করা যায় এমন অনেকগুলি উপায় থাকতে পারে তবে আমরা তাদের সকলকে ফাংশন হিসাবে কল করব না। কেবলমাত্র সেগুলি ম্যাপিংগুলি যা উপাদানগুলিকে এমনভাবে সম্পর্কিত করে যে সেট এ এর ​​প্রতিটি উপাদানগুলিতে সেটের বিতে ঠিক একটি চিত্র থাকে, তাকে ফাংশন বলা যেতে পারে। এটি কখনও কখনও চ হিসাবে লেখা হয়: এ> বি। এটি 'এ থেকে বি তে একটি ফাংশন' হিসাবে পড়তে হবে।

সেট এটিকে বলা হয় DOMAIN এর ফাংশন এবং সেট বি কে বলা হয় CO-DOMAIN ফাংশন. যদি f এরকম হয় যে সেট A এর একটি এলিমেন্টের চিত্রটি B সেট B থেকে এলিমেন্ট বি হয়, তবে আমরা f (a) = b লিখি, 'f এর a এর সমান বি' হিসাবে পড়ি, বা 'b এর মান হবে এফ এর এ ', বা' বি একটি আন্ডার এফ এর চিত্র '।

ফাংশন টাইপ

ফাংশনগুলি দুটি সেটগুলির সাথে সম্পর্কিত বলে শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে।

এক - এক বা ইনজেকশন ফাংশন

ফাংশন তত্ত্ব: এক থেকে এক বা ইনজেকশন ফাংশন

চিত্রটি সব বলে। এটি যখন কোনও ফাংশন সেটের প্রতিটি উপাদানকে অন্য সেটের একটি অনন্য উপাদানের সাথে সম্পর্কিত করে, এটি এক থেকে এক বা ইনজেকশন ফাংশন।

অনেক - একটি ফাংশন

ফাংশন তত্ত্ব
ফাংশন তত্ত্ব: একাধিক টু ফাংশন

আবার চিত্রটি বেশ স্ব-ব্যাখ্যামূলক। স্পষ্টতই একটি নির্দিষ্ট চিত্রের একাধিক প্রাক চিত্র রয়েছে। অতএব ম্যাপিং একের কাছে অনেকগুলি। দ্রষ্টব্য, এটি কোনও ফাংশনের সংজ্ঞা লঙ্ঘন করে না কারণ সেট এ থেকে কোনও উপাদান সেট বিতে একাধিক চিত্র নেই

ওএনটিও ফাংশন বা সারজেক্টিভ ফাংশন

ফাংশন থিয়োরি: ওএনটিও ফাংশন বা সার্জেক্টিভ ফাংশন

যখন বি বি এর সমস্ত উপাদানগুলির কমপক্ষে একটি প্রাক চিত্র থাকে তখন ফাংশনটিকে ওন্টো বা সার্জেক্টিভ বলা হয়। ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রে এক থেকে এক বা অনেকের কাছে এক হতে পারে। উপরে চিত্রিত একটি ম্যাপিং থেকে স্পষ্টতই অনেকের এক। নোট করুন যে এক থেকে এক ম্যাপিং চিত্রিত করার জন্য আগে ব্যবহৃত ছবিটি ম্যাপিংয়ের উপরেও রয়েছে। এক থেকে একের ম্যাপিংয়ের ক্ষেত্রে এই ধরণের নাম হিসাবেও পরিচিত দ্বিখণ্ডিত ম্যাপিং.

ফাংশনে

ফাংশন তত্ত্ব: INTO ফাংশন

কোনও প্রাক চিত্র ছাড়াই কমপক্ষে একটি চিত্র থাকা অবস্থায় এটি একটি INTO ফাংশন। ফাংশনটিতে এক থেকে এক বা অনেকের মধ্যে এক হতে পারে। উপরে বর্ণিত একটি অবশ্যই একের মধ্যে এক।

একটি কাজ গ্রাফ

যেমনটি আগেই বলা হয়ে থাকে যে কোনও ফাংশন নির্দিষ্ট আসল সংখ্যাকে প্রকৃত সংখ্যা নির্ধারণ করে, তাই এক্সওয়াই কার্তেসিয়ান বিমানে সংখ্যার জোড় প্লট করা বেশ সম্ভব এবং সুবিধাজনক। পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করে প্রাপ্ত ট্রেসটি হ'ল ফাংশনের গ্রাফ।

আসুন একটি ফাংশন বিবেচনা করা যাক। তারপরে, আমরা তিনটি x এবং f (x) (1,2,3), (1,4) এবং (3,6) হিসাবে প্রাপ্ত x = 5,8 এ f (x) মূল্যায়ন করতে পারি। এই পয়েন্টগুলি প্লট করা এবং সেগুলি সংযুক্ত করে দেখায় যে ফাংশনটি এক্সওয়াই প্লেনে একটি সোজা রেখা চিহ্নিত করে। এই লাইনটি ফাংশনের গ্রাফ।

ফাংশন তত্ত্ব: একটি ফাংশন এর গ্রাফ_1

স্পষ্টতই, ফাংশনের জন্য প্রকাশের অনুসারে ট্রেসের প্রকৃতি পরিবর্তিত হবে। এইভাবে আমরা বিভিন্ন ধরণের এক্সপ্রেশনের জন্য রেফারেন্স পাই। কিছু দেওয়া হয়।

গ্রাফ  ,  এবং  বাম থেকে ডানে

ফাংশন তত্ত্ব: একটি ফাংশন এর গ্রাফ_2

এই মুহুর্তে, কেউ দেখতে পাবে যে কোনও ফাংশনের জন্য প্রকাশটি আসলে একটি সমীকরণের মতো দেখায়। এবং এটি উদাহরণস্বরূপ সত্য  আসলে একটি সমীকরণ পাশাপাশি একটি ফাংশন সংজ্ঞা। এটি আমাদের প্রশ্নটি নিয়ে আসে, সমস্ত সমীকরণের কাজগুলি কি? তা না হলে

কোনও সমীকরণ একটি ফাংশন কিনা তা কীভাবে বলবেন?

গ্রাফগুলিতে পূর্বে চিত্রিত সমস্ত সমীকরণগুলি আসলে ফাংশন, সেগুলির সকলের জন্য x এর কিছু মূল্যের জন্য ঠিক f (x) বা y এর একটি মান আছে। এর অর্থ হ'ল চ (এক্স) এর জন্য এক্সপ্রেশনটির কেবলমাত্র একটি মান পাওয়া উচিত যখন এক্স এর কোনও মানের জন্য মূল্যায়ন করা হয়। যে কোনও লিনিয়ার সমীকরণের ক্ষেত্রে এটি সত্য। তবে আমরা যদি সমীকরণটি বিবেচনা করি, আমরা দেখতে পেলাম যে সর্বদা 0 থেকে 1 এর মধ্যে সমস্ত x এর জন্য দুটি সমাধান থাকে, অন্য কথায়, এর চিত্রের মধ্যে x এর প্রতিটি মানের জন্য দুটি চিত্র নির্ধারিত হয়। এটি কোনও ফাংশনের সংজ্ঞা লঙ্ঘন করে এবং তাই কোনও ফাংশন বলা যায় না।

এটি গ্রাফ থেকে স্পষ্ট দেখতে হবে যে এক্স অক্ষের যে কোনও বিন্দুতে আঁকা একটি উল্লম্ব রেখা হিসাবে প্রতিটি এক্সের ঠিক দুটি চিত্র রয়েছে যা গ্রাফটি ঠিক দুটি পয়েন্টে কাটবে।

ফাংশন তত্ত্ব: একটি ফাংশন এর গ্রাফ_3

সুতরাং, এটি আমাদের একটি গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্তে নিয়ে আসে যে সমস্ত সমীকরণ ফাংশন হয় না। এবং কোনও সমীকরণ কোনও ফাংশন কিনা তা দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে উল্লম্ব লাইন পরীক্ষাযা এক্স অক্ষের প্রতিটি বিন্দুতে কেবল একটি পরিবর্তনশীল উল্লম্ব রেখার কল্পনা করে এবং এটি একটি বিন্দুতে গ্রাফের সাথে মিলিত হয় কিনা তা দেখে seeing

এটি আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নের উত্তর দেয়, যা হ'ল যদি একটি ফাংশন এক এক হয় কিভাবে বলতে হবে? অবশ্যই যথেষ্ট, সেই উত্তরটি গ্রাফেও রয়েছে এবং উল্লম্ব লাইন পরীক্ষার মাধ্যমে যাচাই করা যেতে পারে।

এখন, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে গ্রাফ না পেয়ে একই কথা বলার উপায় আছে কি না বা এটি বীজগণিতভাবে বলা যেতে পারে কারণ ফাংশনের গ্রাফগুলি আঁকানো সবসময় সহজ নয়। ভাল উত্তর হ্যাঁ, এটি কেবল f (a) = f (b) পরীক্ষা করে করা যেতে পারে যদি বোঝায় a = খ। এর অর্থ এটি হ'ল যদি f (x) x এর দুটি মানের জন্য একই মান গ্রহণ করে তবে x এর দুটি মান পৃথক হতে পারে না। আসুন ফাংশনটির একটি উদাহরণ নিই

y = (x-1) / (x-2)

যেহেতু কেউ লক্ষ্য করবেন যে এই ফাংশনের গ্রাফটি প্ল্যাটফর্ম করা শক্ত কারণ এটি প্রকৃতিতে অ-রৈখিক এবং কোনও পরিচিত বক্ররেখার বর্ণনা মাপসই করে না এবং এছাড়াও x = 2 এ সংজ্ঞায়িত করা হয়নি । সুতরাং, এই সমস্যাটি অবশ্যই উল্লম্ব লাইন পরীক্ষা থেকে আলাদা পদ্ধতির জন্য কল করে।

সুতরাং, আমরা লেট দিয়ে শুরু 

f (a) = f (b)

=> (a-1) / (a-2) = (খ -1) / (খ -2)

=> (ক -১) (খ -২) = (খ -১) (এ -২)

=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2

=> 2 এ + বি = 2 বি + এ

=> ২ (অব) = (অব)             

এটি কেবল সম্ভব possible ab = 0 বা a = খ

সুতরাং, ফাংশনটি প্রকৃতপক্ষে এক এক এবং আমরা গ্রাফিকিং ছাড়াই এটি প্রমাণ করেছি।

এখন, আমরা দেখতে চাই যে কোনও ফাংশন কখন এই পরীক্ষায় ব্যর্থ হয়। আমরা আগে পরীক্ষিত বৃত্তের সমীকরণটি পরীক্ষা করতে চাই। আমরা লিখে শুরু

f (a) = f (b)

=> \ [q বর্গ {1-একটি ^ {2}} = \ বর্গক্ষেত্র {1-খ ^ {2]

=>একটি ^ {2}=খ ^ {2

a2 =b2

=> a = b বা a = -b

যার সহজ অর্থ হ'ল a = b ব্যতীত অন্যান্য সমাধান রয়েছে, সুতরাং f (x) কোনও ফাংশন নয়।

এটি প্লট করার জন্যও তাত্পর্যপূর্ণ ? y = (x-1) / (x-2)?

আমরা আসন্ন নিবন্ধগুলিতে আরও বেশি বিশদে ফাংশনের গ্রাফিংয়ের বিষয়ে আলোচনা করতে যাচ্ছি তবে এখানে সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে গ্রাফিংয়ের মূল বিষয়গুলির সাথে পরিচিত হওয়া প্রয়োজন কারণ এটি সমস্যা সমাধানে অপরিমেয় সহায়তা করে। একটি ক্যালকুলাস সমস্যার একটি চাক্ষুষ ব্যাখ্যা প্রায়শই সমস্যাটিকে খুব সহজ করে তোলে এবং কোনও ফাংশনকে কীভাবে গ্রাফ করবেন তা জেনে রাখা একটি ভাল চাক্ষুষ ব্যাখ্যার মূল চাবিকাঠি।

সুতরাং, (x-1) / (x-2) এর গ্রাফ প্লট করা, আমরা কয়েকটি সমালোচনা পর্যবেক্ষণ করে শুরু করি

1. ফাংশন 0 এ হয় x = 1।

২. ফাংশনটি x = 2 এ অপরিবর্তিত হয়ে যায় .

৩. ফাংশনটি 3 ব্যতীত সর্বত্রই ইতিবাচক

কারণ এই ব্যবধানে (x-1) ইতিবাচক এবং (x-2) negativeণাত্মক, এটি তাদের অনুপাতটিকে negativeণাত্মক করে তোলে।

৪. এক্স-এ যাওয়ার সাথে সাথে ফাংশনটি নীচের দিক থেকে unityক্যের কাছে আসে যার অর্থ এটি 4 এর কাছাকাছি চলে যায় তবে সর্বদা 1 এর চেয়ে কম থাকে।

কারণ x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 হিসাবে | x | +2> | x | +1

৫. এক্স যেমন + to এ যায় তাই ফাংশনটি উপরের দিক থেকে unityক্যের কাছে আসে যার অর্থ এটি 5 এর কাছাকাছি চলে যায় তবে সর্বদা 1 এর চেয়ে বেশি থাকে।

X. এক্স বাম দিক থেকে 6 এ যাওয়ার সাথে সাথে ফাংশনটি -∞ এ চলে যায় ∞

X. এক্স ডান দিক থেকে ২ এ যাওয়ার সাথে সাথে ফাংশনটি + ∞ এ চলে যায় ∞

৮. ফাংশনটি সর্বদা x> 8 এর জন্য হ্রাস পাচ্ছে।

প্রুফ:

আমরা x এর দুটি ঘনিষ্ঠ মান নিয়ে থাকি (ক, খ) যেমন (ক, খ)> ২ এবং বি> এ

এখন, চ (খ) - চ (ক)

= (খ -১) / (খ -২) - (এ -১) / (এ -২)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

= (অব) / {(ক -২) (খ -২)}

<0 as (ab) <0 for b> a

এবং (a-2) (খ -2)> 0 হিসাবে (ক, খ)> 2

এটি চ (খ) বোঝায় 2, অন্য কথায় f (x) x> 2 এর জন্য কঠোরভাবে হ্রাস পাচ্ছে

  • 9. ফাংশনটি সর্বদা এক্স <2 এর জন্য হ্রাস পাচ্ছে
  • প্রুফ: আগের মতই আপনার চেষ্টা করার জন্য আমরা এটি রেখেছি।

এই পর্যবেক্ষণগুলির সংমিশ্রণ গ্রাফিংটি বেশ সহজ করে তোলে। 4,9 এবং 6 এর সংমিশ্রণে আমরা বলতে পারি যে x x -∞ থেকে 2 অবধি যায়, ট্রেসটি unityক্য থেকে শুরু হয় এবং ধীরে ধীরে x = 0 এ 1 স্পর্শ করতে থাকে এবং x = 2 এ আরও পড়ে যায়। আবার 7,5 এবং 8 এর সংমিশ্রণটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে এক্স 2 থেকে + ∞ ​​পর্যন্ত যাওয়ার সাথে সাথে ট্রেসটি + from থেকে পড়তে শুরু করে এবং unityক্যের কাছাকাছি চলে আসলে কখনও তা স্পর্শ করে না।

এটি সম্পূর্ণ গ্রাফটিকে দেখতে দেখতে দেয়

ফাংশন তত্ত্ব: একটি ফাংশন এর গ্রাফ_4

এখন এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে ফাংশনটি সত্যই এক থেকে এক।

উপসংহার

এখন পর্যন্ত আমরা ফাংশন তত্ত্বের মূল বিষয়গুলি নিয়ে আলোচনা করেছি। সংজ্ঞা এবং কার্যকারিতা সম্পর্কে আমাদের এখন পরিষ্কার হওয়া উচিত। আমরা ফাংশনগুলির গ্রাফিকাল ব্যাখ্যা সম্পর্কেও একটু ধারণা পেয়েছিলাম। পরবর্তী নিবন্ধটি পরিসর এবং ডোমেন, বিপরীত কার্যাদি, বিভিন্ন ফাংশন এবং তাদের গ্রাফ, এবং প্রচুর পরিমাণে সমস্যা সমাধানের মতো ধারণাগুলি সম্পর্কে আরও অনেক বিস্তারিত কভার করবে। অধ্যয়নের গভীরে যাওয়ার জন্য আপনাকে পড়তে উত্সাহ দেওয়া হচ্ছে

মাইকেল স্পিভাকের ক্যালকুলাস।

বীজগণিত মাইকেল আর্টিন দ্বারা।

আরও গণিতের নিবন্ধের জন্য দয়া করে এখানে ক্লিক করুন.

সৌরভ ভট্টাচার্য সম্পর্কে

আমি সৌরভ ভট্টাচার্য, পেশায় একজন টেলিকম ইঞ্জিনিয়ার এবং শখের দ্বারা গণিতের আফিকোনাডো। যাদবপুর বিশ্ববিদ্যালয় থেকে আমার ইঞ্জিনিয়ারিং শেষ করেছি।
আমি আমার বেশিরভাগ সময় বিভিন্ন ধরণের গাণিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যয় করি এবং আমি দৃ strongly়ভাবে বিশ্বাস করি যে একই জ্ঞান এবং অভিজ্ঞতা আমি এই দুর্দান্ত প্ল্যাটফর্ম ল্যাম্বডেগিক্সের মাধ্যমে ভাগ করব। আমি এমন উপায়ে উপস্থাপন করার চেষ্টা করি যে শিক্ষার্থীরা গণিতের প্রেমে পড়বে।
এমন একটি সংস্থার অংশ হওয়া আমার পক্ষে সম্মানের, যেখানে আমি যারা গণিত শিখতে চাই তাদের জ্বলিয়ে দিতে পারি।

মতামত দিন

আপনার ইমেইল প্রকাশ করা হবে না। প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রগুলি * চিহ্নিত করা আছে।

লাম্বদা গিক্স