গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল সম্পর্কে 11টি তথ্য

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং এলোমেলো পরিবর্তনীয়    

     সম্ভাব্যতা তত্ত্বে গাণিতিক প্রত্যাশা খুব গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, গাণিতিক প্রত্যাশার মৌলিক সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্য ইতিমধ্যে আমরা ইতিপূর্বে কয়েকটি নিবন্ধে বিভিন্ন বিতরণ এবং বিতরণের প্রকারের আলোচনা করার পরে আলোচনা করেছি, নিম্নলিখিত নিবন্ধে আমরা আরও কিছুটির সাথে পরিচিত হব গাণিতিক প্রত্যাশার উন্নত বৈশিষ্ট্য।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের প্রত্যাশা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রিয়াকলাপের প্রত্যাশা যৌথ সম্ভাব্যতা বিতরণের প্রত্যাশা

     আমরা জানি পৃথক প্রকৃতির র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা

এবং অবিচ্ছিন্ন এক জন্য

এখন এলোমেলো চলকের জন্য X এবং Y যদি পৃথক হয় তাহলে জয়েন্টের সাথে সম্ভাব্য ভর ফাংশন p(x,y)

র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের ফাংশনের প্রত্যাশা হবে

এবং যদি ধারাবাহিকভাবে থাকে তবে যৌথ সম্ভাবনার ঘনত্ব ফাংশন f (x, y) এর সাথে এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের ফাংশনটির প্রত্যাশা থাকবে

যদি জি এই দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমাগত আকারে সংযোজন হয়

এবং যদি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্য এক্স এবং ওয়াই থাকে

X>Y

তারপর প্রত্যাশাও

উদাহরণ

কোভিড -১৯ হাসপাতালটি দৈর্ঘ্যের এল এর রাস্তায় এক বিন্দুতে সমানভাবে বিতরণ করা হয়, রোগীদের জন্য অক্সিজেন বহনকারী একটি বাহন এমন এক জায়গায় রয়েছে যা রাস্তায় অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়, কোভিড -১৯ হাসপাতালের মধ্যে প্রত্যাশিত দূরত্বটি নির্ধারণ করুন এবং অক্সিজেন বহনকারী যানবাহন যদি তারা স্বাধীন হয়।

সমাধান:

এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যে প্রত্যাশিত দূরত্ব নির্ধারণ করতে আমাদের E {| গণনা করতে হবে এক্সওয়াই | }

এখন এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথ ঘনত্বের ফাংশন হবে

থেকে

এটি অনুসরণ করে আমাদের আছে

এখন অবিচ্ছেদ্য মান হবে

এই এই দুটি পয়েন্টের মধ্যে প্রত্যাশিত দূরত্ব হবে

নমুনা গড়ের প্রত্যাশা

  এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর ক্রম নমুনা গড় হিসাবে₁, এক্স₂, ………, এক্স_n ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন F এবং প্রতিটির প্রত্যাশিত মান হিসাবে

সুতরাং এই নমুনা গড়ের প্রত্যাশা হবে

যা নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মানটিও দেখায় μ

বুলের অসাম্য

                বুলের বৈষম্য বৈশিষ্ট্যের সাহায্যে পাওয়া যেতে পারে প্রত্যাশার, ধরুন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

কোথায়

এখানে এ_i এর এলোমেলো ঘটনা, এর অর্থ এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স ইভেন্ট এ এর ​​সংখ্যার উপস্থিতি উপস্থাপন করে_i এবং অন্য এলোমেলো ভেরিয়েবল হিসাবে

পরিষ্কারভাবে

X>=Y

ই[এক্স] >= ই[ওয়াই]

এবং তাই হয়

এখন আমরা যদি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এবং ওয়াইয়ের মান নিই তবে এই প্রত্যাশাটি হবে

এবং

উপরের অসমতার মধ্যে এই প্রত্যাশাটিকে প্রতিস্থাপন করা আমরা বুলির অসমতা হিসাবে পেয়ে যাব

দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এর প্রত্যাশা | দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়

  আমরা জানি যে দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল হল এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা পি হিসাবে সাফল্যের সম্ভাবনা এবং q = 1-p হিসাবে ব্যর্থতার সাথে n স্বতন্ত্র পরীক্ষায় সাফল্যের সংখ্যা দেখায়, তাই যদি

এক্স = এক্স₁ + এক্স₂+ ……। + এক্স_n

কোথায়

এই এক্স_i এর হয় বার্নোল্লি এবং প্রত্যাশা হবে

এক্স এর প্রত্যাশা হবে

নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়

  যাক একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স, যা আর সাফল্য সংগ্রহের জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, তবে এ জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবলটি নেতিবাচক দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিচিত এবং এটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

এখানে প্রতিটি এক্স_i মোট সাফল্যের মোট প্রাপ্তির জন্য (i-1) এর সাফল্যের পরে প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা বোঝাও।

যেহেতু এই এক্স প্রতিটি_i জ্যামিতিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল উপস্থাপন এবং আমরা জ্যামিতিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা জানি

so

যা হয় প্রত্যাশা ঋণাত্মক দ্বিপদ এলোমেলো পরিবর্তনশীল।

হাইপারজেমেট্রিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর প্রত্যাশা হাইপারজেমেট্রিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়

হাইপারজেমেট্রিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা বা গড় অর্থ আমরা একটি সহজ বাস্তব জীবনের উদাহরণের সাহায্যে গ্রহণ করব, যদি এন সংখ্যার এন বই রয়েছে এমন একটি শেল্ফ থেকে এলোমেলোভাবে বইয়ের সংখ্যা নির্বাচন করা হয় তবে তার প্রত্যাশিত সংখ্যার সন্ধান করতে গণিতের বইগুলি X নির্বাচিত গণিত বইয়ের সংখ্যা বোঝাতে দেয় আমরা তখন এক্স হিসাবে লিখতে পারি

কোথায়

so

=n/N

যা দেয়

যা এ জাতীয় হাইপারজেমেট্রিক র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড়।

ম্যাচের প্রত্যাশিত সংখ্যা

   এটি প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত খুব জনপ্রিয় সমস্যা, মনে করুন যে কোনও ঘরে N নম্বর সংখ্যক লোক রয়েছে যারা ঘরের মাঝখানে তাদের টুপি ফেলে দেয় এবং সমস্ত টুপি মিশ্রিত হয় তার পরে প্রতিটি ব্যক্তি এলোমেলোভাবে একটি টুপি নির্বাচন করে তারপরে প্রত্যাশিত সংখ্যক লোক যারা তাদের নিজস্ব টুপিটি নির্বাচন করে আমরা এক্সটিকে ম্যাচের সংখ্যা হতে দিয়ে তা পেতে পারি

কোথায়

যেহেতু প্রতিটি ব্যক্তির তত্কালীন এন টুপি থেকে যে কোনও টুপি নির্বাচন করার সমান সুযোগ রয়েছে

so

যার অর্থ হ'ল গড়পড়তা একজন ব্যক্তি তার নিজস্ব টুপি পছন্দ করেন।

ইভেন্টগুলির ইউনিয়নের সম্ভাবনা

     আসুন আমরা ঘটনার সংঘবদ্ধতার সম্ভাবনাটি প্রত্যাশার সাহায্যে লাভ করি যাতে ঘটনার জন্য এ_i

এই সঙ্গে আমরা নিতে

সুতরাং এটির প্রত্যাশা হবে

এবং প্রত্যাশা সম্পত্তি হিসাবে প্রসারিত

যেহেতু আমাদের আছে

এবং

so

এটি হিসাবে ইউনিয়নের সম্ভাবনা বোঝা

সম্ভাব্য পদ্ধতিটি ব্যবহারের সম্ভাবনা থেকে সীমাবদ্ধ

    ধরুন এস একটি সসীম সেট এবং চ এস এর উপাদানগুলির উপর ফাংশন

এখানে আমরা এই মিটার জন্য নীচের সীমাটি f (গুলি) এর প্রত্যাশা দ্বারা পেতে পারি যেখানে "s" এস এর যে কোনও এলোমেলো উপাদান যার প্রত্যাশা আমরা তাই গণনা করতে পারি

এখানে আমরা সর্বাধিক মানের জন্য নিম্ন সীমা হিসাবে প্রত্যাশা পেতে

সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন পরিচয়

 সর্বাধিক সর্বনিম্ন পরিচয় হ'ল এই সংখ্যার সাবটেটের সর্বনিম্ন সংখ্যার সেট সর্বাধিক যা কোনও সংখ্যার জন্য x_i

এটি দেখানোর জন্য আসুন x সীমাবদ্ধ করুন_i ব্যবধানের মধ্যে [0,1], ধরুন অন্তরালে (0,1) এবং ঘটনা A তে অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল ইউ_i ইউনিফর্ম ভেরিয়েবল যেমন x এর চেয়ে কম হয়_i এটাই

যেহেতু উপরের ইভেন্টগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি হ'ল ইউ এর চেয়ে কম এক্স এর মান হয়_i

এবং

স্পষ্টতই আমরা জানি

এবং সমস্ত ঘটনা ঘটবে যদি ইউ সমস্ত ভেরিয়েবলের চেয়ে কম হয় এবং

সম্ভাবনা দেয়

আমরা হিসাবে ইউনিয়নের সম্ভাবনা ফলাফল

সম্ভাবনার জন্য এই অন্তর্ভুক্তি সূত্র অনুসরণ করে

বিবেচনা

এই দেয়

থেকে

যার অর্থ

• সুতরাং আমরা এটি হিসাবে লিখতে পারেন

প্রত্যাশা গ্রহণ করে আমরা সর্বাধিক এবং আংশিক ন্যূনতম হিসাবে প্রত্যাশিত মানগুলি খুঁজে পেতে পারি

উপসংহার:

বিভিন্ন বণ্টনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রত্যাশা এবং কিছুর সাথে প্রত্যাশার পারস্পরিক সম্পর্ক সম্ভাব্যতা তত্ত্ব ধারণাগুলি এই নিবন্ধটির কেন্দ্রবিন্দু ছিল যা বিভিন্ন ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান পেতে একটি হাতিয়ার হিসাবে প্রত্যাশার ব্যবহার দেখায়, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে নীচের বইগুলি দেখুন।

গণিতে আরও নিবন্ধগুলির জন্য, আমাদের দেখুন গণিতের পৃষ্ঠা.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা