গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল | এটির 5 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এলোমেলো পরিবর্তনীয়    

     সম্ভাব্যতা তত্ত্বে গাণিতিক প্রত্যাশা খুব গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, গাণিতিক প্রত্যাশার মৌলিক সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্য ইতিমধ্যে আমরা ইতিপূর্বে কয়েকটি নিবন্ধে বিভিন্ন বিতরণ এবং বিতরণের প্রকারের আলোচনা করার পরে আলোচনা করেছি, নিম্নলিখিত নিবন্ধে আমরা আরও কিছুটির সাথে পরিচিত হব গাণিতিক প্রত্যাশার উন্নত বৈশিষ্ট্য।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের প্রত্যাশা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রিয়াকলাপের প্রত্যাশা যৌথ সম্ভাব্যতা বিতরণের প্রত্যাশা

     আমরা জানি পৃথক প্রকৃতির র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা

ই [এক্স] = \ যোগ_ {এক্স} এক্সপি (এক্স)

এবং অবিচ্ছিন্ন এক জন্য

E [এক্স] = \ অন্তঃ _ {- ty infty}} {\ infty} xf (x) dx

এখন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য পৃথক যদি যৌথ সম্ভাবনা ভর ফাংশন পি (x, y)

র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের ফাংশনের প্রত্যাশা হবে

E \ বাম [g (X, Y) \ ডান] = \ যোগ_ {y} \ যোগ_ {x} g (x, y) পি (x, y)

এবং যদি ধারাবাহিকভাবে থাকে তবে যৌথ সম্ভাবনার ঘনত্ব ফাংশন f (x, y) এর সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের ফাংশনটির প্রত্যাশা থাকবে

E \ বাম [জি (এক্স, ওয়াই) \ ডান]] = \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} জি (এক্স, ওয়াই) চ (এক্স, ওয়াই) dxdy

যদি জি এই দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমাগত আকারে সংযোজন হয়

ই \ বাম [এক্স + ওয়াই \ ডান] = \ ইনটি _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} (এক্স + ওয়াই) চ (এক্স, ওয়াই) ডেক্সডি

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} xf (x, y) dydx + \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty ^ ^ {\ infty} yf (x, y) dxdy

= \ অন্তঃ _ {- ty infty} ^ {\ infty} x f_ {X} (x) dx + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {Y} (y) dy

= ই [এক্স] + ই [ওয়াই]

এবং যদি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্য এক্স এবং ওয়াই থাকে

এক্স গেক ওয়াই

তারপর প্রত্যাশাও

ই [এক্স] \ গিগ ই [ওয়াই]

উদাহরণ

কোভিড -১৯ হাসপাতালটি দৈর্ঘ্যের এল এর রাস্তায় এক বিন্দুতে সমানভাবে বিতরণ করা হয়, রোগীদের জন্য অক্সিজেন বহনকারী একটি বাহন এমন এক জায়গায় রয়েছে যা রাস্তায় অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়, কোভিড -১৯ হাসপাতালের মধ্যে প্রত্যাশিত দূরত্বটি নির্ধারণ করুন এবং অক্সিজেন বহনকারী যানবাহন যদি তারা স্বাধীন হয়।

সমাধান:

এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যে প্রত্যাশিত দূরত্ব নির্ধারণ করতে আমাদের E {| গণনা করতে হবে এক্সওয়াই | }

এখন এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথ ঘনত্বের ফাংশন হবে

f (x, y) = \ frac {1} {L ^ {2}}, \ \ 0 <x <L, \ \ 0 <y <এল

থেকে

ই \ বাম [জি (এক্স, ওয়াই) \ ডান]] = \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {- \ ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} জি (এক্স, ওয়াই) চ (এক্স, ওয়াই) dxdy

এটি অনুসরণ করে আমাদের আছে

E \ বাম [\ বাম | এক্স -ওয়াই \ ডান | \ ডান] = \ frac {1} {L ^ {2}} \ int_ {0} ^ {L} \ int_ {0} ^ {এল {\ বাম | xy \ ডান | dy dx

এখন অবিচ্ছেদ্য মান হবে

\ int_ {0} ^ {L} \ বাম | xy \ ডান | dy = \ int_ {0} ^ {x} (xy) dy + \ int_ {x} ^ {L} (yx) dy

= rac frac {x ^ {2}} {2} + \ frac {L ^ {2}} {2} - \ frac {x ^ {2}} {2} -x (এলএক্স)

= rac frac {L ^ {2}} {2} + x ^ {2} -xL

এই এই দুটি পয়েন্টের মধ্যে প্রত্যাশিত দূরত্ব হবে

E \ বাম [\ বাম | এক্স -ওয়াই \ ডান | \ ডান] = \ frac {1} {L ^ {2}} \ int_ {0} ^ {L} \ বাম (\ frac {L ^ {2}} {2} + x ^ {2} -xL \ ডান ) dx = \ frac {L} {3

নমুনা গড়ের প্রত্যাশা

  এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্রম নমুনা গড় হিসাবে1, এক্স2, ………, এক্সn ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F এবং প্রতিটির প্রত্যাশিত মান হিসাবে

\ ওভারলাইন {এক্স} = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} rac frac {X_ {i}} {n}

সুতরাং এই নমুনা গড়ের প্রত্যাশা হবে

E \ বাম [\ ওভারলাইন {এক্স} \ ডান] = ই \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} \ ডান]

= \ frac {1} {n} E \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ডান]

= rac frac {1} {n} \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} ই [এক্স_ {i}]

= \ মু \ \ যেহেতু \ \ ই [এক্স_ {আই}] \ সমান \ মি

যা নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মানটিও দেখায় μ

বুলের অসাম্য

                প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যের সাহায্যে বুলের অসমতাটি পাওয়া যায়, ধরা যাক এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে

এক্স = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} এক্স_ {আমি}

কোথায়

X_ {i} = \ শুরু {কেস} 1 \ \ শুরু হয় যদি \ \ A_ {i} \ \ হয় \\ 0 \ \ \ \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

এখানে এi এর এলোমেলো ঘটনা, এর অর্থ এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স ইভেন্ট এ এর ​​সংখ্যার উপস্থিতি উপস্থাপন করেi এবং অন্য এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে

Y = \ শুরু {কেস} 1 \ \ যদি \ \ X \ geq 1 \ \ \\ 0 \ \ \ অন্যথায় \ শেষ {কেস}

পরিষ্কারভাবে

এক্স গেক ওয়াই

এবং তাই হয়

ই [এক্স] \ গিগ ই [ওয়াই]

এখন আমরা যদি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এবং ওয়াইয়ের মান নিই তবে এই প্রত্যাশাটি হবে

E [এক্স] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} ই \ বাম [এক্স_ {আই} \ ডান] = \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} পি (এ_ {i})

এবং

ই [ওয়াই] = পি \ বাম (\ \ এ_ {আই} \ \ এর \ \ কমপক্ষে \ \ এক \ \ \ \ \ \ \ এ \ ডান ঘটে) = পি \ বাম (\ বিগকআপ_ {i = 1} ^ { n} A_ {i} \ ডান)

উপরের অসমতার মধ্যে এই প্রত্যাশাটিকে প্রতিস্থাপন করা আমরা বুলির অসমতা হিসাবে পেয়ে যাব

পি \ বাম (\ বিগকআপ_ {i = 1} ^ {n} এ_ {আমি} \ ডান) \ লেক \ যোগ_ {i = 1} ^ {n} পি \ বাম (এ_ {আই} \ ডান)

দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এর প্রত্যাশা | দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়

  আমরা জানি যে দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল হল এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা পি হিসাবে সাফল্যের সম্ভাবনা এবং q = 1-p হিসাবে ব্যর্থতার সাথে n স্বতন্ত্র পরীক্ষায় সাফল্যের সংখ্যা দেখায়, তাই যদি

এক্স = এক্স1 + এক্স2+ ……। + এক্সn

কোথায়

X_ {i} = \ শুরু {কেসগুলি} 1 \ \ হয় যদি \ \ \ ith ith \ il ট্রেইল \ \ হয় \ a \ \ সাফল্য \\ 0 \ \ যদি \ \ ith ith \ \ ট্রেইল \ \ হয় \ \ a \ \ ব্যর্থতা \ শেষ {কেস}

এই এক্সi এর হয় বার্নোল্লি এবং প্রত্যাশা হবে

E (X_ {i}) = 1 (পি) +0 (1-পি) = পি

এক্স এর প্রত্যাশা হবে

ই [এক্স] = ই [এক্স_ {1}] + ই [এক্স_ {2}] + \ সিডট \ সিডট \ সিডট + ই [এক্স_ {n}]

নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়

  যাক একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স, যা আর সাফল্য সংগ্রহের জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, তবে এ জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবলটি নেতিবাচক দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিচিত এবং এটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

এক্স = এক্স_ {1} + এক্স_ {2} + d সিডট \ সিডট \ সিডট + এক্স_ {আর}

এখানে প্রতিটি এক্সi মোট সাফল্যের মোট প্রাপ্তির জন্য (i-1) এর সাফল্যের পরে প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা বোঝাও।

যেহেতু এই এক্স প্রতিটিi জ্যামিতিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল উপস্থাপন এবং আমরা জ্যামিতিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা জানি

E [X_ {i}] = \ frac {1} {p

so

ই [এক্স] = ই [এক্স_ {1}] + \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + ই [এক্স_ {আর}] = \ ফ্র্যাক {আর} {পি}

যা নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা।

হাইপারজেমেট্রিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর প্রত্যাশা হাইপারজেমেট্রিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়

হাইপারজেমেট্রিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা বা গড় অর্থ আমরা একটি সহজ বাস্তব জীবনের উদাহরণের সাহায্যে গ্রহণ করব, যদি এন সংখ্যার এন বই রয়েছে এমন একটি শেল্ফ থেকে এলোমেলোভাবে বইয়ের সংখ্যা নির্বাচন করা হয় তবে তার প্রত্যাশিত সংখ্যার সন্ধান করতে গণিতের বইগুলি X নির্বাচিত গণিত বইয়ের সংখ্যা বোঝাতে দেয় আমরা তখন এক্স হিসাবে লিখতে পারি

এক্স = এক্স_ {1} + এক্স_ {2} + d সিডট \ সিডট \ সিডট + এক্স_ {এম}

কোথায়

X_ {i} = \ শুরু {কেস} 1, \ \ যদি \ \ ith \ \ গণিত \ বই \ \ \ \ নির্বাচিত \\ 0, \ \ \ \ wise অন্যভাবে wise শেষ {কেস}

so

E [X_ {i}] = পি \ বাম \ {X_ {i} = 1 \ ডান \ বাম। \ ডান \}

= rac frac {\ binom {1} {1} \ Binom {N-1 {{n-1}} {\ Binom {N} {n}}

= \ frac {n} {N

যা দেয়

ই [এক্স] = ই [এক্স_ {1}] + \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + ই [এক্স_ {এম}] = \ ফ্র্যাক {এমএন} {এন}

যা এ জাতীয় হাইপারজেমেট্রিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়।

ম্যাচের প্রত্যাশিত সংখ্যা

   এটি প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত খুব জনপ্রিয় সমস্যা, মনে করুন যে কোনও ঘরে N নম্বর সংখ্যক লোক রয়েছে যারা ঘরের মাঝখানে তাদের টুপি ফেলে দেয় এবং সমস্ত টুপি মিশ্রিত হয় তার পরে প্রতিটি ব্যক্তি এলোমেলোভাবে একটি টুপি নির্বাচন করে তারপরে প্রত্যাশিত সংখ্যক লোক যারা তাদের নিজস্ব টুপিটি নির্বাচন করে আমরা এক্সটিকে ম্যাচের সংখ্যা হতে দিয়ে তা পেতে পারি

এক্স = এক্স_ {1} + এক্স_ {2} + d সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + এক্স_ {এন}

কোথায়

এক্স_ {i} = \ শুরু {কেস} 1, \ \ যদি \ \ ith ith ith \ ব্যক্তি \ \ তার \ \ নিজস্ব \ \ টুপি \\ 0, \ \ \ \ অন্যভাবে wise শেষ {কেস} নির্বাচন করে

যেহেতু প্রতিটি ব্যক্তির তত্কালীন এন টুপি থেকে যে কোনও টুপি নির্বাচন করার সমান সুযোগ রয়েছে

E [X_ {i}] = পি \ বাম {X_ {i} = 1 \ ডান \ বাম। \ ডান} = \ frac {1} {N

so

ই [এক্স] = ই [এক্স_ {1}] + \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + ই [এক্স_ {এন}] = \ বাম (\ frac {1} {N} \ ডান) এন = 1

যার অর্থ হ'ল গড়পড়তা একজন ব্যক্তি তার নিজস্ব টুপি পছন্দ করেন।

ইভেন্টগুলির ইউনিয়নের সম্ভাবনা

     আসুন আমরা ঘটনার সংঘবদ্ধতার সম্ভাবনাটি প্রত্যাশার সাহায্যে লাভ করি যাতে ঘটনার জন্য এi

X_ {i} = \ শুরু {কেস} 1, \ \ যদি \ \ A_ {i} \ \ দেখা দেয় \\ 0, \ \ অন্যভাবে \ শেষ {কেস}

এই সঙ্গে আমরা নিতে

1- \ উন্নত_ {i = 1} ^ {n} (1-X_ {i}) = \ শুরু {কেস} 1, \ \ যদি \ \ A_ {i} \ \ ঘটে \\ 0, \ \ অন্যভাবে \ শেষ {কেস}

সুতরাং এটির প্রত্যাশা হবে

E \ বাম [1- \ প্রোড_ {i = 1} ^ {n} (1-X_ {i}) \ ডান] = পি \ বাম (\ বিগকআপ_ {i = 1} ^ {n} এ_ {আমি} \ ডান )

এবং প্রত্যাশা সম্পত্তি হিসাবে প্রসারিত

পি \ বাম (\ বিগকআপ_ {i = 1} ^ {n} এ_ {i} \ ডান) = ই \ বাম [\ যোগ_ {i = 1} ^ {n} এক্স_ {i} - যোগফল \ যোগ_ {i < j} X_ {i} X_ {j} + \ যোগফল \ যোগ_ {i <জে <কে} \ যোগফল X_ {i} এক্স_ {জে} এক্স_ {কে} - d সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-) {{n + 1} এক্স_ {1} d সিডট \ সিডট \ সিডট এক্স_ {n} \ ডান]

যেহেতু আমাদের আছে

গাণিতিক প্রত্যাশা
গাণিতিক প্রত্যাশা: ঘটনাগুলির ইউনিয়নের সম্ভাবনা

এবং

X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} d cdot \ cdot \ cdot \ cdot X_ {i_ {k}} = \ শুরু {কেস} 1, \ \ যদি \ \ A_ {i_ {1}} A_ {i_ {2}} \ সিডট \ সিডট \ সিডট এ_ {আই_ {কে}} \ \ ঘটে \\ 0, \ \ অন্যভাবে \ শেষ {কেস}

so

E \ বাম [X_ {i_ {1}} X_ {i_ {2}} d cdot \ cdot \ cdot \ cdot X_ {i_ {k}} \ ডান] = পি \ বাম (A_ {i_ {1}} A_ i_ {2}} d সিডট \ সিডট \ সিডট এ_ {আই_ {কে}} \ ডান)

এটি হিসাবে ইউনিয়নের সম্ভাবনা বোঝা

পি \ বাম (\ কাপ এ_ {আই} \ ডান) = \ যোগ_ {আই} পি (এ_ {আই}) - \ যোগফল \ যোগ_ {i <জে} পি \ বাম (এ_ {আই} এ_ {জে \ \ ডান ) + \ যোগফল \ যোগ_ {i <জে <কে} \ যোগ পি \ বাম (এ_ {আই} এ_ {জ} এ_ {কে} \ ডান) - \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) ^ {n + 1} পি \ বাম (A_ {1} d সিডট \ সিডট \ সিডট এ_ {n} \ ডান)

সম্ভাব্য পদ্ধতিটি ব্যবহারের সম্ভাবনা থেকে সীমাবদ্ধ

    ধরুন এস একটি সসীম সেট এবং চ এস এর উপাদানগুলির উপর ফাংশন

= mathfrak {s}} \ সর্বাধিক} f (গুলি) এর মধ্যে m = \ আন্ডারসেট {s

এখানে আমরা এই মিটার জন্য নীচের সীমাটি f (গুলি) এর প্রত্যাশা দ্বারা পেতে পারি যেখানে "s" এস এর যে কোনও এলোমেলো উপাদান যার প্রত্যাশা আমরা তাই গণনা করতে পারি

m \ geq f (S)

m \ geq E \ বাম [চ (এস) \ ডান]

এখানে আমরা সর্বাধিক মানের জন্য নিম্ন সীমা হিসাবে প্রত্যাশা পেতে

সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন পরিচয়

 সর্বাধিক সর্বনিম্ন পরিচয় হ'ল এই সংখ্যার সাবটেটের সর্বনিম্ন সংখ্যার সেট সর্বাধিক যা কোনও সংখ্যার জন্য xi

\ আন্ডারসেট {i} {সর্বাধিক} \ \ x_ {i} = \ যোগ_ {i} x_ {i} - \ যোগ_ {i <জে} মিনিট (x_ {i}, x_ {জে}) + \ যোগ_ <i < j <কে} মিনিট (x_ {i}, x_ {j}, x_ {কে}) + \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) ^ {n + 1} মিনিট \ বামে (x_ {1}, d সিডট \ সিডট \ সিডট, x_ {n} \ ডান)

এটি দেখানোর জন্য আসুন x সীমাবদ্ধ করুনi ব্যবধানের মধ্যে [0,1], ধরুন অন্তরালে (0,1) এবং ঘটনা A তে অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল ইউi ইউনিফর্ম ভেরিয়েবল যেমন x এর চেয়ে কম হয়i এটাই

A_ {i} = \ বাম {U <x_ {i} \ ডান \ বাম। \ ডান}

যেহেতু উপরের ইভেন্টগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি হ'ল ইউ এর চেয়ে কম এক্স এর মান হয়i

U_ {i} A_ {i} = \ বাম {U <\ আন্ডারসেট {i} {সর্বোচ্চ} \ \ x_ {i} \ ডান \ বাম। \ ডান}

এবং

পি \ বাম (U_ {i} A_ {i} \ ডান) = পি \ বাম (U <\ আন্ডারসেট {i} {সর্বোচ্চ} x_ {i} \ ডান) = \ আন্ডারসেট {i} {সর্বাধিক} x_ {i}

স্পষ্টতই আমরা জানি

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=P\left&space;(&space;U_{i}A_{i}&space;\right&space;)=&space;P\left&space;\{&space;U<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=P\left&space;(&space;U_{i}A_{i}&space;\right&space;)=&space;P\left&space;\{&space;U

পি (এ_ {আই}) = পি \ বাম (ইউ <x_ {i} \ ডান) = x_ {i}

এবং সমস্ত ঘটনা ঘটবে যদি ইউ সমস্ত ভেরিয়েবলের চেয়ে কম হয় এবং

A_ {i_ {1}} d cdot \ cdot \ cdot A_ {i_ {r}} = \ বাম (U <\ আন্ডারসেট {j = 1 \ সিডট \ সিডট \ সিডট আর} {মিনিট} x_ {i_ {জে}}} ঠিক আছে)

সম্ভাবনা দেয়

পি \ বাম (A_ {i_ {1}} \ cdot \ cdot \ cdot A_ {i_ {r}} \ ডান) = P \ বাম (U <\ আন্ডারসেট {j = 1 \ সিডট \ সিডট \ সিডট আর} {মিনিট } x_ {i_ {j}} \ ডান) = \ আন্ডারসেট {জ = 1 \ সিডট \ সিডট \ সিডট আর} {মিনিট} x_ {i_ {জে}}

আমরা হিসাবে ইউনিয়নের সম্ভাবনা ফলাফল

পি \ বাম (U_ {i} A_ {i} \ ডান) \ যোগ_ {i} পি \ বাম (A_ {i} \ ডান) - \ যোগ_ {i <জে} পি (এ_ {আই} এ_ {জে}) + \ যোগ_ {i <জে <কে} পি (এ_ {আই} এ_ {জে} আ_ {কে}) + \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) {+ n + 1} পি (এ_ {1 } d সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট এ_ {n})

সম্ভাবনার জন্য এই অন্তর্ভুক্তি সূত্র অনুসরণ করে

\ আন্ডারসেট {i} {সর্বোচ্চ} (x_ {i} + বি) = \ যোগ_ \ i} (x_ {i} + বি) - \ যোগ_ \ i <জ <মিনিট (x_ {i} + বি, এক্স_ {জ } + খ) + \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) {{n + 1} মিনিট (x_ {1} + বি, d সিডট \ সিডট \ সিডট, এক্স_ {এন} + বি)

বিবেচনা

এম = \ যোগ_ {i} x_ {i} - \ যোগ_ {i <জ} মিনিট (x_ {i}, এক্স_ {জে}) + d সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) ^ {n + 1 } মিনিট (x_ {1}, \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট এক্স_ {n})

এই দেয়

\ আন্ডারসেট {i} {সর্বাধিক} \ \ x_ {i} + বি = এম + বি \ বাম (এন- \ বিনম {n} {2} + \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) ^ {n + 1} \ বিনম {n} {n} \ ডান)

থেকে

0 = (1-এন) 1 {n} = 2-n + \ বিনোম {n} {1} + d সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) ^ {n + XNUMX} \ বিনম {n} {n}

যার অর্থ

\ আন্ডারসেট {i} {সর্বাধিক} \ \ x_ {i} = এম

  • সুতরাং আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারেন

\ আন্ডারসেট {i} {সর্বাধিক} \ \ x_ {i} = \ যোগ_ {i} x_ {i} - \ যোগ_ {i <জে} মিনিট (x_ {i}, x_ {জে}) \ যোগ_ {i <j <কে} মিনিট (x_ {i}, x_ {j}, x_ {কে}) + \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) {{n + 1} মিনিট (x_ {1}, d সিডট \ সিডট \ সিডট, এক্স_ {n})

প্রত্যাশা গ্রহণ করে আমরা সর্বাধিক এবং আংশিক ন্যূনতম হিসাবে প্রত্যাশিত মানগুলি খুঁজে পেতে পারি

E \ বাম [\ আন্ডারসেট {i} {সর্বাধিক} \ \ X_ {i \ \ ডান] = \ যোগ_ {i} ই \ বাম [X_ {i} \ ডান] - {যোগ_ {i <জে} ই \ বাম [ মিনিট (X_ {i}, এক্স_ {জে}) \ ডান] + \ সিডট \ সিডট \ সিডট + (-1) ^ {n + 1} ই \ বাম [মিনিট \ বাম (এক্স_ {1}, d সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট \ সিডট, এক্স_ {n} \ ডান) \ ডান]]

উপসংহার:

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব ধারণাগুলির সাথে বিভিন্ন বিতরণ এবং প্রত্যাশার পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষেত্রে প্রত্যাশাটি এই নিবন্ধটির কেন্দ্রবিন্দু ছিল যা বিভিন্ন ধরণের এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান পাওয়ার জন্য একটি সরঞ্জাম হিসাবে প্রত্যাশার ব্যবহার দেখায়, যদি আপনার আরও পড়ার দরকার হয় তবে নীচে বই মাধ্যমে।

গণিতে আরও নিবন্ধগুলির জন্য, আমাদের দেখুন গণিতের পৃষ্ঠা.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল | এটির 5 গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X