যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবল: 11টি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

সন্তুষ্ট

• যৌথভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয়েছে
• যৌথ বিতরণ অনুষ্ঠান | যৌথ সংক্ষিপ্ত সম্ভাবনা বিতরণ ফাংশন | যৌথ সম্ভাবনা গণ ফাংশন | যৌথ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন
• যৌথ বিতরণের উদাহরণ
• স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং যৌথ বিতরণ
• স্বাধীন যৌথ বিতরণের উদাহরণ Example
• যোগদানের বিপরীতে পৃথক পৃথক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি
• স্বতন্ত্র তাত্পর্যপূর্ণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল
• স্বাধীন গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল
• স্বতন্ত্র তাত্পর্যপূর্ণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল
• স্বতন্ত্র সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল স্বতন্ত্র সাধারণ বিতরণের যোগফল
• স্বতন্ত্র পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির যোগফল
• স্বতন্ত্র দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

যৌথভাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিতরণ করা হয়েছে

     যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির জন্য একাধিক সম্ভাব্যতাযুক্ত এগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্য যৌথভাবে বিতরণ করা হয়, অন্য কথায় পরীক্ষায় যেখানে তাদের সাধারণ সম্ভাবনার সাথে পৃথক ফলাফলটি যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা যৌথ বিতরণ হিসাবে পরিচিত, এ জাতীয় পরিস্থিতি দেখা দেয় সম্ভাবনা সমস্যা ডিল করার সময় ঘন ঘন।

যৌথ বিতরণ অনুষ্ঠান | যৌথ সংক্ষিপ্ত সম্ভাবনা বিতরণ ফাংশন | যৌথ সম্ভাবনা গণ ফাংশন | যৌথ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন

    এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন বা যৌথ ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন

যেখানে যৌথ সম্ভাবনার প্রকৃতি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই এর স্বভাবের উপর নির্ভর করে হয় বিচ্ছিন্ন বা ধারাবাহিকভাবে এবং এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য পৃথক বিতরণ ফাংশনগুলি এই যৌথ संचयी বিতরণ ফাংশনটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে

একইভাবে ওয়াই হিসাবে

যৌথ বিতরণ বিবেচনাধীন থাকা অবস্থায় এক্স এবং ওয়াইয়ের এই পৃথক বিতরণ ফাংশনগুলি প্রান্তিক বিতরণ ফাংশন হিসাবে পরিচিত। এই বিতরণগুলি সম্ভাব্যতা পেতে যেমন খুব সহায়ক

এবং উপরন্তু র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y-এর জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

X এবং Y-এর জন্য পৃথক সম্ভাব্যতা ভর বা ঘনত্ব ফাংশন এই ধরনের যৌথ সম্ভাব্যতা ভর বা ঘনত্ব ফাংশনের সাহায্যে প্রাপ্ত করা যেতে পারে যেমন পরিপ্রেক্ষিতে পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল as

এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে যৌথ সম্ভাবনার ঘনত্বের ক্রিয়া হবে

যেখানে সি হল দুটি দ্বিমাত্রিক বিমান এবং ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ বিতরণ ফাংশন হবে

এই বিতরণ ফাংশন থেকে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন পার্থক্য দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে

এবং যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন থেকে প্রান্তিক সম্ভাবনা

as

এবং

যথাক্রমে X এবং Y এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রতি শ্রদ্ধা জানাতে

যৌথ বিতরণের উদাহরণ

1. এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথ সম্ভাবনাগুলি 3 টি বই এলোমেলোভাবে গ্রহণ করা হয় তবে 4 টি গণিত, 5 পরিসংখ্যান এবং 3 পদার্থবিজ্ঞানের বই রয়েছে এমন একটি বইয়ের সেট থেকে গণিত এবং পরিসংখ্যান বইয়ের সংখ্যা উপস্থাপন করে

• জয়েন্ট খুঁজুন সম্ভাব্য ভর ফাংশন পরিবারের নমুনার জন্য 15% নেই সন্তান, 20% 1 সন্তান, 35% 2 সন্তান এবং 30% 3 সন্তান যদি আমরা এই নমুনা থেকে এলোমেলোভাবে সন্তানকে ছেলে না মেয়ে হওয়ার জন্য বেছে নিই?

সংজ্ঞা হিসাবে আমরা সংজ্ঞা ব্যবহার করে খুঁজে পাব

এবং এটি আমরা নিম্নরূপে সারণী আকারে চিত্রিত করতে পারি

• সম্ভাবনা গণনা করুন

যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দিয়ে থাকে

অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ সম্ভাবনার সংজ্ঞাটির সাহায্যে

এবং প্রদত্ত যৌথ ঘনত্ব ফাংশন প্রদত্ত পরিসরের প্রথম সম্ভাবনা হবে

একইভাবে সম্ভাবনা

এবং পরিশেষে

• এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের কোস্টিয়েন্ট এক্স / ওয়াইয়ের জন্য যৌথ ঘনত্বের ফাংশন সন্ধান করুন যদি তাদের যৌথ সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ক্রিয়া হয়

এক্স / ওয়াই ফাংশনটির সম্ভাব্যতা ঘনত্বের ফাংশনটি সন্ধান করার জন্য আমরা প্রথমে যৌথ বিতরণ ফাংশনটি খুঁজে পাই তারপরে আমরা প্রাপ্ত ফলাফলটিকে পৃথক করব,

সুতরাং যৌথ বিতরণ ফাংশন এবং আমাদের দেওয়া সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সংজ্ঞা দ্বারা

এইভাবে এই বিতরণ ফাংশনটির সাথে আলাদা করে আলাদা করে আমরা ঘনত্বের কাজটি পেয়ে যাব

যেখানে একটি শূন্য থেকে অনন্তের মধ্যে।

স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং যৌথ বিতরণ

     মধ্যে যৌথ বিতরণ দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের সম্ভাবনা যদি স্বতন্ত্র থাকে তবে বলা হয়

যেখানে A এবং B আসল সেট। ইতিমধ্যে ইভেন্টের ক্ষেত্রে আমরা জানি যে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি যার ইভেন্টগুলি স্বাধীন।

এ এবং খ এর যে কোনও মানের জন্য

এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য যৌথ বিতরণ বা ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হবে

যদি আমরা তখন বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি X এবং Y বিবেচনা করি

থেকে

একইভাবে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্যও

স্বাধীন যৌথ বিতরণের উদাহরণ Example

1. যদি কোনও হাসপাতালে কোনও নির্দিষ্ট দিনের জন্য প্রবেশ করা রোগীদের প্যারামিটার দিয়ে বিতরণ করা হয় p এবং পুরুষ রোগীর পি হিসাবে এবং মহিলা রোগীর সম্ভাবনা (1-পি) হিসাবে দেখা যায় তবে হাসপাতালে পুরুষ রোগী এবং মহিলা রোগীদের সংখ্যাটি দেখান pop এবং λ (1-পি) পরামিতিগুলির সাথে কি স্বাধীন পোয়েসন এলোমেলো পরিবর্তনশীল?

এক্স এবং ওয়াই এর পরে র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা পুরুষ এবং মহিলা রোগীদের সংখ্যা বিবেচনা করুন

এক্স + ওয়াই হ'ল হাসপাতালে প্রবেশ করা মোট রোগীর সংখ্যা যা পোয়েসন বিতরণ করে

পুরুষ রোগীর সম্ভাবনা পি এবং মহিলা রোগী হিসাবে (1-পি) ঠিক ঠিক স্থির সংখ্যা থেকে পুরুষ বা মহিলা দ্বিপদী সম্ভাবনা দেখায়

এই দুটি মান ব্যবহার করে আমরা উপরের যৌথ সম্ভাবনা হিসাবে পাবেন

সুতরাং পুরুষ ও মহিলা রোগীদের সম্ভাবনা থাকবে

এবং

যা উভয়ই দেখায় λp এবং λ (1-পি) পরামিতিগুলির সাথে পিসন এলোমেলো ভেরিয়েবল।

২. সম্ভাব্যতার সন্ধান করুন যে কোনও ব্যক্তির ক্লায়েন্টের জন্য সভায় দশ মিনিটেরও বেশি অপেক্ষা করতে হবে যেন প্রতিটি ক্লায়েন্ট এবং সেই ব্যক্তি অভিন্ন বন্টনের পরে 2 থেকে 12 টার মধ্যে উপস্থিত হন।

সেই ব্যক্তি এবং ক্লায়েন্টের জন্য 12 থেকে 1 এর মধ্যে সময় বোঝাতে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি বিবেচনা করুন যাতে এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথভাবে সম্ভাবনা থাকবে

গণনা করা

যেখানে এক্স, ওয়াই এবং জেড অন্তর (0,1) এর উপরে অভিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল।

এখানে সম্ভাবনা হবে

অভিন্ন বিতরণ জন্য ঘনত্ব ফাংশন

প্রদত্ত পরিসীমা তাই

যোগদানের বিপরীতে পৃথক পৃথক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি

  অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সহ স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যোগফল, ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হবে

এই স্বতন্ত্র অঙ্কগুলির সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটির জন্য এই ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনটিকে আলাদা করে

এই দুটি ফলাফল অনুসরণ করে আমরা কিছু ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল হিসাবে তাদের যোগফল দেখতে পাব

স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল

   জন্য এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y সমানভাবে ব্যবধানে বিতরণ করা হয় (0,1) এই উভয় স্বাধীন চলকের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন

সুতরাং যোগফলের জন্য আমাদের সাথে এক্স + ওয়াই রয়েছে

যে কোনও মানের জন্য শূন্য এবং একের মধ্যে একটি মিথ্যা

আমরা যদি এক থেকে দুই এর মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি তবে তা হবে

এটি ত্রিভুজাকার আকৃতি ঘনত্ব ফাংশন দেয়

যদি আমরা n টি স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল 1 থেকে n এর জন্য সাধারণ করি তবে তাদের বিতরণ কার্য

দ্বারা গাণিতিক আনয়ন হবে

স্বাধীন গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

    আমাদের যদি দুটি সাধারণ গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল থাকে তবে তাদের সাধারণ ঘনত্বের ক্রিয়া রয়েছে

তারপরে স্বাধীন গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য ঘনত্ব অনুসরণ করে following

এটি গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য ঘনত্বের কার্যটি দেখায় যা স্বতন্ত্র

স্বতন্ত্র তাত্পর্যপূর্ণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

    গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মতো একইভাবে স্বাধীন এক্সফোনেনশিয়াল এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল আমরা কেবল গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান নির্দিষ্ট করে ঘনত্ব ফাংশন এবং বিতরণ ফাংশন অর্জন করতে পারি।

স্বতন্ত্র সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল স্বতন্ত্র সাধারণ বিতরণের যোগফল

                যদি আমাদের কাছে n সংখ্যার স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম চলক Xi , i=1,2,3,4….n থাকে যার অর্থ μi এবং প্রকরণ σ2i তারপর তাদের যোগফল Σμi এবং প্রকরণ Σσ2i হিসাবে গড় সহ স্বাভাবিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীলও

    আমরা প্রথমে 0 এবং para পরামিতিগুলির সাথে দুটি স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের জন্য সাধারণভাবে বিতরণ করা স্বতন্ত্র যোগফল দেখি show² এবং Y এবং 0 এবং 1 পরামিতিগুলির সাথে, আসুন আমরা X + Y এর যোগফলের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি খুঁজে পাই

যৌথ বিতরণ ঘনত্ব ফাংশন

সাধারণ বিতরণের ঘনত্বের ক্রিয়া সংজ্ঞায়নের সহায়তায়

এইভাবে ঘনত্ব ফাংশন হবে

যা a এর ঘনত্ব ফাংশন ছাড়া আর কিছুই নয় স্বাভাবিক বন্টন গড় 0 এবং ভ্যারিয়েন্স (1+σ2) সহ একই যুক্তি অনুসরণ করে আমরা বলতে পারি

স্বাভাবিক গড় এবং বৈকল্পিকগুলি সহ। আমরা যদি প্রসারণ গ্রহণ করি এবং পর্যবেক্ষণ করি তবে সাধারণত যথাযথভাবে সংশ্লিষ্ট অর্থের যোগফল হিসাবে এবং তারতম্যের যোগফল হিসাবে ভিন্নতার যোগফল হিসাবে বিতরণ করা হয়,

সুতরাং একইভাবে নবম যোগটি distributed হিসাবে গড়ের সাথে সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল হবে Σμ_i  এবং রূপগুলি Σσ²_i

স্বতন্ত্র পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির যোগফল

যদি প্যারামিটার with সহ দুটি স্বতন্ত্র পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই থাকে λ₁ এবং λ₂ তারপরে তাদের যোগফল এক্স + ওয়াই পয়সন এলোমেলো পরিবর্তনশীল বা পোইসন বিতরণ

যেহেতু এক্স এবং ওয়াই পোইসন বিতরণ করা হয়েছে এবং আমরা তাদের যোগফলগুলি তাত্পর্যপূর্ণ ইভেন্টগুলির ইউনিয়ন হিসাবে লিখতে পারি

স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনার সম্ভাবনা ব্যবহার করে

সুতরাং আমরা এক্স + ওয়াইডের যোগফল পাই iss এর সাথে পয়সনও বিতরণ করি λ₁ + + λ₂

স্বতন্ত্র দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

                আমাদের যদি দুটি স্বতন্ত্র দ্বি-দ্বৈত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি X এবং Y থাকে যার সাথে প্যারামিটার (এন, পি) এবং (মি, পি) থাকে তবে তাদের যোগফল এক্স + ওয়াইটি দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল বা দ্বিপদী প্যারামিটার (এন + মি, পি) দিয়ে বিতরণ করা হয়

দ্বি দ্বি হিসাবে সংজ্ঞা হিসাবে যোগফল সম্ভাবনা ব্যবহার করুন

যা দেয়

সুতরাং এক্স + ওয়াসফলটি প্যারামিটার (এন + মি, পি) দিয়ে দ্বি দ্বি বিতরণ করা হয়।

উপসংহার:

যৌথভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ধারণা যা পরিস্থিতিতে একাধিক ভেরিয়েবলের জন্য তুলনামূলকভাবে বিতরণ দেয় তা ছাড়াও যৌথ বন্টনের সাহায্যে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বুনিয়াদি ধারণা এবং বিতরণের কিছু উদাহরণ সহ স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের যোগফল দেওয়া হয় with তাদের প্যারামিটারগুলি, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে উল্লিখিত বইগুলি পড়ুন। গণিতে আরও পোস্টের জন্য দয়া করে এখানে ক্লিক করুন.

https://en.wikipedia.org

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা