এটি সম্পর্কিত একটি অনুক্রমিক পোস্ট স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, বিশেষভাবে চালু পয়েন্ট. আমরা ইতিমধ্যে পোস্টে কিছু বিষয় নিয়ে আলোচনা করেছি "জ্যামিতি সমন্বয় করার জন্য একটি সম্পূর্ণ নির্দেশিকা". এই পোস্টে আমরা বাকি বিষয় নিয়ে আলোচনা করব।
2D-এ কো-অর্ডিনেট জ্যামিতিতে পয়েন্টের প্রাথমিক সূত্র:
বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির পয়েন্টগুলির সমস্ত মৌলিক সূত্রগুলি এখানে বর্ণনা করা হয়েছে এবং সূত্রগুলি সম্পর্কে এক নজরে সহজ এবং দ্রুত শেখার জন্য 'বিন্দুর উপর সূত্র সারণী' গ্রাফিকাল ব্যাখ্যা সহ নীচে উপস্থাপন করা হয়।
দুই পয়েন্ট দূরত্ব সূত্র | বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি:
দূরত্ব হল একটি পরিমাপ যা বস্তু, স্থান ইত্যাদি একে অপর থেকে কতটা দূরে তা খুঁজে বের করা। এটি ইউনিট সহ একটি সংখ্যাসূচক মান আছে। কো-অর্ডিনেট জ্যামিতি বা 2D-তে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব গণনা করার জন্য একটি সূত্র আছে যা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে নেওয়া হয়েছে। আমরা এটিকে 'দূরত্ব' হিসাবে লিখতে পারি d =√ [(x2-x1)2+ (y)2-y1)2 ] , কোথায় (x1,y1) এবং (x2,y2) xy-প্লেনে দুটি বিন্দু। একটি সংক্ষিপ্ত গ্রাফিকাল ব্যাখ্যা দ্বারা অনুসরণ করা হয় 'পয়েন্ট বিষয় নং 1 এর সূত্র টেবিল' নিচে.
উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব | স্থানাঙ্ক জ্যামিতি:
আমরা যদি xy-প্লেনে অরিজিন দিয়ে আমাদের যাত্রা শুরু করি এবং সেই সমতলের যেকোন বিন্দুতে শেষ করি, তাহলে উৎপত্তি এবং বিন্দুর মধ্যে দূরত্বও একটি সূত্র, 'দূরত্ব' দ্বারা খুঁজে পাওয়া যেতে পারে। OP=√ (x2 + y2), যা "দুই পয়েন্ট দূরত্বের সূত্র" এর একটি হ্রাসকৃত রূপ যার এক বিন্দু (0,0)। একটি সংক্ষিপ্ত গ্রাফিকাল ব্যাখ্যা দ্বারা অনুসরণ করা হয় 'পয়েন্ট বিষয় নং 2 এর সূত্র টেবিল' নিচে.
পয়েন্ট বিভাগ সূত্র |জ্যামিতি স্থানাঙ্ক :
যদি একটি বিন্দু একটি রেখা খণ্ডকে কোনো অনুপাতে দুটি প্রদত্ত বিন্দুকে যুক্ত করে ভাগ করে, আমরা সেই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য বিভাগ সূত্র ব্যবহার করতে পারি যখন রেখা খণ্ডটিকে যে অনুপাত দ্বারা ভাগ করা হয়, দেওয়া হয় এবং এর বিপরীতে। লাইন সেগমেন্ট বিন্দু দ্বারা অভ্যন্তরীণ বা বাহ্যিকভাবে ভাগ করা যেতে পারে যে একটি সম্ভাবনা আছে. যখন বিন্দুটি দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্যে রেখার অংশে থাকে, তখন অভ্যন্তরীণ বিভাগ সূত্র ব্যবহার করা হয় যেমন
এবং
এবং যখন বিন্দুটি দুটি প্রদত্ত বিন্দুতে যোগদানকারী রেখার অংশের বাহ্যিক অংশে থাকে, তখন বাহ্যিক বিভাগের সূত্র ব্যবহার করা হয় যেমন
যেখানে (x , y) বিন্দুর প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্ক বলে মনে করা হয়। পদার্থবিজ্ঞানে একটি ত্রিভুজের কেন্দ্রিক, কেন্দ্রবিন্দু, বৃত্তকেন্দ্রের পাশাপাশি সিস্টেমের ভরের কেন্দ্র, ভারসাম্য বিন্দু ইত্যাদি খুঁজে বের করার জন্য এগুলি খুবই প্রয়োজনীয় সূত্র। নীচে দেওয়া গ্রাফ সহ বিভিন্ন ধরণের বিভাগ সূত্রের সংক্ষিপ্ত দৃশ্য দেখতে হবে 'পয়েন্ট বিষয় নং 3 উপর সূত্র টেবিল; কেস-I এবং কেস-II'.
মিড পয়েন্ট সূত্র| স্থানাঙ্ক জ্যামিতি:
এটি উপরে বর্ণিত অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট বিভাগের সূত্র থেকে প্রাপ্ত একটি সহজ সূত্র। যখন আমাদের একটি লাইন সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু অর্থাৎ বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হবে যা লাইন সেগমেন্টের দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমান দূরত্বের অর্থাৎ অনুপাতটি 1:1 ফর্ম পায়, তখন এই সূত্রটি প্রয়োজন। সূত্রটি আকারে রয়েছে
যদি একটি বিন্দু একটি রেখা খণ্ডকে কোনো অনুপাতে দুটি প্রদত্ত বিন্দুকে যুক্ত করে ভাগ করে, আমরা সেই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য বিভাগ সূত্র ব্যবহার করতে পারি যখন রেখা খণ্ডটিকে যে অনুপাত দ্বারা ভাগ করা হয়, দেওয়া হয় এবং এর বিপরীতে। লাইন সেগমেন্ট বিন্দু দ্বারা অভ্যন্তরীণ বা বাহ্যিকভাবে ভাগ করা যেতে পারে যে একটি সম্ভাবনা আছে. যখন বিন্দুটি দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্যে রেখার অংশে থাকে, তখন অভ্যন্তরীণ বিভাগ সূত্র ব্যবহার করা হয় যেমন
এবং
এবং যখন বিন্দুটি দুটি প্রদত্ত বিন্দুতে যোগদানকারী রেখার অংশের বাহ্যিক অংশে থাকে, তখন বাহ্যিক বিভাগের সূত্র ব্যবহার করা হয় যেমন
এবং
যেখানে (x , y) বিন্দুর প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্ক বলে মনে করা হয়। পদার্থবিজ্ঞানে একটি ত্রিভুজের কেন্দ্রিক, কেন্দ্রবিন্দু, বৃত্তকেন্দ্রের পাশাপাশি সিস্টেমের ভরের কেন্দ্র, ভারসাম্য বিন্দু ইত্যাদি খুঁজে বের করার জন্য এগুলি খুবই প্রয়োজনীয় সূত্র। নীচে দেওয়া গ্রাফ সহ বিভিন্ন ধরণের বিভাগ সূত্রের সংক্ষিপ্ত দৃশ্য দেখতে হবে 'পয়েন্ট বিষয় নং 3 উপর সূত্র টেবিল; কেস-I এবং কেস-II'.
মিড পয়েন্ট সূত্র| স্থানাঙ্ক জ্যামিতি:
এটি উপরে বর্ণিত অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট বিভাগের সূত্র থেকে প্রাপ্ত একটি সহজ সূত্র। যখন আমাদের একটি লাইন সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু অর্থাৎ বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হবে যা লাইন সেগমেন্টের দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমান দূরত্বের অর্থাৎ অনুপাতটি 1:1 ফর্ম পায়, তখন এই সূত্রটি প্রয়োজন। সূত্রটি আকারে রয়েছে
এবং
মাধ্যমে যান "পয়েন্ট বিষয় নং 3- কেস-III' সংক্রান্ত সূত্র টেবিল এই সম্পর্কে গ্রাফিকাল ধারণা পেতে নীচে.
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
একটি ত্রিভুজের সমতলে বা 2 মাত্রিক ক্ষেত্রে তিনটি বাহু এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল এই তিনটি বাহু দ্বারা বেষ্টিত অভ্যন্তরীণ স্থান। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনার মূল সূত্র হল (1/2 X বেস X উচ্চতা)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, যদি তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়, তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সহজেই সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =|½[x1 (y2- y3 )+এক্স2 (y3- y2)+এক্স3 (y2-y 1)]| ,আসলে এটি স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দুটি বিন্দু দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের মৌলিক সূত্র থেকে উদ্ভূত হতে পারে। উভয় ক্ষেত্রেই গ্রাফিকভাবে বর্ণনা করা হয়েছে 'পয়েন্ট বিষয় 4 এর সূত্র টেবিল' নিচে.
বিন্দুর সমষ্টি (তিন বিন্দু) |জ্যামিতি স্থানাঙ্ক:
কলিনিয়ার মানে 'একই লাইনে থাকা'। জ্যামিতিতে, যদি তিনটি বিন্দু সমতলের একটি একক রেখায় থাকে, তবে তারা কখনই শূন্য ব্যতীত ক্ষেত্রফল নিয়ে একটি ত্রিভুজ গঠন করতে পারে না অর্থাৎ যদি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি তিনটি সমরেখার বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রফল এই বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত কাল্পনিক ত্রিভুজটি কেবল শূন্য দিয়ে শেষ হবে। তাই সূত্রের মত হয়ে যায় ½ [x1 (y2- y3 )+এক্স2 (y3- y2)+এক্স3 (y2-y 1)] =0 গ্রাফিকাল উপস্থাপনা সহ আরও স্পষ্ট ধারণার জন্য, এর মাধ্যমে যান "পয়েন্ট বিষয় নং 5 এর সূত্র টেবিল" নিচে.
একটি ত্রিভুজের কেন্দ্রিক| সূত্র:
একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যক* সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত এবং 2:1 অনুপাতে মধ্যকে বিভক্ত করে যে কোনো শীর্ষ থেকে বিপরীত দিকের মধ্যবিন্দুতে। এই বিন্দুটিকে ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু বলা হয়। সেন্ট্রোয়েডের স্থানাঙ্ক বের করার সূত্র হল
এবং
মধ্যে "পয়েন্ট বিষয় নং 6 এর সূত্র টেবিল" নীচে, উপরের বিষয়টি আরও ভাল বোঝার জন্য এবং দ্রুত দেখার জন্য গ্রাফিকভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।
একটি ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু|সূত্র:
এটি ত্রিভুজের বৃহত্তম অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র যা ত্রিভুজের ভিতরে ফিট করে। এটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের তিনটি দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দুও। একটি ত্রিভুজের কেন্দ্রস্থল খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত সূত্রটি
এবং
মধ্যে "পয়েন্ট বিষয় নং 6 এর সূত্র টেবিল" নীচে, উপরের বিষয়টি আরও ভাল বোঝার জন্য এবং দ্রুত দেখার জন্য গ্রাফিকভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।
সহজ গ্রাফিকাল ব্যাখ্যা জন্য নীচের "পয়েন্ট বিষয় নং 7 এর সূত্র টেবিল" দেখতে প্রয়োজন।
মূল সূত্রের স্থানান্তর| স্থানাঙ্ক জ্যামিতি:
আমরা ইতিমধ্যে আগের পোস্টে শিখেছি "জ্যামিতি সমন্বয় করার জন্য একটি সম্পূর্ণ নির্দেশিকা" যে মূল বিন্দু (0,0) এর উপর অবস্থিত যা সমতলে অক্ষগুলির ছেদ বিন্দু। আমরা উৎপত্তির সাপেক্ষে সমতলের সমস্ত চতুর্ভুজে উৎপত্তি স্থানান্তর করতে পারি, যা এর মাধ্যমে নতুন অক্ষের সেট দেবে।
উপরে উল্লিখিত সমতলের একটি বিন্দুর জন্য, এর স্থানাঙ্কগুলি নতুন উত্স এবং অক্ষের সাথে পরিবর্তিত হবে এবং এটি সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, একটি বিন্দুর নতুন স্থানাঙ্ক P(x1,y1) হয় x1 = x- a ; y1 = y- b যেখানে নতুন উৎপত্তির স্থানাঙ্ক হল (a,b)। এই বিষয়ে স্পষ্ট বোঝার জন্য নীচের গ্রাফিকাল উপস্থাপনাটি দেখতে ভাল "পয়েন্ট বিষয় নং 8 এর সূত্র টেবিল" .
Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D
:
একটি ত্রিভুজের বৃত্তকেন্দ্র:
এটি একটি ত্রিভুজের বাহুর তিনটি লম্ব দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দু। এটি একটি ত্রিভুজের বৃত্তের কেন্দ্র যা শুধুমাত্র ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে স্পর্শ করে।
মিডিয়ানরা:
মধ্যবিন্দু হল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাথে মধ্যবিন্দু বা বিন্দুতে যোগদানকারী রেখার অংশ, শীর্ষবিন্দুর বিপরীত দিককে দ্বিখণ্ডিত করে। প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যক থাকে যা সবসময় একই ত্রিভুজের কেন্দ্রে একে অপরকে ছেদ করে।
2D তে স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে পয়েন্টগুলির সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়েছে৷
2D-তে পয়েন্টগুলি সম্পর্কে আরও ভালভাবে শেখার জন্য, একটি মৌলিক উদাহরণ এখানে ধাপে ধাপে সমাধান করা হয়েছে এবং আপনার নিজের অনুশীলনের জন্য প্রতিটি সূত্রের উত্তরগুলির সাথে আরও সমস্যা রয়েছে। স্থানাঙ্ক জ্যামিতি 2D-এ পয়েন্টগুলির বিষয়ে একটি মৌলিক এবং স্পষ্ট ধারণা পাওয়ার পরেই পরবর্তী নিবন্ধগুলিতে সমাধানের সাথে চ্যালেঞ্জিং সমস্যা থাকতে হবে।
সূত্রের প্রাথমিক উদাহরণ "দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব"
সমস্যা 1: দুটি প্রদত্ত বিন্দু (1,2) এবং (6,-3) মধ্যে দূরত্ব গণনা করুন।
সমাধান: আমরা ইতিমধ্যেই জানি, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র (x1,y1) এবং (x2,y2) is d =√ [(x2-x1)2+ (y)2-y1)2 ] …(1)
(উপরের সূত্র টেবিল দেখুন) এখানে, আমরা অনুমান করতে পারি যে (x1,y1) ≌ (1,2) এবং (x2,y2) ≌ (6,-3) অর্থাৎ x1=1, y1=2 এবং x2=6, y2 =-৩ , যদি আমরা এই সমস্ত মানগুলিকে সমীকরণে (3) রাখি, তাহলে আমরা প্রয়োজনীয় দূরত্ব পাব।
অতএব, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব (1,2) এবং (6,-3)
=√ [(৬-১)2+(-3-2)2 ] ইউনিট
= √ [(5)2+(-5)2 ] ইউনিট
=√ [25+25 ] ইউনিট
=√ [৫০ ] ইউনিট
=√ [2×52 ] ইউনিট
= 5√2 ইউনিট (উত্তর)
বিঃদ্রঃ: দূরত্ব সবসময় কিছু একক দ্বারা অনুসরণ করা হয়.
উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যা (বেসিক) নীচে দেওয়া হল সমস্যা ঘ:-
সমস্যা 2: দুটি বিন্দু (2,8) এবং (5,10) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
উঃ। √13 ইউনিট
সমস্যা 3: দুটি বিন্দু (-3,-7) এবং (1,-10) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
উওর। 5 ইউনিট
সমস্যা 4: দুটি বিন্দু (2,0) এবং (-3,4) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন.
উঃ। √41 ইউনিট
সমস্যা 5: দুটি বিন্দু (2,-4) এবং (0,0) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
উওর। 2√5 ইউনিট
সমস্যা 6: দুটি বিন্দু (10,100) এবং (-10,100,) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
উওর। 20 ইউনিট
সমস্যা 7: দুটি বিন্দু (√5,1) এবং (2√5,1) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
উঃ। √5 ইউনিট
সমস্যা 8: দুটি বিন্দু (2√7,2) এবং (3√7,-1) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
উঃ ঘ ইউনিট
সমস্যা 9: দুটি বিন্দু (2+√10, 0) এবং (2-√10, 0) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
উঃ। 2√10 ইউনিট
সমস্যা 10: দুটি বিন্দু (2+3i, 0) এবং (2-3i, 10) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন। { i=√-1 }
উওর। 8 ইউনিট
সমস্যা 11: দুটি বিন্দু (2+i, -5) এবং (2-i, -7) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন। { i=√-1 }
উঃ ঘ ইউনিট
সমস্যা 12: দুটি বিন্দু (7+4i,2i) এবং (7-4i, 2i) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন। { i=√-1 }
উঃ। 8i ইউনিট
সমস্যা 13: দুটি বিন্দু (√3+i, 3) এবং (2√3+i, 5) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন। { i=√-1 }
উঃ। √7 ইউনিট
সমস্যা 14: দুটি বিন্দু (5+√2, 3+i) এবং (2+√2, 7+2i) মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন। { i=√-1 }
উঃ। 2√(6+2i) ইউনিট
সূত্রের প্রাথমিক উদাহরণ "উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব"
সমস্যা 15: উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব (3,4) নির্ণয় কর।
সমাধান:
আমাদের কাছে উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বের সূত্র আছে, OP=√ (x2 + y2) (উপরের সূত্র টেবিল দেখুন) তাই এখানে আমরা ধরে নিতে পারি (x,y) ≌ (3,4) অর্থাৎ x=3 এবং y=4
অতএব, উপরের সমীকরণে x এবং y-এর এই মানগুলি রাখলে আমরা প্রয়োজনীয় দূরত্ব পাব
=√ (32 + + 42) ইউনিট
=√ (9 + 16) একক
=√ (25) একক
= 5 ইউনিট
দ্রষ্টব্য: দূরত্ব সবসময় কিছু একক দ্বারা অনুসরণ করা হয়।
দ্রষ্টব্য: উৎপত্তিস্থল থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব আসলে বিন্দু এবং উৎপত্তি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব অর্থাৎ (0,0)
উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হয়েছে
সমস্যা 15:-
সমস্যা 16: উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব (1,8) নির্ণয় কর।
উঃ। √65 ইউনিট
সমস্যা 17: উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব (0,7) নির্ণয় কর।
উঃ ঘ ইউনিট
সমস্যা 18: উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব (-3,-4) নির্ণয় কর।
উঃ ঘ ইউনিট
সমস্যা 19: উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব (10,0) নির্ণয় কর।
উঃ ঘ ইউনিট
সমস্যা 20: উৎপত্তি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব (0,0) নির্ণয় কর।
উঃ ঘ ইউনিট
___________________________________________________________
বিন্দুর অন্যান্য সূত্রের মৌলিক উদাহরণ উপরে বর্ণিত এবং এই বিষয়ে কয়েকটি চ্যালেঞ্জিং প্রশ্ন সমন্বয় জ্যামিতিতে, পরবর্তী পোস্ট দ্বারা অনুসরণ করা হয়.
হাই....আমি নাসরিনা পারভিন। আমি গণিতে আমার স্নাতক সম্পন্ন করেছি, ভারতের যোগাযোগ ও তথ্য প্রযুক্তি মন্ত্রণালয়ে কাজ করার 10 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। আমার অবসর সময়ে, আমি গণিত সমস্যা শেখাতে এবং সমাধান করতে পছন্দ করি। আমার শৈশব থেকে, গণিত একমাত্র বিষয় যা আমাকে সবচেয়ে বেশি মুগ্ধ করেছিল।