বিপরীত গামা বিতরণ | এর 6 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

বিপরীত গামা বিতরণ এবং গামা বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য

      গামা বিতরণের সাথে ধারাবাহিকতায় আমরা বিপরীত গামা বিতরণ এবং মুহুর্ত উত্পন্নকরণের ফাংশন, কেন্দ্রীয় প্রবণতাগুলির পরিমাপ, গামা বিতরণের প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যগুলি অনুসরণ করে গামা বিতরণের মধ্যমা এবং গড়ের পরিমাপের ধারণাটি দেখতে পাব।

গামা বিতরণ বৈশিষ্ট্য

গামা বিতরণের কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে

গামা বিতরণের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

f (x) = \ شروعات {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \\ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

or

f (x) = \ আরম্ভ {কেস}} frac {e ^ {- \ frac {x} {\ বিটা}} (x) {\ \ আলফা -1} {{\ বিটা ^ \ {আলফা} au তাউ (\ আলফা)}, & \ x \ geq 0 \\ \ 0 & <x <0 \ শেষ {কেস}

যেখানে গামা ফাংশন

\ তাউ (\ আলফা) = \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {- ওয়াই} ওয়াই ^ {\ আলফা -1} ডায়

2. গামা বিতরণের জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন

f (a) = P (X \ in (- \ infty, a]) = \ int _ {- ty infty} ^ {a} f (x) dx

যেখানে f (x) হ'ল উপরের সিডিএফ-তে প্রদত্ত সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন

এফ (এক্স) = \ শুরু {কেস} 0, এবং \ x \ লেক 0, \ rac frac {1} {\ তাউ (pha আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা} \ \ ইন্ট_ {0} ^ {x} y ^ {\ আলফা -1} ই ^ - {(y / \ বিটা) y ডিআই ও \ x> 0 \ শেষ {কেস}

  • গামা বিতরণের গড় এবং বৈকল্পিকতা

ই [এক্স] = {\ আলফা \ ল্যাম্বদা}

এবং

ভার (এক্স) = {{\ আলফা} \ ল্যাম্বদা} ^ 2

যথাক্রমে বা

ই [এক্স] = α * β

এবং

ভার (এক্স) = {{\ আলফা} \ বিটা} ^ 2

  • গামা বিতরণের জন্য মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এম (টি)

= \ বাম (\ frac {1} {1- a বিটা টি \ \ ডান) ^ {\ আলফা} \ \ যদি \ \ t <\ frac {1} {\ বিটা}

or

= \ বাম (\ frac {\ ল্যাম্বদা} {mb ল্যাম্বদা - টি} \ ডান) ^ {\ আলফা

  • পিডিএফ এবং সিডিএফ এর বক্ররেখা হয়
বিপরীত গামা বিতরণ
  • ইনভার্স গামা বিতরণকে গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ক্রিয়াটি গ্রহণ করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

f (x) = \ start {কেস} rac frac {e ^ - {\ frac {1} {\ বিটা x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ আলফা -1}} {\ বিটা ^ {\ আলফা} au তাউ (\ আলফা)} & \ x \ geq 0 \\ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

  • স্বতন্ত্র গামা বিতরণের যোগফল আবার প্যারামিটারের যোগফল সহ গামা বিতরণ।

বিপরীত গামা বিতরণ | স্বাভাবিক বিপরীত গামা বিতরণ

                সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন গামা বিতরণ যদি

f (x) = \ شروعات {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

or

f (x) = \ আরম্ভ {কেস}} frac {e ^ {- \ frac {x} {\ বিটা}} (x) {\ \ আলফা -1} {{\ বিটা ^ \ {আলফা} au তাউ (\ আলফা)}, & \ x \ geq 0 \\ \ 0 & <x <0 \ শেষ {কেস}

আমরা পরিবর্তনশীল পারস্পরিক বা বিপরীতমুখী গ্রহণ করি তখন সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন হবে

f (x) = \ start {কেস} rac frac {e ^ - {\ frac {1} {\ বিটা x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ আলফা -1}} {\ বিটা ^ {\ আলফা} au তাউ (\ আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

সুতরাং এই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ এলোমেলো পরিবর্তনশীল ইনভার্স গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা বিপরীত গামা বিতরণ বা বিপরীত গামা বিতরণ হিসাবে পরিচিত।

f_ {Y} (y) = f_ {X} (1 / y) \ বাম | rac frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} y} y ^ {- 1} \ ডান |

= rac frac {1} {\ তাউ (pha আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা}} y ^ {- \ আলফা +1} ই ^ {(- 1 / \ বিটা y)} y ^ {- 2}

= rac frac {(\ frac {1} {\ বিটা}) ^ {\ আলফা}} {au তাউ (\ আলফা)} y ^ {- \ আলফা -1} ই ^ {(- 1 / \ বিটা) / y }

উপরের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন যে কোনও প্যারামিটারে আমরা লাম্বদা আকারে নিতে পারি বা থিটা সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন যা গামা বিতরণের পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ হ'ল বিপরীত গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন।

সংক্রামিত বিতরণ ফাংশন বা বিপরীত গামা বিতরণের সিডিএফ

                বিপরীত গামা বিতরণের জন্য ক্রম বিতরণ ফাংশন হ'ল বিতরণ ফাংশন

f (a) = P (X \ in (- \ infty, a]) = \ int _ {- ty infty} ^ {a} f (x) dx

যার মধ্যে f (x) হ'ল বিপরীত গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

f (x) = \ start {কেস} rac frac {e ^ - {\ frac {1} {\ বিটা x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ আলফা -1}} {\ বিটা ^ {\ আলফা} au তাউ (\ আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

বিপরীত গামা বিতরণের গড় এবং বৈচিত্র

  প্রত্যাশা এবং প্রকরণের স্বাভাবিক সংজ্ঞা অনুসরণ করে বিপরীত গামা বিতরণের গড় এবং প্রকরণটি হবে

ই [এক্স] = \ ফ্র্যাক {\ বিটা} {\ আলফা -1} \ \, \ আলফা> 1

এবং

বর্ণ [এক্স] = rac ফ্রাক {\ বিটা ^ {2}} {(\ আলফা -1) ^ {2} (\ আলফা -2)} \ \, \ আলফা> 2

বিপরীত গামা বিতরণ প্রমাণের গড় এবং বৈকল্পিক

        সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন ব্যবহার করে বিপরীত গামা বিতরণের গড় এবং তারতম্য পেতে

f (x) = \ start {কেস} rac frac {e ^ - {\ frac {1} {\ বিটা x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ আলফা -1}} {\ বিটা ^ {\ আলফা} au তাউ (\ আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

এবং প্রত্যাশার সংজ্ঞা, আমরা প্রথমে x এর কোনও পাওয়ারের জন্য প্রত্যাশা খুঁজে পাই

E (X ^ {n}) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {au tau (\ alpha) \ \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} x ^ {- \ আলফা - 1} ই ^ {(- \ বিটা / এক্স)} ডেক্স

E (X ^ {n}) = \ frac {\ বিটা {{\ আলফা}} {\ তাউ (\ আলফা) \ \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {n- \ আলফা -1} ই ^ {(- \ বিটা / এক্স)} ডেক্স

ই (এক্স ^ {এন}) = \ ফ্র্যাক {\ বিটা {{\ আলফা}} {\ তাউ (\ আলফা-এন) \ rac ফ্রেটা {au তাউ (\ আলফা-এন) {\ a বিটা ^ {\ আলফা-এন} }

= \ frac {\ বিটা ^} n} \ তাউ (\ আলফা-এন)} {(\ আলফা -1)…। (pha আলফা-এন) au তাউ (\ আলফা-এন)}

= \ frac {\ বিটা {} n}} {(\ আলফা -1)…। (pha আলফা-এন)}

উপরের অবিচ্ছেদ্য হিসাবে আমরা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করেছি

f (x) = \ frac {\ বিটা ^ {\ আলফা}} {au তাউ \ আলফা} x ^ {- \ আলফা -1} ই ^ {(- \ বিটা / এক্স)

এখন একের চেয়ে বড় ও n এর মান বেশি for

E (X) = \ frac {\ বিটা} {\ আলফা -1

একইভাবে n = 2 এর মান 2 এর চেয়ে বেশি আলফার জন্য

ই (এক্স ^ {2}) = \ ফ্র্যাক {\ বিটা ^ {2}} {(\ আলফা -1) (\ আলফা -2)}

এই প্রত্যাশাগুলি ব্যবহার করে আমাদের হিসাবে বৈচিত্র্যের মান দেবে

ভার (এক্স) = ই (এক্স ^ {2}) -ই (এক্স) ^ {2} = \ ফ্র্যাক {\ বিটা ^ {2}} {(pha আলফা -1) ^ {2} (\ আলফা -2) }

ইনভার্স গামা বিতরণ প্লট | বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ

                বিপরীত গামা বিতরণ গামা বিতরণের পারস্পরিক কাজ তাই গামা বিতরণ পর্যবেক্ষণ করার সময় সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপযুক্ত বিপরীত গামা বিতরণের কার্ভগুলির প্রকৃতিটি পর্যবেক্ষণ করা ভাল as

f (x) = \ start {কেস} rac frac {e ^ - {\ frac {1} {\ বিটা x}} (\ frac {1} {x}) ^ {\ আলফা -1}} {\ বিটা ^ {\ আলফা} au তাউ (\ আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

এবং নিম্নলিখিত দ্বারা ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন

F (a) = P (X \ in (- \ infty, a]) = \ int _ _ - \ infty} ^ {a} f (x) dx

বিপরীত গামা বিতরণ
বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ

বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং of এর মান হিসাবে 1 নির্ধারণ করে এবং β এর মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি β

বিপরীত গামা বিতরণ
বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ

বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং distribution এর মান 2 হিসাবে স্থির করে এবং β এর মান পৃথক করে সংশ্লেষিত বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

বিপরীত গামা বিতরণ
বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ

বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং of এর মান হিসাবে 3 নির্ধারণ করে এবং β এর মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি β

বিপরীত গামা বিতরণ
বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ

বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং cum এর মান হিসাবে 1 নির্ধারণ করে এবং α এর মান পৃথক করে সংশ্লেষ বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি α

বিপরীত গামা বিতরণ
বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ

বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং distribution এর মান 2 হিসাবে স্থির করে এবং α এর মান পৃথক করে সংশ্লেষিত বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি

বিপরীত গামা বিতরণ
বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ

বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং cum এর মান হিসাবে 3 নির্ধারণ করে এবং α এর মান পৃথক করে সংশ্লেষ বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি α

গামা বিতরণের মুহূর্ত তৈরির কাজ

গামা বিতরণের জন্য মুহূর্ত উত্পন্নকরণের ধারণাটি বোঝার আগে আসুন আমরা মুহুর্ত তৈরির ফাংশনের কিছু ধারণা প্রত্যাহার করি

মারার

    র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তটি প্রত্যাশার সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়

{\ mu_ {r}} '= ই (এক্স ^ {আর})

এটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর আর-ম মুহূর্ত হিসাবে পরিচিত এটি উত্স সম্পর্কে মুহূর্ত এবং সাধারণত কাঁচা মুহুর্ত হিসাবে পরিচিত।

     আমরা যদি গড় হিসাবে প্রায় এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর আর ম মুহূর্ত গ্রহণ

{\ mu_ {r}} = ই [(এক্স- \ মিউ) ^ {আর}]

গড় সম্পর্কে এই মুহুর্তটি কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হিসাবে পরিচিত এবং প্রত্যাশাটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে প্রকৃতি অনুযায়ী হবে

{\ mu_ {r}} = \ যোগ (X- \ mu) ^ {r} f (x) \ \ (পৃথক \ \ পরিবর্তনশীল)

{\ mu_ {r}} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (X- \ mu) ^ {r} f (x) \ \ (ধারাবাহিক \ \ পরিবর্তনশীল)

কেন্দ্রীয় মুহুর্তে যদি আমরা আর এর মান রাখি তবে আমরা কিছু প্রাথমিক মুহুর্ত পাই

{\ মু} {0} = 1, {\ মিউ} {1} = 0, {\ মিউ} _ {2} = \ সিগমা ^ {2}

যদি আমরা কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলিতে দ্বিপদী প্রসার গ্রহণ করি তবে আমরা কেন্দ্রীয় এবং কাঁচা মুহুর্তগুলির মধ্যে সহজেই সম্পর্কটি পেতে পারি

{\ মু} {আর} = {\ মু} ' {আর} - \ বিনোম {আর} {1} {\ মিউ}' {আর -1} {\ মিউ} +… .. + (+ 1) ^ { জে \ \ বিনোম {আর} {জে} {\ মু} ' {আরজে} {\ মু} ^ {জ} +… .. + (+ 1) ^ {^ {আর}} {মু}' _ {0 } {\ মিউ} ^ {আর}

প্রাথমিক সম্পর্কগুলির কয়েকটি নিম্নরূপ

{\ মু} ' {1} = {\ মিউ} \ \ এবং \ \ {\ মিউ}' {0} = 1, \ \ \ {\ মু} {2} = {{মিউ} ' {2} - { \ মু} ^ {2} \ {\ মু} {3} = {\ মিউ} ' {3} -3 {\ মিউ}' {2} {\ মিউ} +2 {\ মিউ} ^ {3} \ { \ মু} {4} = {\ মিউ} ' {4} -4 {\ মু}' {3} {\ মিউ} +6 {\ মিউ} ' {2} {\ মিউ} {2} -3 { \ মু} ' {4

মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন

   যে ফাংশনটি আমরা ফাংশনটির সাহায্যে উত্পন্ন করতে পারি সেই মুহুর্তগুলি মুহূর্ত উত্পন্নকরণ ফাংশন হিসাবে পরিচিত এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়

এম_ {এক্স} (টি) = ই (ই ^ {টিএক্স})

এই ফাংশনটি ফর্মের উভয়টিতে ক্ষতিকারক ক্রিয়াকলাপের প্রসারণের সহায়তায় মুহূর্তগুলি উত্পন্ন করে

M_ {X} (t) = \ যোগ ই ^ {tX} f (x) \ \ (পৃথক \ \ ভেরিয়েবল) \ এম_ {এক্স} (টি) = \ অন্তঃ _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {tX} f (x) \ \ (ধারাবাহিক \ \ পরিবর্তনশীল)

টেলররা হিসাবে হিসাবে ফর্ম ব্যবহার

এম_ {এক্স} (টি) = 1 + \ মিউ টি + \ মিউ ' {2} \ ফ্র্যাক {টি ^ ^ 2}}} 2!} +…। + \ মিউ' {আর} \ ফ্র্যাক {টি ^ {আর } {r!} + ..

এই প্রসারিত ফাংশনটিকে টির সাথে আলাদা করে আলাদা মুহুর্তগুলিকে দেয়

\ মিউ ' {আর} = \ ফ্র্যাক {\ ম্যাথর্ম {ডি ^ {আর}}} {{ th এমআরএফ t (টি) \ লিভার_ {টি = 0}

অন্য উপায়ে যদি আমরা ডেরাইভেটিভকে সরাসরি হিসাবে নিই

এম '(টি) = rac ফ্র্যাক {\ ম্যাথার্ম {ডি}} {\ ম্যাথার্ম {ডি} টি} ই [ই ^ {টিএক্স}] \ = ই \ বাম [\ ফ্র্যাক {\ ম্যাথার্ম {ডি}} {\ ম্যাথর্ম r d} t} (e ^ {tX}) \ ডান] \ = E \ বাম [Xe ^ {tX} \ ডান]

উভয় বিযুক্ত জন্য

rac frac {\ mathrm {d}} {\ th mathrm {d} t} \ বাম [\ যোগ_ {x} ই ^ x tx} পি (এক্স) \ ডান] = \ যোগ_ {x} \ frac {\ গণিত {d }} {\ গণিত {d} t} [ই ^ ^ tx} পি (এক্স)]

এবং অবিচ্ছিন্ন আমাদের আছে

rac frac {\ mathrm {d}} {{th mathrm {d} t} \ বাম [\ int e ^ {tx} f (x) dx \ ডান] = \ int \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} [e ^ {tx} f (x)] dx

সুতরাং টি = 0 এর জন্য আমরা পাব

এম '(0) = ই [এক্স]

তেমনি

এম '' (টি) = rac ফ্র্যাক {\ ম্যাথর্ম {ডি}} {\ ম্যাথার্ম {ড} টি} এম '(টি) \ = \ ফ্রেচ {\ ম্যাথর্ম {ডি}} {th ম্যাথর্ম {ডি} টি} ই [ Xe ^ {tX}] \ = E \ বাম [\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (Xe ^ {tX}) \ ডান]] E = ই [এক্স ^ {2} ই ^ {tX}]

as

এম '' (0) = ই [এক্স ^ {2}]

এবং সাধারণভাবে

এম ^ {n} (টি) = ই [এক্স ^ {एन} ই ^ {টিএক্স}] \ \ n \ গিক 1 \ এম ^ {n} (0) = ই [এক্স ^ {n}] \ \ n \ geq 1

এই মুহূর্তটি উত্পন্ন করার জন্য দুটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক রয়েছে

এম _ {(এক্স + এ) / বি} (টি) = ই ^ {এ / বি}] এম_ {এক্স} (টি / বি) \ এম _ {(এক্স + ওয়াই)} (টি) = এম_ {এক্স} (টি ) এম_ {ওয়াই} (টি)

মুহূর্তে গামা বিতরণের ফাংশন | মিলিগ্রাম গামা বিতরণ | গামা বিতরণের জন্য মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন

এখন গামা বিতরণের জন্য পিডিএফের জন্য মুহুর্তে ফাংশন এম (টি) তৈরি করছে

f (x) = \ আরম্ভ {কেস}} frac {e ^ {- \ frac {x} {\ বিটা}} (x) {\ \ আলফা -1} {{\ বিটা ^ \ {আলফা} au তাউ (\ আলফা)}, & \ x \ geq 0 \ \ 0 & <x <0 \ শেষ {কেস}

is

= \ বাম (\ frac {1} {1- a বিটা টি \ \ ডান) ^ {\ আলফা} \ \ যদি \ \ t <\ frac {1} {\ বিটা}

এবং পিডিএফ জন্য

f (x) = \ شروعات {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন হয়

= \ বাম (\ frac {\ ল্যাম্বদা} {\ ল্যাম্বদা -t} \ ডান) ^ {\ আলফা

গামা বিতরণ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন প্রমাণ | গামা বিতরণের প্রমাণের মিলিগ্রাম

    এখন হিসাবে হিসাবে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রূপ গ্রহণ করুন

f (x) = \ شروعات {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

এবং আমাদের কাছে মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এম (টি) এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে

এম_ {এক্স} (টি) = ই (ই ^ {টিএক্স})

= ই \ বাম [ই ^ {tX} \ ডান]] \ = \ ফ্র্যাক {\ ল্যাম্বদা ^ \ \ আলফা}} {au তাউ (\ আলফা) \ \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {টিএক্স} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} এক্স ^ {\ আলফা -1} ডিক্স \ = \ ফ্র্যাক {\ লাম্বদা {{\ আলফা}} {au তাউ (\ আলফা) \ \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ { - (\ ল্যাম্বদা -টি) x} x ^ {\ আলফা -1} ডেক্স \ = \ ফ্র্যাক {\ লাম্বদা {{\ ল্যাম্বদা -টি} ^ {\ আলফা \ rac ফ্রাক {1} {au তাউ (\ আলফা)} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ আলফা -1 y dy \ \ \ \ [লিখেছেন \ \ y = (\ লাম্বদা -t) x] \ = \ frac {\ ল্যাম্বদা mb {t ল্যাম্বদা -টি} ^ {\ আলফা

এই ফাংশনটি আমরা দু'বার পেয়ে যাব তার সাথে পার্থক্য হিসাবে মুহূর্ত তৈরির ফাংশনটির সাহায্যে গামা বিতরণের গড় এবং তারতম্যটি আমরা খুঁজে পেতে পারি

= rac frac {\ আলফা \ ল্যাম্বদা ^ {\ আলফা}} {(\ ল্যাম্বদা -টি) ^ {\ আলফা +1}} \\ = \ frac {\ আলফা (pha আলফা +1) \ লাম্বদা ^ {\ আলফা} } {(\ ল্যাম্বদা -t) ^ {\ আলফা +2}

যদি আমরা t = 0 রাখি তবে প্রথম মান হবে

ই [এক্স] = \ ফ্র্যাক {\ আলফা} {mb ল্যাম্বদা}

এবং

ই [এক্স ^ {2}] = \ ফ্র্যাক {\ আলফা (\ আলফা +1)} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}

এখন এই প্রত্যাশার মানটি .ুকিয়ে দিন

ভার (এক্স) = ই [এক্স ^ {2}] -ই [এক্স] ^ {2} \ ভার (এক্স) = \ ফ্র্যাক {\ আলফা (\ আলফা +1) {\ \ ল্যাম্বদা ^ {2}} - \ frac {\ alpha ^ {2}} {\ lambda ^ {2}} \ Var (X) = \ frac {\ alpha ^ {2} + \ alpha} \ mb লাম্বদা ^ {2}} - rac frac {\ আলফা ^ {2}} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}} = \ ফ্র্যাক {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}}

পর্যায়ক্রমে ফর্মের পিডিএফের জন্য

f (x) = \ আরম্ভ {কেস}} frac {e ^ {- rac frac {x} {\ বিটা}} (x) {\ pha আলফা -1} {{\ বিটা ^ \ pha আলফা} au তাউ (\ আলফা)}, & \ x \ geq 0 \\ \ 0 & <x <0 \ শেষ {কেস}

মুহুর্তে উত্পাদনের কাজটি হবে

এম (টি) = rac ফ্র্যাক {1} {\ তাউ (pha আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা}} \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {^ (এক্স (টি -1 / \ বিটা)} x ^ {\ আলফা -1} dx \ = \ বাম (\ frac {1} {1- a বিটা টি} \ ডান) ^ \ pha alpha} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {y ^ { pha আলফা -1} ই ^ {- ওয়াই}} {au তাউ (\ আলফা) y ডাই \ \, \ \ টি <\ ফ্র্যাক {1} {\ বিটা} \ = (1- \ বিটা টি) ^ {- \ আলফা} \ \ t <\ frac {1} {\ বিটা}

এবং পৃথক করে এবং t = 0 লাগানোর অর্থ নীচে নীচে এবং ভিন্নতা দেবে

EX = M '(t) \ lvert_ {t = 0} = \ আলফা \ বিটা, \ EX ^ {2} = এম' '(টি) \ lvert_ {t = 0} = \ আলফা (pha আলফা +1) \ বিটা ^ {2}, \ ভার (এক্স) = \ আলফা \ বিটা ^ {2

গামা বিতরণের দ্বিতীয় মুহূর্ত

   গামার বিতরণের দ্বিতীয় মুহুর্তটি দুটি মুহুর্তের কার্যটি দুটি বারের মধ্যে আলাদা করে এবং সেই ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভে টি = 0 এর মান রাখার মাধ্যমে আমরা পাব

ই [এক্স ^ {2}] = \ ফ্র্যাক {\ আলফা (\ আলফা +1)} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}

গামা বিতরণের তৃতীয় মুহূর্ত

                গামা বিতরণের তৃতীয় মুহুর্তটি আমরা তিনবারের মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটিকে আলাদা করে এবং মিলিগ্রামের তৃতীয় ডেরাইভেটিভে টি = 0 এর মান রেখে আমরা পাই

ই [এক্স ^ {3}] = \ ফ্র্যাক {\ আলফা (\ আলফা +1) (\ আলফা +2)} {\ ল্যাম্বদা ^ {3}}

বা সরাসরি হিসাবে সংহত করে

ই [এক্স ^ {3}] = \ ইনট_ {0} ^ {\ ইনফটি} এক্স ^ {3} এফ_ {এক্স} (এক্স) ডিএক্স \ = \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} \ ফ্র্যাক {\ ল্যাম্বদা ^ {\ আলফা} x ^ {3+ \ আলফা -1} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স}} {\ তাউ (\ আলফা)} ডিএক্স \ = \ ফ্র্যাক {1} {\ ল্যাম্বদা ^ {3}} \ ইন_ { 0} ^ {\ infty} rac frac {\ lambda {\ pha আলফা +3} x ^ {3+ \ আলফা -1} ই ^ {- mb লাম্বদা এক্স}} {au তাউ (\ আলফা)} ডিএক্স \ = \ frac {\ তাউ (pha আলফা +3)} {\ ল্যাম্বদা {{3} au তাউ (\ আলফা) \ \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ ল্যাম্বদা ^ \ pha আলফা +3} এক্স ^ { 3+ \ আলফা -1} ই ^ {- \ ল্যাম্বদা এক্স}} {\ তাউ (\ আলফা +3)} dx

 গামা বিতরণের জন্য সিগমা

   সিগমা বা গামা বিতরণের মানক বিচ্যুতি আমরা গামার প্রকারের বিতরণের বিভিন্নতার বর্গমূল গ্রহণ করে খুঁজে পেতে পারি

ভার (এক্স) = \ আলফা \ বিটা {{2}

or

ভার (এক্স) = \ ফ্রাক {\ আলফা} {\ ল্যাম্বদা {{2}

আলফা, বিটা এবং ল্যাম্বডা কোনও সংজ্ঞায়িত মানের জন্য।

গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্যযুক্ত কার্য | গামা বিতরণ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন

      মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনটিতে চলক টি যদি বিশুদ্ধভাবে t = iω হিসাবে একটি কাল্পনিক সংখ্যা হয় তবে ফাংশনটি গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন হিসাবে পরিচিত এবং হিসাবে প্রকাশিত হয়

i ফাই_ {এক্স} (\ ওমেগা) = এম_ {এক্স} (আই \ ওমেগা) = ই (ই ^ {আই \ ওমেগা এক্স})

যে কোনও এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন হবে

i ফাই_ {এক্স} (\ ওমেগা) = \ সমষ্টি ই (ই ^ {{আই ome ওমেগা এক্স}) ফ (এক্স) \ \ (পৃথক \ \ ভেরিয়েবল) \ \ ফাই_ {এক্স} (\ ওমেগা) = \ অন্তঃ _ {- \ infty} ^ {\ infty} E (e ^ {i \ ওমেগা X}) f (x) \ \ (ধারাবাহিক \ \ পরিবর্তনশীল) \

সুতরাং গামা বিতরণের জন্য গামা বিতরণের পিডিএফ অনুসরণ করে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি

i phi_ {X} (\ ওমেগা) = (1-i \ বিটা \ ওমেগা) ^ {- \ আলফা}

অনুসরণ

\ int _ {- ty infty} ^ {{\ infty} x ^ {\ আলফা -1} ই ^ {- এক্স} (1-i \ বিটা টি) / \ বিটা ডিএক্স = ((1-i \ বিটা টি) / \ বিটা) ^ {- pha আলফা} \ অন্ত_ {0} ^ {\ ইনফটি} এক্স ^ {\ আলফা -1} ই ^ {- এক্স} ডেক্স = \ তাউ (pha আলফা) \ বিটা ^ {\ আলফা 1 (XNUMX- আমি \ বিটা টি) ^ {- \ আলফা

এই বৈশিষ্ট্য ফাংশন অন্য ফর্ম এছাড়াও যদি

এম_ {এক্স} (টি) = (1- \ ফ্র্যাক {2 ঘ} {n} t) ^ {- n / 2}

তারপর

\ phi_ {X} (টি) = (1- \ frac {2h} {n} এটি) ^ {- n / 2}

গামা বিতরণের যোগফল | ঘনঘন বিতরণ গামার যোগফল

  গামা বিতরণের যোগফলের ফলাফল জানতে আমাদের প্রথমে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলটি বুঝতে হবে, এর জন্য আমাদের ক্রমাগত র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কাজগুলি করতে হবে তারপরে যোগফলের জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের হবে

এফ_ {এক্স} + _ {ওয়াই} (ক) = পি {(এক্স + ওয়াই q লেক এ)} \ \
= int ইিন্ট {এক্স + ওয়াই \ লেক এ }ফ_ {এক্স} (এক্স) এফ_ {ওয়াই} (ই) ডেক্স ডাই \ = \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ { ay} f_ {X} (x) f_ {Y} (y) dx dy \ = \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ y ay} f_ {X} (x) dx f_ {Y} (y) dy \ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy

এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনগুলির জন্য ইন্টিগ্রালের এই কনভোলশনকে পৃথক করে এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশন দেবে

F_ {X} + {Y} (a) = \ frac {\ mathrm {d}} {{mathrm {d} a} \ int {- \ infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay) f_ { Y} (y) dy \ = \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d}} {th th mathrm {d} a} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y ) dy \ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy

এখন আসুন আমরা প্রমাণ করি যে যদি X এবং Y যথাক্রমে ঘনত্বের ফাংশন সহ গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় তবে সেখানে যোগফলগুলি একই পরামিতিগুলির যোগফলের সাথে গামা বিতরণ হবে

ফর্মটির সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন বিবেচনা করে

f (x) = \ start {কেস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) ^ {pha আলফা -1} {{au তাউ (pha আলফা)} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য আলাটিকে এস হিসাবে এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য ওয়াই আলফাটিকে তাই হিসাবে গ্রহণ করুন যাতে আমাদের কাছে এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের যোগফলের ঘনত্ব ব্যবহার করে

F_ {X} + {Y} (a) = \ frac {1} {\ গামা (গুলি) am গামা (টি) \ \ int {0} ^ {a} \ লাম্বদা ই ^ {- \ ল্যাম্বদা (আই)} (\ ল্যাম্বদা (আই)) ^ {এস -1} mb লাম্বদা ই ^ \ - mb ল্যাম্বদা ওয়াই} (mb ল্যাম্বদা ওয়াই) {{টি -1} ডায়

এখানে সি একটি থেকে স্বতন্ত্র, এখন মান হবে

এফ_ {এক্স} + _ {ওয়াই} (ক) = \ ফ্র্যাক {mb ল্যাম্বদা ই ^ {- \ লাম্বদা এ} (\ ল্যাম্বদা এ) ^ {এস + টি -১}} {\ গামা (এস + টি)}

যা এক্স এবং ওয়াইয়ের যোগফলের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশনকে উপস্থাপন করে এবং যা গামা বিতরণে, তাই গামা বিতরণের যোগফলটিও প্যারামিটারগুলির যোগফলের মাধ্যমে গামা বিতরণকে উপস্থাপন করে।

গামা বিতরণ মোড

    গামা বিতরণের মোডটি সন্ধান করতে আসুন আমরা সম্ভাব্যতার ঘনত্বের ফাংশনটি বিবেচনা করি

f (x) = \ start {কেসস} rac frac {\ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা এক্স} (\ লাম্বদা এক্স) am {pha আলফা -1}} {\ গামা (pha আলফা)} & \ x \ গিক 0 \ \ 0 & \ x <0 \ শেষ {কেস}

এক্স এর সাথে এই পিডিএফটিকে এখন আলাদা করুন, আমরা পার্থক্যটি পেয়ে যাব

= rac frac {\ ল্যাম্বদা {\ pha আলফা}} {\ গামা (\ আলফা)} ই ^ {- \ লাম্বদা এক্স} [(\ আলফা -1) x ^ {\ আলফা -2} - \ লাম্বদা এক্স ^ {\ alpha -1}] = \ frac {\ lambda ^ {\ alpha}} {am Gamma (\ alpha)} e ^ {- mb লাম্বদা এক্স} [(\ আলফা -1) x ^ {\ আলফা -2} [( \ আলফা -1) - \ ল্যাম্বদা এক্স]]

এটি x = 0 বা x = (α -1) / for এর জন্য শূন্য হবে λ

সুতরাং এগুলি কেবলমাত্র সমালোচনামূলক পয়েন্ট যেখানে আমাদের প্রথম ডেরাইভেটিভ শূন্য হবে যদি আলফা বৃহত্তর বা শূন্যের সমান হয় তবে x = 0 মোড হবে না কারণ এটি পিডিএফ শূন্য করে তোলে সুতরাং মোডটি (α -1) / λ হবে

এবং আলফার জন্য কঠোরভাবে একের চেয়েও অল্প অল্প পরিমাণে ডাইরিভেটিভ হ্রাস পায় শূন্য থেকে x শূন্য থেকে অনন্ত পর্যন্ত বৃদ্ধি পায় তাই এটি সম্ভব নয় তাই গামা বিতরণের পদ্ধতিটি

\ টেক্সটফএফ {মোড} = \ ম্যাথবিএফ {\ ফ্র্যাক {\ আলফা -1} {\ ল্যাম্বদা}

গামা বিতরণের মধ্যমা

গামা বিতরণের মধ্যস্থতা হিসাবে বিপরীত গামা বিতরণের সাহায্যে পাওয়া যাবে

\ টেক্সটফএফ {মিডিয়ান} = {rac ফ্র্যাক {\ 1} {\ ল্যাম্বদা} am গামা ^ {- 1} \ বাম (\ আলফা, \ frac {\ গামা (pha আলফা) {{2} \ ডান)}

or

\ টেক্সটফএফ {মিডিয়ান} = \ বিটা \ গামা ^ {- 1} \ বাম (\ আলফা, \ ফ্রাক {\ গামা (pha আলফা)} {2} \ ডান)

প্রদত্ত

n+\frac{2}{3}< median(n)< min(n+log2,n+\frac{2}{3}+(2n+2)^{-1})

যা দেয়

median(n)=n+\frac{2}{3}+\frac{8}{405n} -\frac{64}{5103n^{2}}+…..

গামা বিতরণ আকার

     গামা ডিস্ট্রিবিউশন শেপ প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন আকার নেয় যখন শেপ প্যারামিটারটি এক গামা বিতরণ তাত্ক্ষণিক বিতরণের সমান হয় তবে আমরা যখন শেপ প্যারামিটারটি পরিবর্তিত করি তখন গামা বিতরণের কার্ভটির স্কিউনেস কমে যায়, অন্য কথায় আকৃতির প্যারামিটারের বৃদ্ধির সাথে সাথে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অনুযায়ী গামা বিতরণ কার্ভের আকার পরিবর্তন করে।

গামা বিতরণ skewness

    যে কোনও বিতরণের স্কিউনেস সেই বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং স্কিউনেস সহগ দ্বারা পর্যবেক্ষণ করে দেখা যায়

am গামা {1} = \ ফ্র্যাক {ই \ বাম [\ বাম (এক্স - \ মিউ \ ডান) ^ {3} \ ডান]} {ig সিগমা {{3}} = rac ফ্র্যাক {\ মিউ {3}} { ig সিগমা {} 3}

গামা বিতরণ জন্য আমাদের আছে

ই (এক্স ^ {কে}) = \ ফ্র্যাক {(\ আলফা + কে -১) (pha আলফা + কে -২) ……। \ আলফা} {\ বিটা ^ {কে}}

so

am গামা _ {1} = \ ফ্র্যাক {\ ফ্র্যাক {(\ আলফা +2) (\ আলফা +1) \ আলফা} {a বিটা {{3}} - 3 \ ফ্র্যাক {\ আলফা} {a বিটা} \ ফ্র্যাক {pha alpha} {\ beta ^ {3}} - rac frac {\ alpha ^ {3}} {\ beta ^ {3}}} {{\ বামা (\ frac {\ আলফা} {\ বিটা {2} \ \ ডান)} ^ {\ frac {3} {2}}} = \ frac {2} {\ sqrt {pha আলফা}}

এটি দেখায় যে সঙ্কোচনের বিষয়টি আলফার উপর নির্ভর করে কেবল যদি আলফা অনন্ত বক্ররেখায় বৃদ্ধি পায় তবে আরও প্রতিসাম্য এবং তীক্ষ্ণ হবে এবং যখন আলফা শূন্যে যায় গামা বিতরণ ঘনত্বের বক্ররেখাটিকে ইতিবাচকভাবে স্কিউড করা হয় যা ঘনত্বের গ্রাফগুলিতে লক্ষ্য করা যায়।

সাধারণ গামা বিতরণ | গামা বিতরণে আকার এবং স্কেল প্যারামিটার তিনটি প্যারামিটার গামা বিতরণ | মাল্টিভারিয়েট গামা বিতরণ

f (x) = \ frac {(\ frac {(x- \ mu)} {\ beta}) ^ {\ gamma -1} e ^ {- \ frac {x- \ mu} {a beta}}} { \ বিটা \ গামা (am গামা)} \ \ x \ গেক \ মিউ; \ গামা, \ বিটা> 0

যেখানে যথাক্রমে shape, μ এবং হ'ল আকার, অবস্থান এবং স্কেল প্যারামিটার, এই প্যারামিটারগুলিতে নির্দিষ্ট মান নির্ধারণ করে আমরা দুটি প্যারামিটার গামা বিতরণ বিশেষত যদি μ = 0, β = 1 রাখি তবে আমরা স্ট্যান্ডার্ড গামা বিতরণ পাব

f (x) = rac frac {x ^ {\ gamma -1} e ^ {- x}} {\ গামা (am গামা)} \ \ x \ গিক 0; am গামা> 0

এই 3 পরামিতি গামা বিতরণ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি ব্যবহার করে আমরা যথাক্রমে সেখানে সংজ্ঞাটি অনুসরণ করে প্রত্যাশা এবং প্রকরণটি খুঁজে পেতে পারি।

উপসংহার:

গামা বিতরণের পারস্পরিক ধারণাটি এটি বিপরীত গামা বিতরণ গামা বিতরণ এবং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনের সাহায্যে গামা বিতরণের কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপের তুলনায় এই নিবন্ধটির কেন্দ্রবিন্দু ছিল, যদি আপনাকে আরও পড়ার প্রয়োজন হয় প্রস্তাবিত বই এবং লিঙ্কগুলির মধ্য দিয়ে। গণিতে আরও পোস্টের জন্য, আমাদের দেখুন গণিত পাতা.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

বিপরীত গামা বিতরণ | এর 6 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X