অনুমতি এবং সংমিশ্রণের বৈশিষ্ট্য

সন্তুষ্ট

অনুমতি এবং সংমিশ্রণের বৈশিষ্ট্য

  ক্রম ছাড় এবং সংমিশ্রনের বিষয়ে আলোচনা করার সময় যখন আমরা অর্ডার বিবেচনার সাথে বা ছাড়াই বাছাই এবং ব্যবস্থাপনার সাথে সম্পর্কিত হয়ে থাকি, পরিস্থিতির উপর নির্ভর করে এখানে বিভিন্ন ধরণের এবং বৈশিষ্ট্য রয়েছে অনুমান এবং সংমিশ্রণ, ক্রম এবং সংমিশ্রণের মধ্যে এই পার্থক্যগুলি আমরা এখানে ন্যায়সঙ্গত উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করব।

পুনরাবৃত্তি ছাড়া আদেশ

  এটি হ'ল স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপ যা কোনও সময়ে n নেওয়া অবজেক্টগুলি অর্থাৎ এনপিআরকে সাজিয়ে তোলে

n Pr= এন! / (এনআর)!

এক সাথে সমস্ত নেওয়া n বিভিন্ন বস্তুর ক্রম সংখ্যা n Pn = এন!

উপরন্তু, আমাদের আছে

nP0 = এন! / এন! = 1

nPr = এন।এন-1Pদ-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 বা (-র)! = ∞

পুনরাবৃত্তি সঙ্গে ক্রম

 বিভিন্ন আইটেমের জন্য একযোগে নেওয়া r-র সংখ্যা (বিন্যাস), যেখানে প্রতিটি আইটেম একবারে, দু'বার, তিনবার ঘটতে পারে, …… .. যে কোনও বিন্যাসে যত বার r = বার হবে সেগুলি যেখানে প্রতিটি অঞ্চলকে পূরণ করার উপায় সংখ্যা আইটেম এন আইটেম যে কোনও পূরণ করা যেতে পারে।

অনুমতি এবং সংমিশ্রণের বৈশিষ্ট্য: পুনরাবৃত্তির সাথে অনুমতি

আদেশের সংখ্যা = ভর্তি করার পদ্ধতিগুলির সংখ্যা r স্থান = (এন)r

অর্ডারের সংখ্যা যা এন অবজেক্ট ব্যবহার করে সংগঠিত হতে পারে পি একই রকম (এবং এক ধরণের) কিউ একই রকম (এবং অন্য ধরণের), r সমান (এবং অন্য ধরণের) এবং বাকি স্বতন্ত্র nPr = এন! / (পি! কি! আর!)

উদাহরণ:

প্রতিটি ছেলে যখন এক বা একাধিক আপেল নিতে পারে তখন কতটি উপায়ে পাঁচটি ছেলের মধ্যে পাঁচটি আপেল বরাদ্দ করা যায়?      

সমাধান: এটি পুনরাবৃত্তি সহ আদেশের উদাহরণ হিসাবে আমরা জানি যে এই জাতীয় ক্ষেত্রে আমাদের রয়েছে

আদেশের সংখ্যা = ভর্তি করার পদ্ধতিগুলির সংখ্যা r জায়গাগুলি = এনr

প্রয়োজনীয় সংখ্যা 4 টি are5 = 10, যেহেতু প্রতিটি আপেল 4 উপায়ে বিতরণ করা যায়।

উদাহরণ: শব্দের সংখ্যার সাথে পুনরায় দলবদ্ধ করে ম্যাথেম্যাটিকস শব্দের বর্ণগুলি দিয়ে সংগঠিত করা যেতে পারে।

সমাধান: এখানে আমরা লক্ষ করতে পারি যে 2 এম, 2 এ এবং 2 টি রয়েছে এটি পুনরাবৃত্তি সহ আদেশের উদাহরণ

= এন! / (পি! কি! আর!)

 প্রয়োজনীয় সংখ্যক উপায় হ'ল = 11! / (2! 2! 2)) = 4989600

উদাহরণ: এক সাথে এক সাথে ছয়টি অভিন্ন মুদ্রা সাজানো থাকলে কতগুলি উপায়ে লেকের সংখ্যা মাথা সংখ্যার সমান।

সমাধান: এখানে আমরা এটি পর্যবেক্ষণ করতে পারি

মাথা সংখ্যা = 3

লেজ সংখ্যা = 3

এবং যেহেতু মুদ্রাগুলি অভিন্ন, এটি পুনরাবৃত্তি = n! / (পি! কিউ! আর!) দিয়ে অনুক্রমের উদাহরণ is

প্রয়োজনীয় সংখ্যার উপায় = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

বিজ্ঞপ্তি অনুমান:

বিজ্ঞপ্তি ক্রমানুসারে, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে বস্তুর ক্রম হল অন্যের প্রতি শ্রদ্ধা।

সুতরাং, বিজ্ঞপ্তি ক্রমানুসারে, আমরা একটি অবজেক্টের অবস্থান সামঞ্জস্য করি এবং অন্যান্য বস্তুগুলিকে সমস্ত দিকে সাজিয়ে রাখি।

বিজ্ঞপ্তি ক্রিয়াকলাপ দুটি উপায়ে বিভক্ত:

(i) বৃত্তাকার অনুমতি যেখানে ঘড়ির কাঁটা এবং অ্যান্টি-ক্লকওয়াইজ সেটিংস প্রস্তাব করে বিভিন্ন অনুচ্ছেদযেমন, টেবিলের চারপাশে লোকদের বসার ব্যবস্থা।

(ii) বৃত্তাকার অনুক্রম যেখানে ঘড়ির কাঁটা এবং অ্যান্টি-ক্লকওয়াইজ সেটিংস প্রদর্শিত হয় একই অনুমানউদাহরণস্বরূপ, নেকলেস তৈরির জন্য নির্দিষ্ট জপমালা সাজানো।

ক্লকওয়াইজ এবং অ্যান্টি-ক্লকওয়াইজ ব্যবস্থা

যদি অ্যান্টি-ক্লকওয়াইজ এবং ক্লকওয়াইজ অর্ডার এবং চলাচল হয় ভিন্ন নয় উদাহরণস্বরূপ, নেকলেসে পুতির বিন্যাস, মালা ফুলের বিন্যাস ইত্যাদি, তারপথের বৃত্তাকার অনুমতিগুলির সংখ্যা n স্বতন্ত্র আইটেমগুলি হ'ল (এন -1)! / 2

  1. একসময় r নেওয়া n টি বিভিন্ন আইটেমের জন্য বিজ্ঞপ্তি ক্রমান্বনের সংখ্যা, যখন ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং বিরোধী-ঘড়ির কাঁটার দিক বিবেচনা করা হয় বিভিন্ন by nPr /r
  2. একসাথে r নেওয়া n টি বিভিন্ন আইটেমের জন্য বিজ্ঞপ্তি ক্রমান্বনের সংখ্যা, যখন ঘড়ির কাঁটা এবং অ্যান্টি-ক্লকওয়াইজ অর্ডার থাকে ভিন্ন নয় থেকে nPr / 2 আর
  3. বিভিন্ন পৃথক বস্তুর বৃত্তাকার অনুমতিগুলির সংখ্যা হ'ল (এন -1)!
  4. উপায়গুলির সংখ্যা n বিভিন্ন বালককে বৃত্তাকার টেবিলের চারপাশে বসানো যায় (এন -1)!
  5. উপায়গুলির সংখ্যা n একটি নেকলেট গঠনের জন্য বিভিন্ন রত্ন স্থাপন করা যেতে পারে, এটি (এন -1)! / 2

উদাহরণ:

পাঁচটি কী কীভাবে রিংয়ে রাখা যায়

সমাধান:

যেহেতু ঘড়ির কাঁটা এবং অ্যান্টিক্লকওয়াই রিংয়ের ক্ষেত্রে একই।

যদি অ্যান্টি-ক্লকওয়াইজ এবং ক্লকওয়াইজ সিকোয়েন্স এবং মুভমেন্ট হয় ভিন্ন নয় তারপরে বিজ্ঞপ্তি অনুমানের সংখ্যা n স্বতন্ত্র আইটেম হয়

= (এন -1)! / 2

প্রয়োজনীয় সংখ্যক উপায়ে = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

উদাহরণ:

ব্যবস্থাপনার সংখ্যাটি কী হবে, যদি কোনও কমিটির এগার জন সদস্য একটি গোল টেবিলে বসে থাকেন যাতে রাষ্ট্রপতি এবং সচিব সর্বদা একসাথে বসে থাকেন।

সমাধান:

বিজ্ঞপ্তি অনুমানের মৌলিক সম্পত্তি দ্বারা

বিভিন্ন জিনিস n এর বৃত্তাকার অনুমতির গণনা হ'ল (n-1)!

যেহেতু দুটি পজিশন ঠিক আছে তাই আমাদের আছে

প্রয়োজনীয় সংখ্যক উপায়ে (১১-২)! * 11 = 2! * 2 = 9

উদাহরণ: কোনও দুটি মহিলা একসাথে বসতে না পারলে round জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলা কোনও বৃত্তাকার টেবিলে খেতে পারেন ways

সমাধান: বিজ্ঞপ্তি অনুমানের মৌলিক সম্পত্তি দ্বারা।

বিভিন্ন জিনিস n এর বৃত্তাকার অনুমতির গণনা হ'ল (n-1)!

একটি গোল টেবিলে 6 জন পুরুষকে সাজানো যেতে পারে এমন উপায়ে সংখ্যা = (6 - 1)! = 5!

অনুমতি এবং সংমিশ্রণের বৈশিষ্ট্য
অনুমতি এবং সংমিশ্রণের বৈশিষ্ট্য: উদাহরণ

এখন নারীদের সাজানো যায় ২০০ in-এ! উপায় এবং উপায়ে মোট সংখ্যা = 6! ! 6!

পুনরাবৃত্তি ছাড়া সংমিশ্রণ

এটি হ'ল সাধারণ সংমিশ্রণ যা "সংমিশ্রণের সংখ্যা (নির্বাচন বা গোষ্ঠী) হতে পারে n এক সাথে বিভিন্ন সময়ে নেওয়া বিভিন্ন জিনিস nCr = এন! / (এনআর)! আর!

এছাড়াও    nCr =nCআরআর

              n Pr / আর! = এন! / (এনআর)! =nCr

উদাহরণ: ২৫ জন প্রার্থী থাকলে ১২ টি শূন্যপদ পূরণের বিকল্পগুলির সন্ধান করুন এবং তাদের মধ্যে পাঁচটি তফসিলি বিভাগে রয়েছেন, তবে শর্ত থাকে যে ৩ টি শূন্যপদের জন্য এসসি প্রার্থীদের জন্য সংরক্ষিত রয়েছে এবং বাকিগুলি সবার জন্য উন্মুক্ত রয়েছে।

সমাধান: যেহেতু 3 টি শূন্য পদের জন্য আবেদনকারীরা 5 টি পূরণ করেছেন 5 C3  উপায়গুলি (অর্থাত্ 5 বাছাই 3) এবং এখন অবশিষ্ট প্রার্থীরা 22 এবং অবশিষ্ট আসন 9 জন তাই এটি হবে 22C9 (22 চয়ন 9) নির্বাচন করা যেতে পারে 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

সুতরাং নির্বাচন 4974200 উপায়ে করা যেতে পারে। 

উদাহরণ: নির্বাচনে ১০ জন প্রার্থী এবং তিনটি শূন্যপদ রয়েছে। কোন ভোটার কতভাবে তার ভোট দিতে পারে?

সমাধান: যেহেতু 3 জন প্রার্থীর জন্য কেবল 10 টি শূন্যপদ রয়েছে তাই এটি 10 ​​চয়ন 1, 10 পছন্দ 2 এবং 10 পছন্দ 3 উদাহরণের সমস্যা,

একজন ভোটার ভোট দিতে পারবেন 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 সুতরাং 175 উপায়ে ভোটাররা ভোট দিতে পারবেন।

উদাহরণ:9 জনের জন্য একটি কক্ষে 4 টি চেয়ার রয়েছে যার মধ্যে একটিতে একটি নির্দিষ্ট চেয়ার সহ একক আসনের অতিথি। তারা কত উপায়ে বসতে পারে?

সমাধান: যেহেতু 3 চেয়ার নির্বাচন করা যায় 8C3 এবং তারপরে 3 জনের ব্যবস্থা করা যেতে পারে 3! উপায়।

3 জনকে 8 টি চেয়ারে বসতে হবে 8C3 (অর্থাত্ 8 পছন্দ 3) ব্যবস্থা

=8C3 এক্স 3! = {8! / 3! (8-3)! 3 এক্স XNUMX!

= 56X6 = 336

336 উপায়ে তারা বসতে পারে।

উদাহরণ: পাঁচ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলার জন্য 4 জনের একটি দল গঠন করা হবে। এটি কত উপায়ে করা যায় যাতে গ্রুপটিতে আরও বেশি পুরুষ থাকে।

সমাধান: এখানে সমস্যাটির মধ্যে পুরুষ এবং মহিলাদের ক্ষেত্রে 5 টি পছন্দ 5, 5 বাছাই 4, 5 বাছাই করা 3 এর মতো বিভিন্ন সংমিশ্রণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা নিম্নলিখিত অনুসারে দেওয়া আছে হিসাবে 4 টি পছন্দ 1, 4 পছন্দ 2 এবং 4 বাছাই 3 অন্তর্ভুক্ত রয়েছে

1 মহিলা এবং 5 জন পুরুষ =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 জন মহিলা এবং 4 জন পুরুষ =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 জন মহিলা এবং 3 জন পুরুষ =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    সুতরাং মোট উপায় = 4 + 30 + 40 = 74।

উদাহরণ: 12 ছেলে তিনটি গাড়িতে যেভাবে ভ্রমণ করতে পারে তার সংখ্যা যাতে প্রতিটি গাড়িতে 4 জন ছেলে ধরে নেয় যে ধরে নিয়েছে যে তিনটি নির্দিষ্ট ছেলে একই গাড়িতে যাবে না।

সমাধান: প্রথমে তিনটি নির্দিষ্ট ছেলেকে বাদ দিন, বাকি 9 টি ছেলে প্রতিটি গাড়িতে 3 জন থাকতে পারে। এটি 9 CHOOSE 3 এ করা যেতে পারে 9C3 উপায়,

তিনটি নির্দিষ্ট ছেলেকে প্রতিটি গাড়িতে তিনভাবে রাখা যেতে পারে। সুতরাং উপায়ের মোট সংখ্যা = 3 এক্স9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

সুতরাং 252 উপায়ে সেগুলি স্থাপন করা যেতে পারে।

উদাহরণ: 2 টি সবুজ এবং 2 টি কালো বলযুক্ত একটি ব্যাগ থেকে কতগুলি উপায়ে 7 সবুজ এবং 8 টি কালো বল এসেছে?

সমাধান: এখানে ব্যাগটিতে 7 টি সবুজ রয়েছে যা থেকে আমাদের 2 টি বেছে নিতে হয় তাই এটি 7 বাছাই 2 সমস্যা এবং 8 টি কালো বল যেটি থেকে আমাদের 2 টি বেছে নিতে হবে তাই এটি 8 বাছাই 2 সমস্যা।

অতএব প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

সুতরাং 588 উপায়ে আমরা সেই ব্যাগ থেকে 2 টি সবুজ এবং 2 কালো নির্বাচন করতে পারি।

উদাহরণ: ইংরেজী শব্দের বারোটি আলাদা অক্ষর সরবরাহ করা হয়েছে। এই বর্ণগুলি থেকে 2 টি বর্ণমালার নাম গঠিত হয়। কমপক্ষে একটি বর্ণের পুনরাবৃত্তি হলে কতটি শব্দ তৈরি করা যায়।

সমাধান: এখানে আমাদের 2 টি বর্ণের 12 টি অক্ষরের শব্দ নির্বাচন করতে হবে সুতরাং এটি 12 চয়ন 2 সমস্যা।

2 টি অক্ষরের শব্দের সংখ্যা যেখানে অক্ষরগুলি যে কোনও সময় পুনরাবৃত্তি হয়েছে = 122

        কিন্তু না. 12 = এর বাইরে দুটি পৃথক অক্ষর থাকার শব্দের কথা12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        প্রয়োজনীয় শব্দের সংখ্যা = 122-66 = 144-66 = 78।

উদাহরণ: বিমানটিতে 12 টি পয়েন্ট রয়েছে যেখানে ছয়টি কলিনারি হয়, তবে এই পয়েন্টগুলিতে যোগদান করে কতগুলি রেখা আঁকানো যেতে পারে।

সমাধান: একটি প্লেনে 12 পয়েন্টের জন্য লাইন তৈরি করতে আমাদের ছয়টি কলিনারি পয়েন্টের জন্য 2 পয়েন্ট সমান প্রয়োজন, সুতরাং এটি 12 পছন্দ 2 এবং 6 চয়ন 2 সমস্যা।

লাইনের সংখ্যা = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

সুতরাং 52 টি উপায়ে এটি লাইনগুলি আঁকতে পারে।

উদাহরণ: 6 ভদ্রলোক এবং 8 জন মহিলার কাছ থেকে 4 সদস্যের মন্ত্রিসভা গঠনের উপায়গুলির সংখ্যাটি সন্ধান করুন যাতে মন্ত্রিসভায় কমপক্ষে 3 জন মহিলা থাকে।

সমাধান: কমিটি গঠনের জন্য, আমরা প্রতিটি পুরুষ এবং মহিলা 3 জন এবং 2 জন 4 জন মহিলা বেছে নিতে পারি যাতে সমস্যাটিতে 8 টি বেছে 3, 4 চয়ন 3, 8 চয়ন 2 এবং 4 চয়ন 4 অন্তর্ভুক্ত থাকে।

দুই ধরণের মন্ত্রিপরিষদ গঠিত হতে পারে

        (i) ৩ জন পুরুষ এবং ৩ জন মহিলা

        (ii) ২ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা

        সম্ভাব্য নং। উপায় = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

সুতরাং 252 উপায়ে আমরা এই জাতীয় মন্ত্রিসভা গঠন করতে পারি।

       এটি এমন কয়েকটি উদাহরণ যেখানে আমরা পরিস্থিতি তুলনা করতে পারি nPr vs nCr আদেশের ক্ষেত্রে, জিনিসগুলি যেভাবে সাজানো হয়েছে তা গুরুত্বপূর্ণ। তবে সংমিশ্রণে অর্ডারটির অর্থ কিছুই নেই।

উপসংহার

মৌলিক সূত্র এবং গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলির সাথে পুনরাবৃত্তি এবং অ-পুনরাবৃত্তি যখন অনুমতি এবং সংমিশ্রণের একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ আসল উদাহরণগুলির আকারে সরবরাহ করা হয়, এই ধারাবাহিক নিবন্ধে আমরা প্রাসঙ্গিক উদাহরণগুলির সাথে বিভিন্ন ফলাফল এবং সূত্রের বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব, যদি আপনি পড়া চালিয়ে যেতে চাই:

ডিসক্রেট ম্যাথমেটিক্সের তত্ত্ব এবং সমস্যাগুলির স্কীমের আউটলাইন

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

গণিতে আরও নিবন্ধের জন্য, দয়া করে এটি অনুসরণ করুন লিংক

ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক

আমি ডা। মোহাম্মদ মাজহার উল হক, গণিতে সহকারী অধ্যাপক ড। পাঠদানের ক্ষেত্রে 12 বছরের অভিজ্ঞতা রয়েছে। খাঁটি গণিতে বিস্তৃত জ্ঞান থাকা, অবশ্যই বীজগণিত সম্পর্কিত। সমস্যা নকশা করা এবং সমাধান করার অপার ক্ষমতা। তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে প্রেরণাদায়ীদের সক্ষম।
আমি নবজাতকদের পাশাপাশি বিশেষজ্ঞদের জন্য গণিতকে সহজ, আকর্ষণীয় এবং স্ব-ব্যাখ্যামূলক করে তুলতে ল্যাম্বডেগিক্সে অবদান রাখতে পছন্দ করি।
লিংকডইন - https://www.linkedin.com/in/dr-mo মোহাম্মদ- মাজহার-ul-haque-58747899/ এর মাধ্যমে সংযোগ করি

লাম্বদা গিক্স