মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য | এটি 6 গুরুত্বপূর্ণ বিতরণ

মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন    

মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশনটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফাংশন যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলিকে উত্পন্ন করে যা মানে, মানক বিচ্যুতি এবং প্রকরণ ইত্যাদি জড়িত, তাই কেবলমাত্র মুহুর্তের উত্পন্নকরণের সাহায্যে আমরা বেসিক মুহুর্তগুলি পাশাপাশি উচ্চতর মুহূর্তগুলি খুঁজে পেতে পারি, এই নিবন্ধটিতে আমরা বিভিন্ন বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য মুহুর্তের উত্স তৈরির কার্যগুলি দেখতে পাবে। যেহেতু মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন (এমজিএফ) এম (টি) দ্বারা চিহ্নিত গাণিতিক প্রত্যাশার সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

এম (টি) = ই \ বাম [ই ^ {টি এক্স} \ ডান]

এবং পৃথক এবং অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল জন্য প্রত্যাশা সংজ্ঞা ব্যবহার করে এই ফাংশন হবে

এম (টি) = \ বামে \ {\ শুরু {অ্যারে} l ll} \ যোগ_ {x} ই ^ {tx} পি (এক্স) ও \ পাঠ্য {যদি} এক্স \ পাঠ্য mass ভর ফাংশন দিয়ে বিচ্ছিন্ন হয়} পি (x) ) \ \ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} e ^ x ix} f (x) dx & \ পাঠ্য {যদি} এক্স \ পাঠ্য d ঘনত্বের সাথে অবিচ্ছিন্ন থাকে} f (x) \ শেষ {অ্যারে} \ ঠিক

যা টির মানকে শূন্য হিসাবে প্রতিস্থাপিত করে সংশ্লিষ্ট মুহুর্তগুলি উত্পন্ন করে। এই মুহুর্তগুলি আমাদের প্রথম মুহুর্তের জন্য উদাহরণস্বরূপ এই মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটিকে আলাদা করে সংগ্রহ করতে হবে বা আমরা একবার হিসাবে আলাদা করেই অর্জন করতে পারি তার অর্থ

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম ^ {\ প্রাইম} (টি) এবং = \ ফ্র্যাক {ডি} t ডিটি} ই \ বাম [ই ^ {টি এক্স} \ ডান] \\ & = ই \ বাম [\ frac {d} t dt} \ বাম (e ^ {LX} \ ডান) \ ডান] \\ & = E \ বাম [এক্স ই ^ {টি এক্স} \ ডান] \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

এটি ইঙ্গিত দেয় যে পার্থক্যটি প্রত্যাশার অধীনে বিনিময়যোগ্য এবং আমরা এটি লিখতে পারি

rac frac {d} {dt} \ বাম [\ Sum_ {x} e ^ {ix} p (x) \ ডান] = \ যোগ_ {x} rac frac {d} t dt} \ বাম [ই ^ {\ অপেরাটর্নাম {ট্র}} পি (এক্স) \ ডান]

এবং

rac frac {d} {dt} \ বাম [\ int e ^ {ix} f (x) dx \ ডান] = \ int \ frac {d} t dt} \ বাম [e ^ {tx} f (x) \ ডান] dx

যদি t = 0 উপরের মুহূর্তগুলি হবে

এম ^ {\ প্রাইম} (0) = ই [এক্স]

এবং

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (টি) এবং = \ ফ্র্যাক {ডি} {ডিটি} এম ^ {\ প্রাইম} (টি) \\ & = \ ফ্র্যাক {ডি} t ডিটি} ই \ বাম [এক্স ই ^ {টি এক্স} \ ডান] \\ & = ই \ বাম [\ frac {d} t dt} \ বাম (এক্স ই ^ {টি এক্স} \ ডান) \ ডান] \\ & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} ই ^ {এলএক্স} \ ডান] \\ এম ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (0) & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] \ শেষ {সারিবদ্ধ}

সাধারণভাবে আমরা এটি বলতে পারি

এম ^ {n} (টি) = ই \ বাম [এক্স ^ {এন} ই ^ {টি এক্স} \ ডান] \ কোয়াড এন \ জেক ১

অত: পর

এম ^ {n} (0) = ই \ বাম [X ^ {n} \ ডান] \ কোয়াড এন \ গিক 1

দ্বিপদী বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য || দ্বিপদী বিতরণ মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশন || বিনোমিয়াল বিতরণের এমজিএফ || মুহূর্ত উত্পন্নকরণের ফাংশন ব্যবহার করে দ্বিপদী বিতরণের গড় এবং বৈচিত্র্য

দ্বিগুণ বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন এন এবং পি পরামিতিগুলির সাথে দ্বিপদী বিতরণের সম্ভাব্যতা ফাংশন অনুসরণ করবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম (টি) এবং = ই \ বাম [ই ^ {t এক্স} \ ডান] \\ & = \ যোগ_ {কে = 0} ^ {এন} ই ^ k টিকে} \ বাম (\ শুরু { অ্যারে} {l} n \\ k \ শেষ {অ্যারে} \ ডান) পি ^ {কে} (1-পি) ^ {এন কে} \\ & = \ যোগ_ {কে = 0} ^ {n} \ বাম (\ শুরু {অ্যারে} {l} n \\ k \ শেষ {অ্যারে} \ ডান) \ বাম (পে ^ {টি} \ ডান) ^ {কে} (1-পি) ^ {nk} \\ & = \ বাম ( pe ^ {t} + 1-p \ ডান) ^ {n} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

যা দ্বি-দ্বিীয় উপপাদ্য দ্বারা ফলাফল, এখন পার্থক্য করে এবং t = 0 এর মান রাখে

এম ^ {\ প্রাইম} (টি) = এন \ বাম (পে ^ {টি} + 1-পি \ ডান) ^ {n-1} পে ^ {টি} \\ ই [এক্স] = এম ^ {\ প্রাইম} (0) = এনপি

যা দ্বিপদী বিতরণের গড় বা প্রথম মুহূর্ত একইভাবে দ্বিতীয় মুহূর্ত হবে

এম ^ {\ প্রাইম} (টি) = এন (এন -১) \ বাম (পিএ ^ {টি} + 1-পি \ ডান) ^ {n-1} \ বাম (পিএ ^ {টি} \ ডান) ^ ^ 2} + n \ বাম (পি ^ {{t} + 2-পি \ ডান) ^ {n-1} পে ^ {টি} \\ ই \ বাম [এক্স ^ {1} \ ডান] = এম ^ {\ প্রধান \ প্রাইম} (2) = এন (এন -0) পি ^ {1} + এনপি

সুতরাং দ্বি-দ্বি বিতরণের বৈচিত্র হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] - (ই [এক্স]) ^ {2} \\ & = এন (এন -1) পি ^ {2} + n পিএন ^ {2} পি ^ {2} \\ & = এনপি (1-পি) \ শেষ {সারিবদ্ধ}

যা দ্বিপদী বিতরণের মানক গড় এবং তারতম্য, একইভাবে উচ্চতর মুহূর্তগুলিও আমরা এই মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটি ব্যবহার করে খুঁজে পেতে পারি।

এর মুহুর্ত তৈরির ফাংশন মাছ বিতরণ ||মাছ বিতরণ মুহূর্ত উত্সাহী কার্য || এমজিএফ এর মাছ বিতরণ || মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন ব্যবহার করে পোইসন বিতরণের গড় এবং বৈচিত্র

 যদি আমাদের কাছে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স থাকে যা পয়েসন প্যারামিটার ল্যাম্বদা দিয়ে বিতরণ করা হয় তবে এই বিতরণের জন্য মুহুর্ত তৈরির মুহূর্তটি হবে

\ ই শুরু করে igned এম (টি) প্রান্তিককরণ & = ই \ বাম [ই ^ {\ ll এল এক্স \ \ ডান] \\ & = \ যোগ_ {n = 0} ^ {\ ইনফটি} \ ফ্রেচ {ই ^ {} ই ^ {- mb লম্বা {t} \ ডান) ^ {n}} {n!} \\ & = ই ^ {- mb লাম্বদা} ই \\ & = ই {{\ বাম \ {\ লাম্বদা \ বাম (ই ^ {টি} -0 \ ডান) \ ডান \}} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এই পার্থক্য এখন দেবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম ^ {\ প্রাইম} (টি) এবং = \ ল্যাম্বডা ই {{টি} ই ^ {\ বাম \ {\ ল্যাম্বদা \ বাম (ই ^ {টি} -1 \ ডান) \ ডান \}} \\ এম ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (টি) & = \ বাম (\ ল্যাম্বদা ই ^ {টি} \ ডান) ^ {2} ই ^ {\ বাম \ {\ লাম্বদা \ বাম (ই ^ {টি} - 1 \ ডান) \ ডান \}} + \ ল্যাম্বদা ই ^ {t} ই ^ {\ বাম \ {\ লাম্বদা \ বাম (e ^ {t} -1 \ ডান) \ ডান \}} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এই দেয়

\ শুরু {সারিবদ্ধ} ই [এক্স] এবং = এম ^ {\ প্রাইম} (0) = \ ল্যাম্বদা \\ ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান]] এবং = এম ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম 0 (2) = \ ল্যাম্বদা ^ {2} + \ ল্যাম্বদা \\ \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] - (ই [এক্স]) ^ {XNUMX} \\ & = \ ল্যাম্বদা \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

যা সত্য পয়সন বিতরণের জন্য গড় এবং বৈচিত্র দেয়

তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য ||ব্যাখ্যামূলক বিতরণ মুহূর্ত উত্সাহী কার্য || এমজিএফ এর ব্যাখ্যামূলক ডিস্ট্রিবিউশন || গড় এবং বৈচিত্র্য ব্যাখ্যামূলক মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন ব্যবহার করে বিতরণ

                সংজ্ঞাটি অনুসরণ করে সূচকীয় র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের জন্য মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম (টি) এবং = ই \ বাম [ই ^ {X টি এক্স} \ ডান] \\ & = \ ইনট_ {0} ^ {ইনফটি} ই ^ {\ এলফ্লোর এক্স} \ ল্যাম্বদা ই ^ { - \ ল্যাম্বদা এক্স} ডিএক্স \\ & = \ ল্যাম্বদা \ ইন্ট_ {0} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {- (\ ল্যাম্বদা-টি) এক্স} ডেক্স \\ & = rac ফ্র্যাক {\ ল্যাম্বদা} {\ ল্যাম্বদা-টি } টি <\ ল্যাম্বদা \ শেষ {সারিবদ্ধ {এর জন্য \ ad কোয়াড \ পাঠ্য {

এখানে টির মান প্যারামিটার লাম্বদা থেকে কম, এখন এটি আলাদা করবে

M ^ {\ prime} (t) = \ frac rac \ lambda}} (\ lambda-t) ^ {2}} \ Quad M ^ {\ prime \ prime} (t) = \ frac {2 \ ল্যাম্বদা} \ (\ ল্যাম্বদা-টি) {{3}

যা মুহুর্তগুলিকে সরবরাহ করে

ই [এক্স] = এম ^ {\ প্রাইম} (0) = \ ফ্র্যাক {1} {\ ল্যাম্বদা \ \ কোয়াড ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] = এম ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (0) = rac frac {2} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}}

পরিষ্কারভাবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] - (ই [এক্স]) ^ {2} \\ & = \ ফ্র্যাক {1} {\ ল্যাম্বদা ^ {2}} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

যা তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণের গড় এবং ভিন্নতা।

সাধারণ বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য ||Normal বিতরণ মুহুর্ত উত্পন্ন কার্য || এমজিএফ এর Normal বিতরণ || এর অর্থ এবং তারতম্য সাধারণ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন ব্যবহার করে বিতরণ

  অবিচ্ছিন্ন বিতরণগুলির জন্য মোমেন্ট জেনারিং ফাংশনটিও পৃথক পৃথক হিসাবে একই তাই মানক সম্ভাবনার ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপ সহ সাধারণ বিতরণের জন্য মুহুর্ত তৈরির কার্যটি হবে

\ শুরু igned সারিবদ্ধ} এম_ {জেড} (টি) এবং = ই \ বাম [ই ^ {Z টি জেড} \ ডান] \\ & = \ frac {1} {\ স্কয়ার্ট {2 \ পাই}} \ ইন _ _ {- \ infty ^ ^ {\ infty} e ^ {tx} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এই সমন্বয় আমরা হিসাবে সামঞ্জস্য দ্বারা সমাধান করতে পারেন

\ আরম্ভ} অ্যারে} {l} = \ frac {1} \ \ sqrt {2 \ pi} \ _ int _ {- ty infty} ^ {\ infty} e ^ {\ বাম \ {- rac frac {\ বাম (এক্স) ^ {2} -2 tx \ ডান)} {2} \ ডান \} x dx \\ = \ frac {1} {q স্কয়ার্ট {2 \ পাই}} \ ইন্ট _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} ই ^ {\ বাম \ {- rac frac {(xt) ^ {2}} {2} + \ frac {t ^ {2}} {2} \ ডান \}} dx \\ = ই ^ {টি ^ {2 } / 2} \ frac {1} {q srrt {2 \ pi}} \ int _ {- ty infty} ^ {ty infty} e ^ {- (xt) {{2} / 2} dx \\ = e {t ^ {2} / 2} \ শেষ {অ্যারে}

যেহেতু ইন্টিগ্রেশনের মান ১। সুতরাং মানক স্বাভাবিক পরিবর্তনের জন্য মুহূর্ত উত্পন্নকরণ হবে

এম_ {জেড} (টি) = ই ^ {টি ^ {2} / 2

এর থেকে আমরা সম্পর্কটি ব্যবহার করে যে কোনও সাধারণ স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনশীলটির জন্য মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটি খুঁজে পেতে পারি

এক্স = \ মিউ + \ সিগমা জেড

এইভাবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম_ {এক্স} (টি) এবং = ই \ বাম [ই ^ {X টি এক্স} \ ডান] \\ & = ই \ বাম [ই ^ {টি (\ মিউ + \ সিগমা জেড)} \ ডান] \\ এবং = ই \ বাম [ই ^ {{টি \ মু} ই ^ {বি \ সিগমা জেড} \ ডান] \\ & = ই ^ {টি \ মু} ই \ বাম [ই ^ {কে \ সিগমা জেড} \ ডান] \\ & = ই ^ {t \ মু} এম_ {জেড} (টি \ সিগমা) \\ & = ই ^ {টি \ মু} ই ^ {(টি \ সিগমা) ^ {2} / 2} & = e ^ {\ বাম \ {\ frac {\ সিগমা {2 2} t ^ {2}} {XNUMX} + \ মিউ টি \ রাইট \}} \ এন্ড {সারিবদ্ধ}

তাই ভিন্নতা আমাদের দেয়

\ আরম্ভ {অ্যারে} {l} এম_ {এক্স} ^ {\ প্রাইম} (টি) = \ বাম (\ মিউ + টি \ সিগমা ^ {2} \ ডান) \ এক্সপ্রেস \ বাম \ \ ফ্রেচ {ig সিগমা ^ 2} t ^ {2}} {2} + \ মিউ টি \ ডান \} \\ এম_ {এক্স} ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম} (টি) = \ বাম (\ মিউ + টি \ সিগমা {{2} \ ডান) ^ {2} \ Exp \ বাম \ {\ frac {\ সিগমা ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ মিউ টি \ ডান \} + \ সিগমা ^ {2} \ এক্সপ্রেস \ বাম \ {rac frac {\ সিগমা {{2} t ^ {2}} {2} + \ মিউ টি \ রাইট \} \ এন্ড {অ্যারে}

এইভাবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} ই [এক্স] এবং = এম ^ {\ প্রাইম} (0) = \ মিউ \\ ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান]] এবং = এম ^ {\ প্রাইম \ প্রাইম 0 (2) = \ মিউ ^ {2} + \ সিগমা ^ {XNUMX} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

সুতরাং বৈকল্পিকতা হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) & = ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] -ই ([এক্স]) ^ {2} \\ & = ig সিগমা {{2} \ শেষ {সারিবদ্ধ

এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের মুহুর্ত তৈরির ফাংশন

The Olymp Trade প্লার্টফর্মে ৩ টি উপায়ে প্রবেশ করা যায়। প্রথমত রয়েছে ওয়েব ভার্শন যাতে আপনি প্রধান ওয়েবসাইটের মাধ্যমে প্রবেশ করতে পারবেন। দ্বিতয়ত রয়েছে, উইন্ডোজ এবং ম্যাক উভয়ের জন্যেই ডেস্কটপ অ্যাপলিকেশন। এই অ্যাপটিতে রয়েছে অতিরিক্ত কিছু ফিচার যা আপনি ওয়েব ভার্শনে পাবেন না। এরপরে রয়েছে Olymp Trade এর এন্ড্রয়েড এবং অ্যাপল মোবাইল অ্যাপ। মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি দেয় যে এটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনের সমান যা স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য থাকে তারপরে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স + ওয়াইয়ের যোগফলের জন্য মুহুর্তের ক্রিয়াকলাপটি ঘটায়

মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন
সুমের এমজিএফ

এখানে প্রতিটি এক্স এবং ওয়াইয়ের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যগুলি গাণিতিক প্রত্যাশার সম্পত্তি দ্বারা স্বতন্ত্র। ধারাবাহিকতায় আমরা বিভিন্ন বিতরণে মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যের যোগফলটি খুঁজে পেতে পারি will

দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই যথাক্রমে প্যারামিটারগুলি (এন, পি) এবং (মি, পি) দ্বিপদী বিতরণ দ্বারা বিতরণ করা হয় তবে তাদের যোগফলের এক্স + ওয়াইয়ের মুহুর্ত উত্পন্নকরণ হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম_ {এক্স + ওয়াই} (টি) = এম_ {এক্স} (টি) এম_ {ওয়াই (টি) এবং = \ বাম (পি ^ {টি} + 1-পি \ ডান) ^ {n} \ বাম (পি ^ {টি} + 1-পি \ ডান) ^ {এম} \\ & = \ বাম (পে ^ {টি {+ 1-পি \ ডান) ^ {এম + এন} \ শেষ \ সারিবদ্ধ

যেখানে যোগফলের জন্য প্যারামিটারগুলি (n + মি, পি)।

পোইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি X এবং Y এর যোগফলের জন্য বিতরণ যা পয়সন বিতরণ দ্বারা বিতরণ করা হয় যা আমরা খুঁজে পেতে পারি

\ শুরু igned সারিবদ্ধ} এম_ {এক্স + ওয়াই} (টি) এবং = এম_ {এক্স} (টি) এম_ {ওয়াই} (টি) \\ & = \ এক্সপ্রেস \ বাম \ {\ লাম্বদা_ {1} \ বাম (ই ^ {t} -1 \ ডান) \ ডান \} \ এক্সপ্রেস \ বাম \ {\ ল্যাম্বদা_ {2} \ বাম (e {{t} -1 \ ডান) \ ডান \} \\ & = \ এক্সপ্রেস \ বাম \ { \ বাম (\ ল্যাম্বদা_ {1} + mb ল্যাম্বদা_ {2} \ ডান) \ বাম (ই ^ {টি} -1 \ ডান) \ ডান \} \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

কোথায়

mb ল্যাম্বদা_ {1} + mb ল্যাম্বদা_ {2

পোইসন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স + ওয়াই এর গড়।

সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

     প্যারামিটারগুলি সহ স্বাধীন এবং সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এক্স এবং ওয়াই বিবেচনা করুন

বাম (\ mu_ {1}, \ সিগমা_ {1} ^ {2} \ ডান) \ এবং \ \ বাম (\ mu_ {2}, ig সিগমা_ {2} ^ 2} \ ডান)

তারপরে পরামিতিগুলির সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য X + Y

\ মু_ {1} + \ মু_ {2} \ এবং \ \ সিগমা_ {1} ^ {2} + \ সিগমা_ {2} ^ {2}

সুতরাং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন হবে

\ শুরু igned সারিবদ্ধ} এম_ {এক্স + ওয়াই} (টি) এবং = এম_ {এক্স} (টি) এম_ {ওয়াই} (টি) \\ & = ই {{\ বাম \ {\ ফ্র্যাক {\ সিগমা_ {1} ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ মু_ {1} t \ রাইট \} \ এক্সপ্রেস \ বাম \ {rac frac {ig সিগমা_ {2} ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu_ {2} t \ ডান \}} \\ & = ই ^ {\ বাম \ {rac frac rac \ বাম (ig সিগমা_ {1} ^ {2} + \ সিগমা_ _ 2} ^ {2} \ ডান ) t ^ {2}} {2} + \ বাম (\ mu_ {1} + \ mu_ {2} \ ডান) টি \ ডান \}} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

যা মুহুর্তটি অ্যাডিটিভ গড় এবং বৈকল্পিকের সাথে ফাংশন তৈরি করে।

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এলোমেলো সংখ্যার যোগফল

এলোমেলো ভেরিয়েবলের র‌্যান্ডম সংখ্যার যোগফলের মুহুর্ত তৈরির কার্যকারিতা সন্ধান করতে আসুন আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবল ধরে নিই

Y = \ যোগ_ {i = 1} ^ {N} X_ {i

যেখানে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স1,X2,… হ'ল যে কোনও ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম, যা স্বতন্ত্র এবং অভিন্নরূপে বিতরণ করা হয় তবে মুহুর্ত তৈরির কাজটি হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [\ এক্সপ্রেস \ বাম \ {t \ যোগ_ {1} ^ {N} X_ {i} \ ডান \} \ মিড এন = এন \ ডান] এবং = ই \ বাম [\ Exp \ বাম \ {t \ যোগ_ {1} ^ {n} X_ {i} \ ডান \} \ মিড এন = এন \ ডান] \\ & = ই \ বাম [\ এক্সপ্রেস \ বাম \ {t \ যোগ_ {1} ^ {n} X_ {i} \ ডান \} \ ডান] \\ & = \ বাম [M_ {X} (টি) \ ডান] ^ {n} \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

\ পাঠ্য {যেখানে} এমএক্স (টি) = ই \ বাম [ই ^ {টি এক্স_ {আই}} \ ডান] \\ \ পাঠ্য {সুতরাং {ই \ বাম [ই ^ {টি ওয়াই Y \ মিড এন \ ডান] = \ বাম (M_ {X} (t) \ ডান) ^ {N} \\ M_ {Y} (t) = E \ বাম [\ বাম (M_ {X} (টি) \ ডান) ^ {N} \ ডান ]

যা পার্থক্য হিসাবে Y এর মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন দেয়

M_ {Y} ^ {\ prime} (t) = E \ বাম [N \ বাম (M_ {X} (t) \ ডান) ^ {N-1} M_ {X} {{\ প্রাইম} (টি) \ ডান]

অত: পর

\ শুরু {সারিবদ্ধ} ই [ওয়াই] এবং = এম_ {ই} ^ {{\ প্রাইম} (0) \\ & = ই \ বাম [এন \ বাম (এম_ {এক্স} (0) \ ডান) ^ {এন -1 } এম_ {এক্স} ^ {\ প্রাইম} (0) \ ডান] \\ & = ই [এনএক্স] \\ & = ই [এন] ই [এক্স] \ শেষ {সারিবদ্ধ}

একইভাবে পার্থক্যটি দুটি সময় দেবে

M_ {Y} ^ {\ prime \ prime} (t) = E \ বাম [N (N-1) \ বাম (M_ {X} (t) \ ডান) ^ {N-2} \ বাম (M_ {X } ^ {\ প্রাইম} (টি) \ ডান) ^ {2} + এন \ বাম (এম_ {এক্স} (টি) \ ডান) ^ {এন-1} এম_ {এক্স} {{\ প্রাইম \ প্রাইম} (টি ) \ ডান]

যা দেয়

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [ওয়াই ^ {2} \ ডান] এবং = এম_ {ওয়াই ^ {\ \ প্রাইম \ প্রাইম} (0) \\ & = ই \ বাম [এন (এন -1) (ই [ এক্স]) ^ {2} + NE \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] \ ডান] \\ & = (ই [এক্স]) ^ {2} \ বাম (ই \ বাম [এন ^ {2} \ ডান] -E [এন] \ ডান) + ই [এন] ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান] \\ & = ই [এন] \ বাম (ই \ বাম [এক্স ^ {2} \ ডান]] - (ই [এক্স]) ^ {2} \ ডান) + (ই [এক্স]) ^ {2} ই \ বাম [এন ^ {2} \ ডান] \\ & = ই [এন] \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) + (ই [এক্স]) ^ {2} ই \ বাম [এন ^ {2} \ ডান] \ শেষ {সারিবদ্ধ}

এইভাবে বৈকল্পিকতা হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} \ অপেরাটর্নাম {ভার} (ওয়াই) এবং = ই [এন] \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) + (ই [এক্স]) ^ {2} \ বাম (ই \ বাম [এন ^ {2} \ ডান] - (ই [এন]) ^ {2} \ ডান) \\ & = ই [এন] \ অপেরাটর্নাম {ভার} (এক্স) + (ই [এক্স]) ^ {2} \ অপেরাটর্নাম {ভার} ( এন) \ শেষ {সারিবদ্ধ}

চি-বর্গ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ

স্বাধীনতার এন-ডিগ্রি সহ চি-স্কোয়ার্ড এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যের গণনা করুন।

সমাধান: এর জন্য স্বাধীনতার এন-ডিগ্রি সহ চি-স্কোয়ার্ড এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন

জেড_ {1} ^ {2} + d সিডটস + জেড_ {n} ^ {2}

স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক ভেরিয়েবলের ক্রম তখন মুহূর্ত উত্পন্নকরণ হবে function

এম (টি) = \ বাম (ই \ বাম [ই ^ {টি জেড ^ {2}} \ ডান] \ ডান) ^ {n

সুতরাং এটি দেয়

\ আরম্ভ igned সারিবদ্ধ} ই \ বাম [ই ^ {{টি জেড ^ {2}} \ ডান]] এবং = \ ফ্র্যাক {1} {q স্কয়ার্ট {2 \ পাই}}} ইন _ _ {- ty ইনফটি} ^ {\ ইনফটি} e ^ {tx ^ {2}} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \\ & = \ frac {1} {q sqrt {2 \ pi} \ _ _ _ - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} / 2 \ সিগমা ^ ^ 2}} dx \ কোয়াড \ পাঠ্য {যেখানে} ig সিগমা ^ {2} = (1-2 টি) ^ {- 1} \\ & = \ সিগমা \\ & = (1-2 টি) ^ {- 1/2} \ শেষ {সারিবদ্ধ}

গড় 0 এবং বৈকল্পিক with সহ সাধারণ ঘনত্ব σ2 1 এ সংহত করে

এম (টি) = (1-2 টি) ^ {- এন / 2}

যা স্বাধীনতার ডিগ্রি ডিগ্রির প্রয়োজনীয় মুহুর্তটি তৈরি করার কাজ।

ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ

র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর মুহুর্ত তৈরির ফাংশনটি সন্ধান করুন যা নিয়মিতভাবে প্যারামিটারগুলি এন এবং পি দিয়ে বিতরণ করা হয়েছে শর্তসাপেক্ষ র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y = পি ব্যবধানে (0,1)

সমাধান: Y প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যের সন্ধান করতে

E \ বাম [ই ^ {XX} \ মিড ওয়াই = পি \ ডান] = \ বাম (পের ^ {টি} + 1-পি \ ডান) ^ {n}

দ্বিপদী বিতরণ ব্যবহার করে, পাপ ওয়াই হ'ল অন্তরালে অভিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল (0,1)

\ আরম্ভ {অ্যারে} {l} E \ বাম [ই ^ {X টি এক্স} \ ডান] = \ ইন্ট_ {0} ^ {1} \ বাম (পি ^ {টি {+ 1-পি \ ডান) ^ {n} dp \\ = \ frac {1} {e ^ {t} -1} \ int_ {1} ^ {e ^ {t}} y ^ {n} dy \\ = rac frac {1} {n + 1} rac frac {e ^ {t (n + 1)} - 1} {e ^ {t} -1} \\ = \ frac {1} {n + 1} \ বাম (1 + ই ^ {t} + ই {{2 টি} + \ সিডটস + ই {{এনটি} \ ডান) \ শেষ {অ্যারে \\\ \\\ পাঠ্য subst প্রতিস্থাপন করে \ \ বামে.ই = পে ^ {t} + 1-পি \ ডান)

যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য

এক্স সংখ্যার এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন1,X2,…,এক্সn

এম \ বাম (t_ {1}, d ldots, t_ {n} \ ডান) = ই \ বাম [ই ^ {t_ {1} এক্স_ {1} + \ সিডটস + টি_ {n} এক্স_ {n}} \ ডান ]

যেখানে টি1,t2, …… টিn আসল সংখ্যাগুলি হ'ল, যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য থেকে আমরা স্বতন্ত্র মুহুর্তের উত্পন্নকরণের ফাংশনটি দেখতে পাই

এম_ {এক্স_ {আমি}} (টি) = ই \ বাম [ই ^ {টি এক্স_ {আই}} \ ডান] = এম (0, d এলডটস, 0, টি, 0, \ এলডটস, 0)

উপপাদ্য: এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স1,X2,…,এক্সn স্বতন্ত্র হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি যৌথ মেমেন্ট তৈরির ফাংশন হয়

এম \ বাম (t_ {1}, d ldots, t_ {n} \ ডান) = এম X_ {1} \ বাম (t_ {1} \ ডান) d সিডটস এম এক্স_ {n} \ বাম (t_ {n} \ ডান)

প্রুফ: আসুন ধরে নেওয়া যাক প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স1,X2,…,এক্সn স্বাধীন হয় তাহলে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} এম \ বাম (t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ ডান) এবং = E \ বাম [ই ^ {\ বাম (t_ {1} X_ {1} + d সিডটস + টি_ { n} X_ {n} \ ডান)} \ ডান] \\ & = E \ বাম [ই ^ {t_ {1} এক্স_ {1}} d এলডটস ই ^ {t_ {n} এক্স_ {n}} \ ডান] \\ & = E \ বাম [e ^ {t_ {1} X_ {1}} \ ডান] d সিডটস ই \ বাম [ই ^ {t_ {n} এক্স_ {n}} \ ডান] \ কোয়াড \ পাঠ্য {দ্বারা স্বাধীনতা} \\ & = এম_ {এক্স_ {1}} \ বাম (t_ {1} \ ডান) d সিডটস এম_ {এক্স_ {n} \ \ বাম (টি_ {এন} \ ডান) \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

এখন ধরে নিন যে যৌথ মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশন সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে

এম \ বাম (t_ {1}, d ldots, t_ {n} \ ডান) = এম X_ {1} \ বাম (t_ {1} \ ডান) d সিডটস এম এক্স_ {n} \ বাম (t_ {n} \ ডান)

  • এক্স এলোমেলো ভেরিয়েবল প্রমাণ করতে1,X2,…,এক্সn স্বতন্ত্র আমরা আমাদের ফলাফল পেয়েছি যে যৌথ মুহুর্ত উত্পন্ন করার ফাংশনটি স্বতন্ত্রভাবে যৌথ বিতরণ দেয় (এটি অন্য গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল যা প্রমাণ প্রয়োজন) সুতরাং আমাদের অবশ্যই যৌথ বন্টন থাকতে হবে যা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি স্বতন্ত্র, তাই প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত প্রমাণিত হয়েছে।

জয়েন্ট মোমেন্ট জেনারেট ফাংশনের উদাহরণ

1. র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স + ওয়াই এবং এক্সওয়াইয়ের যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন গণনা করুন

সমাধান: যেহেতু এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স + ওয়াইয়ের যোগফল এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্সওয়াইয়ের বিয়োগফল স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই হিসাবে স্বতন্ত্র তাই এইগুলির জন্য যৌথ মুহুর্ত উত্পন্ন করার কাজটি হবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [ই ^ {n (এক্স + ওয়াই) + এস (এক্সওয়াই)} \ ডান] এবং = ই \ বাম [ই ^ {(টি + এস) এক্স + (টিএস) ওয়াই} \ ডান] \\ এবং = ই \ বাম [ই ^ {(টি + এস) এক্স} \ ডান] ই \ বাম [ই ^ {(টিএস) ওয়াই \ \ ডান] \\ & = ই ^ {\ মিউ (টি + এস) + ig সিগমা ^ {2} (টি + এস) ^ {2} / 2} ই ^ {\ মিউ (টিএস) + \ সিগমা ^ {2} (টিএস) ^ {2} / 2} \\ & = ই {2 \ mu t + \ sigma ^ {2} t ^ ^ 2}} e ^ {\ sigma ^ ^ 2} s ^ {2}} \ end {সারিবদ্ধ}

যেহেতু এই মুহুর্তটি তৈরির কার্যটি যৌথ বন্টন নির্ধারণ করে তাই এটি থেকে আমরা এক্স + ওয়াই এবং এক্সওয়াই স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে পারি।

২. সম্ভাব্যতা p এবং গড় with দিয়ে পোয়েসন বিতরণ দ্বারা গণনা করা এবং অগণিত ইভেন্টগুলি বিতরণের জন্য পরীক্ষার জন্য বিবেচনা করুন, দেখান যে গণনা করা এবং আন-আনসেটড ইভেন্টগুলি সম্পর্কিত উপায়ে λp এবং λ (2-পি) এর সাথে স্বতন্ত্র।

সমাধান: আমরা এক্সকে ইভেন্টের সংখ্যা এবং এক্স হিসাবে বিবেচনা করবc গণনা করা ইভেন্টগুলির সংখ্যা তাই আন-আনডেড ইভেন্টের সংখ্যা XXc, যৌথ মুহুর্তের জেনারেটিং ফাংশনটি মুহুর্ত তৈরি করবে

\ শুরু {সারিবদ্ধ} E \ বাম [ই ^ {\ কাপা এক্স _ {are ওয়ারেপসিলন} + টি \ বাম (এক্স-এক্স_ {সি} \ ডান)} \ মিড এক্স = এন \ ডান] & = ই {{\ ln} ই \ বাম [ই ^ {(সেন্ট) এক্স_ {সি}} \ মিড এক্স = এন \ ডান] \\ \ বামে = & = ই ^ {(পে ^ {স্ট} + 1-পি \ ডান) ^ {n } \\ & = \ বাম (পে ^ {এস} + (1-পি) ই ^ {টি} \ ডান) ^ {n} \ প্রান্ত {সারিবদ্ধ}

এবং মুহূর্তে দ্বিপদী বিতরণের কার্যকারিতা উত্পন্ন করে

ই \ বাম [ই ^ {এস এক্স _ {are ওয়ারেপসিলন} + টি \ বাম (এক্স-এক্স _ {are ওয়ারেপসিলন} \ ডান)} X মিড এক্স \ ডান] = \ বাম (পি ^ {এস} + + (১-পি) e ^ {t} \ ডান) ^ {এক্স}

এবং এগুলি প্রত্যাশা গ্রহণ করলে তা দেবে

E \ বাম [ই ^ {\ যোগফল X_ {c} + t \ বাম (এক্স-এক্স_ {সি} \ ডান)} \ ডান] = ই \ বাম [\ বাম (পে ^ {s} + (1-পি)) e ^ {t} \ ডান) {{X} \ ডান] \\ \ আরম্ভ {ই} বাম [ই ^ {s এক্স_ {সি} + টি \ বাম (এক্স-এক্স_ {সি} \ ডান)} \ ডান] এবং = ই ^ {\ ল্যাম্বদা \ বাম (পে ^ {\ প্রাইম} + (1-পি) ই {{টি} -1 \ ডান)} \\ & = ই ^ {\ ল্যাম্বদা পি \ বাম (ই ^ {সি -1} \ ডানদিকে)} ই ^ {\ ল্যাম্বদা (1-পি) \ বাম (ই ^ {টি} -1 \ ডান) \ \ প্রান্তটি সারিবদ্ধ}

উপসংহার:

দ্বিখণ্ডিত, পোয়েসন, সাধারণ ইত্যাদি বিভিন্ন বিতরণের জন্য মুহুর্তের উত্সাহিতকরণের কার্যকারিতার স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির যোগফলগুলি পৃথকভাবে বা অবিচ্ছিন্ন মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশনগুলির জন্য এবং যৌথ মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশনটির সাথে প্রাপ্ত হয়েছিল উপযুক্ত উদাহরণ, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে নীচের বইগুলি পড়ুন।

গণিতে আরও নিবন্ধগুলির জন্য, আমাদের দেখুন গণিতের পৃষ্ঠা.

শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য | এটি 6 গুরুত্বপূর্ণ বিতরণআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X