সম্ভাব্য গণ ফাংশন | এটির 5 টি উদাহরণ সহ সম্পূর্ণ পর্যালোচনা

স্বতন্ত্র র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং গাণিতিক প্রত্যাশা -২

ইতিমধ্যে আমরা এখন সঙ্গে পরিচিত স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলএটি একটি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল যা একটি ক্রমে সম্ভাব্য মানগুলির গণনাযোগ্য সংখ্যা নেয়। বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কিত দুটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হ'ল বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং বিতরণ ফাংশনের সম্ভাব্যতা আমরা নামটিকে এই জাতীয় সম্ভাবনা এবং বিতরণ ফাংশন হিসাবে সীমাবদ্ধ করি যেমন,

সম্ভাব্য গণ ফাংশন (পিএমএফ)

                The Olymp Trade প্লার্টফর্মে ৩ টি উপায়ে প্রবেশ করা যায়। প্রথমত রয়েছে ওয়েব ভার্শন যাতে আপনি প্রধান ওয়েবসাইটের মাধ্যমে প্রবেশ করতে পারবেন। দ্বিতয়ত রয়েছে, উইন্ডোজ এবং ম্যাক উভয়ের জন্যেই ডেস্কটপ অ্যাপলিকেশন। এই অ্যাপটিতে রয়েছে অতিরিক্ত কিছু ফিচার যা আপনি ওয়েব ভার্শনে পাবেন না। এরপরে রয়েছে Olymp Trade এর এন্ড্রয়েড এবং অ্যাপল মোবাইল অ্যাপ। সম্ভাব্য গণ ফাংশন বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা হ'ল তাই কারও পক্ষে পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল  x1, এক্স2, এক্স3, এক্স4,……, এক্সk  সম্পর্কিত সম্ভাব্যতা পি (এক্স)1), পি (এক্স)2), পি (এক্স)3), পি (এক্স)4) ……, পি (এক্স)k) হ'ল সম্পর্কিত সম্ভাব্য গণ কার্য।

বিশেষত, এক্স = এ জন্য, পি (ক) = পি (এক্স = এ) এর পিএমএফ হয়

আমরা এখানে পরে ব্যবহার সম্ভাব্য ভর ফাংশন বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্ভাব্যতার জন্য। সম্ভাব্যতার জন্য সমস্ত সম্ভাবনার বৈশিষ্ট্য স্পষ্টতই সম্ভাবনাময় ভর কার্যের জন্য প্রযোজ্য যেমন পজিটিভিটি এবং সমস্ত পিএমএফের সংমিশ্রণ এক হবে ইত্যাদি etc

संचयी বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) / বিতরণ ফাংশন

  হিসাবে বিতরণ ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত

এফ (এক্স) = পি (এক্স <= এক্স)

সম্ভাব্য ভর ফাংশন সহ বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ))

এবং আমরা নির্ধারিত এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা ছিল

E (g (x)) = \ যোগফল \ সীমা_ {i} x_ {i} p_ {i

আমরা এখন গাণিতিক প্রত্যাশার ফলাফল দেখি

  1. যদি এক্স1, এক্স2, এক্স3, এক্স4,… .. স্বতন্ত্র সম্ভাবনা পি (এক্স) সহ বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল1), পি (এক্স)2), পি (এক্স)3), পি (এক্স)4)… আসল মূল্যবান ফাংশন জি এর জন্য প্রত্যাশা থাকবে

E (g (x)) = \ যোগফল \ সীমা_ {i} g (x_ {i}) পি (x_ {i})

উদাহরণ: নিম্নলিখিত সম্ভাব্য ভর ফাংশনগুলির জন্য E (এক্স) সন্ধান করুন3)

সম্ভাব্য ভর ফাংশন

এখানে জি (এক্স) = এক্স3

সুতরাং,

E (g (x)) = \ যোগফল \ সীমা_ {i} g (x_ {i}) পি (x_ {i})

ই (এক্স ^ {3}) = \ যোগফল \ সীমা_ {i} x_ {i} ^ {3} পি (x_ {i})

E(X^{3}) = (-1)^{3}<em>0.2+(0)^{3}</em>0.5+(1)^{^{3}}*0.3

ই (এক্স ^ {3}) = 0.1

একইভাবে যে কোনও নবম অর্ডারটির জন্য আমরা লিখতে পারি

E [এক্স ^ {n}] = \ যোগফল \ সীমা_ {x: পি (এক্স)> 0} x ^ {n} পি (এক্স)

যা নবম মুহুর্ত হিসাবে পরিচিত।

২. ক এবং খ যদি ধ্রুবক হয়

E [aX + b] = aE [এক্স] + খ

এটি আমরা সহজেই বুঝতে পারি

E [aX + b] = \ যোগফল \ সীমা_ {x: পি (এক্স)> 0} (কুড়াল + বি) পি (এক্স)

= a \ যোগফল \ সীমা_ {x: p (x)> 0} xp (x) + বি \ যোগফল \ সীমা_ {x: পি (এক্স)> 0} পি (এক্স)

= এই [এক্স] + খ

প্রত্যাশার দিক থেকে বৈচিত্র্য।

                গড় দ্বারা নির্ধারিত For পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এর ভেরিয়েন্সটি বর্ণ (এক্স) দ্বারা বর্ণিত বা ation প্রত্যাশার ক্ষেত্রে হবে

ভার (এক্স) = ই [(এক্স- μ)2]

এবং এটি আমরা আরও হিসাবে সহজ করতে পারেন

ভার (এক্স) = ই [(এক্স- μ)2]

= \ যোগফল \ সীমা_ {x} (x- \ মিউ) ^ {2} পি (এক্স)

= \ যোগফল \ সীমা_ {x} (x ^ {2} -2x \ মিউ + \ মিউ ^ {2}) পি (এক্স)

= \ যোগফল \ সীমা_ {x} (x ^ {2} পি (এক্স) -2 \ মিউ \ যোগফল \ সীমা_ {x} এক্সপি (এক্স) + \ মিউ ^ {2} \ সম \ সীমা_ {x} পি (এক্স) )

= ই [এক্স ^ {2}] -২ \ মিউ ^ {2} + \ মিউ ^ {2}

= ই [এক্স ^ {2}] - \ মিউ ^ {2}

এর অর্থ আমরা এলোমেলো পরিবর্তনশীল বর্গক্ষেত্রের প্রত্যাশার পার্থক্য এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশার বর্গ হিসাবে লিখতে পারি।

অর্থাত্ ভার (এক্স) = ই [এক্স2] - (ই [এক্স])2

উদাহরণ:  যখন একটি ডাই নিক্ষেপ করা হয় তখন তারতম্য গণনা করুন।

সমাধান:  এখানে আমরা জানি যে মর কখন ছুঁড়ে যায় প্রতিটি মুখের জন্য সম্ভাবনাগুলি

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

অতএব বৈকল্পিক গণনা করার জন্য আমরা এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এর বর্গ হিসাবে প্রত্যাশা পাব

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

ই [এক্স2] = 12। (1/6) +22। (1/6) +32। (1/6) +42। (1/6) +52। (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

এবং আমরা সবেমাত্র বৈকল্পিকতা পেয়েছি

ভার (এক্স) = ই [এক্স2] - (ই [এক্স])2

so

বর্ণ (এক্স) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12

বৈকল্পিকতার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিচয়

  1. আমাদের কাছে স্বেচ্ছাচারী ধ্রুবকগুলির জন্য and

ভার (অ্যাক্স + বি) = ক2 ভার (এক্স)

এটি আমরা হিসাবে সহজেই প্রদর্শন করতে পারি

বর্ণ (aX + b) = ই [(ax + b -aμ-b)2 ]

= ই [ক2(এক্স - μ)2]

=a2 ই [(এক্স-μ)2]

=a2 ভার (এক্স)

বার্নোল্লি র্যান্ডম ভেরিয়েবল

      একজন সুইস গণিতবিদ জেমস বার্নোল্লি এর সংজ্ঞা দিয়েছেন বার্নোল্লি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এলোমেলোভাবে ভেরিয়েবল হিসাবে সাফল্য বা ব্যর্থতা হিসাবে র্যান্ডম পরীক্ষার জন্য মাত্র দুটি ফলাফল as

অর্থাৎ যখন ফলাফল সাফল্য এক্স = 1

যখন ফলাফলটি ব্যর্থতা হয় এক্স = 0

সুতরাং বার্নোল্লি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ভর কার্য

পি (0) = পি {এক্স = 0} = 1-পি

পি (1) = পি {এক্স = 1} = পি

যেখানে পি সাফল্যের সম্ভাবনা এবং 1-পি হবে ব্যর্থতার সম্ভাবনা।

এখানে আমরা 1-p = q নিতে পারি যেখানে q ব্যর্থতার সম্ভাবনা।

যেহেতু এ জাতীয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্পষ্টতই পৃথক পৃথক তাই এটি বিযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি।

উদাহরণ: একটি মুদ্রা টস।

দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

যদি কোনও এলোমেলো পরীক্ষার জন্য যা কেবলমাত্র সাফল্য বা ব্যর্থতা হিসাবে ফলাফল অর্জন করে আমরা এন ট্রায়াল গ্রহণ করি তাই প্রতিবারই আমরা সাফল্য বা ব্যর্থতা পাব তবে এ জাতীয় এন ট্রায়াল এলোমেলো পরীক্ষার ফলাফলকে প্রতিনিধিত্বকারী এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স হিসাবে পরিচিত দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল.

                অন্য কথায়, যদি পি একক বার্নোল্লি বিচারের সাফল্যের জন্য সম্ভাব্য ভর কার্য এবং q = 1-p ব্যর্থতার সম্ভাবনা হয় তবে এন ট্রায়ালের ক্ষেত্রে 'x বা i' বার হওয়ার সম্ভাবনা হ'ল

f (x) = P (x = x) = \ বিনোম {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

or

পি (i) = \ বাইনোম {n} {i} পি ^ {i} (1-পি) ^ i নি} যেখানে আমি = 0,1,2,… .এন

উদাহরণ: আমরা যদি ছয়বার দুটি কয়েন টস করি এবং মাথা পাওয়া সাফল্য হয় এবং বাকি ঘটনাগুলি ব্যর্থতা হয় তবে এর সম্ভাবনাটি হবে

f (x) = P (x = x) = \ বিনোম {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

P(X=2)=\binom{6}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{6-2}=\frac{6!}{2!4!}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}

একইভাবে আমরা এই জাতীয় কোনও পরীক্ষার জন্য গণনা করতে পারি।

The Olymp Trade প্লার্টফর্মে ৩ টি উপায়ে প্রবেশ করা যায়। প্রথমত রয়েছে ওয়েব ভার্শন যাতে আপনি প্রধান ওয়েবসাইটের মাধ্যমে প্রবেশ করতে পারবেন। দ্বিতয়ত রয়েছে, উইন্ডোজ এবং ম্যাক উভয়ের জন্যেই ডেস্কটপ অ্যাপলিকেশন। এই অ্যাপটিতে রয়েছে অতিরিক্ত কিছু ফিচার যা আপনি ওয়েব ভার্শনে পাবেন না। এরপরে রয়েছে Olymp Trade এর এন্ড্রয়েড এবং অ্যাপল মোবাইল অ্যাপ। দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল নাম আছে দ্বিপদী কারণ এটি প্রসারকে প্রতিনিধিত্ব করে

ক্ষীর^{n}=q^{n}+\binom{n}{1}q^{n-1}p+\binom{n}{2}q^{n-2}p^{2}+…….+p^{n}=\sum\limits_{i = 1}^n\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}[/latex]

আমরা যদি এন = 1 এর জায়গায় রাখি তবে এটি বার্নোলির র্যান্ডম ভেরিয়েবলে পরিণত হবে।

উদাহরণ: যদি পাঁচটি কয়েন টস করা হয় এবং ফলাফলটি স্বাধীনভাবে নেওয়া হয় তবে মাথা সংখ্যার সম্ভাবনা কী হবে।

এখানে যদি আমরা মাথার সংখ্যা হিসাবে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স গ্রহণ করি তবে এটি n = 5 এবং দ্বিগুণ হিসাবে সাফল্যের সম্ভাবনা হিসাবে দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের দিকে ফিরে যাবে

সুতরাং দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন অনুসরণ করে আমরা পাবেন

P{X=0}=\binom{5}{0}(\frac{1}{2})^{0}(\frac{1}{2})^{5}=\frac{1}{32}

P{X=1}=\binom{5}{1}(\frac{1}{2})^{1}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{5}{32}

P{X=2}=\binom{5}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{10}{32}

P{X=3}=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^{3}(\frac{1}{2})^{2}=\frac{10}{32}

P{X=4}=\binom{5}{4}(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})^{1}=\frac{5}{32}

উদাহরণ:

একটি নির্দিষ্ট সংস্থায় ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা উত্পাদন থেকে 0.01। সংস্থাটি 10 ​​টি প্যাকের মধ্যে পণ্যটি উত্পাদন করে এবং বিক্রি করে এবং তার গ্রাহকদের কাছে টাকা ফেরতের গ্যারান্টি দেয় যে 1 টির মধ্যে 10 টির মধ্যে XNUMX টিই ত্রুটিযুক্ত, সুতরাং বিক্রয় পণ্যগুলির প্যাকের অনুপাতটি অবশ্যই কোম্পানিকে প্রতিস্থাপন করতে হবে।

এখানে যদি এক্সটি ত্রুটিযুক্ত পণ্যগুলির প্রতিনিধিত্ব করে এমন এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয় তবে এটি এন = 10 এবং পি = 0.01 সহ দ্বিপদী প্রকারের হয় তবে প্যাকটি ফিরে আসার সম্ভাবনাটি হ'ল

P({X\geq 1})=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\binom{10}{0}(0.01)^{0}(0.99)^{10}-\binom{10}{1}(0.01)^{1}(0.99)^{9}

0.004. প্রায় XNUMX

উদাহরণ: (চক-এ-লাক / ভাগ্যের চাকা) হোটেলের ভাগ্যের একটি নির্দিষ্ট খেলায় একজন খেলোয়াড় 1 থেকে 6 এর যে কোনও সংখ্যার উপর বাজি ধরে, তিনটি ডাইস পরে ঘূর্ণিত হয় এবং যদি নম্বরটি খেলোয়াড়ের দ্বারা একবার, দু'বার বা তিনবার বাজি প্রদর্শিত হয় প্লেয়ারটির অর্থ অনেকগুলি ইউনিট যদি একবার উপস্থিত হয় তবে 1 ইউনিট যদি দুটি ডাইস হয়ে থাকে তবে 2 ইউনিট এবং যদি 3 ডাইস পরে XNUMX ইউনিট হয় তবে সম্ভাব্যতার সাহায্যে গেমটি খেলোয়াড়ের পক্ষে উপযুক্ত কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন।

যদি আমরা ধরে নিই যে, পাশা এবং শৃঙ্খলা কৌশলগুলির সাথে কোনও অনুপযুক্ত উপায় থাকবে না তবে স্বাধীনভাবে পাশার ফলাফল ধরে নিয়ে প্রতিটি পাশ্বের সাফল্যের সম্ভাবনা ১/ is এবং ব্যর্থতা হবে

 1-1 / 6 সুতরাং এটি n = 3 দিয়ে দ্বিপদী র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ হতে পারে

সুতরাং প্রথমে আমরা এক্সকে প্লেয়ারদের জয় হিসাবে নির্ধারণ করে বিজয়ী সম্ভাবনার গণনা করব

P(X=0)=\binom{3}{0}(\frac{1}{6})^{0}(\frac{5}{6})^{3}=\frac{125}{216}

P(X=1)=\binom{3}{1}(\frac{1}{6})^{1}(\frac{5}{6})^{2}=\frac{75}{216}

P(X=2)=\binom{3}{2}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{1}=\frac{15}{216}

P(X=3)=\binom{3}{3}(\frac{1}{6})^{3}(\frac{5}{6})^{0}=\frac{1}{216}

এখন গেমটি প্লেয়ারের পক্ষে গণ্য করা ন্যায্য বা না আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশা গণনা করব

E[X]=\frac{-125+75+30+3}{216}

= - rac frac {17} {216

এর অর্থ হ'ল প্লেয়ার যখন খেলোয়াড়ের 216 বার খেলে 17 বার হয় তখন তার জন্য গেমটি হারানোর সম্ভাবনা।

উপসংহার:

   এই নিবন্ধে আমরা একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল, সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন এবং বৈকল্পিক এর কিছু প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করেছি। তদতিরিক্ত আমরা একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিছু প্রকার দেখতে পেয়েছি, ধারাবাহিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল শুরু করার আগে আমরা পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত প্রকার এবং বৈশিষ্ট্যগুলি আচ্ছাদন করার চেষ্টা করি, আপনি যদি আরও পড়তে চান তবে অবশ্যই যান:

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের রূপরেখা

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

গণিতে আরও বিষয়ের জন্য, দয়া করে অনুসরণ করুন এই লিঙ্ক

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

সম্ভাব্য গণ ফাংশন | এটির 5 টি উদাহরণ সহ সম্পূর্ণ পর্যালোচনাআমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

en English
X