লোকস / সেন্ট্রয়েড / তিনটি পয়েন্ট / ইনসেন্টার / উত্সের মূলসূত্র স্থানান্তর / পয়েন্টগুলির সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ অংশ - 2 ডি সমন্বিত জ্যামিতি

2D স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে লোকাস

লোকাস একটি লাতিন শব্দ। এটি 'প্লেস' বা 'অবস্থান' শব্দটি থেকে উদ্ভূত হয়েছে। লোকাল এর বহুবচন হ'ল লোকি।

লোকসের সংজ্ঞা:

জ্যামিতিতে, 'লোকস' পয়েন্টগুলির একটি সেট যা চিত্র বা আকারের এক বা একাধিক নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে। আধুনিক গণিতে, অবস্থান বা পথের উপরে যে বিন্দুটি জ্যামিতিক অবস্থার কারণে সন্তুষ্ট করে বিমানের উপরে চলে যায়, তাকে বিন্দুর লোকস বলে।

লোকস লাইনের জন্য রেখা, রেখাংশ এবং নিয়মিত বা অনিয়মিত বাঁকানো আকারগুলির জন্য জ্যামিতির মধ্যে ভার্টেক্স বা কোণগুলির আকারগুলি ব্যতীত সংজ্ঞায়িত করা হয়। https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

লোকসের উপর উদাহরণ:

লাইন, চেনাশোনা, উপবৃত্তাকার, প্যারাবোলা, হাইপারবোলা ইত্যাদি এই সমস্ত জ্যামিতিক আকার বিন্দুর লোকস দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

লোকসের সমীকরণ:

জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য বা অবস্থার বীজগণিতিক রূপ যা লোকাসের সমস্ত পয়েন্টের স্থানাঙ্ক দ্বারা সন্তুষ্ট হয় those পয়েন্টগুলির লোকসের সমীকরণ হিসাবে পরিচিত।

লোকসের সমীকরণ অর্জনের পদ্ধতি:

প্লেনে চলমান পয়েন্টের লোকসের সমীকরণ খুঁজতে, নীচে বর্ণিত প্রক্রিয়াটি অনুসরণ করুন

(i) প্রথমে সমতলের চলমান পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি (এইচ, কে) ধরে নিন।

(ii) দ্বিতীয়ত, প্রদত্ত জ্যামিতিক পরিস্থিতি বা বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে h এবং কে দিয়ে বীজগণিত সমীকরণ পান der

(iii) তৃতীয়, উপরের বর্ণিত সমীকরণে যথাক্রমে x এবং y দ্বারা h এবং k কে প্রতিস্থাপন করুন। এখন এই সমীকরণটিকে বলা হয় বিমানের চলমান পয়েন্টের লোকসের সমীকরণ। (x, y) হল চলমান পয়েন্টের বর্তমান স্থানাঙ্ক এবং লোকসের সমীকরণটি সর্বদা x এবং y অর্থাৎ বর্তমান স্থানাঙ্কের আকারে উদ্ভূত হওয়া উচিত।

পঙ্গু সম্পর্কে ধারণাটি পরিষ্কার করার জন্য এখানে কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে।

লোকেসে 4 + বিভিন্ন ধরণের সমস্যার সমাধান:

সমস্যা 1: If P এক্সওয়াই-প্লেনের যে কোনও পয়েন্ট হ'ল যা দুটি প্রদত্ত পয়েন্টের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এ (3,2) এবং বি (২, -১) একই বিমানে, তারপরে গ্রাফের সাথে পয়েন্ট প এর লোকাল এবং সমীকরণটি সন্ধান করুন।

সমাধান: 

সঁচারপথ
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

ধরে নিন যে এর পয়েন্টের কোনও পয়েন্টের স্থানাঙ্ক P এক্সওয়াই-প্লেনে রয়েছে (এইচ, কে).

যেহেতু, পি এ এবং বি থেকে সমতুল্য তাই আমরা লিখতে পারি

এ থেকে পি এর দূরত্ব = খ থেকে পি এর দূরত্ব

অথবা, \ বাম | পিএ \ ডান |=\ বাম | পিবি \ ডান |

{\ বাম | \ sqrt {(h-3) {{2} + (কে -2) ^ {2}} \ ডান |} = {\ বাম | \ sqrt {(h-2) {{2} + (কে + 1) ^ {2}} \ ডান |

{\ বাম | \ sqrt {(h ^ {2} -6h + 9 + k ^ {2} -4 কে + 4)} \ ডান |} = {\ বাম | \ sqrt {(h ^ {2} -4h + 4 + k ^ {2} + 2 কে + 1} \ ডান |}

বা, (এইচ2 -6 এইচ + 9 + কে2 -4 কে + 4) = (এইচ2 -4 এইচ + 4 + কে2 + 2 কে + 1) both উভয় পক্ষের স্কোয়ার নেওয়া।

বা, এইচ2 -6 এইচ + 13 + কে2 -4 ক -হ2+ 4 ঘন্টা -5-কে2 -2 কে = 0

অথবা, -2 এইচ -6 কে + 8 = 0

বা, এইচ + 3 কে -4 = 0

বা, এইচ + 3 কে = 4 ——– (1)

এটি h এবং k এর প্রথম ডিগ্রি সমীকরণ।

এখন যদি h এবং k কে x এবং y দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয় তবে সমীকরণ (1) x + 3y = 4 আকারে x এবং y এর প্রথম ডিগ্রী সমীকরণ হয়ে যায় যা একটি সরলরেখার প্রতিনিধিত্ব করে।

সুতরাং, এক্সওয়াই-প্লেনে পয়েন্ট পি (এইচ, কে) এর লোকস একটি সরলরেখা এবং লোকাসের সমীকরণটি x + 3y = 4। (উঃ)


সমস্যা 2: যদি একটি পয়েন্ট R এক্সওয়াই-প্লেনে এমনভাবে চলাচল করে আরএ: আরবি = 3: 2 যেখানে পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্ক A এবং B হয় (-5,3) এবং (2,4) একই প্লেনে যথাক্রমে, তারপর বিন্দু আর এর লোকস সন্ধান করুন

আর এর লোকাসের সমীকরণ কোন ধরণের বক্ররেখা নির্দেশ করে?

সমাধান: ধরে নেওয়া যাক যে প্রদত্ত পয়েন্টের লোকসের উপর যে কোনও পয়েন্টের স্থানাঙ্ক R এক্সওয়াই-প্লেনে (মি, এন).

Asper দেওয়া শর্ত আরএ: আরবি = 3: 2,

আমাদের আছে,

(এ থেকে আর এর দূরত্ব) / (বি থেকে আর এর দূরত্ব) = 3/2

\ frac {\ বাম | \ sqrt {(m + 5) {{2} + (n-3) {{2}} \ ডান |} {\ বাম | \ স্কয়ার্ট {(এম -২) {{2} + (এন -2) {{4}} \ ডান |= 3 / 2

\ frac {\ বাম | \ sqrt {(এম ^ {2} + 10 মি + 25 + এন ^ {2} -6n + 9)} \ ডান |} {\ বাম | \ স্কয়ার্ট {(এম ^ {2} -4 মি + 4 + এন ^ {2} -8 এন + 16} \ ডান |} = 3 / 2

বা, (মি।)2 + 10 মি + 34 + এন2 -6 এন) / (মি2 -4 মি + এন2 -8 এন + 20) = 9/4 both উভয় পক্ষের স্কোয়ার নেওয়া ———–

বা, 4 (মি।)2 + 10 মি + 34 + এন2 -6 এন) = 9 (মি2 -4 মি + এন2 -8 এন + 20)

বা, 4 মি2 + 40 মি + 136 + 4 এন2 -24n = 9 মি2 -36 মি + 9 এন2 -72 এন + 180)

বা, 4 মি2 + 40 মি + 136 + 4 এন2 -24 এন - 9 মি2 + 36 মি -9 এন2 + 72n-180 = 0

বা, -5 মি2 + 76 মি -5 এন2+ 48n-44 = 0

বা, 5 (মি।)2+n2) -76 মি + 48n + 44 = 0 ———- (1)

এটি মি এবং এন এর দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ।

এখন যদি m এবং n কে x এবং y দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয় তবে সমীকরণ (1) 5 (x) আকারে x এবং y এর দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ হয়ে যায়2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 যেখানে x এর সহগ রয়েছে2 এবং y2 সমান এবং এক্সওয়ালের সহগ শূন্য। এই সমীকরণটি একটি বৃত্তকে উপস্থাপন করে।

সুতরাং, এক্সওয়াই-প্লেনে বিন্দু আর (এম, এন) এর লোকাস একটি বৃত্ত এবং লোকসের সমীকরণটি

5 (এক্স2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 (উঃ)


সমস্যা 3: সমস্ত মান জন্য  ta থাটা, (একটি কোস)ta থাটা , খ পাপta থাটা) হ'ল স্থানাঙ্ক একটি বিন্দু পি যা এক্সওয়াই প্লেনে চলে। পি এর পঙ্গু সমীকরণটি সন্ধান করুন।

সমাধান: এক্স (চ, কে) এক্সওয়াই-প্লেনে পি এর লোকাসের উপর থাকা কোনও পয়েন্টের স্থানাঙ্ক হতে দেয়।

তারপর প্রশ্ন জিজ্ঞাসা, আমরা বলতে পারেন

h = a Costa থাটা

বা, এইচ / এ = কোসta থাটা ————— (1)

এবং কে = বি পাপta থাটা

বা, কে / বি = পাপta থাটা ————— (2)

এখন উভয় সমীকরণ (1) এবং (2) এর বর্গক্ষেত্র গ্রহণ এবং তারপরে যোগ করা, আমাদের সমীকরণ আছে

h2/a2 + কে2/b2 = কোস2ta থাটা + পাপ2ta থাটা

বা, এইচ2/a2 + কে2/b2 = 1 (যেহেতু কোস2ta থাটা + পাপ2ta থাটা ত্রিকোণমিতিতে = 1)

সুতরাং P পয়েন্টের লোকসের সমীকরণটি x2/a2 + y2/b2 = 1। (উঃ)


সমস্যা 4: Q- এর স্থানাঙ্কগুলি হলে XY- সমতলে চলমান একটি বিন্দু Q এর লোকসের সমীকরণটি সন্ধান করুন

( rac frac {7u-2 {u 3u + 2 , rac frac {4u + 5} {u-1 ) যেখানে আপনি পরিবর্তনশীল পরামিতি।

সমাধান: এক্সওয়াই-প্লেনে চলার সময় প্রদত্ত পয়েন্ট Q এর লোকাসের যে কোনও পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি হতে হবে (এইচ, কে)।

তারপরে, h = rac frac {7u-2 {u 3u + 2 এবং কে = rac frac {4u + 5} {u-1

উদাহরণস্বরূপ h (3u + 2) = 7u-2 এবং কে (ইউ -1) = 4u + 5

যেমন (3h-7) u = -2h-2 এবং (কে -4) u = 5 + কে

যেমন u = rac frac {-2h-2} h 3h-7} ————— (1)

এবং আপনি = rac frac {5 + কে} {কে -4} ————— (2)

এখন সমীকরণগুলির সমীকরণ (1) এবং (2), আমরা পেয়েছি, rac frac {-2h-2} h 3h-7} = rac frac {5 + কে} {কে -4}

অথবা, (-2 এইচ -2) (কে -4) = (3 ঘন্টা -7) (5 + কে)

অথবা, -2 এইচকি + 8 এচ -2 কে + 8 = 15 ঘন্টা + 3 এইচকি -35-7 কে

বা, -2 এইচকি + 8 এচ -2 কে-15 এচ -3 এইচকি + 7 কে = -35-8

বা, -5hk-7h + 5k = -43

বা, 5 ঘন্টা, 7 ঘন্টা -5 কে = 43

সুতরাং, Q এর লোকাসের সমীকরণটি 5xy + 7x-5y = 43 হয়।


আপনার নিজের অনুশীলনের জন্য উত্তর সহ লোকেসে আরও উদাহরণ:

সমস্যা 5: If ta থাটা ভেরিয়েবল হয়ে উঠুন এবং আপনি ধ্রুবক হন, তারপরে দুটি সরল রেখার ছেদ বিন্দুর লোকসের সমীকরণ সন্ধান করুন এক্স কোসta থাটা + y পাপta থাটা = ইউ এবং এক্স সিনta থাটা - y কোসta থাটা = ইউ। (উঃ x2+y2 = 2u2 )

সমস্যা 6: সরলরেখার রেখাংশ রেখাংশের মধ্য পয়েন্টের লোকসের সমীকরণটি x সিনের সন্ধান করুনta থাটা + y কোসta থাটা = অক্ষের মধ্যে টি। (উঃ ১ / এক্স2+ + 1 /y2 = 4 / টি2 )

সমস্যা 7: যদি কোনও বিন্দু পি এক্সওয়াই-প্লেনে এমনভাবে অগ্রসর হয় যে দুটি বিন্দু (2, -1) এবং (3,4) দিয়ে বিন্দু দ্বারা তৈরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। (উঃ 5x-y = 11)


সূত্রগুলির মূল উদাহরণগুলি "একটি ত্রিভুজটির সেন্ট্রয়েড"  2D সমন্বিত জ্যামিতিতে

ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিনটি মাঝারি সবসময় একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তর অঞ্চলে অবস্থিত একটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং মধ্যবর্তীকে কোনও প্রান্ত থেকে বিপরীত দিকের মধ্য বিন্দুতে 2: 1 অনুপাতের মধ্যে ভাগ করে দেয়। এই বিন্দুটিকে ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েড বলা হয়।   

সমস্যা 1: ত্রিভুজের সেন্ট্রোডটি শীর্ষে (-1,0), (0,4) এবং (5,0) দিয়ে সন্ধান করুন।

সমাধান:  আমরা ইতিমধ্যে জানি,

                                             If  ক (এক্স)1,y1) খ (এক্স2,y2) এবং সি (এক্স3,y3) একটি ত্রিভুজের কোণটি হতে হবে এবং জি (x, y) সেন্ট্রয়েড হতে ত্রিভুজটির, তারপরে স্থানাঙ্ক G হয়

\ টেক্সটফএফ {} x = \ ফ্র্যাক {\ বাম (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ ডান)} {3}

এবং

\ টেক্সটফএফ {} x = \ frac {\ বাম (y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} \ ডান)} {3}

আমাদের এই সূত্রটি ব্যবহার করে, 

(x1,y1) ≌ (-1,0) অর্থাৎ x1= -1, y1=0;

(x2,y2) 0,4 (XNUMX) অর্থাৎ   x2= 0, y2= 4 এবং

(x3,y3) ≌ (5,0) অর্থাৎ   x3= 5, y3=0

(সূত্র চার্ট দেখুন)

লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তর
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

সুতরাং, সেন্ট্রয়েড জি এর এক্স-সমন্বয়,   \ টেক্সটফএফ {} x = \ ফ্র্যাক {\ বাম (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ ডান)} {3}

অর্থাত \ পাঠ্যবুক {} x = \ frac rac \ বাম (-1 + 0 + 5 \ ডান)} {3}

অর্থাত \ textbf f} x = \ frac {\ বাম 4 \ ডান} {3}

                  এবং 

সেন্ট্রয়েড জি এর y- সমন্বয়,  \ পাঠ্যবুক {} y = \ frac {\ বাম (y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} \ ডান)} {3}

অর্থাত \ পাঠ্যবুক {} y = \ frac {\ বাম (0 + 4 + 0 \ ডান)} {3}

অর্থাত \ textbf f} y = \ frac {\ বাম 4 \ ডান} {3}

সুতরাং, প্রদত্ত ত্রিভুজটির সেন্ট্রয়েডের স্থানাঙ্কগুলি ( rac frac {\ বাম 4 \ ডান} {3} , rac frac {\ বাম 4 \ ডান} {3} ) । (উত্তর)

উপরোক্ত সমস্যা 1: এ বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তরিত সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল:

সমস্যা 2: বিন্দু (-3, -1), (-1,3)) এবং (1,1) এর সাথে ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েডের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

উওর। (-1,1)

সমস্যা 3: শীর্ষে (5,2), (10,4) এবং (6, -1) দিয়ে ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েডের এক্স-স্থানাঙ্কটি কী?

উওর।

সমস্যা 4: একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষে (5,9), (2,15) এবং (11,12) this এই ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েড সন্ধান করুন।

উওর। (6,12)


মূল স্থানান্তর / অক্ষের অনুবাদ- 2D জ্যামিতির সমবায়

অরিজিনের স্থানান্তরিত হওয়া অর্থ অক্ষের অবস্থানকে অপরিবর্তিত রেখে নতুন উত্সকে নতুন বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা অর্থাৎ নতুন অক্ষগুলি একই সমতলে মূল অক্ষের সমান্তরাল থাকে। অক্ষের অনুবাদ বা উত্স প্রক্রিয়া স্থানান্তরিত করে জ্যামিতিক আকৃতির বীজগণিত সমীকরণের অনেক সমস্যা সরল ও সহজে সমাধান করা যায়।

গ্রাফিকাল উপস্থাপনার সাথে নীচে "শিফটিং অফ অরিজিন" বা "অনুবাদ অনুবাদ" এর সূত্রটি নীচে বর্ণিত হয়েছে।

সূত্র:

যদি ও এর উত্স হয়, পি (এক্স, ওয়াই) এক্সওয়াই বিমানের যে কোনও বিন্দু হতে পারে এবং হে অন্য বিন্দু ও shifted (ক, বি) এ স্থানান্তরিত হয় যার বিপরীতে পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি (x) হয়ে যায়1,y1) একই অক্ষে নতুন অক্ষ সহ এক্স1Y1  , তারপরে পি এর নতুন সমন্বয়কারীরা হলেন

x1 = এক্স- এ

y1 = y- খ

স্পষ্টতার জন্য গ্রাফিকাল উপস্থাপনা: গ্রাফগুলি অনুসরণ করুন

লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তর
লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তর

কয়েকটা সমাধান হয়েছে 'উত্সাহিতানের উত্স' সূত্রে সমস্যাগুলি:

সমস্যা -১: যদি একই বিমানে দুটি পয়েন্ট (3,1) এবং (5,4) থাকে এবং নতুন অক্ষটি মূল অক্ষের সমান্তরাল রেখে মূলটিকে বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা হয় (3,1), তবে এর সমন্বয়গুলি সন্ধান করুন পয়েন্টটি (5,4) নতুন উত্স এবং অক্ষগুলির সাথে সম্মান করে।

সমাধান: উপরে বর্ণিত 'শিফটিং অফ অর্গান' সূত্রের সাথে তুলনা করে আমাদের নতুন ওরিজিন, ও ′ (ক, বি) ≌ (৩,১) অর্থাৎ a = 3,1, খ = 3 এবং প্রয়োজনীয় বিন্দু পি, (x, y) রয়েছে ≌ (1) অর্থাৎ x = 5,4, y = 5

লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তর

এখন যদি (এক্স)1,y1) বিন্দু পি (5,4) এর নতুন স্থানাঙ্ক হয়ে উঠুন, তারপরে সূত্র x formula1 = এক্সএ এবং ওয়1 = yb,

আমরা পেয়েছি, এক্স1 = 5-3 এবং y1 = 4-1

অর্থাত্ x1 = 2 এবং y1 =3

সুতরাং, পয়েন্টটির প্রয়োজনীয় নতুন স্থানাঙ্ক (5,4) হ'ল (2,3)। (উঃ)

সমস্যা -১: অরিজিনটিকে একই সমতলে বিন্দুতে স্থানান্তরিত করার পরে, একে অপরের সমান্তরাল অক্ষগুলি অবশিষ্ট রেখে, বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, -4) হয়ে যায় (4, -5)। নতুন উত্সের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান: এখানে 'শিফটিং দ্য অর্জিন' বা 'ট্রান্সলেশন অফ অক্ষস' ব্যবহার করে আমরা পয়েন্ট পি এর স্থানাঙ্কগুলি যথাক্রমে পুরানো এবং নতুন উত্স এবং অক্ষগুলির সাথে বলতে পারি (x, y) ≌ (5, -4) অর্থাত্ x = 5, y = -4 এবং (x1,y1) ≌ (4, -5) অর্থাত্  x1= 4, y1= -5

লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তর

এখন আমাদের নতুন উত্সের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করতে হবে ও ′ (ক, খ) অর্থাত a = ?, b =?

Asper সূত্র,

x1 = এক্স- a

y1 = y- b

অর্থাত a= এক্সএক্স1 এবং b= হ্যাঁ1

অথবা, a=5-4 এবং b= -4 - (- 5)

অথবা, a=1 এবং b= -4 + 5

অথবা, a=1 এবং b= 1

অতএব, ও '(1,1) নতুন উত্স হবেন অর্থাত্ নতুন উত্সের স্থানাঙ্কগুলি (1,1)। (উঃ)

2 ডি স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে সূত্রগুলির মূল পয়েন্টগুলি "পয়েন্টের সমান্তরাল (তিন পয়েন্ট)"

সমস্যা 1:  (1,0), (0,0) এবং (-1,0) পয়েন্টগুলি কোলাইনারি কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন।

সমাধান:  আমরা ইতিমধ্যে জানি,

                                            If  ক (এক্স)1,y1) খ (এক্স2,y2) এবং সি (এক্স3,y3) যে কোনও তিনটি কলিনারি পয়েন্ট হতে পারে, তারপরে তাদের দ্বারা তৈরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অবশ্যই শূন্য হবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ½ [এক্স1 (y2- y3) + এক্স2 (y3- y1) + এক্স3 (y1-y2)] =0

(সূত্র চার্ট দেখুন)

আমাদের এই সূত্রটি ব্যবহার করে,

(x1,y1) ≌ (-1,0) অর্থাৎ   x1= -1, y1= 0;

(x2,y2) ≌ (0,0) অর্থাৎ   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌ (1,0) অর্থাৎ    x3= 1, y3= 0

লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তর
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = | ½ [এক্স1 (y2-  y3) + এক্স2 (y3-  y1) + এক্স3 (y1-y2)] | অর্থাত.

(এলএইচএস) = | ½ [-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)] |

= | ½ [(- 1) x0 + 0x0 + 1 × 0] |

= |। [0 + 0 + 0] |

= | ½ x 0 |

= 0 (আরএইচএস)

সুতরাং, প্রদত্ত পয়েন্টগুলির দ্বারা তৈরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রটি শূন্য হয়ে যায় যার অর্থ তারা একই লাইনে পড়ে আছে।

অতএব, প্রদত্ত পয়েন্টগুলি কলিনারি পয়েন্ট। (উত্তর)

উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তরিত সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল সমস্যা 1: -

সমস্যা 2: (-1, -1), (0,0) এবং (1,1) পয়েন্টগুলি কলিনারি কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন।

উওর। হাঁ

সমস্যা 3: তিনটি পয়েন্ট (-3,2), (5, -3) এবং (2,2) মাধ্যমে একটি লাইন আঁকানো সম্ভব?

উওর।না

সমস্যা 4: পয়েন্টগুলি (1,2), (3,2) এবং (-5,2), লাইন দ্বারা সংযুক্ত, স্থানাঙ্কের সমতলে ত্রিভুজ গঠন করতে পারে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন।

উওর। না

______________________________

সূত্রগুলির মূল উদাহরণগুলি "একটি ত্রিভুজের উত্সাহক" 2D সমন্বিত জ্যামিতিতে

কেন্দ্রে:এটি ত্রিভুজের বৃহত্তম চক্রের কেন্দ্র যা ত্রিভুজের অভ্যন্তরে ফিট করে। এটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরের কোণগুলির তিনটি দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দুও।

সমস্যা 1: দিকগুলির সাথে একটি ত্রিভুজের শীর্ষস্থান যথাক্রমে (-2,0), (0,5) এবং (6,0) হয়। ত্রিভুজটির উত্সাহক সন্ধান করুন।

সমাধান: আমরা ইতিমধ্যে জানি,

If  ক (এক্স)1,y1) খ (এক্স2,y2) এবং সি (এক্স3,y3) শিখর, বিসি = এ, সিএ = বি এবং এবি = সি, জি ′ (x, y) ত্রিভুজের উত্স হত্তয়া,

এর সমন্বয়ক জি হয়

\ টেক্সটফএফ {} x = \ frac {ax_ {1} + বিএক্স_ {2} + সিএক্স_ {3}} {এ + বি + সি}

এবং         

\ পাঠ্যবুক {} y = \ frac rac a__ {1} + বাই_ {2} + সাই_ {3}} {এ + বি + সি}

(সূত্র চার্ট দেখুন)

লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তর

আমাদের সূত্রটি জিজ্ঞাসা করুন,

(x1,y1) ≌ (-4,0) অর্থাৎ  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) 0,3 (XNUMX) অর্থাৎ  x2= 0, y2= 3;

(x3,y3) ≌ (0,0) অর্থাৎ   x3= 0, y3=0

আমাদের এখন আছে,

a = √ [(এক্স2-x1)2+ (y)2-y1)2 ]

বা, একটি = √ [(0 + 4)2+ (3-0)2 ]

বা, একটি = √ [(4)2+ + (3)2 ]

বা, একটি = √ (16 + 9)

বা, এ = √ 25

অথবা, a = 5 —————— (1)

খ = √ [(এক্স1-x3)2+ (y)1-y3)2 ]

বা, বি = √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]

বা, বি = √ [(-4)2+ + (0)2 ]

বা, খ = √ (১ + + ০)

বা, খ = √16

অথবা, খ = 4 ——————– (2)

সি = √ [(এক্স3-x2)2+ (y)3-y2)2 ]

বা, সি = √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]

বা, সি = √ [(0)2+ (- 3)2 ]

বা, সি = √ (0 + 9)

বা, সি = √9

অথবা, সি = 3 ——————– (3)

এবং কx1+ bx2 + সিএক্স3 = (5 এক্স (-4)) + (4 এক্স 0) + (3 এক্স 6)

= -20 + 0 + 18

অথবা, ax1+ বিএক্স2 + সিএক্স3 = -2 ——————- (4)

ay1+ by2+ সাই3 = (5 এক্স 0) + (4 এক্স 3) + (3 এক্স 0)

= 0 + 12 + 0

অথবা, ay1+ দ্বারা2+ সাই3 = 12 ——————– (5)

a + b + c = 5 + 4 + 3

অথবা, a + b + c = 12 —————— (6)

উপরের সমীকরণগুলি ব্যবহার করে (1), (2), (3), (4), (5) এবং (6) আমরা এর মান গণনা করতে পারি x এবং y থেকে

\ টেক্সটফএফ {} x = \ frac {ax_ {1} + বিএক্স_ {2} + সিএক্স_ {3}} {এ + বি + সি}

বা, x = -2/12

বা, x = -1/6

এবং

\ পাঠ্যবুক {} y = \ frac rac a__ {1} + বাই_ {2} + সাই_ {3}} {এ + বি + সি}

বা, y = 12/12

বা, y = 1

সুতরাং প্রদত্ত ত্রিভুজটির উত্সাহকের প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্কগুলি (-1/6, 1) (উঃ)

উপরোক্ত সমস্যা 1: এ বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তরিত সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল:

সমস্যা 2: বিন্দু (-3, -1), (-1,3)) এবং (1,1) এর সাথে ত্রিভুজের উত্সাহকের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমস্যা 3: শীর্ষে (0,2), (0,0) এবং (0, -1) দিয়ে ত্রিভুজের উত্সাহকের এক্স-স্থানাঙ্কটি কী?

সমস্যা 4: একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষে (1,1), (2,2) এবং (3,3)। এই ত্রিভুজটির উত্সাহক সন্ধান করুন।


নাসরিনা পারভিন সম্পর্কে

লোকাস/সেন্ট্রয়েড/মূল স্থানান্তরআমি নাসরিনা পারভিন, ভারতের যোগাযোগ ও তথ্য প্রযুক্তি মন্ত্রণালয়ে দশ বছরের কাজ করার অভিজ্ঞতা পেয়েছি। আমি গণিতে স্নাতকোত্তর করেছি। আমার ফ্রি সময়ে আমি পড়াতে, গণিতের সমস্যাগুলি সমাধান করতে পছন্দ করি। আমার শৈশব থেকেই ম্যাথই একমাত্র বিষয় যা আমাকে সবচেয়ে বেশি আকর্ষণ করেছিল।

en English
X