পারমুটেশন এবং কম্বিনেশন: মনে রাখার জন্য 3টি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

By

  সংজ্ঞা এবং মৌলিক ধারণাগুলি নিয়ে আলোচনা করার পরে আমরা এর ফলাফল এবং সম্পর্কগুলি তালিকাভুক্ত করব অনুমান এবং সংমিশ্রণসমস্ত কিছুর উপর নির্ভর করে আমরা বিবিধ উদাহরণগুলি সমাধান করে ক্রিয়েটেশন এবং সংমিশ্রণের ধারণার সাথে আরও পরিচিত হয়ে উঠব।

মনে রাখার বিষয়গুলি (অনুমান)

  1. অর্ডার করার পদ্ধতিগুলির সংখ্যা = nPr= {n (এন -1) (এন -2)… .. (এন-আর + 1) ((এনআর)!)} / (এনআর)! = এন! / {(এনআর)!
  2. একসাথে এক সাথে নেওয়া n বিভিন্ন বস্তুর বিন্যাসের সংখ্যা = = nPn = এন!
  3. nP0 = এন! / এন! = 1
  4. পি = এন। এন-1Pদ-1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- আর)! = 0, (-আর)! = ∞ (আরআর)∈ N)
  7. যে কোনও স্থানের যে কোনও একটি এন দ্বারা বস্তু পূরণ করা যায় সেখানে r স্থানগুলি পূরণ করার পদ্ধতিগুলি, নির্ধারনের গণনা = আর স্থানের স্টাফিংয়ের পদ্ধতিগুলির সংখ্যা = (এন)r   

উদাহরণ: 999 এবং 10000 এর মধ্যে কতগুলি সংখ্যা 0, 2, 3,6,7,8 নম্বরগুলির সাহায্যে তৈরি করা যেতে পারে যেখানে অঙ্কগুলি অনুলিপি করা উচিত নয়?

সমাধান: 999 এবং 10000 এর মধ্যে সংখ্যাগুলি চারটি সংখ্যার।

                   0, 2, 3,6,7,8 ডিজিট দ্বারা নির্মিত চার-অঙ্কের নম্বরগুলি

অনুমান
অনুমান: উদাহরণ

  তবে এখানে সেই সংখ্যাগুলিও যুক্ত রয়েছে যা 0 থেকে শুরু হয় So সুতরাং আমরা তিনটি সংখ্যা নিয়ে গঠিত সংখ্যাগুলি নিতে পারি।

প্রাথমিক অঙ্ক 0 গ্রহণ করা, পাঁচ অঙ্কের 3, 2 থেকে 3,6,7,8 টি স্থগিতের ব্যবস্থা করার উপায়গুলি 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

সুতরাং প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 360-60 = 300।

উদাহরণ: উল্লিখিত দুটি বই এক সাথে না থাকার জন্য একত্রে কতটি বই স্থাপন করা যায়?

সমাধান: বিভিন্ন বইয়ের অর্ডার সংখ্যা = এন!                                                                                                                

           দুটি উল্লিখিত বই যদি সর্বদা একসাথে থাকে তবে কয়েকটি উপায়ে = (এন -1)! X2

উদাহরণ: দুটি ছেলের মধ্যে 10 বল দিয়ে কতগুলি উপায়ে বিভক্ত, একটিতে দুটি এবং অন্য আটটি পেয়ে।

সমাধান: A 2 পায়, খ  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A 8 পায়, খ 2 পায়; 10! / (8! 2)) 45

তার মানে 45 + 45 = 90 টি উপায়ে বল ভাগ করা হবে।

উদাহরণ: "CALCUTTA" শব্দের বর্ণমালা সাজানোর সংখ্যাটি সন্ধান করুন।

সমাধান: প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 8! / (2! 2! 2)) 5040

উদাহরণ: পার্টিতে বিশ জনকে আমন্ত্রণ জানানো হয়েছে। দু'জনকে কীপারের দু'দিকে বসে থাকতে হলে কতগুলি বিভিন্ন উপায়ে তারা এবং হোস্ট একটি বৃত্তাকার টেবিলে বসতে পারেন।

সমাধান: মোট 20 + 1 = 21 জন ব্যক্তি থাকবে।

নির্দিষ্ট দুটি ব্যক্তি এবং হোস্টকে একটি ইউনিট হিসাবে বিবেচনা করা হবে যাতে এগুলি 21 - 3 + 1 = 19 জনকে 18 এ সাজানো হবে! উপায়।

 তবে হোস্টের দুপাশের দু'জন বিশেষ ব্যক্তিকে নিজেরাই সাজানো যেতে পারে ২০০ in সালে! উপায়।

  সুতরাং 2 আছে! * 18! উপায়।

উদাহরণ : 10 টি ফুল থেকে কতগুলি উপায়ে মালা তৈরি করা যায়।

সমাধান:  n ফুলের মালা তৈরি করা যায় (এন -১)! উপায়।

10 টি ফুলের মালা ব্যবহার করে 9! / 2 বিভিন্ন উপায়ে প্রস্তুত করা যায়।

উদাহরণ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 দ্বারা গঠিত হওয়া নির্দিষ্ট চার-অঙ্কের নম্বরটি সন্ধান করুন যাতে প্রতিটি এবং প্রতিটি সংখ্যায় 1 থাকে।

সমাধান: 1 স্থানের মধ্যে প্রথম অবস্থানে 4 সুরক্ষার পরে 3 স্থান পূরণ করা যেতে পারে7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

তবে কিছু নম্বর যার চতুর্থ সংখ্যাটি শূন্য, সুতরাং এর ধরণের উপায় =6P2= 6! / (6-2)! = 20

                   মোট উপায় = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180

সম্মিলনের জন্য এই পয়েন্টগুলি মনে রাখবেন

  • সংমিশ্রণের সংখ্যা n বস্তু, যা p অভিন্ন, নেওয়া হয় r এক সময় হয়

এনপিCr+এনপিCদ-1+এনপিCদ-2+ …… .. +এনপিC0 , যদি r <= p এবং  এনপিCr+এনপিCদ-1+এনপিCদ-2+… .. +এনপিCআরপি  , যদি r> পি

  1. n বেছে নিন 0 বা n চয়ন এন 1 হয়, nC0 = nCn = 1, nC1 = এন।
  2. nCr + nCদ-1 = , n + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> x = y বা x + y = n
  4. n. এন-1Cদ-1 = (এন-আর + 1) nCদ-1
  5. nC0+nC2+nC4+…। =nC1+nC3+nC5… .. = 2এন-1
  6. 2n + + 1C0+2n + + 1C1+2n + + 1C2+ …… +2n + + 1Cn=22n
  7. nCn+, n + 1Cn+, n + 2Cn+, n + 3Cn+ ……… .. +2 এন -1Cn=2nC, n + 1
  9. সংমিশ্রণের সংখ্যা n একসাথে সমস্ত জিনিস নেওয়া। nCn= এন! / {এন! (এনএন)!} = 1 / (0)! = 1

ধারাবাহিকতায় আমরা কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করব  

উদাহরণ: If 15Cr=15Cr + 5 , তাহলে আর এর মান কত?

সমাধান: এখানে আমরা উপরের ব্যবহার করব

 nCr=nCএনআর সমীকরণের বাম দিকে

15Cr=15Cr + 5 => 15C15-R =15Cr + 5

=> 15-আর = আর + 5 => 2 আর = 10 => আর = 10/2 = 5

সুতরাং r এর মান 5 হ'ল 15 CHOOSE 5 এর সমস্যা বোঝায়।

উদাহরণ: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 আর এর মান সন্ধান করুন, যাতে এর মান হয় nCr  15 হবে।

 সমাধান: এখানে প্রদত্ত শব্দটি 2n চয়ন 3 এবং n হিসাবে 2 হিসাবে অনুপাত হিসাবে দেওয়া হয়েছে

সংমিশ্রণ সংজ্ঞা দ্বারা

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2 এন-1) = 44 => 2 এন = 12 => এন = 6

                   এখন 6Cr= 15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => আর = 2, 4

সুতরাং সমস্যাটি 6 টি 2 বা 6 বাছাই 4 হিসাবে পরিণত হয়েছে

উদাহরণ:  If  nCদ-1= 36 nCr= 84 এবং nCr + 1= 126, তাহলে আর এর মান কত হবে?

 সমাধান: এখানে nCদ-1 / nCr = 36/84 এবং nCr /nCr + 1 = 84/126।

(এন)! / {(এন-আর + 1)! এক্স (আর -1)!} এক্স {(আর)! এক্স (এনআর)!} / (এন)! = 36/84

আর / (এন-আর + 1) = 3/7 => 7 আর = 3 এন-3 আর + 3

=> 3n-10r = -3, এবং একইভাবে আমরা দ্বিতীয় রেশন থেকে পাই

4n-10r = 6

সমাধান করার সময় আমরা n = 9, r = 3 পাই

সুতরাং সমস্যাটি 9 টি 3 টি চয়ন করুন, 9 টি পছন্দ 2 এবং 9 টি পছন্দ 4 হিসাবে পরিণত হয়েছিল।

উদাহরণ: ঘরের সবাই সবার সাথে হাত মিলায়। হ্যান্ডশেকিংয়ের মোট গণনা are 66 টি। রুমে ব্যক্তির সংখ্যা খুঁজুন।

nC2 = 66 => এন! / {2! (এন -2)!} = 66 => এন (এন -1) = 132 => এন = 12

সমাধান: সুতরাং এন এর মান 12 হ'ল বোঝা যাচ্ছে রুমে মোট লোক সংখ্যা 12 এবং সমস্যা 12 টি 2 চয়ন করুন।

উদাহরণ: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে, 153 খেলা খেলা হয়েছিল। সমস্ত দল একটি খেলা খেলেছে। টুর্নামেন্টে জড়িত গ্রুপগুলির সংখ্যা সন্ধান করুন।

সমাধান:

এখানে nC2 = 153 => এন! / {2! (এন -2)} = 153 => এন (এন -1) / 2 = 153 => এন = 18

তাই টুর্নামেন্টে অংশগ্রহণকারী মোট দলের সংখ্যা ছিল ১৮টি সমাহার 18 চয়ন 2 হয়.

উদাহরণ দীপাবলি অনুষ্ঠানে প্রতিটি ক্লাব সদস্য অন্যকে গ্রিটিং কার্ড প্রেরণ করেন। যদি ক্লাবে 20 জন সদস্য থাকে তবে সদস্যদের দ্বারা গ্রিটিং কার্ডের বিনিময়ের মোট সংখ্যা কত হবে।

সমাধান: যেহেতু দুই জন সদস্য একে অপরকে দুটি উপায়ে কার্ড বিনিময় করতে পারে তাই 20 টি 2 বার নির্বাচন করুন choose

2 x 20C2 = 2 x (20!) / {2! (20-2)!} = 2 * 190 = 380, গ্রিটিংস কার্ড বিনিময় করার জন্য 380 উপায় থাকবে।

উদাহরণ: ছয়টি প্লাস '+' এবং চারটি বিয়োগ '-' চিহ্নগুলি এমন সরলরেখায় সাজানো উচিত যাতে কোনও দুটি '-' প্রতীক মিলিত না হয় এবং মোট উপায়ের সন্ধান করে।

 সমাধান: অর্ডার করা যেতে পারে -+-+-+-+-+-+- (-) চিহ্ন 7টি খালি (পয়েন্টেড) জায়গায় স্থাপন করা যেতে পারে।

সুতরাং প্রয়োজনীয় উপায় = 7C4 = 35।

উদাহরণ: If nC21 =nC6 , তারপর খুঁজে nC15 =?

সমাধান: প্রদত্ত nC21 =nC6

21 + 6 = n => n = 27

অত: পর 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

27 যা 15 বেছে নিন।

উপসংহার

সম্পর্ক এবং ফলাফলের উপর নির্ভর করে কিছু উদাহরণ নেওয়া হয়, উদাহরণ হিসাবে আমরা ফলাফলের প্রতিটি নিতে পারি তবে এখানে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি আমি দেখাতে চাই যে আপনি যদি আরও পড়ার প্রয়োজন পড়েন তবে পরিস্থিতিটির উপর নির্ভর করে আমরা কীভাবে কোনও ফলাফল ব্যবহার করতে পারি সামগ্রীতে যান বা কোনও ব্যক্তিগত সহায়তা থাকলে আপনি আমাদের সম্পর্কিত যে কোনও বিষয়বস্তু থেকে পেতে পারেন সে সম্পর্কে আমাদের যোগাযোগ করতে পারেন:

গণিতে আরও বিষয়ের জন্য দয়া করে এটি পরীক্ষা করে দেখুন লিংক.

ডিসক্রেট ম্যাথমেটিক্সের তত্ত্ব এবং সমস্যাগুলির স্কীমের আউটলাইন

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

উপরে যান