প্রবেশ ও সংযুক্তি | সমস্যা এবং সমাধান সহ সম্পূর্ণ ওভারভিউ

অনুমান এবং সংমিশ্রণ

উদাহরণের মাধ্যমে ধারণার চিত্র এবং সংমিশ্রণের চিত্রণ

এই নিবন্ধে, আমরা কয়েকটি উদাহরণ আলোচনা করেছি যা ধারণার অন্তর্দৃষ্টি ছাড়পত্র পেতে শিক্ষার্থীদের Permutations এবং সংমিশ্রণগুলিকে শক্তিশালী করে তুলবে, এটি ভালভাবেই অবগত যে Permutations এবং সংমিশ্রণ উভয়ই সম্ভাবনাগুলি গণনা করার প্রক্রিয়া, তাদের মধ্যে পার্থক্য হ'ল শৃঙ্খলা বিষয়টির বিষয়টি গুরুত্বপূর্ণ বা না, তাই এখানে উদাহরণের সংখ্যার মধ্য দিয়ে আমরা কোথায় কোনটি ব্যবহার করব তা বিভ্রান্তির বিষয়টি পরিষ্কার করব।

পরিকল্পনা বা বাছাইয়ের জন্য ব্যবস্থা করার জন্য যথাযথ বিবেচনার সাথে সরবরাহ করা একটি দল বা ব্যক্তিদের কাছ থেকে একসময় সংক্ষিপ্ত বা সমান সংখ্যক লোক বা আইটেমকে বাছাই করার পদ্ধতিগুলি বলা হয় ক্রম।

প্রতিটি ভিন্ন গোষ্ঠী বা নির্বাচন যা কিছু বা সমস্ত আইটেম গ্রহণ করে তৈরি করা যেতে পারে, সেগুলি যেভাবে সাজানো হোক না কেন, তাকে বলা হয় এ সমাহার.

বেসিক পারমিটেশন (এনপিআর সূত্র) উদাহরণ

            এখানে আমরা এন জিনিস থেকে আর স্থান পূরণ করার সমতুল্য এক সাথে n টি বিভিন্ন বস্তুর একটি গ্রুপ তৈরি করছি।

সমম্বয়
অনুমান এবং সংমিশ্রণ

সাজানোর পদ্ধতির সংখ্যা = r স্থান পূরণ করার পদ্ধতিগুলির সংখ্যা।

^ {n} P_ {r} = n। (n-1)। (n-2)… (n-r + 1) = \ frac {n!} {(এনআর)!

rac frac {n। (n-1)। (n-2)… (n-r + 1)। (এনআর)!} {(এনআর)!} = \ frac {n!} {(এনআর)!} = ^ {n} পি_ {আর}

so এনপিআর সূত্র আমাদের ব্যবহার করতে হবে

^ {n} P_ {r} = rac frac {n!} {(এনআর)!

উদাহরণ 1): একটি ট্রেন রয়েছে যার 7 টি আসন খালি রাখা আছে, তারপরে তিন যাত্রী কত উপায়ে বসতে পারেন।

সমাধান: এখানে এন = 7, আর = 3

প্রয়োজনীয় উপায় সংখ্যা =

^ {n} P_ {r} = rac frac {n!} {(এনআর)!

^{7}P_{3}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{4!.5.6.7}{4!} =210

210 উপায়ে 3 জন যাত্রী বসতে পারেন।

উদাহরণ 2) 4 মহিলার মধ্যে 10 জনকে কতভাবে দলীয় নেতা হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে?

সমাধান: এখানে এন = 10, আর = 4

প্রয়োজনীয় উপায় সংখ্যা =

^ {n} P_ {r} = rac frac {n!} {(এনআর)!

^{10}P_{4}=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{6!.7.8.9.10}{6!}=5040

5040 টি উপায়ে 4 জন মহিলা দলীয় নেতা হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে।

উদাহরণ ৩) বর্ণমালার ছাব্বিশটি বর্ণ থেকে নির্বাচিত ৪ টি ভিন্ন বর্ণ থেকে কতটি অনুমান সম্ভব?

সমাধান: এখানে এন = 26, আর = 4

প্রয়োজনীয় উপায় সংখ্যা =

^ {n} P_ {r} = rac frac {n!} {(এনআর)!

^{26}P_{4}=\frac{26!}{(26-4)!}=\frac{22!.23.24.25.26}{22!}=358800

358800 উপায়ে, 4 টি পৃথক চিঠির অনুমতি পাওয়া যায়।

উদাহরণ ৪) তিনটি-অঙ্কের ক্রমশক্তি কতগুলি পৃথক রয়েছে, 4 থেকে 0 পর্যন্ত দশটি অঙ্ক থেকে নির্বাচিত? (9 এবং 0 সহ)?

সমাধান: এখানে এন = 10, আর = 3

প্রয়োজনীয় উপায় সংখ্যা =

^ {n} P_ {r} = rac frac {n!} {(এনআর)!

^{10}P_{3}=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{7!.8.9.10}{7!}=720

720 উপায়ে, তিন-অঙ্কের ক্রিয়াকলাপ উপলব্ধ।

উদাহরণ 5) একজন বিচারক 18 প্রতিযোগীদের সাথে একটি প্রতিযোগিতায় প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় স্থান অর্জন করতে পারে তার সংখ্যা নির্ধারণ করুন।

সমাধান: এখানে এন = 18, আর = 3

প্রয়োজনীয় উপায় সংখ্যা =

^ {n} P_ {r} = rac frac {n!} {(এনআর)!

^{18}P_{3}=\frac{18!}{(18-3)!}=\frac{15!.16.17.18}{15!}=4896

১৮ জন প্রতিযোগীর মধ্যে 18 টি উপায়ে বিচারক প্রতিযোগিতায় প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় স্থান অর্জন করতে পারবেন।

উদাহরণ

)) উপায়ের সংখ্যাটি নির্ধারণ করুন, 6 জন এককভাবে নিজেকে সংগঠিত করতে পারেন।

সমাধান: এখানে এন = 7, আর = 7

প্রয়োজনীয় উপায় সংখ্যা =

^ {n} P_ {r} = rac frac {n!} {(এনআর)!

^{7}P_{7}=\frac{7!}{(7-7)!}=\frac{7!}{0!}=5040

5040 টি উপায়ে 7 জন লোক নিজেকে এক সারি সজ্জিত করতে পারে।

সংমিশ্রণের ভিত্তিতে উদাহরণ (এনসিআর সূত্র / এন কে সূত্র চয়ন করুন)

একযোগে r (0 <= r <= n) নেওয়া বিভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে সেটআপ করা যায় এমন সংমিশ্রণের (নির্বাচন বা গোষ্ঠীগুলি) সংখ্যা হ'ল

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (nr)!} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!} = \ বিনম {n} {কে}

এটি সাধারণত হিসাবে পরিচিত nCr বা n কে সূত্র চয়ন করুন.

^ {n} C_ {k} = rac frac {n!} {k! (nk)!

উদাহরণ:

1) আপনার যদি লাল, হলুদ এবং সাদা রঙের বিভিন্ন রঙের তিনটি পোশাক থাকে তবে আপনি যদি কোনও দুটি চয়ন করতে চান তবে আপনি একটি আলাদা সংমিশ্রণ পেতে পারেন?

সমাধান: এখানে এন = 3, আর = 2 এটি 3 নির্বাচন 2 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{3}C_{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{2!.3}{2!.1}=3

3 টি পৃথক সংমিশ্রণে আপনি এগুলির দুটি পেতে পারেন।

2) আপনার কাছে 4 টি আলাদা আইটেম রয়েছে এবং আপনাকে 2 টি বেছে নিতে হলে কতগুলি বিভিন্ন সমন্বয় করা যেতে পারে?

সমাধান: এখানে এন = 4, আর = 2 এটি 4 নির্বাচন 2 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{4}C_{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{2!.3.4}{2!.2!}=6

6 টি পৃথক সংমিশ্রণে আপনি এগুলির দুটি পেতে পারেন।

3) আপনার যদি কেবল 5 টি অক্ষর থাকে এবং আপনার মধ্যে 2 টি বেছে নিতে হয় তবে কতটি পৃথক সংমিশ্রণ তৈরি করা যায়?

সমাধান: এখানে এন = 5, আর = 2 এটি 5 নির্বাচন 2 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{5}C_{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{3!.4.5}{2!.3!}=10

10 টি পৃথক সংমিশ্রণে আপনি এগুলির দুটি পেতে পারেন।

4) সংমিশ্রণের সংখ্যা 6 চয়ন 2 চয়ন করুন।

সমাধান: এখানে এন = 6, আর = 2 এটি 6 নির্বাচন 2 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{6}C_{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{4!.5.6}{2!.4!}=15

15 টি পৃথক সংমিশ্রণে আপনি এগুলির দুটি পেতে পারেন।

5) 3 জন পৃথক অংশীদার থেকে 5 জন সদস্য বাছাই করার উপায়গুলি সন্ধান করুন।

সমাধান: এখানে এন = 5, আর = 3 এটি 5 নির্বাচন 3 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{5}C_{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{3!.4.5}{3!.2!}=10

10 টি বিভিন্ন সংমিশ্রণে আপনি তাদের মধ্যে যে কোনও তিনটি পান।

)) লাল, নীল, হলুদ, কমলা, সবুজ এবং বেগুনি রঙের ক্রেয়নের বাক্স। মাত্র তিনটি রঙ আঁকতে আপনি কয়টি বিপরীত উপায় ব্যবহার করতে পারেন?

সমাধান: এখানে এন = 6, আর = 3 এটি 6 নির্বাচন 3 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{6}C_{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{3!.4.5.6}{3!.3.2.1}=20

20 টি বিভিন্ন সংমিশ্রণে আপনি তাদের মধ্যে যে কোনও তিনটি পান।

7) 4 টি বেছে 3 এর জন্য সংমিশ্রণের সংখ্যাটি সন্ধান করুন।

সমাধান: এখানে এন = 4, আর = 3 এটি 4 নির্বাচন 3 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{4}C_{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{3!.4}{3!.1!}=4

4 টি বিভিন্ন সংমিশ্রণে আপনি তাদের মধ্যে যে কোনও তিনটি পান।

৮) দশ জন লোক থেকে কতজন পৃথক পাঁচ ব্যক্তি কমিটি নির্বাচিত হতে পারে?

সমাধান: এখানে এন = 10, আর = 5 এটি 10 নির্বাচন 5 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{10}C_{5}=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10!}{5!.5!}=\frac{5!.6.7.8.9.10}{5!.5.4.3.2}=7.4.9=252

সুতরাং 252 জন থেকে 5 টি পৃথক 10 ব্যক্তি কমিটি নির্বাচিত হতে পারে।

9) কলেজে মোট 12 ভলিবল খেলোয়াড় রয়েছে, যা 9 জন খেলোয়াড়ের একটি দল নিয়ে গঠিত হবে। অধিনায়ক যদি ধারাবাহিকভাবে থেকে যান তবে কত উপায়ে দল গঠন করা যেতে পারে।

সমাধান: এখানে অধিনায়ক হিসাবে ইতিমধ্যে নির্বাচন করা হয়েছে, সুতরাং এখন 11 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে 8 টি বেছে নেওয়া হবে এন = 11, আর = 8 এটি 11 নির্বাচন 8 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{11}C_{8}=\frac{11!}{8!(11-8)!}=\frac{11!}{8!.3!}=\frac{8!.9.10.11}{8!.3.2.1}=3.5.11=165

সুতরাং অধিনায়ক যদি ধারাবাহিকতা বজায় রাখেন তবে 165 উপায়ে দল গঠন করা যেতে পারে।

10) সংমিশ্রণের সংখ্যা 10 চয়ন 2 চয়ন করুন।

সমাধান: এখানে এন = 10, আর = 2 এটি 10 নির্বাচন 2 সমস্যা

^ {n} C_ {r} = rac frac {n!} {r! (এনআর)!

^{10}C_{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10!}{2!.8!}=\frac{8!.9.10}{2!.8!}=5.9=45

45 টি পৃথক সংমিশ্রণে আপনি এগুলির দুটি পেতে পারেন।

আমাদের পার্থক্যটি দেখতে হবে যে এনসিআর হ'ল জিনিসগুলি যেভাবে r এবং এনপিআর দ্বারা জিনিসগুলি বাছাই করা যায় তার সংখ্যা r আমাদের মনে রাখতে হবে যে ক্রম ছাড়ার দৃশ্যের যে কোনও ক্ষেত্রে, জিনিসগুলি যেভাবে সাজানো হয়েছে তা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। যাইহোক, সংমিশ্রণে, অর্ডারটির অর্থ কিছুই নেই।

উপসংহার

কিছু বাস্তব জীবনের উদাহরণ সহ প্রবন্ধগুলি এবং সংমিশ্রণের উদাহরণ সহ একটি বিশদ বিবরণ প্রদান করা হয়েছে, নিবন্ধের একটি ধারাবাহিকতায় আমরা যদি আরও অধ্যয়ন করতে আগ্রহী তবে প্রাসঙ্গিক উদাহরণগুলির সাথে বিভিন্ন ফলাফল এবং সূত্রের বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব if এই লিংক.

উল্লেখ

  1. ডিসক্রেট ম্যাথমেটিক্সের তত্ত্ব এবং সমস্যাগুলির স্কীমের আউটলাইন
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

প্রবেশ ও সংযুক্তি | সমস্যা এবং সমাধান সহ সম্পূর্ণ ওভারভিউআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X