2D স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: 11টি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

2D স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে অবস্থান

Locus একটি ল্যাটিন শব্দ। এটি 'স্থান' বা 'অবস্থান' শব্দ থেকে উদ্ভূত হয়েছে। Locus এর বহুবচন হল Loci.

লোকাসের সংজ্ঞা:

জ্যামিতিতে, 'লোকাস' হল বিন্দুর একটি সেট যা একটি চিত্র বা আকৃতির এক বা একাধিক নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে। আধুনিক গণিতে, জ্যামিতিক অবস্থার প্রদত্ত সন্তোষজনকভাবে সমতলে একটি বিন্দু যে অবস্থান বা পথ দিয়ে চলে, তাকে বিন্দুর অবস্থান বলে।

জ্যামিতিতে তাদের ভিতরে শীর্ষবিন্দু বা কোণ রয়েছে এমন আকারগুলি ছাড়া রেখা, রেখার অংশ এবং নিয়মিত বা অনিয়মিত বাঁকা আকৃতিগুলির জন্য লোকাসকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

লোকাসের উদাহরণ:

রেখা, বৃত্ত, উপবৃত্ত, প্যারাবোলা, হাইপারবোলা ইত্যাদি এই সমস্ত জ্যামিতিক আকারগুলি বিন্দুর অবস্থান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

লোকাসের সমীকরণ:

জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য বা অবস্থার বীজগণিত রূপ যা লোকাসের সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, সেই বিন্দুগুলির অবস্থানের সমীকরণ হিসাবে পরিচিত।

লোকাসের সমীকরণ প্রাপ্ত করার পদ্ধতি:

একটি সমতলে চলমান বিন্দুর অবস্থানের সমীকরণ খুঁজে পেতে, নীচে বর্ণিত প্রক্রিয়াটি অনুসরণ করুন

(i) প্রথমে, অনুমান করুন একটি সমতলে চলমান বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h,k)।

(ii) দ্বিতীয়ত, প্রদত্ত জ্যামিতিক অবস্থা বা বৈশিষ্ট্য থেকে h এবং k সহ একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ বের করুন।

(iii) তৃতীয়ত, উপরের সমীকরণে h এবং k কে যথাক্রমে x এবং y দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন। এখন এই সমীকরণটিকে সমতলের চলমান বিন্দুর অবস্থানের সমীকরণ বলা হয়। (x,y) হল চলন্ত বিন্দুর বর্তমান স্থানাঙ্ক এবং লোকাসের সমীকরণটি সর্বদা x এবং y অর্থাৎ বর্তমান স্থানাঙ্কের আকারে বের করতে হবে।

লোকাস সম্পর্কে ধারণাটি পরিষ্কার করার জন্য এখানে কিছু উদাহরণ রয়েছে।

4+লোকাসে বিভিন্ন ধরনের সমাধান করা সমস্যা:

সমস্যা 1: If P XY- সমতলের যেকোনো বিন্দু হতে হবে যা দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে এ (3,2) এবং B(2,-1) একই সমতলে, তারপর গ্রাফ সহ P বিন্দুর লোকাস এবং অবস্থানের সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান: 

সঁচারপথ
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

অনুমান করুন যে কোন বিন্দুর স্থানাঙ্কের অবস্থান P এক্সওয়াই-প্লেনে আছে (এইচ, কে).

যেহেতু, A এবং B থেকে P সমান দূরত্বে, আমরা লিখতে পারি

A থেকে P এর দূরত্ব = B থেকে P এর দূরত্ব

অথবা, |PA|=|PB|

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 51
ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 46

অথবা, (h2 -6 ঘন্টা+9+ কে2 -4k+4) = (h2 -4 ঘন্টা+4+ কে2 +2k+1)——– উভয় দিকে বর্গক্ষেত্র নেওয়া।

অথবা, জ2 -6 ঘন্টা+13+ কে2 -4k -h2+4h-5-k2 -2k = 0

অথবা, -2h -6k+8 = 0

অথবা, h+3k -4 = 0

অথবা, h+3k = 4 ——– (1)

এটি h এবং k এর একটি প্রথম ডিগ্রি সমীকরণ।

এখন যদি h এবং k কে x এবং y দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয় তাহলে সমীকরণ (1) x + 3y = 4 আকারে x এবং y এর প্রথম ডিগ্রি সমীকরণে পরিণত হয় যা একটি সরল রেখাকে উপস্থাপন করে।

অতএব, XY- সমতলের P(h, k) বিন্দুর অবস্থানটি একটি সরল রেখা এবং অবস্থানটির সমীকরণ হল x + 3y = 4। (উঃ)


সমস্যা 2: যদি একটি বিন্দু R XY- প্লেনে এমনভাবে চলে যায় যে RA : RB = 3:2 যেখানে পয়েন্টের স্থানাঙ্ক A এবং B হয় (-5,3) এবং (২০১০) যথাক্রমে একই সমতলে, তারপর R বিন্দুর অবস্থান খুঁজুন।

R-এর অবস্থানের সমীকরণটি কোন ধরনের বক্ররেখা নির্দেশ করে?

সমাধান: ধরা যাক যে প্রদত্ত বিন্দুর অবস্থানের উপর কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক R XY-বিমানে হতে (m, n).

Asper প্রদত্ত শর্ত RA : RB = 3:2,

আমাদের আছে,

(A থেকে R-এর দূরত্ব) / (B থেকে R-এর দূরত্ব) = 3/2

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 47

অথবা, (মি2 +10m+34+n2 -6n) / (মি2 -4m+n2 -8n+20) =9/4 ———– উভয় দিকে বর্গক্ষেত্র নিচ্ছে।

অথবা, 4(মি2 +10m+34+n2 -6n) = 9(মি2 -4m+n2 -8n+20)

অথবা, 4 মি2 +40m+136+4n2 -24n = 9 মি2 -36m+9n2 -72n+180)

অথবা, 4 মি2 +40m+136+4n2 -24n – 9মি2 +36m-9n2 +72n-180 = 0

অথবা, -5 মি2 +76m-5n2+48n-44 = 0

অথবা, 5(মি2+n2-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

এটি m এবং n এর একটি দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ।

এখন যদি m এবং n কে x এবং y দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, তাহলে সমীকরণ (1) 5(x) আকারে x এবং y এর দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণে পরিণত হবে।2+y2)-76x+48y+44 = 0 যেখানে x এর সহগ2 এবং y2 একই এবং xy এর সহগ শূন্য। এই সমীকরণটি একটি বৃত্তের প্রতিনিধিত্ব করে।

অতএব, XY- সমতলের R(m, n) বিন্দুর অবস্থানটি একটি বৃত্ত এবং অবস্থানটির সমীকরণ হল

5 (এক্স2+y2)-76x+48y+44 = 0 (উঃ)


সমস্যা 3: (θ,aCosθ,bSinθ) এর সমস্ত মানের জন্য স্থানাঙ্ক হল একটি বিন্দু P যা XY সমতলে চলে। P এর অবস্থানের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান: চলুন (h, k) XY- সমতলের P এর অবস্থানে থাকা যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

তাহলে প্রশ্ন করলে আমরা বলতে পারি

h = একটি Cosθ

অথবা, h/a = Cosθ —————(1)

এবং k = b Sinθ

অথবা, k/b = Sinθ —————(2)

এখন (1) এবং (2) উভয় সমীকরণের বর্গ নিচ্ছি এবং তারপর যোগ করছি, আমাদের সমীকরণ আছে

h2/a2 + কে2/b2 = Cos2θ + পাপ2θ

অথবা, জ2/a2 + কে2/b2 = 1 (যেহেতু Cos2θ + পাপ2θ = ত্রিকোণমিতিতে)

তাই P বিন্দুর অবস্থানের সমীকরণ হল x2/a2 + y2/b2 = 1। (উঃ)


সমস্যা 4: Q-এর স্থানাঙ্কগুলি হলে XY- সমতলের উপর চলমান বিন্দু Q-এর অবস্থানের সমীকরণ খুঁজুন

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 1 1

যেখানে u হল পরিবর্তনশীল পরামিতি।

সমাধান: XY-প্লেনে চলার সময় প্রদত্ত বিন্দু Q-এর অবস্থানে যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হতে দিন।

তারপর, h = ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 3এবং k = ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 2

যেমন h(3u+2) = 7u-2 এবং k(u-1) = 4u+5

অর্থাৎ (3h-7)u = -2h-2 এবং (k-4)u = 5+k

অর্থাৎ u =ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 4 —————(1)

এবং u = ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 5 —————(2)

এখন সমীকরণ (1) এবং (2) সমীকরণ করলে আমরা পাই, ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 6

অথবা, (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

অথবা, -5hk-7h+5k = -43

অথবা, 5hk+7h-5k = 43

অতএব, Q-এর অবস্থানের সমীকরণ হল 5xy+7x-5y = 43।


আপনার নিজের দ্বারা অনুশীলনের জন্য উত্তর সহ লোকাসের আরও উদাহরণ:

সমস্যা 5: যদি θ একটি চলক হয় এবং u একটি ধ্রুবক হয়, তাহলে দুটি সরল রেখা x Cosθ + y Sinθ = u এবং x Sinθ- y Cosθ = u এর ছেদ বিন্দুর অবস্থানের সমীকরণটি খুঁজুন। (উত্তর এক্স2+y2 =2উ2 )

সমস্যা 6: অক্ষের মধ্যবর্তী সরলরেখা x Sinθ + y Cosθ = t রেখা খণ্ডের মধ্যবিন্দুর লোকাসের সমীকরণ খুঁজুন। (উত্তর। 1/x2+ + 1 /y2 =4/t2 )

সমস্যা 7: যদি একটি বিন্দু P XY- সমতলের উপর এমনভাবে চলতে থাকে যে বিন্দু দ্বারা তৈরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল দুটি বিন্দু (2,-1) এবং (3,4)। (উত্তর 5x-y=11)


সূত্রের প্রাথমিক উদাহরণ "একটি ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু"  2D স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে

ভরকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যক সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ ক্ষেত্রটিতে অবস্থিত এবং যে কোন শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুতে 2:1 অনুপাতে মধ্যকে ভাগ করে। এই বিন্দুটিকে ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু বলা হয়।   

সমস্যা 1: শীর্ষবিন্দু (-1,0), (0,4) এবং (5,0) সহ ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েড খুঁজুন।

সমাধান:  আমরা ইতিমধ্যে জানি,

                                             If  A(x1,y1) B(x2,y2) এবং C(x3,y3) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং G(x, y) সেন্ট্রয়েড হও ত্রিভুজের, তারপর এর স্থানাঙ্ক G হয়

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 7

এবং

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 8 1

এই সূত্র ব্যবহার করে আমাদের আছে, 

(x1,y1) ≌(-1,0) অর্থাৎ x1= -1, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,4) অর্থাৎ   x2= 0, y2= 4 এবং

(x3,y3) ≌(5,0) অর্থাৎ   x3= 5, y3=0

(সূত্রের চার্ট দেখুন)

স্ক্রিনশট 17
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

সুতরাং, সেন্ট্রোয়েড G এর x-স্থানাঙ্ক,   ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 9

অর্থাত ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 10

যেমন x=4/3

                  এবং 

সেন্ট্রোয়েড G এর y-অর্ডিনেট,  ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 11

অর্থাত ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 12

যেমন y=4/3

অতএব, প্রদত্ত ত্রিভুজের কেন্দ্রিক স্থানাঙ্ক হল ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 13 . (উত্তর)

উপরের সমস্যা 1 এ বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল:-

সমস্যা 2: (-3,-1), (-1,3)) এবং (1,1) বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েডের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন।

উওর। (-1,1)

সমস্যা 3: শীর্ষবিন্দু (5,2), (10,4) এবং (6,-1) সহ ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েডের x-অর্ডিনেট কী?

উওর।

সমস্যা 4: একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হল (5,9), (2,15) এবং (11,12)। এই ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু খুঁজুন।

উওর। (২০১০)


মূল স্থানান্তর / অক্ষের অনুবাদ- 2D কো-অর্ডিনেট জ্যামিতি

অরিজিনের স্থানান্তর মানে অক্ষগুলির অভিযোজন অপরিবর্তিত রেখে মূলকে একটি নতুন বিন্দুতে স্থানান্তর করা অর্থাৎ নতুন অক্ষগুলি একই সমতলে মূল অক্ষগুলির সমান্তরাল থাকে। অক্ষের এই অনুবাদের মাধ্যমে বা মূল প্রক্রিয়ার স্থানান্তরের মাধ্যমে জ্যামিতিক আকারের বীজগণিতীয় সমীকরণের অনেক সমস্যা সরলীকৃত এবং সহজেই সমাধান করা যায়।

"উৎপত্তি স্থানান্তর" বা "অক্ষের অনুবাদ" এর সূত্রটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা সহ নীচে বর্ণিত হয়েছে।

সূত্র:

O যদি উৎপত্তি হয়, P(x,y) XY সমতলে যেকোন বিন্দু হয় এবং O অন্য বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয় O′(a,b) যার বিপরীতে P বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি (x) হয়1,y1) নতুন অক্ষ X সহ একই সমতলে1Y1  ,তারপর P এর নতুন স্থানাঙ্ক হল

x1 = x- ক

y1 = y- খ

স্পষ্টীকরণের জন্য গ্রাফিকাল উপস্থাপনা: গ্রাফ অনুসরণ করুন

স্ক্রিনশট 45
স্ক্রিনশট 46

কয়েকটি সমাধান করা হয়েছে 'শিফটিং অফ অরিজিন'-এর সূত্রে সমস্যা:

সমস্যা-১: যদি একই সমতলে দুটি বিন্দু (3,1) এবং (5,4) থাকে এবং নতুন অক্ষগুলিকে মূল অক্ষের সমান্তরাল রেখে মূলটি বিন্দুতে (3,1) স্থানান্তরিত হয়, তাহলে এর কো-অর্ডিনেটগুলি খুঁজুন বিন্দু (5,4) নতুন উত্স এবং অক্ষের সাথে সাপেক্ষে।

সমাধান: উপরে বর্ণিত 'শিফটিং অফ অরিজিন'-এর সূত্রের সাথে তুলনা করলে, আমাদের কাছে নতুন অরিজিন, O′(a, b) ≌ (3,1) অর্থাৎ a=3, b=1 এবং প্রয়োজনীয় বিন্দু P, (x, y) আছে। ≌ (5,4) অর্থাৎ x=5 , y=4

স্ক্রিনশট 52

এখন যদি (x1,y1) বিন্দু P(5,4) এর নতুন স্থানাঙ্ক, তারপর অ্যাস্পার সূত্র x1 = xa এবং y1 =ইবি,

আমরা পাই, x1 = 5-3 এবং y1 = 4-1

অর্থাৎ এক্স1 = 2 এবং y1 =3

অতএব, বিন্দুর প্রয়োজনীয় নতুন স্থানাঙ্ক (5,4) হল (2,3)। (উঃ)

সমস্যা-১: একই সমতলে একটি বিন্দুতে উৎপত্তি স্থানান্তরিত করার পরে, অক্ষগুলি একে অপরের সমান্তরাল অবশিষ্ট থাকে, একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5,-4) হয়ে যায় (4,-5)। নতুন উত্সের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন।

সমাধান: এখানে 'শিফটিং দ্য অরিজিন' বা 'অক্ষের অনুবাদ'-এর সূত্র ব্যবহার করে, আমরা বলতে পারি P বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি যথাক্রমে পুরাতন এবং নতুন উৎপত্তি এবং অক্ষগুলি হল (x, y) ≌ (5,-4) অর্থাৎ x=5 , y= -4 এবং (x1,y1) ≌ (4,-5) অর্থাৎ  x1= 4, y1= -5

স্ক্রিনশট 50

এখন আমাদের নতুন অরিজিনের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করতে হবে O′(a, b) অর্থাত a=?, b=?

অ্যাসপার সূত্র,

x1 = x- a

y1 = y- b

অর্থাত a=xx1 এবং b=yy1

অথবা, a=5-4 এবং b= -4-(-5)

অথবা, a=1 এবং b= -4+5

অথবা, a=1 এবং b= 1

অতএব, O'(1,1) হল নতুন উৎপত্তি অর্থাৎ নতুন উৎপত্তির স্থানাঙ্কগুলি হল (1,1)। (উঃ)

2D স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে "বিন্দুর সমরেখা (তিন বিন্দু)" সূত্রের প্রাথমিক উদাহরণ

সমস্যা 1:  বিন্দু (1,0), (0,0) এবং (-1,0) সমরেখার কিনা তা পরীক্ষা করুন।

সমাধান:  আমরা ইতিমধ্যে জানি,

                                            If  A(x1,y1) B(x2,y2) এবং C(x3,y3) যে কোন তিনটি সমরেখার বিন্দু হোক, তাহলে তাদের দ্বারা তৈরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অবশ্যই শূন্য হতে হবে অর্থাৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল ½ [x1 (y2– y3) + এক্স2 (y3– y1) + এক্স3 (y1-y2)] =0

(সূত্রের চার্ট দেখুন)

এই সূত্র ব্যবহার করে আমাদের আছে,

(x1,y1) ≌(-1,0) অর্থাৎ   x1= -1, y1= 0;

(x2,y2) ≌(0,0) অর্থাৎ   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌(1,0) অর্থাৎ    x3= 1, y3= 0

স্ক্রিনশট 14
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = |½[x1 (y2-  y3) + এক্স2 (y3-  y1) + এক্স3 (y1-y2)]| অর্থাত.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (RHS)

অতএব, প্রদত্ত বিন্দু দ্বারা তৈরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়ে যায় যার অর্থ তারা একই রেখায় শুয়ে আছে।

সুতরাং, প্রদত্ত বিন্দুগুলি সমরেখার বিন্দু। (উত্তর)

উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হয়েছে সমস্যা 1 :-

সমস্যা 2: বিন্দু (-1,-1), (0,0) এবং (1,1) সমরেখার কিনা তা পরীক্ষা করুন।

উওর। হাঁ

সমস্যা 3: তিনটি বিন্দু (-3,2), (5,-3) এবং (2,2) দিয়ে কি একটি রেখা আঁকা সম্ভব?

উওর।না

সমস্যা 4: রেখা দ্বারা সংযুক্ত বিন্দু (1,2), (3,2) এবং (-5,2), স্থানাঙ্ক সমতলে একটি ত্রিভুজ গঠন করতে পারে কিনা তা পরীক্ষা করুন।

উওর। না

______________________________

সূত্রের প্রাথমিক উদাহরণ "একটি ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু" 2D স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে

কেন্দ্রে:এটি ত্রিভুজের বৃহত্তম অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র যা ত্রিভুজের অভ্যন্তরে ফিট করে। এটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের তিনটি দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দুও।

সমস্যা 1: বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে (-2,0), (0,5) এবং (6,0)। ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু খুঁজুন।

সমাধান: আমরা ইতিমধ্যে জানি,

If  A(x1,y1) B(x2,y2) এবং C(x3,y3) শীর্ষবিন্দু হতে হবে, BC=a, CA=b এবং AB=c , G′(x,y) ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু হও,

এর কো-অর্ডিনেট G′ হয়

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 14 1

এবং         

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 15 1

(সূত্রের চার্ট দেখুন)

স্ক্রিনশট 56

আমাদের কাছে যে সূত্রটি আছে,

(x1,y1) ≌(-4,0) অর্থাৎ  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,3) অর্থাৎ  x2= 0, y2=3;

(x3,y3) ≌(0,0) অর্থাৎ   x3= 0, y3=0

আমাদের এখন আছে,

a= √ [(x2-x1)2+ (y)2-y1)2 ]

অথবা, a= √ [(0+4)2+ (3-0)2 ]

অথবা, a= √ [(4)2+ + (3)2 ]

অথবা, a= √ (16+9)

অথবা, a= √25

অথবা, a = 5 ———————(1)

b=√ [(x1-x3)2+ (y)1-y3)2 ]

অথবা, b= √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]

অথবা, b= √ [(-4)2+ + (0)2 ]

অথবা, b= √ (16+0)

অথবা, b= √16

অথবা, b= 4 ———————–(2)

c= √ [(x3-x2)2+ (y)3-y2)2 ]

অথবা, c= √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]

অথবা, c= √ [(0)2+(-3)2 ]

অথবা, c= √ (0+9)

অথবা, c= √9

অথবা, c= 3 ———————–(3)

এবং একটিx1+ bx2 + সিএক্স3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6 )

= -20+0+18

অথবা, ax1+ বিএক্স2 + সিএক্স3 = -2 ——————-(4)

ay1+ by2+ cy3 = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0+12+0

অথবা, ay1+ দ্বারা2+ cy3 = 12 ———————–(5)

a + b + c = 5+4+3

অথবা, a+b+c = 12 ——————(6)

উপরের সমীকরণ ব্যবহার করে (1), (2), (3), (4), (5) এবং (২০১০) আমরা এর মান গণনা করতে পারি x এবং y থেকে

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 16 1

অথবা, x = -2/12

অথবা, x = -1/6

এবং

ল্যাগ্রিডা ল্যাটেক্স সম্পাদক 17 1

অথবা, y = 12/12

অথবা, y = 1

তাই প্রদত্ত ত্রিভুজের কেন্দ্রের প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্কগুলি হল (-1/6, 1)। (উঃ)

উপরের সমস্যা 1 এ বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল:-

সমস্যা 2: (-3,-1), (-1,3)) এবং (1,1) বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ ত্রিভুজের কেন্দ্রকেন্দ্রের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন।

সমস্যা 3: শীর্ষবিন্দু (0,2), (0,0) এবং (0,-1) সহ ত্রিভুজের কেন্দ্রের x-স্থানাঙ্ক কী?

সমস্যা 4: একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হল (1,1), (2,2) এবং (3,3)। এই ত্রিভুজের কেন্দ্রস্থল খুঁজুন।