সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল: 3টি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

সাধারণ র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং সাধারণ বিতরণ

      মানগুলির অগণিত সেট সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে পরিচিত, এবং বক্ররেখার ক্ষেত্রফল হিসাবে সংহতকরণের সাহায্যে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণ দেয়, এখন আমরা সর্বাধিক ব্যবহৃত এবং ঘন ঘন অবিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটিতে ফোকাস করব will যেমন সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা গাউসিয়ান বিতরণ নামে আর একটি নাম রয়েছে।

সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল

      সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল হ'ল সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন সহ অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল

মানে আছে μ এবং বৈকল্পিক σ² হিসাবে পরিসংখ্যানগত পরামিতি এবং জ্যামিতিকভাবে সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন বেল আকার আকৃতির বক্ররেখা যা গড় সম্পর্কে প্রতিসাম্য μ.

আমরা জানি যে সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন এর এক হিসাবে মোট সম্ভাবনা আছে

y = (x-μ) / putting রেখে σ

এই দ্বৈত সংহতিকে মেরু আকারে রূপান্তরিত করে সমাধান করা যেতে পারে

যা প্রয়োজনীয় মান তাই এটি অবিচ্ছেদ্য I এর জন্য যাচাই করা হয়

• এক্সটি সাধারণত প্যারামিটার distributed দিয়ে বিতরণ করা হয় μ  এবং σ² তারপরে Y = aX + b সাধারণত Aμ + b এবং a পরামিতিগুলির সাথে বিতরণ করা হয়²μ²

সাধারন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা এবং তারতম্য

সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান এবং তার সাহায্যে আমরা যে রূপটি পেয়ে যাব

যেখানে এক্স সাধারণত প্যারামিটারের গড় দিয়ে বিতরণ করা হয় μ এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি σ.

যেহেতু Z এর গড়টি শূন্য তাই আমাদের মত বৈচিত্র রয়েছে

অংশ দ্বারা একীকরণ ব্যবহার করে

ভেরিয়েবল জেডের জন্য গ্রাফিকাল ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ

এবং এই ভেরিয়েবল Z এর জন্য বক্ররেখার অঞ্চল যা হিসাবে পরিচিত স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ পরিবর্তনশীল, এটি রেফারেন্সের জন্য গণনা করা হয় (সারণীতে দেওয়া), যেমন কার্ভটি প্রতিসম হয় তাই নেতিবাচক মানের জন্য অঞ্চলটি ইতিবাচক মানগুলির সমান হবে

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

যেহেতু আমরা বিকল্প ব্যবহার করেছি

এখানে মনে রাখবেন যে Z হল স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভ্যারিয়েট যেখানে হিসাবে ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল X সাধারণত বিতরণ করা হয় গড় μ এবং আদর্শ বিচ্যুতি σ সহ সাধারণ র্যান্ডম পরিবর্তনশীল।

সুতরাং এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণ ফাংশনটি সন্ধান করার জন্য আমরা হিসাবে স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েটে রূপান্তরটি ব্যবহার করব

কোন মান জন্য।

উদাহরণ: স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বক্ররেখা 0 এবং 1.2 এর মধ্যে পয়েন্টের মধ্যে অঞ্চলটি সন্ধান করুন

যদি আমরা টেবিলটি অনুসরণ করে 1.2 কলামের নীচে 0 এর মান 0.88493 এবং 0 এর মান 0.5000 হয়,

উদাহরণ: -0.46 থেকে 2.21 এর মধ্যে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক বক্ররেখার জন্য অঞ্চলটি সন্ধান করুন।

ছায়াযুক্ত অঞ্চল থেকে আমরা এই অঞ্চলটি -0.46 থেকে 0 এবং 0 থেকে 2.21 পর্যন্ত দ্বিখণ্ডিত করতে পারি কারণ স্বাভাবিক বক্ররেখ y অক্ষের সাথে প্রতিসম হয় তাই -0.46 থেকে 0 এর ক্ষেত্রফল 0 থেকে 0.46 এর মতই টেবিল থেকে

এবং

সুতরাং আমরা এটি লিখতে পারেন

মোট অঞ্চল = (z = -0.46 এবং z = 0 এর মধ্যে অঞ্চল) + (z = 0 এবং z = 2.21 এর মধ্যে অঞ্চল)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

উদাহরণ: এক্স যদি গড় 3 এবং বৈকল্পিক 9 সহ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয় তবে নিম্নলিখিত সম্ভাব্যতাগুলি সন্ধান করুন

P2

পি{X>0}

P|X-3|>6

সমাধান: যেহেতু আমাদের আছে

সুতরাং অন্তর -১/৩ থেকে ০ এবং ০ থেকে ২ / ৩-এর অন্তরগুলিতে দ্বিখণ্ডিত করার ফলে আমরা সারণী মানগুলি থেকে সমাধানটি পেয়ে যাব

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

এবং

উদাহরণ: পিতৃত্বের ক্ষেত্রে একজন পর্যবেক্ষক বলেছেন যে মানুষের বর্ধনের দৈর্ঘ্য (দিনগুলিতে)

প্যারামিটারগুলি সাধারণত 270 এবং বৈকল্পিক 100 দিয়ে বিতরণ করা হয় this এক্ষেত্রে সন্তানের জনক সন্দেহভাজন ব্যক্তি তার জন্মের 290 দিন আগে শুরু হওয়া এবং 240 দিন আগে শেষ হওয়া সময়ের মধ্যে প্রমাণ করেছিলেন যে তিনি দেশের বাইরে ছিলেন provided জন্ম সাক্ষী দ্বারা নির্দেশিত মা খুব দীর্ঘ বা খুব সংক্ষিপ্ত গর্ভাবস্থা থাকতে পারে এমন সম্ভাবনাটি সন্ধান করুন?

এক্স গর্ভধারণের জন্য সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল বোঝাতে এবং সন্দেহভাজন সন্তানের জনক হিসাবে বিবেচনা করুন। সেক্ষেত্রে নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে সন্তানের জন্ম হওয়ার সম্ভাবনা থাকে

নরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ক

      দ্বিপদী বিতরণের ক্ষেত্রে গড়টি এনপি এবং ভেরিয়েন্সটি এনপিকিউ হয় তাই আমরা যদি এই জাতীয় দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে এর সাথে গড় এবং মান বিচ্যুতির সাথে এন খুব বড় এবং পি বা কিউ খুব ছোট করে শূন্যের নিকটে পরিণত করি তবে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক ভেরিয়েবল জেড এর সাথে এই গড় এবং বৈকল্পিক সাহায্য হয়

শর্তে এখানে বার্নোলির বিচার এক্স এন পরীক্ষায় সাফল্যের সংখ্যা বিবেচনা করে। যেহেতু এন বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং অনন্তের নিকটবর্তী হয় এই সাধারণ পরিবর্তনটি একইভাবে স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েটেতে পরিণত হয়।

দ্বিপদী এবং স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক পরিবর্তনের সম্পর্কটি আমরা উপপাদ্যটি অনুসরণ করার সাহায্যে খুঁজে পেতে পারি।

ডিমোভ্রে ল্যাপ্লেস তত্ত্বের সীমাবদ্ধ করে

If S_n সাফল্যের সংখ্যাটি বোঝায় যখন এন  স্বতন্ত্র পরীক্ষাগুলি, প্রতিটি সম্ভাব্যতার সাথে সাফল্যের ফলস্বরূপ , তারপর, কারও জন্য করা হয় a <বি,

উদাহরণ: দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্বাভাবিক সান্নিধ্যের সাহায্যে যখন একটি ন্যায্য মুদ্রা 20 বার ছুঁড়েছিল তখন 40 বারের লেজের সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা সন্ধান করে।

সমাধান: ধরুন, র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স লেজের উপস্থিতি উপস্থাপন করে, যেহেতু দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলটি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সাধারণ র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল তাই বিযুক্তিকে অবিচ্ছিন্ন রূপান্তর করতে আমরা এটি হিসাবে লিখি

এবং আমরা যদি দ্বি-দ্বি বিতরণের সাহায্যে প্রদত্ত উদাহরণটি সমাধান করি তবে আমরা তা পেয়ে যাব

উদাহরণ: রক্ত সঞ্চালনে কোলেস্টেরলের মাত্রা হ্রাসে একটি নির্দিষ্ট পুষ্টির দক্ষতা নির্ধারণের জন্য, 100 জন লোককে পুষ্টির উপরে স্থাপন করা হয়। পুষ্টি সরবরাহের পরে নির্ধারিত সময়ের জন্য কোলেস্টেরল গণনা পরিলক্ষিত হয়। যদি এই নমুনা থেকে 65 শতাংশের কম কোলেস্টেরল গণনা থাকে তবে পুষ্টি অনুমোদিত হবে। পুষ্টিবিদ নতুন পুষ্টি অনুমোদনের সম্ভাবনা কতটুকু যদি বাস্তবে, কোলেস্টেরল স্তরের কোনও ফল হয় না?

সমাধান:  পুষ্টি দ্বারা নিচে যদি এলোমেলো পরিবর্তনশীল কোলেস্টেরল স্তরটি প্রকাশ করতে দেয় তবে এ জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা হ'ল প্রতিটি ব্যক্তির জন্য, এক্স যদি নিম্ন স্তরের লোককে চিহ্নিত করে তবে ফলস্বরূপ যে সম্ভাব্যতা অনুমোদিত তা এমনকি পুষ্টির কোনও প্রভাব নেই কোলেস্টেরলের মাত্রা হ্রাস করে

উপসংহার:

   এই নিবন্ধে ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ধারণাটি সাধারণ দৈব চলক এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের সাথে এর বন্টন নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে এবং পরিসংখ্যানগত পরামিতি মানে, স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈচিত্র্য দেওয়া হয়েছে। সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে নতুন স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভ্যারিয়েটে রূপান্তর করা হয় এবং এই ধরনের স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভ্যারিয়েটের জন্য বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফলকে সারণী আকারে দেওয়া হয় বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কও উদাহরণ সহ উল্লেখ করা হয়েছে , আপনি যদি আরও পড়তে চান তবে এর মাধ্যমে যান:

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

গণিতে আরও বিষয়ের জন্য দয়া করে চেক করুন এই পৃষ্ঠা.