মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন
মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশনটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফাংশন যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলিকে উত্পন্ন করে যা মানে, মানক বিচ্যুতি এবং প্রকরণ ইত্যাদি জড়িত, তাই কেবলমাত্র মুহুর্তের উত্পন্নকরণের সাহায্যে আমরা বেসিক মুহুর্তগুলি পাশাপাশি উচ্চতর মুহূর্তগুলি খুঁজে পেতে পারি, এই নিবন্ধটিতে আমরা বিভিন্ন বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য মুহুর্তের উত্স তৈরির কার্যগুলি দেখতে পাবে। যেহেতু মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন (এমজিএফ) এম (টি) দ্বারা চিহ্নিত গাণিতিক প্রত্যাশার সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে
এবং এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে বিযুক্ত এবং ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য প্রত্যাশা এই ফাংশন হবে
যা টির মানকে শূন্য হিসাবে প্রতিস্থাপিত করে সংশ্লিষ্ট মুহুর্তগুলি উত্পন্ন করে। এই মুহুর্তগুলি আমাদের প্রথম মুহুর্তের জন্য উদাহরণস্বরূপ এই মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটিকে আলাদা করে সংগ্রহ করতে হবে বা আমরা একবার হিসাবে আলাদা করেই অর্জন করতে পারি তার অর্থ
এটি ইঙ্গিত দেয় যে পার্থক্যটি প্রত্যাশার অধীনে বিনিময়যোগ্য এবং আমরা এটি লিখতে পারি
এবং
যদি t = 0 উপরের মুহূর্তগুলি হবে
এবং
সাধারণভাবে আমরা এটি বলতে পারি
অত: পর
দ্বিপদী বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য || দ্বিপদী বিতরণ মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশন || বিনোমিয়াল বিতরণের এমজিএফ || মুহূর্ত উত্পন্নকরণের ফাংশন ব্যবহার করে দ্বিপদী বিতরণের গড় এবং বৈচিত্র্য
দ্বিগুণ বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন এন এবং পি পরামিতিগুলির সাথে দ্বিপদী বিতরণের সম্ভাব্যতা ফাংশন অনুসরণ করবে
যা দ্বি-দ্বিীয় উপপাদ্য দ্বারা ফলাফল, এখন পার্থক্য করে এবং t = 0 এর মান রাখে
যা দ্বিপদী বিতরণের গড় বা প্রথম মুহূর্ত একইভাবে দ্বিতীয় মুহূর্ত হবে
সুতরাং দ্বি-দ্বি বিতরণের বৈচিত্র হবে
যা দ্বিপদী বিতরণের মানক গড় এবং তারতম্য, একইভাবে উচ্চতর মুহূর্তগুলিও আমরা এই মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটি ব্যবহার করে খুঁজে পেতে পারি।
এর মুহুর্ত তৈরির ফাংশন মাছ বিতরণ ||মাছ বিতরণ মুহূর্ত উত্সাহী কার্য || এমজিএফ এর মাছ বিতরণ || মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন ব্যবহার করে পোইসন বিতরণের গড় এবং বৈচিত্র
যদি আমাদের কাছে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স থাকে যা পয়েসন প্যারামিটার ল্যাম্বদা দিয়ে বিতরণ করা হয় তবে এই বিতরণের জন্য মুহুর্ত তৈরির মুহূর্তটি হবে
এই পার্থক্য এখন দেবে
এই দেয়
যা সত্য পয়সন বিতরণের জন্য গড় এবং বৈচিত্র দেয়
তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য ||ব্যাখ্যামূলক বিতরণ মুহূর্ত উত্সাহী কার্য || এমজিএফ এর ব্যাখ্যামূলক ডিস্ট্রিবিউশন || গড় এবং বৈচিত্র্য ব্যাখ্যামূলক মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন ব্যবহার করে বিতরণ
সংজ্ঞাটি অনুসরণ করে সূচকীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সের জন্য মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন
এখানে টির মান প্যারামিটার লাম্বদা থেকে কম, এখন এটি আলাদা করবে
যা মুহুর্তগুলিকে সরবরাহ করে
পরিষ্কারভাবে
যা তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণের গড় এবং ভিন্নতা।
সাধারণ বিতরণের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য ||Normal বিতরণ মুহুর্ত উত্পন্ন কার্য || এমজিএফ এর Normal বিতরণ || এর অর্থ এবং তারতম্য সাধারণ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন ব্যবহার করে বিতরণ
অবিচ্ছিন্ন বিতরণগুলির জন্য মোমেন্ট জেনারিং ফাংশনটিও পৃথক পৃথক হিসাবে একই তাই মানক সম্ভাবনার ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপ সহ সাধারণ বিতরণের জন্য মুহুর্ত তৈরির কার্যটি হবে
এই সমন্বয় আমরা হিসাবে সামঞ্জস্য দ্বারা সমাধান করতে পারেন
যেহেতু ইন্টিগ্রেশনের মান ১। সুতরাং মানক স্বাভাবিক পরিবর্তনের জন্য মুহূর্ত উত্পন্নকরণ হবে
এর থেকে আমরা সম্পর্কটি ব্যবহার করে যে কোনও সাধারণ স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনশীলটির জন্য মুহুর্তটি তৈরির ফাংশনটি খুঁজে পেতে পারি
এইভাবে
তাই ভিন্নতা আমাদের দেয়
এইভাবে
সুতরাং বৈকল্পিকতা হবে
এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের মুহুর্ত তৈরির ফাংশন
সার্জারির মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি দেয় যে এটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনের সমান যা স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের জন্য থাকে তারপরে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স + ওয়াইয়ের যোগফলের জন্য মুহুর্তের ক্রিয়াকলাপটি ঘটায়
এখানে প্রতিটি X এবং Y এর মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশনগুলি দ্বারা স্বাধীন গাণিতিক প্রত্যাশার সম্পত্তি. পর্যায়ক্রমে আমরা বিভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশনের মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশনের যোগফল খুঁজে পাব।
দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল
যদি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই যথাক্রমে প্যারামিটারগুলি (এন, পি) এবং (মি, পি) দ্বিপদী বিতরণ দ্বারা বিতরণ করা হয় তবে তাদের যোগফলের এক্স + ওয়াইয়ের মুহুর্ত উত্পন্নকরণ হবে
যেখানে যোগফলের জন্য প্যারামিটারগুলি (n + মি, পি)।
পোইসন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল
স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি X এবং Y এর যোগফলের জন্য বিতরণ যা পয়সন বিতরণ দ্বারা বিতরণ করা হয় যা আমরা খুঁজে পেতে পারি
কোথায়
পোইসন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স + ওয়াই এর গড়।
সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল
স্বাধীন বিবেচনা করুন স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল পরামিতি সহ X এবং Y
তারপরে পরামিতিগুলির সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য X + Y
সুতরাং মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন হবে
যা মুহুর্তটি অ্যাডিটিভ গড় এবং বৈকল্পিকের সাথে ফাংশন তৈরি করে।
র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এলোমেলো সংখ্যার যোগফল
এলোমেলো ভেরিয়েবলের র্যান্ডম সংখ্যার যোগফলের মুহুর্ত তৈরির কার্যকারিতা সন্ধান করতে আসুন আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবল ধরে নিই
যেখানে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স1,X2,… হ'ল যে কোনও ধরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম, যা স্বতন্ত্র এবং অভিন্নরূপে বিতরণ করা হয় তবে মুহুর্ত তৈরির কাজটি হবে
যা পার্থক্য হিসাবে Y এর মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন দেয়
অত: পর
একইভাবে পার্থক্যটি দুটি সময় দেবে
যা দেয়
এইভাবে বৈকল্পিকতা হবে
চি-বর্গ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ
স্বাধীনতার এন-ডিগ্রি সহ চি-স্কোয়ার্ড এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যের গণনা করুন।
সমাধান: এর জন্য স্বাধীনতার এন-ডিগ্রি সহ চি-স্কোয়ার্ড এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন
স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক ভেরিয়েবলের ক্রম তখন মুহূর্ত উত্পন্নকরণ হবে function
সুতরাং এটি দেয়
গড় 0 এবং বৈকল্পিক with সহ সাধারণ ঘনত্ব σ2 1 এ সংহত করে
যা স্বাধীনতার ডিগ্রি ডিগ্রির প্রয়োজনীয় মুহুর্তটি তৈরি করার কাজ।
ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ
র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর মোমেন্ট জেনারেটিং ফাংশন খুঁজুন যা n এবং p পরামিতি দিয়ে দ্বিপদভাবে বিতরণ করা হয় শর্তাধীন ব্যবধানে এলোমেলো পরিবর্তনশীল Y=p (0,1)
সমাধান: Y প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলের মুহূর্ত উত্পন্ন কার্যের সন্ধান করতে
দ্বিপদী বিতরণ ব্যবহার করে, পাপ ওয়াই হ'ল অন্তরালে অভিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল (0,1)
যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য
এক্স সংখ্যার এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন1,X2,…,এক্সn
যেখানে টি1,t2, …… টিn আসল সংখ্যাগুলি হ'ল, যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন কার্য থেকে আমরা স্বতন্ত্র মুহুর্তের উত্পন্নকরণের ফাংশনটি দেখতে পাই
উপপাদ্য: এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স1,X2,…,এক্সn স্বতন্ত্র হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি যৌথ মেমেন্ট তৈরির ফাংশন হয়
প্রুফ: আসুন ধরে নেওয়া যাক প্রদত্ত এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স1,X2,…,এক্সn স্বাধীন হয় তাহলে
এখন ধরে নিন যে যৌথ মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশন সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে
- এক্স এলোমেলো ভেরিয়েবল প্রমাণ করতে1,X2,…,এক্সn স্বতন্ত্র আমরা আমাদের ফলাফল পেয়েছি যে যৌথ মুহুর্ত উত্পন্ন করার ফাংশনটি স্বতন্ত্রভাবে যৌথ বিতরণ দেয় (এটি অন্য গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল যা প্রমাণ প্রয়োজন) সুতরাং আমাদের অবশ্যই যৌথ বন্টন থাকতে হবে যা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি স্বতন্ত্র, তাই প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত প্রমাণিত হয়েছে।
জয়েন্ট মোমেন্ট জেনারেট ফাংশনের উদাহরণ
1. র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স + ওয়াই এবং এক্সওয়াইয়ের যৌথ মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশন গণনা করুন
সমাধান: যেহেতু এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স + ওয়াইয়ের যোগফল এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্সওয়াইয়ের বিয়োগফল স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই হিসাবে স্বতন্ত্র তাই এইগুলির জন্য যৌথ মুহুর্ত উত্পন্ন করার কাজটি হবে
যেহেতু এই মুহুর্তটি তৈরির কার্যটি যৌথ বন্টন নির্ধারণ করে তাই এটি থেকে আমরা এক্স + ওয়াই এবং এক্সওয়াই স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে পারি।
২. সম্ভাব্যতা p এবং গড় with দিয়ে পোয়েসন বিতরণ দ্বারা গণনা করা এবং অগণিত ইভেন্টগুলি বিতরণের জন্য পরীক্ষার জন্য বিবেচনা করুন, দেখান যে গণনা করা এবং আন-আনসেটড ইভেন্টগুলি সম্পর্কিত উপায়ে λp এবং λ (2-পি) এর সাথে স্বতন্ত্র।
সমাধান: আমরা এক্সকে ইভেন্টের সংখ্যা এবং এক্স হিসাবে বিবেচনা করবc গণনা করা ইভেন্টগুলির সংখ্যা তাই আন-আনডেড ইভেন্টের সংখ্যা XXc, যৌথ মুহুর্তের জেনারেটিং ফাংশনটি মুহুর্ত তৈরি করবে
এবং মুহূর্তে দ্বিপদী বিতরণের কার্যকারিতা উত্পন্ন করে
এবং এগুলি প্রত্যাশা গ্রহণ করলে তা দেবে
উপসংহার:
দ্বিখণ্ডিত, পোয়েসন, সাধারণ ইত্যাদি বিভিন্ন বিতরণের জন্য মুহুর্তের উত্সাহিতকরণের কার্যকারিতার স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির যোগফলগুলি পৃথকভাবে বা অবিচ্ছিন্ন মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশনগুলির জন্য এবং যৌথ মুহুর্ত উত্পাদনকারী ফাংশনটির সাথে প্রাপ্ত হয়েছিল উপযুক্ত উদাহরণ, যদি আপনার আরও পড়ার প্রয়োজন হয় তবে নীচের বইগুলি পড়ুন।
গণিতে আরও নিবন্ধগুলির জন্য, আমাদের দেখুন গণিতের পৃষ্ঠা.
শেল্ডন রস দ্বারা সম্ভাবনার প্রথম কোর্স
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা
ROHATGI এবং SALEH দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানের একটি ভূমিকা
