যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল | এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য এবং 5 টি উদাহরণ

সন্তুষ্ট

যৌথভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয়েছে

     যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির জন্য একাধিক সম্ভাব্যতাযুক্ত এগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্য যৌথভাবে বিতরণ করা হয়, অন্য কথায় পরীক্ষায় যেখানে তাদের সাধারণ সম্ভাবনার সাথে পৃথক ফলাফলটি যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা যৌথ বিতরণ হিসাবে পরিচিত, এ জাতীয় পরিস্থিতি দেখা দেয় সম্ভাবনা সমস্যা ডিল করার সময় ঘন ঘন।

যৌথ বিতরণ অনুষ্ঠান | যৌথ সংক্ষিপ্ত সম্ভাবনা বিতরণ ফাংশন | যৌথ সম্ভাবনা গণ ফাংশন | যৌথ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন

    এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন বা যৌথ ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন

এফ (এ, বি) = পি \ বাম \ {এক্স \ লেক এ, ওয়াই লেক বি \ ডান \} \ \, \ \ - ty ইনফটি <ক, বি <\ ইনফটি

যেখানে যৌথ সম্ভাবনার প্রকৃতি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই এর স্বভাবের উপর নির্ভর করে হয় বিচ্ছিন্ন বা ধারাবাহিকভাবে এবং এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য পৃথক বিতরণ ফাংশনগুলি এই যৌথ संचयी বিতরণ ফাংশনটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে

এফ_ {এক্স} (ক) = পি \ বাম \ {{এক্স \ লেক এ} \ ডান \} \\ = পি \ বাম \ {এক্স \ লেক এ, ওয়াই <\ ইনফটি \ ডান \} \\ = পি \ বাম (\ lim_ {b \ থেকে \ infty} X \ leq a, Y <b \ ডান) \\ = \ lim_ {b \ থেকে \ infty} P \ বাম \ {এক্স \ লেক এ, ওয়াই q লেক বি \ ডান \ } \\ = \ lim_ {b \ থেকে \ infty} F (a, b) \\ \ সমতুল্য F (a, \ infty)

একইভাবে ওয়াই হিসাবে

F_ {Y} (খ) = পি \ বাম \ {ওয়াই q লেক বি \ ডান \} \\ = \ লিমি_ \ a \ থেকে \ ইনফটি} এফ (এ, বি) \\ \ সম্যক এফ (\ ইনফটি, বি)

যৌথ বিতরণ বিবেচনাধীন থাকা অবস্থায় এক্স এবং ওয়াইয়ের এই পৃথক বিতরণ ফাংশনগুলি প্রান্তিক বিতরণ ফাংশন হিসাবে পরিচিত। এই বিতরণগুলি সম্ভাব্যতা পেতে যেমন খুব সহায়ক

পি \ বাম {এক্স> এ, ওয়াই> বি \ ডান} = 1-পি (\ বাম {এক্স> এ, ওয়াই> বি \ ডান} ^ {সি}) \\ = 1-পি (\ বাম {এক্স> এ) \ ডান} ^ {সি} \ কাপ \ বাম {ওয়াই> বি \ ডান} ^ {সি}) \\ = 1- পি (\ বাম {এক্স \ লেক এ \ ডান} \ কাপ \ বাম {ওয়াই \ লেক বি \ ডান}) \\ = 1- \ বাম [পি \ বাম {এক্স \ লেক এ \ ডান} + পি \ বাম {ওয়াই q লেক বি \ ডান} -পি \ বাম {এক্স \ লেক এ, ওয়াই লেক বি \ } \ ডান] \\ = 1- এফ_ {এক্স} (ক) -এফ_ {ওয়াই} (খ) + এফ (ক, খ)

এবং

পি \ বাম {এ_ {1} q লেক এক্স \ লেক এ_ {2}, বি_ {1} q লেক ওয়াই \ লেক বি_ {2} \ ডান} \\ = এফ (এ_ {2}, বি_ {2}) + এফ (এ_ {1}, বি_ {1}) - এফ (এ_ {1}, বি_ {2}) - এফ (এ_ {2}, বি_ {1})

এছাড়াও এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

p (x, y) = P \ বাম {X = x, Y = y \ ডান}

এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য পৃথক সম্ভাব্যতা ভর বা ঘনত্ব ফাংশন যেমন যৌথ সম্ভাব্যতা ভর বা ঘনত্ব ফাংশন যেমন বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে পাওয়া যেতে পারে

p_ {X} (x) = পি \ বাম {এক্স = x \ ডান} \\ = \ যোগ_ {y: পি (এক্স, ওয়াই)> 0} ^ {} পি (x, y) \\ পি_ {ওয়াই} (y) = \ যোগ_ {y: পি (x, y)> 0} ^ {} পি (x, y)

এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে যৌথ সম্ভাবনার ঘনত্বের ক্রিয়া হবে

পি \ বাম {(এক্স, ওয়াই) \ সি \ রাইটে} = \ ইনট _ {(এক্স, ওয়াই) \ সি} ^ {} \ ইন্ট এফ (এক্স, ওয়াই) ডেক্সডে

যেখানে সি হল দুটি দ্বিমাত্রিক বিমান এবং ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ বিতরণ ফাংশন হবে

এফ (এ, বি) = পি \ বাম {এক্স \ ইন (- - ইনফটি, এ], ওয়াই \ ইন (- - ইনফটি, বি] \ ডান} \\ = \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {বি} \ int _ {- ty infty} ^ {a} f (x, y) dxdy

এই বিতরণ ফাংশন থেকে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন পার্থক্য দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে

f (a, b) = \ frac {tial আংশিক ^ 2} {\ আংশিক a \ আংশিক b} F (a, b)

এবং যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন থেকে প্রান্তিক সম্ভাবনা

পি \ বামে {এক্স \ এ \ রাইট} = পি \ বামে {এক্স \ এ, ওয়াই \ ইন (- \ ইনফটি, \ ইনফটি) \ ডান} \ = \ ইন্ট_ {এ} ^ {} \ ইন _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) dydx \ = \ int_ {A} ^ {} f_ {X} (x) dx

as

f_ {X} (x) = \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} f (x, y) dy

এবং

f_ {Y} (y) = \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} f (x, y) dx

যথাক্রমে X এবং Y এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রতি শ্রদ্ধা জানাতে

যৌথ বিতরণের উদাহরণ

  1. এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথ সম্ভাবনাগুলি 3 টি বই এলোমেলোভাবে গ্রহণ করা হয় তবে 4 টি গণিত, 5 পরিসংখ্যান এবং 3 পদার্থবিজ্ঞানের বই রয়েছে এমন একটি বইয়ের সেট থেকে গণিত এবং পরিসংখ্যান বইয়ের সংখ্যা উপস্থাপন করে

পি (0,0) = \ বিনোম {5} {3} / \ বিনোম {12} {3} = \ ফ্র্যাক {10} {220 \\ \\ পি (0,1) = \ বিনোম {4} {1} \ বিনোম {5} {2} / \ বিনোম {12} {3} = \ frac {40} {220} \\ পি (0,2) = \ বিনোম {4} {2} \ বিনোম {5} {1 } / \ বিনোম {12} {3} = \ frac {30} {220} \\ পি (0,3) = \ বিনোম {4} {3} / \ বিনোম {12} {3} = \ frac {4 } {220} \\ পি (1,0) = \ বিনোম {3} {1} \ বিনোম {5} {2} / \ বিনোম {12} {3} = \ ফ্র্যাক {30} {220} \\ পি (1,1) = \ বিনোম {3} {1} \ বিনোম {4} {1} \ বিনোম {5} {1} / \ বিনোম {12} {3} = \ ফ্র্যাক {60} {220} \\ পি (১,২) = \ বিনোম {1,2} {3} \ বিনোম {1} {4 \ / \ বিনোম {2} {12} = \ frac {3} {18} \\ পি (220) = \ বিনোম {2,0} {3} \ বিনোম {2} {5} / \ বিনোম {1} {12} = \ ফ্রাক {3} {15} \\ পি (220) = \ বিনোম {2,1} {3 } om বিনোম {2} {4} / \ বিনোম {1} {12} = \ frac {3} {12} \\ পি (220) = \ বিনোম {3,0} {3} / \ বিনোম {3} {12} = \ frac {3} {1}

  • 15% বাচ্চা নেই, 20% 1 বাচ্চা, 35% 2 বাচ্চা এবং 30% 3 বাচ্চা না থাকা পরিবারগুলির নমুনার জন্য যৌথ সম্ভাবনা ভর কার্যকারিতা সন্ধান করুন যদি পরিবারটি শিশু বা বালিকা হওয়ার জন্য আমরা এই নমুনাটি থেকে এলোমেলোভাবে বেছে নিই?

সংজ্ঞা হিসাবে আমরা সংজ্ঞা ব্যবহার করে খুঁজে পাব

যৌথভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয়েছে
যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবল: উদাহরণ

এবং এটি আমরা নিম্নরূপে সারণী আকারে চিত্রিত করতে পারি

যৌথভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয়েছে
যৌথভাবে বিতরণ এলোমেলো ভেরিয়েবল: যৌথ বিতরণের উদাহরণ
  • সম্ভাবনা গণনা করুন

(a) পি \ বাম {এক্স> 1, ওয়াই> 1 \ ডান}, \ \ (খ) পি \ বাম {এক্স <ওয়াই \ ডান}, এবং \ \ (সি) পি \ বাম {এক্স <a \ ডান}

যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দিয়ে থাকে

f (x, y) = \ শুরু {কেস} 2e ^ {- x} y ^ {- 2y} \ \ 0 <x <\ infty, \ \ 0 <y <\ infty \\ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায়} \ শেষ {কেস}

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ সম্ভাবনার সংজ্ঞাটির সাহায্যে

= \ অন্তঃ _ {- \ infty} ^ {b} \ int _ {- ty infty} ^ {a} f (x, y) dxdy

এবং প্রদত্ত যৌথ ঘনত্ব ফাংশন প্রদত্ত পরিসরের প্রথম সম্ভাবনা হবে

পি \ বাম {এক্স> 1, ওয়াই <1 \ ডান} = \ ইনট_ {0} ^ {1} \ ইনট_ {1} ^ {\ ইনফটি} 2 ই ^ {- এক্স} ই ^ {- 2y} ডিএক্সডি

= \ int_ {0} ^ {1} 2e ^ {- 2y} \ বাম (-e ^ {- x} \ lvert_ {1} ^ {\ infty} \ ডান) ডাই

=e^{-1}\int_{0}^{1}2e^{-2y}dy

= ই ^ {- 1} (1-ই ^ ​​{- 2})

একইভাবে সম্ভাবনা

পি \ বাম {এক্স <ওয়াই \ ডান} = \ ইন্ট _ {(এক্স, ওয়াই):} ^ {} \ इंट_ {এক্স <ওয়াই} {{2 ই ^ {- 2 এক্স} ই ^ {- 2y} ডক্সিডি

=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y}2e^{-2x}e^{-2y}dxdy

= \ int_ {0} ^ {\ infty} 2e ^ {- 2y} (1-ই ^ ​​{- y}) ডিজ

=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}dy - \int_{0}^{\infty}2e^{-3y}dy =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

এবং পরিশেষে

পি \ বাম \ {এক্স <a \ ডান \} = \ ইনট_ {0} ^ {এ} \ ইনট_ {0} ^ {\ ইনফটি} 2 ই ^ {- 2 ই} ই ^ {- এক্স} ডায়ডেক্স

= \ int_ {0} ^ {a} e ^ {- x} dx

= 1-ই ^ ​​{- একটি

  • এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের কোস্টিয়েন্ট এক্স / ওয়াইয়ের জন্য যৌথ ঘনত্বের ফাংশন সন্ধান করুন যদি তাদের যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ক্রিয়া হয়

f (x, y) = \ শুরু {কেস} e ^ {- (x + y)} \ \ 0 <x <\ infty, \ \ 0 <y <\ infty \\ \ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায়} শেষ {কেস}

এক্স / ওয়াই ফাংশনটির সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশনটি সন্ধান করার জন্য আমরা প্রথমে যৌথ বিতরণ ফাংশনটি খুঁজে পাই তারপরে আমরা প্রাপ্ত ফলাফলটিকে পৃথক করব,

সুতরাং যৌথ বিতরণ ফাংশন এবং আমাদের দেওয়া সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সংজ্ঞা দ্বারা

F_ {X} / _ {Y} (a) = P \ বাম {\ frac {X} {Y} \ লেক এ \ ডান}

= \ অন্তঃ _ {\ frac {এক্স} {ওয়াই} \ লেক এ} ^ {} \ ইন্ট ই ^ {- (এক্স + ওয়াই)} ডক্সি

= \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ y ay} e ^ {- (x + y) x dxdy

= \ বাম ty ^ {\ infty

= 1- rac frac {1} {a + 1}

এইভাবে এই বিতরণ ফাংশনটির সাথে আলাদা করে আলাদা করে আমরা ঘনত্বের কাজটি পেয়ে যাব

f _ {\ frac {X} {Y}} (a) = \ frac {1} {(a + 1) ^ {2}

যেখানে একটি শূন্য থেকে অনন্তের মধ্যে।

স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং যৌথ বিতরণ

     মধ্যে যৌথ বিতরণ দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাবনা যদি স্বতন্ত্র থাকে তবে বলা হয়

এ-তে পি {বাম \ এক্স A, ওয়াই \ বি \ ডান} = পি \ বামে {এক্স \ এ \ ডান} পি \ বাম {ওয়াই B বি \ ডান}

যেখানে A এবং B আসল সেট। ইতিমধ্যে ইভেন্টের ক্ষেত্রে আমরা জানি যে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি যার ইভেন্টগুলি স্বাধীন।

এ এবং খ এর যে কোনও মানের জন্য

পি \ বাম {এক্স \ লেক এ, ওয়াই লেক বি \ ডান} = পি \ বাম {এক্স \ লেক এ \ ডান} পি \ বাম {ওয়াই \ লেক বি \ ডান}

এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য যৌথ বিতরণ বা ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হবে

F (a, b) = F_ {X} (a) F_ {Y} (খ) \ \ এর জন্য \ \ সমস্ত \ \ a, b

যদি আমরা তখন বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি X এবং Y বিবেচনা করি

p (x, y) = p_ {X} (x) p_ {Y} (y) \ \ সমস্ত \ \ x, y এর জন্য

থেকে

A \ ^ {} p (x, y) এ পি \ বামে {এক্স \, বি \ রাইটে} = \ যোগ_ {y \ এর মধ্যে योग {

= \ যোগ_ {y B বি} ^ {} \ সাম_ {এক্স \ এ} ^ {} পি_ {এক্স} (এক্স) পি_ {ওয়াই} (y)

= \ যোগ_ {y \ B} p_ {Y} (y) \ যোগ_ {x \ এ} পি_ {এক্স} (এক্স)

= P \ বামে {Y \ B B ডান} P} বামে {X A এ \ ডান}

একইভাবে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্যও

f (x, y) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y) \ \ সমস্ত \ \ x, y এর জন্য

স্বাধীন যৌথ বিতরণের উদাহরণ Example

  1. যদি কোনও হাসপাতালে কোনও নির্দিষ্ট দিনের জন্য প্রবেশ করা রোগীদের প্যারামিটার দিয়ে বিতরণ করা হয় p এবং পুরুষ রোগীর পি হিসাবে এবং মহিলা রোগীর সম্ভাবনা (1-পি) হিসাবে দেখা যায় তবে হাসপাতালে পুরুষ রোগী এবং মহিলা রোগীদের সংখ্যাটি দেখান pop এবং λ (1-পি) পরামিতিগুলির সাথে কি স্বাধীন পোয়েসন এলোমেলো পরিবর্তনশীল?

এক্স এবং ওয়াই এর পরে র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা পুরুষ এবং মহিলা রোগীদের সংখ্যা বিবেচনা করুন

পি \ বাম {এক্স = আমি, ওয়াই = জে \ ডান} = পি \ বাম {এক্স = আই, ওয়াই = জ | এক্স + ওয়াই = আই + জ \ ডান} পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = আই + জে \ ডান } + পি \ বাম {এক্স = আই, ওয়াই = জ | এক্স + ওয়াই i নেক আই + জ \ ডান} পি \ বাম {এক্স + ওয়াই \ নেক আই + জ \ ডান}

পি \ বাম {এক্স = আমি, ওয়াই = জে \ ডান} = পি \ বাম {এক্স = আই, ওয়াই = জ | এক্স + ওয়াই = আই + জ \ ডান} পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = আই + জে \ ডান }

এক্স + ওয়াই হ'ল হাসপাতালে প্রবেশ করা মোট রোগীর সংখ্যা যা পোয়েসন বিতরণ করে

পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = আই + জে \ ডান} = ই ^ {- mb ল্যাম্বদা} rac ফ্র্যাক {\ লাম্বদা ^ {আই + জে}} {(আই + জে)!}

পুরুষ রোগীর সম্ভাবনা পি এবং মহিলা রোগী হিসাবে (1-পি) ঠিক ঠিক স্থির সংখ্যা থেকে পুরুষ বা মহিলা দ্বিপদী সম্ভাবনা দেখায়

পি \ বাম {এক্স = i, ওয়াই = জ | এক্স + ওয়াই = আই + জ \ ডান} = \ বিনোম {আই + জে} {আই} পি ^ {আই} (১-পি) ^ {জে}

এই দুটি মান ব্যবহার করে আমরা উপরের যৌথ সম্ভাবনা হিসাবে পাবেন

পি \ বাম {এক্স = i, ওয়াই = জে \ ডান} = \ বিনোম {আই + জে} আই} পি ^ {আই} (১-পি) {{জে} ই ^ {- {ল্যাম্বদা} rac ফ্র্যাক rac \ ল্যাম্বদা ^ {আমি + জে}} {(আই + জে)!

= ই ^ {- mb ল্যাম্বদা} rac ফ্র্যাক {\ ল্যাম্বদা পি ^ আই} {আমি! j!} \ বাম [\ ল্যাম্বদা (1-পি) \ ডান] ^ {জ}

= ই ^ {- mb ল্যাম্বদা পি \ rac ফ্র্যাক {(\ ল্যাম্বদা পি) ^ আই} {আই!} ই ^ {- \ ল্যাম্বদা (1-পি)} \ ফ্র্যাক {\ বাম [\ ল্যাম্বদা (1-পি) \ ডান] ^ {জে}} {জে!

সুতরাং পুরুষ ও মহিলা রোগীদের সম্ভাবনা থাকবে

পি \ বাম {এক্স = আমি \ ডান} = ই ^ {- mb ল্যাম্বদা পি \ rac ফ্র্যাক {(\ লাম্বদা পি) ^ আই} {আই!} \ যোগ_ {জে} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা (1-পি) } \ frac {\ বাম [\ ল্যাম্বদা (1-পি) \ ডান] ^ {জে}} {জ!} = ই ^ {- mb ল্যাম্বদা পি} \ ফ্র্যাক {(\ ল্যাম্বদা পি) ^ আমি} {আমি!}

এবং

পি \ বাম {ওয়াই = জে \ ডান} = ই ^ {- \ ল্যাম্বদা (1-পি) \ rac ফ্র্যাক {\ বাম [\ ল্যাম্বদা (1-পি) \ ডান]] ^ {জে}} {জ!}

যা উভয়ই দেখায় λp এবং λ (1-পি) পরামিতিগুলির সাথে পিসন এলোমেলো ভেরিয়েবল।

২. সম্ভাব্যতার সন্ধান করুন যে কোনও ব্যক্তির ক্লায়েন্টের জন্য সভায় দশ মিনিটেরও বেশি অপেক্ষা করতে হবে যেন প্রতিটি ক্লায়েন্ট এবং সেই ব্যক্তি অভিন্ন বন্টনের পরে 2 থেকে 12 টার মধ্যে উপস্থিত হন।

সেই ব্যক্তি এবং ক্লায়েন্টের জন্য 12 থেকে 1 এর মধ্যে সময় বোঝাতে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি বিবেচনা করুন যাতে এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথভাবে সম্ভাবনা থাকবে

2 পি \ বাম {এক্স + 10 <ওয়াই \ ডান} = 2 \ ইন্ট_ {এক্স + 10 <ওয়াই} \ ইন্টিফ (এক্স, ওয়াই) ডেক্সডি

= 2 \ ইন্ট_ {এক্স + 10 <ওয়াই} \ ইন্ট এফ_ {এক্স} (এক্স) এফ_ {ওয়াই} (ই) ডিএক্সডি

= 2 \ আন্ত_ {10} ^ {60} \ অন্ত_ {0} ^ {ওয়াই -10 1 \ বাম (\ frac rac 60} {2} \ ডান) ^ {XNUMX} dxdy

=\frac{2}{(60)^{2}}\int_{10}^{60} (y-10)dy

= \ frac {25} {36

গণনা করা

পি \ বাম {X \ geq YZ \ ডান}

যেখানে এক্স, ওয়াই এবং জেড অন্তর (0,1) এর উপরে অভিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল।

এখানে সম্ভাবনা হবে

পি \ বাম {X \ geq YZ \ ডান} = \ ইনট \ ইন্ট_ {এক্স \ গেক ইজ} \ ইন্ট এফ_ {এক্স, ওয়াই, জেড} (এক্স, ওয়াই, জেড) dxdydz

অভিন্ন বিতরণ জন্য ঘনত্ব ফাংশন

f_ {X, Y, Z} (x, y, z) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y) f_ {Z} (z) = 1, \ \ 0 \ লেক এক্স \ লেক 1, \ \ 0 \ লেক y \ লেক 1, \ \ 0 \ লেক জেড \ লেক 1

প্রদত্ত পরিসীমা তাই

=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{yz}^{1} dxdydz

=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (1-yz) dydz

= \ int_ {0} ^ {1} \ বাম (1- \ frac {z} {2} \ ডান) ডায়ডজ

= \ frac {3} {4

যোগদানের বিপরীতে পৃথক পৃথক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি

  অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যোগফল, ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হবে

এফ_ {এক্স + ওয়াই} (ক) = পি \ বাম \ {এক্স + ওয়াই q লেক এ \ বাম \ঠিক, ঠিক.

= \ ইন্ট_ {এক্স + ওয়াই \ লেক এ} f ইন্ট এফ_ {এক্স} (এক্স) এফ_ {ওয়াই} (ওয়াই) ডিএক্সডি

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ int _ _ - ty infty} ^ {ay} f_ {X} (x) f_ {Y} (y) dxdy

= \ অন্তঃ _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {আই} এফ_ {এক্স} (এক্স) ডিএক্স f_ {ওয়াই} (ওয়াই) ডে

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy

এই স্বতন্ত্র অঙ্কগুলির সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটির জন্য এই ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনটিকে আলাদা করে

f_ {X + Y} (a) = \ frac {\ mathrm {d}} {th mathrm {d} a} \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy

f_ {X + Y} (a) = \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} rac frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy

এই দুটি ফলাফল অনুসরণ করে আমরা কিছু ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল হিসাবে তাদের যোগফল দেখতে পাব

স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল

   এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য এক্স এবং ওয়াই সমানভাবে ব্যবধানে বিতরণ করা হয়েছে (0,1) এই দুটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি হ'ল

f_ {X} (a) = f_ {Y} (a) = \ শুরু {কেস} 1 & \ 0 <a <1 \\ \ \ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায়} \ শেষ {কেস}

সুতরাং যোগফলের জন্য আমাদের সাথে এক্স + ওয়াই রয়েছে

f_ {X + Y} (a) = \ int_ {0} ^ {1} f_ {X} (ay) dy

যে কোনও মানের জন্য শূন্য এবং একের মধ্যে একটি মিথ্যা

f_ {X + Y} (a) = \ int_ {0} ^ {a} dy = a

আমরা যদি এক থেকে দুই এর মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি তবে তা হবে

f_ {এক্স + ওয়াই} (ক) = \ ইনট_ {এ -১} ^ {এ y ডাই = ২-এ

এটি ত্রিভুজাকার আকৃতি ঘনত্ব ফাংশন দেয়

f_ {এক্স + ওয়াই} (ক) = \ শুরু {কেস} \ এ এবং 0 \ লেক এ \ লেইक 1 \\ \ 2-a & \ 1 <a <2 \\ \ 0 & \ পাঠ্য {অন্যথায় \ \ শেষ {কেস}

যদি আমরা n টি স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল 1 থেকে n এর জন্য সাধারণ করি তবে তাদের বিতরণ কার্য

F_ {n} (x) = পি \ বাম (X_ {1} + ...... + এক্স_ {n} q লেক এক্স \ ডান)

দ্বারা গাণিতিক আনয়ন হবে

F_ {n} (x) = \ frac {x ^ {n}} {n!}, 0 \ লেক এক্স \ লেক 1

স্বাধীন গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

    আমাদের যদি দুটি সাধারণ গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল থাকে তবে তাদের সাধারণ ঘনত্বের ক্রিয়া রয়েছে

f (y) = rac frac {\ lambda e ^ {- \ lambda y y (\ lambda y) ^ {t-1}} {am গামা (টি)} \ \, 0 <y <\ infty

তারপরে স্বাধীন গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য ঘনত্ব অনুসরণ করে following

f_ {X + Y} (a) = \ frac {1} {\ গামা (গুলি) am গামা (টি) \ \ int_ {0} ^ {a} \ লাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা (আই)} \ বাম [\ ল্যাম্বদা (আই) \ ডান] ^ {এস -1} \ ল্যাম্বদা ই ^ {- mb ল্যাম্বদা ওয়াই} (mb ল্যাম্বদা ওয়াই) ^ {টি -1} ডায়

= কে ই ^ {- mb ল্যাম্বডা এ} \ ইন্ট_ {0} ^ {আ} \ বাম [(অ))] ডান] ^ {এস -1} (y) ^ {t-1} dy

= কে ই ^ {- mb ল্যাম্বদা আ} আ ^ {এস + টি -1} \ ইনট_ {0} ^ {1} (1-এক্স) {{এস -1} এক্স ^ {টি -1} ডিএক্স \ \ দ্বারা \ \ লেট দেওয়া \ \ x = \ frac {y} {a}

= সি ই ^ {- mb ল্যাম্বদা আ} এ ^ {এস + টি -1}

f_ {X + Y} (a) = \ frac {\ লাম্বদা ই ^ {- \ ল্যাম্বদা আ} (\ লাম্বদা ক) ^ {এস + টি -1}} {\ গামা (এস + টি)}

এটি গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য ঘনত্বের কার্যটি দেখায় যা স্বতন্ত্র

স্বতন্ত্র তাত্পর্যপূর্ণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

    গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মতো একইভাবে স্বাধীন এক্সফোনেনশিয়াল এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল আমরা কেবল গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান নির্দিষ্ট করে ঘনত্ব ফাংশন এবং বিতরণ ফাংশন অর্জন করতে পারি।

স্বতন্ত্র সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল স্বতন্ত্র সাধারণ বিতরণের যোগফল

                আমাদের কাছে যদি স্বতন্ত্র সাধারণ এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যা হয় এক্সi , i = 1,2,3,4… .n সংশ্লিষ্ট উপায়ে μi এবং রূপগুলি σ2i তাহলে তাদের যোগফল Σμ হিসাবে গড়ের সাথেও স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল Σμi  এবং রূপগুলি Σσ2i

    আমরা প্রথমে 0 এবং para পরামিতিগুলির সাথে দুটি স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের জন্য সাধারণভাবে বিতরণ করা স্বতন্ত্র যোগফল দেখি show2 এবং Y এবং 0 এবং 1 পরামিতিগুলির সাথে, আসুন আমরা X + Y এর যোগফলের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি খুঁজে পাই

c = \ frac {1} {2 \ সিগমা ^ {2}} + \ frac {1} {2} = \ frac {1+ ig সিগমা ^ 2 2} {2 {সিগমা ^ {XNUMX}}

যৌথ বিতরণ ঘনত্ব ফাংশন

f_ {X + Y} (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) dy

সাধারণ বিতরণের ঘনত্বের ক্রিয়া সংজ্ঞায়নের সহায়তায়

f_ {X} (ay) f_ {Y} (y) = \ frac {1} {q sqrt {2 \ pi} ig সিগমা} এক্সপ্রেস \ বাম {- rac frac {(ay) {{2}} {2 \ সিগমা ^ {2}} \ রাইট} rac frac {1} {q স্কয়ার্ট {2 \ পিআই} এক্সপ্রেস \ বাম {- rac frac {y ^ {2} {2} \ ডান}

= rac frac {1} {2 \ পাই ig সিগমা} এক্সপ্রেস {বাম {- rac frac {a ^ {2}} {2 \ সিগমা {{2}}} ডান \ এক্সপ্রেস {বাম {-সি \ বাম (y ^ {2} -2y \ frac {a} {1+ \ সিগমা ^ {2}} \ ডান) \ ডান}

এইভাবে ঘনত্ব ফাংশন হবে

f_ {X + Y} (a) = \ frac {1} {2 \ pi ig sigma} exp \ বাম {- \ frac \ a ^ {2}} {2 \ সিগমা {2 2 ^} \ ডান} এক্সপ্রেস \ বাম {rac frac {a ^ {2}} {2 \ সিগমা {{1} (2+ \ সিগমা {{1}) \ \ ডান} এক্স \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} এক্সপ্রেস \ বাম { -সি \ বাম (y- \ frac {a} {2+ \ সিগমা ^ {2}} \ ডান) ^ {XNUMX} \ ডান} dy

= rac frac {1} {2 \ pi ig sigma} exp \ বাম {- rac frac {a ^ {2}} {2 (1+ ig সিগমা ^ {2})} \ ডান} \ অন্ত _ _ _ - {ইনফটি} ^ {\ infty} exp \ বাম {-cx ^ {2} \ ডান} dx

= সি এক্সপ্রেস \ বাম {- \ frac {a ^ {2}} {2 (1+ ig সিগমা ^ {2})} \ ডান}

যা গড় 0 এবং বৈকল্পিক (1 + with) সহ সাধারণ বিতরণের ঘনত্ব ফাংশন ছাড়া কিছুই নয় σ2) একই যুক্তি অনুসরণ করে আমরা বলতে পারি

এক্স_ {1} + এক্স_ {2} = ig সিগমা {2} \ বাম (\ frac {এক্স {1} - \ মিউ {1}} {\ সিগমা {2}} + \ ফ্র্যাক {এক্স_ {2} - \ মিউ {2}} {\ সিগমা {2}} \ ডান) + \ মু {1} + \ মিউ {2}

স্বাভাবিক গড় এবং বৈকল্পিকগুলি সহ। আমরা যদি প্রসারণ গ্রহণ করি এবং পর্যবেক্ষণ করি তবে সাধারণত যথাযথভাবে সংশ্লিষ্ট অর্থের যোগফল হিসাবে এবং তারতম্যের যোগফল হিসাবে ভিন্নতার যোগফল হিসাবে বিতরণ করা হয়,

সুতরাং একইভাবে নবম যোগটি distributed হিসাবে গড়ের সাথে সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল হবে Σμi  এবং রূপগুলি Σσ2i

স্বতন্ত্র পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির যোগফল

যদি প্যারামিটার with সহ দুটি স্বতন্ত্র পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই থাকে λ1 এবং λ2 তারপরে তাদের যোগফল এক্স + ওয়াই পয়সন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা পোইসন বিতরণ

যেহেতু এক্স এবং ওয়াই পোইসন বিতরণ করা হয়েছে এবং আমরা তাদের যোগফলগুলি তাত্পর্যপূর্ণ ইভেন্টগুলির ইউনিয়ন হিসাবে লিখতে পারি

পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = n \ ডান} = \ যোগ_ {কে = 0} ^ {n} পি \ বাম {এক্স = কে, ওয়াই = এন কে \ ডান}

= \ যোগ_ {কে = 0} ^ {n} পি \ বাম {এক্স = কে \ ডান}, পি \ বাম {ওয়াই = এন কে \ ডান}

= \ যোগ_ {কে = 0} ^ {n} ই ^ {- mb ল্যাম্বদা {1}} \ ফ্রোক {\ ল্যাম্বদা {1} ^ {কে}} {কে!} ই ^ {- \ লাম্বদা {2}} \ frac {\ ল্যাম্বদা {2} ^ k এন কে}} {(এন কে)!

স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনার সম্ভাবনা ব্যবহার করে

= ই ^ {- (\ ল্যাম্বদা {1} + \ ল্যাম্বদা {2}) \ \ যোগ_ {কে = 0} ^ {এন} rac ফ্রেস {\ ল্যাম্বদা {1} ^ {কে} \ ল্যাম্বদা {2} ^ { k এনকে }} {কে! (এন কে)!

= rac frac {e ^ {- (\ ল্যাম্বদা {1} + \ ল্যাম্বদা {2})}} {n!} \ যোগ_ {কে = 0} ^ {n} rac ফ্র্যাক {n!} {কে! (এন কে) !} \ ল্যাম্বদা {1} ^ {কে} \ ল্যাম্বদা {2} ^ {এনকে}

= rac frac {e ^ {- (\ ল্যাম্বদা {1} + \ ল্যাম্বদা {2})}} {n!} (\ ল্যাম্বদা {1} + \ লাম্বদা {2}) ^ {n}

সুতরাং আমরা এক্স + ওয়াইডের যোগফল পাই iss এর সাথে পয়সনও বিতরণ করি λ1 + + λ2

স্বতন্ত্র দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

                আমাদের যদি দুটি স্বতন্ত্র দ্বি-দ্বৈত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি X এবং Y থাকে যার সাথে প্যারামিটার (এন, পি) এবং (মি, পি) থাকে তবে তাদের যোগফল এক্স + ওয়াইটি দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল বা দ্বিপদী প্যারামিটার (এন + মি, পি) দিয়ে বিতরণ করা হয়

দ্বি দ্বি হিসাবে সংজ্ঞা হিসাবে যোগফল সম্ভাবনা ব্যবহার করুন

পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = কে \ ডান} = \ যোগ_ {i = 0} ^ {n} পি \ বাম {এক্স = i, ওয়াই = কি \ ডান}

= \ যোগ_ {i = 0} ^ {n} পি \ বাম {এক্স = আমি \ ডান} পি \ বাম {ওয়াই = কি \ ডান}

= \ যোগ_ {i = 0} ^ {n} \ বিনোম {n} {i} পি ^ {আই} কিউ ^ i নি} \ বিনম {এম} {কি} পি ^ {কি} কিউ ^ {এম-কে + আমি

যেখানে \ \ q = 1-p \ \ এবং \ \ যেখানে \ \ \ বিনোম {আর} {জ} = 0 \ \ যখন \ \ জ <0

\ বিনম {এম + এন} {কে} = \ সম_ _ i = 0} ^ ^ n} \ om বিনম {n} {i} \ বিনম {এম} {কি}

যা দেয়

পি \ বাম {এক্স + ওয়াই = কে \ ডান} = পি ^ {কে} কিউ ^ {n + এমকে} \ সম_ {i = 0} ^ {n} \ বিনম {n} {i} \ বিনোম {এম} { কি

সুতরাং এক্স + ওয়াসফলটি প্যারামিটার (এন + মি, পি) দিয়ে দ্বি দ্বি বিতরণ করা হয়।

উপসংহার:

যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ধারণা যা পরিস্থিতিতে একাধিক ভেরিয়েবলের জন্য তুলনামূলকভাবে বিতরণ দেয় তা ছাড়াও যৌথ বন্টনের সাহায্যে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বুনিয়াদি ধারণা এবং বিতরণের কিছু উদাহরণ সহ স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের যোগফল দেওয়া হয় with তাদের প্যারামিটারগুলি, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে উল্লিখিত বইগুলি পড়ুন। গণিতে আরও পোস্টের জন্য দয়া করে এখানে ক্লিক করুন.

https://en.wikipedia.org

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল | এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য এবং 5 টি উদাহরণআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X