বিপরীত গামা বিতরণ এবং গামা বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য
গামা বিতরণের সাথে ধারাবাহিকতায় আমরা বিপরীত গামা বিতরণ এবং মুহুর্ত উত্পন্নকরণের ফাংশন, কেন্দ্রীয় প্রবণতাগুলির পরিমাপ, গামা বিতরণের প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যগুলি অনুসরণ করে গামা বিতরণের মধ্যমা এবং গড়ের পরিমাপের ধারণাটি দেখতে পাব।
গামা বিতরণ বৈশিষ্ট্য
কিছু গামা বিতরণের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ তালিকাভুক্ত করা হয়
গামা বিতরণের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন
or
যেখানে গামা ফাংশন
2. গামা বিতরণের জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন
যেখানে f (x) হ'ল উপরের সিডিএফ-তে প্রদত্ত সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন
- সার্জারির গামা বন্টনের গড় এবং প্রকরণ is
এবং
যথাক্রমে বা
ই [এক্স] = α * β
এবং
- গামা বিতরণের জন্য মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এম (টি)
or
- পিডিএফ এবং সিডিএফ এর বক্ররেখা হয়
- ইনভার্স গামা বিতরণকে গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ক্রিয়াটি গ্রহণ করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে
- স্বতন্ত্র গামা বিতরণের যোগফল আবার প্যারামিটারের যোগফল সহ গামা বিতরণ।
বিপরীত গামা বিতরণ | স্বাভাবিক বিপরীত গামা বিতরণ
সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন গামা বিতরণ যদি
or
আমরা পরিবর্তনশীল পারস্পরিক বা বিপরীতমুখী গ্রহণ করি তখন সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন হবে
সুতরাং এই সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ এলোমেলো পরিবর্তনশীল ইনভার্স গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা বিপরীত গামা বিতরণ বা বিপরীত গামা বিতরণ হিসাবে পরিচিত।
উপরের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন যে কোনও প্যারামিটারে আমরা লাম্বদা আকারে নিতে পারি বা থিটা সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন যা গামা বিতরণের পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ হ'ল বিপরীত গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন।
সংক্রামিত বিতরণ ফাংশন বা বিপরীত গামা বিতরণের সিডিএফ
বিপরীত গামা বিতরণের জন্য ক্রম বিতরণ ফাংশন হ'ল বিতরণ ফাংশন
যার মধ্যে f (x) হ'ল বিপরীত গামা বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন
বিপরীত গামা বিতরণের গড় এবং বৈচিত্র
প্রত্যাশা এবং প্রকরণের স্বাভাবিক সংজ্ঞা অনুসরণ করে বিপরীত গামা বিতরণের গড় এবং প্রকরণটি হবে
এবং
বিপরীত গামা বিতরণ প্রমাণের গড় এবং বৈকল্পিক
সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন ব্যবহার করে বিপরীত গামা বিতরণের গড় এবং তারতম্য পেতে
এবং প্রত্যাশার সংজ্ঞা, আমরা প্রথমে x এর কোনও পাওয়ারের জন্য প্রত্যাশা খুঁজে পাই
উপরের অবিচ্ছেদ্য হিসাবে আমরা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করেছি
এখন একের চেয়ে বড় ও n এর মান বেশি for
একইভাবে n = 2 এর মান 2 এর চেয়ে বেশি আলফার জন্য
এই প্রত্যাশাগুলি ব্যবহার করে আমাদের হিসাবে বৈচিত্র্যের মান দেবে
ইনভার্স গামা বিতরণ প্লট | বিপরীত গামা বিতরণ গ্রাফ
বিপরীত গামা বিতরণ গামা বিতরণের পারস্পরিক কাজ তাই গামা বিতরণ পর্যবেক্ষণ করার সময় সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপযুক্ত বিপরীত গামা বিতরণের কার্ভগুলির প্রকৃতিটি পর্যবেক্ষণ করা ভাল as
এবং নিম্নলিখিত দ্বারা ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন
বর্ণনা: সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশনের জন্য গ্রাফ এবং α-এর মান 1 হিসাবে ঠিক করে এবং β-এর মান পরিবর্তন করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন।
বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং distribution এর মান 2 হিসাবে স্থির করে এবং β এর মান পৃথক করে সংশ্লেষিত বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি
বিবরণ: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং of এর মান হিসাবে 3 নির্ধারণ করে এবং β এর মান পরিবর্তিত করে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি β
বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং cum এর মান হিসাবে 1 নির্ধারণ করে এবং α এর মান পৃথক করে সংশ্লেষ বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি α
বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং distribution এর মান 2 হিসাবে স্থির করে এবং α এর মান পৃথক করে সংশ্লেষিত বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি
বর্ণনা: সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং cum এর মান হিসাবে 3 নির্ধারণ করে এবং α এর মান পৃথক করে সংশ্লেষ বিতরণ ফাংশনের গ্রাফগুলি α
গামা বিতরণের মুহূর্ত তৈরির কাজ
গামা বিতরণের জন্য মুহূর্ত উত্পন্নকরণের ধারণাটি বোঝার আগে আসুন আমরা মুহুর্ত তৈরির ফাংশনের কিছু ধারণা প্রত্যাহার করি
মারার
এর মুহূর্ত দৈব চলক হিসাবে প্রত্যাশার সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়
এটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর আর-ম মুহূর্ত হিসাবে পরিচিত এটি উত্স সম্পর্কে মুহূর্ত এবং সাধারণত কাঁচা মুহুর্ত হিসাবে পরিচিত।
আমরা যদি গড় হিসাবে প্রায় এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর আর ম মুহূর্ত গ্রহণ
গড় সম্পর্কে এই মুহুর্তটি কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হিসাবে পরিচিত এবং প্রত্যাশাটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে প্রকৃতি অনুযায়ী হবে
কেন্দ্রীয় মুহুর্তে যদি আমরা আর এর মান রাখি তবে আমরা কিছু প্রাথমিক মুহুর্ত পাই
যদি আমরা কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলিতে দ্বিপদী প্রসার গ্রহণ করি তবে আমরা কেন্দ্রীয় এবং কাঁচা মুহুর্তগুলির মধ্যে সহজেই সম্পর্কটি পেতে পারি
প্রাথমিক সম্পর্কগুলির কয়েকটি নিম্নরূপ
মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন
যে ফাংশনটি আমরা ফাংশনটির সাহায্যে উত্পন্ন করতে পারি সেই মুহুর্তগুলি মুহূর্ত উত্পন্নকরণ ফাংশন হিসাবে পরিচিত এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়
এই ফাংশনটি ফর্মের উভয়টিতে ক্ষতিকারক ক্রিয়াকলাপের প্রসারণের সহায়তায় মুহূর্তগুলি উত্পন্ন করে
টেলররা হিসাবে হিসাবে ফর্ম ব্যবহার
এই প্রসারিত ফাংশনটিকে টির সাথে আলাদা করে আলাদা মুহুর্তগুলিকে দেয়
অন্য উপায়ে যদি আমরা ডেরাইভেটিভকে সরাসরি হিসাবে নিই
উভয় বিযুক্ত জন্য
এবং অবিচ্ছিন্ন আমাদের আছে
সুতরাং টি = 0 এর জন্য আমরা পাব
তেমনি
as
এবং সাধারণভাবে
এই মুহূর্তটি উত্পন্ন করার জন্য দুটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক রয়েছে
মুহূর্তে গামা বিতরণের ফাংশন | মিলিগ্রাম গামা বিতরণ | গামা বিতরণের জন্য মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন
এখন গামার জন্য বন্টন মুহূর্ত উৎপন্ন ফাংশন পিডিএফের জন্য এম(টি)
is
এবং পিডিএফ জন্য
মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন হয়
গামা বিতরণ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন প্রমাণ | গামা বিতরণের প্রমাণের মিলিগ্রাম
এখন হিসাবে হিসাবে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রূপ গ্রহণ করুন
এবং আমাদের কাছে মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এম (টি) এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে
এই ফাংশনটি আমরা দু'বার পেয়ে যাব তার সাথে পার্থক্য হিসাবে মুহূর্ত তৈরির ফাংশনটির সাহায্যে গামা বিতরণের গড় এবং তারতম্যটি আমরা খুঁজে পেতে পারি
যদি আমরা t = 0 রাখি তবে প্রথম মান হবে
এবং
এখন এই প্রত্যাশার মানটি .ুকিয়ে দিন
পর্যায়ক্রমে ফর্মের পিডিএফের জন্য
মুহুর্তে উত্পাদনের কাজটি হবে
এবং পৃথক করে এবং t = 0 লাগানোর অর্থ নীচে নীচে এবং ভিন্নতা দেবে
গামা বিতরণের দ্বিতীয় মুহূর্ত
গামার বিতরণের দ্বিতীয় মুহুর্তটি দুটি মুহুর্তের কার্যটি দুটি বারের মধ্যে আলাদা করে এবং সেই ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভে টি = 0 এর মান রাখার মাধ্যমে আমরা পাব
গামা বিতরণের তৃতীয় মুহূর্ত
গামা বিতরণের তৃতীয় মুহুর্তটি আমরা তিনবারের মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটিকে আলাদা করে এবং মিলিগ্রামের তৃতীয় ডেরাইভেটিভে টি = 0 এর মান রেখে আমরা পাই
বা সরাসরি হিসাবে সংহত করে
গামা বিতরণের জন্য সিগমা
সিগমা বা গামা বিতরণের মানক বিচ্যুতি আমরা গামার প্রকারের বিতরণের বিভিন্নতার বর্গমূল গ্রহণ করে খুঁজে পেতে পারি
or
আলফা, বিটা এবং ল্যাম্বডা কোনও সংজ্ঞায়িত মানের জন্য।
গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্যযুক্ত কার্য | গামা বিতরণ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন
মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনটিতে চলক টি যদি বিশুদ্ধভাবে t = iω হিসাবে একটি কাল্পনিক সংখ্যা হয় তবে ফাংশনটি গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন হিসাবে পরিচিত এবং হিসাবে প্রকাশিত হয়
যে কোনও এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন হবে
সুতরাং গামা বিতরণের জন্য গামা বিতরণের পিডিএফ অনুসরণ করে বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি
অনুসরণ
এই বৈশিষ্ট্য ফাংশন অন্য ফর্ম এছাড়াও যদি
তারপর
গামা বিতরণের যোগফল | ঘনঘন বিতরণ গামার যোগফল
গামা বিতরণের যোগফলের ফলাফল জানতে আমাদের প্রথমে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলটি বুঝতে হবে, এর জন্য আমাদের ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কাজগুলি করতে হবে তারপরে যোগফলের জন্য ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের হবে
এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনগুলির জন্য ইন্টিগ্রালের এই কনভোলশনকে পৃথক করে এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশন দেবে
এখন আসুন আমরা প্রমাণ করি যে যদি X এবং Y যথাক্রমে ঘনত্বের ফাংশন সহ গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় তবে সেখানে যোগফলগুলি একই পরামিতিগুলির যোগফলের সাথে গামা বিতরণ হবে
ফর্মটির সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন বিবেচনা করে
এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর জন্য আলাটিকে এস হিসাবে এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য ওয়াই আলফাটিকে তাই হিসাবে গ্রহণ করুন যাতে আমাদের কাছে এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের যোগফলের ঘনত্ব ব্যবহার করে
এখানে সি একটি থেকে স্বতন্ত্র, এখন মান হবে
যা এক্স এবং ওয়াইয়ের যোগফলের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশনকে উপস্থাপন করে এবং যা গামা বিতরণে, তাই গামা বিতরণের যোগফলটিও প্যারামিটারগুলির যোগফলের মাধ্যমে গামা বিতরণকে উপস্থাপন করে।
গামা বিতরণ মোড
গামা বিতরণের মোডটি সন্ধান করতে আসুন আমরা সম্ভাব্যতার ঘনত্বের ফাংশনটি বিবেচনা করি
এক্স এর সাথে এই পিডিএফটিকে এখন আলাদা করুন, আমরা পার্থক্যটি পেয়ে যাব
এটি x = 0 বা x = (α -1) / for এর জন্য শূন্য হবে λ
তাই এই শুধুমাত্র সমালোচনামূলক পয়েন্ট যেখানে আমাদের প্রথম ডেরিভেটিভ শূন্য হবে যদি আলফা শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান তাহলে x=0 মোড হবে না কারণ এটি পিডিএফকে শূন্য করে তাই মোড হবে (α -1)/λ
এবং আলফার জন্য কঠোরভাবে একের চেয়েও অল্প অল্প পরিমাণে ডাইরিভেটিভ হ্রাস পায় শূন্য থেকে x শূন্য থেকে অনন্ত পর্যন্ত বৃদ্ধি পায় তাই এটি সম্ভব নয় তাই গামা বিতরণের পদ্ধতিটি
গামা বিতরণের মধ্যমা
গামা বিতরণের মধ্যস্থতা হিসাবে বিপরীত গামা বিতরণের সাহায্যে পাওয়া যাবে
or
প্রদত্ত
যা দেয়
গামা বিতরণ আকার
গামা ডিস্ট্রিবিউশন শেপ প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন আকার নেয় যখন শেপ প্যারামিটারটি এক গামা বিতরণ তাত্ক্ষণিক বিতরণের সমান হয় তবে আমরা যখন শেপ প্যারামিটারটি পরিবর্তিত করি তখন গামা বিতরণের কার্ভটির স্কিউনেস কমে যায়, অন্য কথায় আকৃতির প্যারামিটারের বৃদ্ধির সাথে সাথে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অনুযায়ী গামা বিতরণ কার্ভের আকার পরিবর্তন করে।
গামা বিতরণ skewness
যে কোনও বিতরণের স্কিউনেস সেই বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন এবং স্কিউনেস সহগ দ্বারা পর্যবেক্ষণ করে দেখা যায়
গামা বিতরণ জন্য আমাদের আছে
so
এটি দেখায় যে সঙ্কোচনের বিষয়টি আলফার উপর নির্ভর করে কেবল যদি আলফা অনন্ত বক্ররেখায় বৃদ্ধি পায় তবে আরও প্রতিসাম্য এবং তীক্ষ্ণ হবে এবং যখন আলফা শূন্যে যায় গামা বিতরণ ঘনত্বের বক্ররেখাটিকে ইতিবাচকভাবে স্কিউড করা হয় যা ঘনত্বের গ্রাফগুলিতে লক্ষ্য করা যায়।
সাধারণ গামা বিতরণ | গামা বিতরণে আকার এবং স্কেল প্যারামিটার তিনটি প্যারামিটার গামা বিতরণ | মাল্টিভারিয়েট গামা বিতরণ
যেখানে যথাক্রমে shape, μ এবং হ'ল আকার, অবস্থান এবং স্কেল প্যারামিটার, এই প্যারামিটারগুলিতে নির্দিষ্ট মান নির্ধারণ করে আমরা দুটি প্যারামিটার গামা বিতরণ বিশেষত যদি μ = 0, β = 1 রাখি তবে আমরা স্ট্যান্ডার্ড গামা বিতরণ পাব
এই 3 পরামিতি গামা বিতরণ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি ব্যবহার করে আমরা যথাক্রমে সেখানে সংজ্ঞাটি অনুসরণ করে প্রত্যাশা এবং প্রকরণটি খুঁজে পেতে পারি।
উপসংহার:
গামা বিতরণের পারস্পরিক ধারণাটি এটি বিপরীত গামা বিতরণ গামা বিতরণ এবং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনের সাহায্যে গামা বিতরণের কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপের তুলনায় এই নিবন্ধটির কেন্দ্রবিন্দু ছিল, যদি আপনাকে আরও পড়ার প্রয়োজন হয় প্রস্তাবিত বই এবং লিঙ্কগুলির মধ্য দিয়ে। গণিতে আরও পোস্টের জন্য, আমাদের দেখুন গণিত পাতা.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা
