দূরত্ব ইতিবাচক বা সর্বদা নয় তার সাথে সম্পর্কিত 9 টি তথ্য এই নিবন্ধে আলোচনা করা হবে।
এটি ইতিবাচক কিনা তা নির্ধারণ করার আগে আমাদের দূরত্ব সম্পর্কে জানা উচিত। দূরত্ব হল একটি বস্তু দ্বারা আচ্ছাদিত মোট পথ। তাই দূরত্ব কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, দূরত্বের মাত্রা কখনো কমতে পারে না। তাই দূরত্ব ইতিবাচক নাকি না এই প্রশ্নের উত্তর হ্যাঁ, দূরত্ব সবসময় ইতিবাচক।
দূরত্ব একটি স্কেলার পরিমাণ। অত:পর এর শুধু মাত্রা আছে। এর কোনো বিশেষ দিকনির্দেশনা নেই। দূরত্ব যে কোন দিকে নির্দেশিত হতে পারে. যদি আমরা যেকোন জিগজ্যাগ পথে এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে যাই তাহলে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী মোট দূরত্বকে দূরত্ব বলে।
একইভাবে যদি একজন ব্যক্তি একটি বৃত্তাকার পার্কের চারপাশে হাঁটতে থাকে তবে সেই ব্যক্তির দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দূরত্বটি সেই বৃত্তাকার পার্কের পরিধি। স্থানচ্যুতির মতো এখানে ব্যক্তির দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব শূন্য নয় কারণ আমরা জানি যে দূরত্ব শূন্যও হতে পারে না বা ঋণাত্মকও হতে পারে না। যদি সেই বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ R হয় তাহলে সেই ব্যক্তির দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব 2𝝅R হয়।
কেন দূরত্ব সবসময় ইতিবাচক?
সাধারণত আমরা একটি স্থানাঙ্ক অক্ষে উৎপত্তির বামকে ঋণাত্মক অক্ষ হিসাবে এবং উৎপত্তির ডানদিকে ধনাত্মক অক্ষ হিসাবে বিবেচনা করি। এখন যখনই আমরা দূরত্ব গণনা করছি তার মানে আমাদের যে কোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে মোট দূরত্ব গণনা করতে হবে।
মানটি ঋণাত্মক অক্ষে বা ধনাত্মক অক্ষে আছে কিনা তা আমাদের বিবেচনা করতে হবে না।
আমাদের শুধুমাত্র এই দুটি বিন্দুর দৈর্ঘ্যের দুটি মানের পার্থক্য নিতে হবে। স্থানচ্যুতির ক্ষেত্রে মান পরিমাপ করার আগে দিকটি পরীক্ষা করা বাধ্যতামূলক কারণ এটি একটি ভেক্টর পরিমাণ। কিন্তু দূরত্বের ক্ষেত্রে আমরা দূরত্বের মান গণনা করতে দৈর্ঘ্যের ঋণাত্মক মানের মডুলাস নিতে পারি কারণ এটি একটি স্কেলার পরিমাণ।.
এখন এই ধারণাটি স্পষ্ট করার জন্য একটি উদাহরণ নেওয়া যাক। বলুন x স্থানাঙ্ক অক্ষের উৎপত্তিস্থলে একটি কণা রয়েছে। এখন যদি এটি বাম দিকে 70 মিটার পর্যন্ত চলে যায় তাহলে xi = -70 মি এবং তারপর যদি এটি x অক্ষের ডানদিকে 20 মিটার সরে যায় তবে এর অর্থ হল xf = + 20 মি. তাহলে এই কণা দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব কত হবে? উত্তর হল 50 মি. কেন? কারণ এখানে আমরা শুধুমাত্র মাত্রা বিবেচনা করব দিকনির্দেশ নয়, ইতিবাচক বা নেতিবাচক। দূরত্ব = (70 m – 20 m) = 50 m
কিভাবে দূরত্ব সবসময় ইতিবাচক?
আমরা সবাই জানি যে স্থানচ্যুতি একটি ভেক্টর পরিমাণ এবং দূরত্ব একটি স্কেলার পরিমাণ। স্থানচ্যুতির একটি নির্দিষ্ট দিক আছে কিন্তু দূরত্বের একটি নির্দিষ্ট দিক নেই। মূলত দূরত্ব এবং স্থানচ্যুতির মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে এবং সেই সম্পর্কটি হল দূরত্ব হল স্থানচ্যুতির পরম মান বা মাত্রা।
এখন আমরা একটি সহজ উদাহরণ নেব যাতে দেখা যায় কিভাবে দূরত্ব গণনা করা যায় এবং দূরত্ব সবসময় ইতিবাচক হয়। বলুন একটি গাড়ি একটি অনুভূমিক স্থানাঙ্ক অক্ষ অর্থাৎ x অক্ষের উপর চলছে। এই অক্ষের বাম দিকটি ঋণাত্মক অক্ষ হিসাবে বিবেচিত হয় যেখানে অক্ষের ডান দিকটি ধনাত্মক অক্ষ হিসাবে বিবেচিত হয়।
এখন গাড়িটি প্রথমে 100 মিটার পর্যন্ত ঋণাত্মক অক্ষে চলে গেছে যার মানে গাড়ির প্রাথমিক অবস্থান xi = -100 মি (xi < 0) এবং তারপরে গাড়িটি 50 মিটার পর্যন্ত ধনাত্মক অক্ষে চলে গেছে, তাই, গাড়ির চূড়ান্ত অবস্থান হল xf = +50 মি (xf > ২০১০.১). যেহেতু এখানে আমাদের সেই গাড়ি দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্বের মান গণনা করতে হবে তাই আমরা দিকনির্দেশ বিবেচনা করব না।
মানে আমরা নেব xi হিসাবে |-100| m = 100 m এবং আমরা xf কে 50 m হিসাবে নেব। তাই দূরত্বের মান হবে (100-50) m = 50 m. এটি থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে আচ্ছাদিত দূরত্বের মান সর্বদা ইতিবাচক।
দূরত্ব নেতিবাচক হতে পারে?
এই নিবন্ধের পূর্ববর্তী বিভাগে আমরা ইতিমধ্যে এটি আলোচনা করেছি দূরত্ব কখনই নেতিবাচক বা শূন্য হতে পারে না। এর পেছনের কারণ হল দূরত্ব মূলত মাত্রা বা স্থানচ্যুতির পরম মান। সেজন্য দূরত্ব কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, এমনকি এর মানও কমতে পারে না।
কিন্তু এখানে আমাদের একটি ব্যতিক্রমী ঘটনা সম্পর্কে জানা উচিত। এটি একটি আয়না থেকে দূরত্বের পরিমাপ। তাহলে প্রশ্ন হল কেন আমরা দূরত্বের ঋণাত্মক মান পাই যখন আমরা এটিকে আয়না থেকে পরিমাপ করি? উত্তর হল – যেহেতু আমরা একটি আয়নার মেরু থেকে এবং আপতিত রশ্মির বিপরীত দিকে দূরত্ব পরিমাপ করি তাই আমরা একটি আয়নায় দূরত্বের ঋণাত্মক মান পাই।
এখন দেখা যায় স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সাহায্যে দূরত্ব ঋণাত্মক হতে পারে না। বলুন একটি ত্রিমাত্রিক সমতলে দুটি বিন্দু A এবং B রয়েছে যার স্থানাঙ্ক A = (xA,yA,zA) এবং B = (xB,yB,zB) এখন A এবং B দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হল AB = √(xB - এক্সA)2 + (yB - ওয়াইA )2 + (zB -zA)2.
এখানে BA এর মানও একই হবে কারণ আমরা জানি যে দূরত্ব একটি স্কেলার পরিমাণ এবং এর কোন নির্দিষ্ট দিক নেই। যেমন আমরা জানি যে একটি সংখ্যার বর্গ করা কখনই ঋণাত্মক মান দিতে পারে না, তাই দূরত্ব কখনই ঋণাত্মক হতে পারে না কারণ এটি বর্গ পদের যোগফলের বর্গমূল।
দূরত্ব কি শূন্য হতে পারে?
একজন ব্যক্তির দ্বারা কভার করা দূরত্ব শুধুমাত্র তখনই শূন্য হতে পারে যখন যে ব্যক্তির কভার করা দূরত্ব গণনা করা হচ্ছে সে বিশ্রামে থাকে। অন্যথায় এটি অসম্ভব যে একটি চলমান বস্তু বা চলমান ব্যক্তির দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব শূন্য কারণ দূরত্ব হল তাদের দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দৈর্ঘ্য বা মোট পথ।
আমরা আরও দেখাতে পারি যে একটি চলমান বস্তু দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব শূন্য কিন্তু এর স্থানচ্যুতি শূন্য নয়। ধরুন একটি গাড়ি একটি বৃত্তাকার ট্র্যাকের চারপাশে ঘোরাফেরা করছে এবং সেই ট্র্যাকের চারপাশে একটি আবর্তন সম্পন্ন করে এটি তার যাত্রা শেষ করেছে। এই ক্ষেত্রে প্রাথমিক অবস্থানের পাশাপাশি চূড়ান্ত অবস্থানটি শূন্য, তাই স্থানচ্যুতি শূন্য কারণ আমরা জানি যে স্থানচ্যুতি হল চূড়ান্ত অবস্থান এবং সেই গাড়ির প্রাথমিক অবস্থানের মধ্যে পার্থক্য। কিন্তু এখানে গাড়ি দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্বটি শূন্য নয় কারণ এটি গাড়ি দ্বারা আচ্ছাদিত মোট পথের সমান এবং এটি সেই বৃত্তাকার ট্র্যাকের পরিধি।
একইভাবে আমরা আরেকটি উদাহরণ নিতে পারি। বলুন একটি গাড়ি একটি বিন্দু A থেকে অন্য বিন্দু B পর্যন্ত পূর্ব দিকে 5 মিটার ভ্রমণ করেছে। এর পরে একই গাড়িটি B বিন্দু থেকে A বিন্দুতে একই দৈর্ঘ্য 5 মিটারের ঠিক বিপরীত দিকে ভ্রমণ করেছে। এটা কি বলা যায় যে এই গাড়িটি যে দূরত্ব অতিক্রম করেছে তা শূন্য? উত্তর হল না।
কারণ এখানে স্থানচ্যুতির ক্ষেত্রে দিকনির্দেশ বাধ্যতামূলক, দূরত্বের ক্ষেত্রে নয়। তাই এই ক্ষেত্রে স্থানচ্যুতি হল 5 +(-5) m = 0 কিন্তু দূরত্ব হল 5 + 5 = 10 m।
দূরত্ব পরিমাপ কিভাবে?
1.প্রথমে একটি ষড়ভুজের উদাহরণ নেওয়া যাক। বলুন এটি একটি নিয়মিত ষড়ভুজ যার জন্য সমস্ত বাহু সমান। যদি আমরা এই নিয়মিত ষড়ভুজটির প্রতিটি দিক 6 সেমি ধরি তাহলে একজন মানুষের দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দূরত্ব = (AB + BC + CD + DE + EF + FA) = (6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6) = 36 সেমি।
2.আসুন একটি বৃত্তাকার পার্কের আরেকটি উদাহরণ দেওয়া যাক। বলুন একজন ব্যক্তি এই বৃত্তাকার পথের চারপাশে দৌড়াচ্ছে যার ব্যাসার্ধ 15.4 মিটার। এখন সেই মানুষটির মোট দূরত্ব কত হবে? উত্তর হল: মানুষ দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দূরত্ব = সেই বৃত্তাকার পার্কের পরিধি =
2 x 𝝅 x R = 2 x 22/7 x 15.4 m = 96.8 m
3. চলন্ত সাইকেলের আরেকটি উদাহরণ নেওয়া যাক। প্রথমে এটি 5 মিটার অগ্রসর হয়েছিল, তারপরে এটি একই দিকে 7 মিটার সরেছিল, তারপর আবার এটি 5 মিটার সরেছিল তবে বিপরীত দিকে। এই সাইকেলটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
সুতরাং সাইকেল দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দূরত্ব হল = ( 5 মি + 7 মি + 5 মি) = 17 মি. এখানে 5 মিটার বিপরীত দিকে এটি দ্বারা আচ্ছাদিত কিন্তু আমরা জানি যে দূরত্বটি চলাচলের দিক দ্বারা প্রভাবিত হয় না তাই সাইকেল দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব গণনা করার সময় এই 5 মিটার যোগ করা হবে।
বস্তুটি গতিশীল অবস্থায় দূরত্ব শূন্য হতে পারে না কেন?
বিশ্রামে থাকা একটি দেহের জন্য আচ্ছাদিত দূরত্ব শূন্য হতে পারে কারণ এটি কোনও দৈর্ঘ্যের মধ্য দিয়ে চলেনি। কিন্তু শরীরের দূরত্বের ক্ষেত্রে কখনই শূন্য হতে পারে না কারণ আন্দোলনের কারণে এর অবস্থান পরিবর্তিত হয়েছে। যদিও এই পরিবর্তনটি ন্যূনতম হতে পারে, এটি কখনই শূন্য হতে পারে না।
দূরত্ব কখন শূন্য হতে পারে?
একজন ব্যক্তির দ্বারা কভার করা দূরত্ব শুধুমাত্র তখনই শূন্য হতে পারে যখন যে ব্যক্তির কভার করা দূরত্ব গণনা করা হচ্ছে সে বিশ্রামে থাকে। অন্যথায় এটি অসম্ভব যে একটি চলমান বস্তু বা চলমান ব্যক্তির দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব শূন্য কারণ দূরত্ব হল তাদের দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দৈর্ঘ্য বা মোট পথ।
আমরা আরও দেখাতে পারি যে একটি চলমান বস্তু দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্ব শূন্য কিন্তু এর স্থানচ্যুতি শূন্য নয়। ধরুন একটি গাড়ি একটি বৃত্তাকার ট্র্যাকের চারপাশে ঘোরাফেরা করছে এবং সেই ট্র্যাকের চারপাশে একটি আবর্তন সম্পন্ন করে এটি তার যাত্রা শেষ করেছে। এই ক্ষেত্রে প্রাথমিক অবস্থানের পাশাপাশি চূড়ান্ত অবস্থানটি শূন্য, তাই স্থানচ্যুতি শূন্য কারণ আমরা জানি যে স্থানচ্যুতি হল চূড়ান্ত অবস্থান এবং সেই গাড়ির প্রাথমিক অবস্থানের মধ্যে পার্থক্য। কিন্তু এখানে গাড়ি দ্বারা আচ্ছাদিত দূরত্বটি শূন্য নয় কারণ এটি গাড়ি দ্বারা আচ্ছাদিত মোট পথের সমান এবং এটি সেই বৃত্তাকার ট্র্যাকের পরিধি।
একইভাবে আমরা আরেকটি উদাহরণ নিতে পারি। বলুন একটি গাড়ি একটি বিন্দু A থেকে অন্য বিন্দু B পর্যন্ত পূর্ব দিকে 5 মিটার ভ্রমণ করেছে। এর পরে একই গাড়িটি B বিন্দু থেকে A বিন্দুতে একই দৈর্ঘ্য 5 মিটারের ঠিক বিপরীত দিকে ভ্রমণ করেছে। এটা কি বলা যায় যে এই গাড়িটি যে দূরত্ব অতিক্রম করেছে তা শূন্য? উত্তর হল না।
কারণ এখানে স্থানচ্যুতির ক্ষেত্রে দিকনির্দেশ বাধ্যতামূলক, দূরত্বের ক্ষেত্রে নয়। তাই এই ক্ষেত্রে স্থানচ্যুতি হল 5 +(-5) m = 0 কিন্তু দূরত্ব হল 5 + 5 = 10 m।
সমাধান সহ সমস্যার বিবৃতি
- মিনি প্রতিদিন সকালে স্কুলে যায়। তার স্কুল তার বাড়ি থেকে 1.5 কিমি দূরে। বিকেলে সে স্কুল থেকে ফিরে আসে। তারপরে সে তার বন্ধুদের সাথে খেলতে একটি পার্কে যায় যা তার বাড়ি থেকে 300 মিটার দূরে। সন্ধ্যায় সে বাড়ি ফিরে আসে। তারপরে সে তার টিউশনে যায় যা তার বাড়ি থেকে 1 কিলোমিটার দূরে। রাত ১০টায় সে বাসায় ফিরে আসে। তার দ্বারা আচ্ছাদিত মোট দূরত্ব কত হবে?
উত্তর :
হোম ⇄ স্কুল → (1.5 + 1.5) = 3 কিমি
1.5 কিমি
হোম ⇄ পার্ক → ( 300 + 300) = 600 m = 0.6 কিমি
300 মি
হোম ⇄ শিক্ষাদান → (1 কিমি + 1 কিমি) = 2 কিমি
1 কিমি
মোট দূরত্ব আচ্ছাদিত = ( 3 + 0.6 + 2 ) = 5.6 কিমি
- আমাদের এলাকায় একটি ত্রিভুজাকার পার্ক আছে। এই ত্রিভুজাকার পার্কের দিকগুলি যথাক্রমে 500 মিটার, 300 মিটার এবং 200 মিটার। একটি শিশু যে পার্কটি 3 বার কভার করেছে তার মোট দূরত্ব কত হবে?
উত্তর :
1 বার শিশু দ্বারা কভার করা মোট দূরত্ব = ( 500 + 300 + 200) m = 1000 মি
অতএব, শিশু দ্বারা মোট দূরত্ব 3 গুণ = 1000 x 3 = 3000 m = 3 কিমি
উপসংহার
এই নিবন্ধে আমরা বিস্তৃতভাবে দূরত্ব নিয়ে আলোচনা করেছি। সমস্ত প্রশ্ন যেমন দূরত্ব ঋণাত্মক হতে পারে কি না, দূরত্ব শূন্য হতে পারে কি না, কেন দূরত্ব সর্বদা ইতিবাচক এবং কীভাবে আমরা দূরত্ব পরিমাপ করতে পারি সেগুলির সংক্ষিপ্ত উত্তর দেওয়া হয়েছে। শেষ পর্যন্ত দুটি সমস্যা বিবৃতি তাদের সমাধান সঙ্গে দেওয়া আছে.
