40+ পয়েন্ট বিভাগ বা অনুপাতের সূত্রগুলির সমালোচনামূলক সমাধানযোগ্য সমস্যা

সূত্রের মূল বিষয়গুলি "পয়েন্ট বিভাগ বা অনুপাত"

কেস- I

সমস্যা 21: পয়েন্ট P (x, y) এর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা অভ্যন্তরীণভাবে 1,1: 4,1 অনুপাতের মধ্যে দুটি বিন্দু (1) এবং (2) যোগ করে রেখাংশটি ভাগ করে দেয়।

সমাধান:   আমরা ইতিমধ্যে জানি,

যদি একটি পয়েন্ট পি (x, y) রেখাংশটি AB কে ভাগ করে অন্ত অনুপাতে মি: এন,যেখানে স্থানাঙ্ক A এবং B হয় (x1,y1) এবং (x2,y2) যথাক্রমে তারপরে পি এর সমন্বয়কারীরা হলেন 

\ Textbf {} \ Textbf {x} \ Textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ Textbf {x} _ {2} \ পাঠ্যবুক {+} \ পাঠ্যবইফ {n} \ পাঠ্যবুক {x} _ {1} } {\ textbf f m} \ Textbf {+} \ Textbf {n}

এবং

\ টেক্সটফেফ } {\ textbf f m} \ Textbf {+} \ Textbf {n}

(সূত্র চার্ট দেখুন)

এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা বলতে পারি, (x1,y1) 1,1, (XNUMX) অর্থাত্   x1= 1, y1=1;

(x2,y2)≌ (4,1) অর্থাৎ   x2= 4, y2=1   

এবং

মি: এন  ≌ 1: 2 অর্থাত্   মি = 1, এন = 2

40+ পয়েন্ট বিভাগ বা অনুপাতের সূত্রগুলির সমালোচনামূলক সমাধানযোগ্য সমস্যা
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

অতএব,       

x =\ mathbf {\ frac {\ বাম (1 \ বার x2 \ ডান) + \ বাম (2 \ বার x1 \ ডান)} {1 + 2}} ( এম & এন এর মান স্থাপন করা     \ Textbf {} \ Textbf {x} \ Textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ Textbf {x} _ {2} \ পাঠ্যবুক {+} \ পাঠ্যবইফ {n} \ পাঠ্যবুক {x} _ {1} } {\ textbf f m} \ Textbf {+} \ Textbf {n} )

অথবা, x =\mathbf{\textbf{}\tfrac{1x4+2x1}{3}} ( এর মান স্থাপন x1 &  x2 অত্যধিক )

অথবা, x = th mathbf \ f tfrac {4 + 2} {3}}

অথবা, x = th mathbf \ \ Textbf}} \ tfrac {6} {3}}

 Or, এক্স = 2

একইভাবে আমরা পাই,  

y =th mathbf {\ frac {\ বাম (1 \ বার y2 \ ডান) + \ বাম (2 \ বার y1 \ ডান)} {1 + 2}} ( এম & এন এর মান স্থাপন করা     y =th mathbf \ rac frac {my2 + ny1} {m + n})

অথবা, y =\ mathbf {rac frac {\ বাম (1 \ বার 1 \ ডান) + \ বাম (2 \ বার 1 \ ডান)} {3} ( এর মান স্থাপন y1 &  y2 অত্যধিক )

অথবা, y = th mathbf {rac frac {\ বাম (1 \ বার 1 + 2 \ ডান)} {3}}

অথবা, y =  th mathbf {rac frac {3} {3}

অথবা, y = 1

 অতএব, x = 2 এবং y = 1 হ'ল বিন্দু পি এর স্থানাঙ্কগুলি (2,1)।   (উত্তর)

উপরোক্ত সমস্যাটিতে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল: -

সমস্যা 22: বিন্দুটির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা আংশিকভাবে 0,5: 0,0 অনুপাতের মধ্যে দুটি পয়েন্ট (2) এবং (3) যোগ করে রেখাংশটি ভাগ করে দেয়।

                     উঃ (0,2)

সমস্যা 23: অভ্যন্তরীণভাবে রেখাংশটি 1,1: 4,1 অনুপাতের পয়েন্টগুলিতে (2) এবং (1) যোগ করে এমন বিন্দুটি সন্ধান করুন।

উঃ (3,1)

সমস্যা 24: যে বিন্দুটি রেখাংশটি দুটি পয়েন্ট (3,5,) এবং (3, -5,) যোগ করে এটি 1: 1 অনুপাতের মধ্যে ভাগ করে খুঁজে পান

উঃ (3,0)

সমস্যা 25: বিন্দুটির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা লাইন বিভাগকে অভ্যন্তরীণভাবে দুটি পয়েন্ট (-4,1) এবং (4,1) সাথে 3: 5 অনুপাতের সাথে ভাগ করে দেয়

উওর। (-1,1)

সমস্যা 26: বিন্দুটি অভ্যন্তরীণভাবে দুটি বিন্দু (-10,2) এবং (10,2) যোগ করে রেখাংশটি ভাগ করে 1.5 : 2.5.

_____________________________

মামলা -২

সমস্যা 27:   বিন্দু Q (x, y) এর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা বাহ্যিকভাবে 2,1: 6,1 অনুপাতের দুটি পয়েন্ট (3) এবং (1) যোগ করে রেখাংশটি ভাগ করে দেয়।

সমাধান:  আমরা ইতিমধ্যে জানি,

যদি একটি পয়েন্ট প্রশ্ন (x, y) রেখাংশটি AB কে ভাগ করে বাহ্যিকভাবে অনুপাতে মি: এন,কোথায় স্থানাঙ্ক of A এবং B হয় (x1,y1) এবং (x2,y2) যথাক্রমে, তারপর পয়েন্ট P এর স্থানাংক হয় 

\ টেক্সটফেফ } {\ Textbf f m} \ Textbf {-} \ Textbf {n}

এবং

\ টেক্সটফেফ } {\ Textbf f m} \ Textbf {-} \ Textbf {n}

(সূত্র চার্ট দেখুন)

এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা বলতে পারি,  (x1,y1) ≌ (2,1) অর্থাৎ  x1= 2, y1=1;

                                                    (x2,y2)≌ (6,1) অর্থাৎ   x2= 6, y2= 1 এবং   

                                                    মি: এন  ≌ 3: 1 অর্থ্যাৎ    m=3, এন =1   

পয়েন্ট বিভাগ
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

অতএব, 

x =\ mathbf {\ frac {\ বাম (3 \ বার x2 \ ডান) - \ বাম (1 \ বার x1 \ ডান)} {3-1}} ( এম & এন এর মান স্থাপন করা     x  =th mathbf {rac frac {mx2-nx1} {mn})

অথবা, x =\ mathbf {rac frac {\ বাম (3 \ বার 6 \ ডান) - \ বাম (1 \ বার 2 \ ডান)} {2} ( এর মান স্থাপন x1 &  x2 অত্যধিক )

অথবা, xth mathbf {rac frac {18-2} {2}

অথবা, x  =  th mathbf {rac frac {16} {2}

অথবা, x = 8

একইভাবে আমরা পাই,  

y =\ mathbf {rac frac {\ বাম (3 \ বার y2 \ ডান) - \ বাম (1 \ বার y1 \ ডান)} {3-1}} ( এম & এন এর মান স্থাপন করা     y =th mathbf \ rac frac {my2-ny1} {mn})

অথবা, y =\ mathbf {rac frac {\ বাম (3 \ বার 1 \ ডান) - \ বাম (1 \ বার 1 \ ডান)} {2} ( এর মান স্থাপন y1 &  y2 অত্যধিক )

অথবা, y = th mathbf {rac frac {3-1} {2}

অথবা, y =  th mathbf {rac frac {2} {2}

অথবা, y = 1

 অতএব, x = 8 এবং y = 1 হ'ল বিন্দু Q এর স্থানাঙ্ক ie (8,1).   (উত্তর)

উপরোক্ত সমস্যাটিতে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল: -

সমস্যা 28: বিন্দুটি বাহ্যিকভাবে দুটি বিন্দুতে (2,2) এবং (4,2) যোগ করে রেখাংশটি ভাগ করে 3 : 1.

উঃ (5,2)

সমস্যা 29: বিন্দুটি বাহ্যিকভাবে দুটি বিন্দুতে (0,2) এবং (0,5) যোগ করে রেখাংশটি ভাগ করে 5: 2.

উঃ (0,7)

সমস্যা 30: অনুপাতের দুটি বিন্দু (-3, -2) এবং (3, -2) যোগদান করে এমন রেখাংশের বর্ধিত অংশের উপরে থাকা বিন্দুটি সন্ধান করুন 2 : 1.

উঃ (9, -2)

________________________________

মামলা- III

সমস্যা 31:  দুটি পয়েন্ট (-1,2) এবং (1,2) যোগ দিয়ে রেখাংশের মধ্য পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান:   আমরা ইতিমধ্যে জানি,

যদি একটি পয়েন্ট আর (x, y) লাইন বিভাগে যোগদানের মিডপয়েন্ট হতে হবে ক (এক্স)1,y1) এবং খ (এক্স2,y2)।তারপরে স্থানাঙ্ক R হয়

\ টেক্সটফেফ

এবং

\ Textbf {} \ Textbf {y} \ Textbf {=} \ frac {\ textbf {y} _ {1} \ Textbf {+} \ Textbf {y} _ {2}} {\ Textbf {2}

(সূত্র চার্ট দেখুন)

কেস- III কেস -1 এর রূপ, যখন এম = 1 এবং এন = XNUMX হয়

এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা বলতে পারি,  (x1,y1) ≌ (-1,2) অর্থাৎ  x1= -1, y1=2 এবং

                                                    (x2,y2)≌ (1,2) অর্থাৎ   x2= 1, y2=2

40+ পয়েন্ট বিভাগ বা অনুপাতের সূত্রগুলির সমালোচনামূলক সমাধানযোগ্য সমস্যা
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

অতএব,

x =th mathbf {rac frac {\ বাম (-1 \ ডান) +1} {2}} ( এর মান স্থাপন x1 &  x2  in x =th mathbf {\ frac {x1 + x2} {2})

অথবা, x  =  th mathbf {rac frac {0} {2}

অথবা, x = 0

একইভাবে আমরা পাই, 

y =th mathbf {\ frac {2 + 2} {2} ( এর মান স্থাপন y1 &  y2  in y =th mathbf {\ frac {x1 + x2} {2})

অথবা, y th mathbf {rac frac {4} {2}

অথবা, y = 2

অতএব, x = 0 এবং y = 2 হ'ল মিডপয়েন্ট আর এর সমন্বয়কারী (0,2)।   (উত্তর)

উপরোক্ত সমস্যাটিতে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তর দেওয়া সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল: -

সমস্যা 32: দুটি বিন্দু (-1, -3) এবং (1, -4) যোগদান করে রেখার মিডপয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

উঃ (0,3.5)

সমস্যা 33: মিডপয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা দুটি বিন্দুতে (-5, -7) এবং (5,7) যোগ দিয়ে রেখাংশকে ভাগ করে।

উঃ (0,0)

সমস্যা 34: মিডপয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা দুটি পয়েন্ট (10, -5) এবং (-7,2) যোগ দিয়ে রেখাংশকে ভাগ করে।

উঃ (২.২, -১.২)

সমস্যা 35: মিডপয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা দুটি বিন্দুতে (3, √2) এবং (1,3) যোগ দিয়ে রেখাংশকে ভাগ করে দেয়2).

উঃ (২,২√২)

সমস্যা 36: মিডপয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা দুটি বিন্দুতে (2 + 3i, 5) এবং (2-3i, -5) যোগ করে লাইন বিভাগকে বিভক্ত করে।

উঃ (2,0)

দ্রষ্টব্য: বিন্দুটি m: n অনুপাত দ্বারা অভ্যন্তরীণ বা বাহ্যিকভাবে একটি বিন্দু একটি রেখা (দৈর্ঘ্য = ডি ইউনিট) বিভক্ত করে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন

যদি (এম × ডি) / (এম + এন) + (এন × ডি) / (এম + এন) = ডি হয়, তবে অভ্যন্তরীণভাবে বিভাজন এবং

যদি (এম × ডি) / (এম + এন) - (এন × ডি) / (এম + এন) = ডি হয় তবে বাহ্যিকভাবে বিভাজন

____________________________________________________________________________

সূত্রগুলিতে "একটি ত্রিভুজের অঞ্চল" এর প্রাথমিক উদাহরণ

কেস- I 

সমস্যা 37: দুইটি উল্লম্ব সহ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? এ (1,2) এবং বি (5,3) এবং সম্মানের সাথে উচ্চতা AB be 3 ইউনিট স্থানাঙ্ক প্লেনে?

 সমাধান:   আমরা ইতিমধ্যে জানি,

If "এইচ" উচ্চতা হতে হবে এবং "খ" ত্রিভুজ এর বেস হবে, তারপর  ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × b × h

(সূত্র চার্ট দেখুন)

40+ পয়েন্ট বিভাগ বা অনুপাতের সূত্রগুলির সমালোচনামূলক সমাধানযোগ্য সমস্যা
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা বলতে পারি, 

 h = 3 ইউনিট এবং b = √ [(এক্স2-x1)2+ (y)2-y1)2 ] অর্থাৎ  [(5-1)2+ (3-2)2 ]

                    অথবা, b = √ [(4)2+ + (1)2 ]

                    অথবা, b = √ [(16 + 1 ]

                    অথবা,  b = √ 17 ইউনিট

অতএব, ত্রিভুজটির প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রটি   = ½ × বি × এইচ

= ½ × (17 ডলার) × 3 ইউনিট

= 3⁄2 × (17 ডলার) ইউনিট (উত্তর)

______________________________________________________________________________________

মামলা -২

সমস্যা 38:শীর্ষে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? এ (1,2), বি (5,3) এবং সি (3,5) স্থানাঙ্ক প্লেনে?

 সমাধান:   আমরা ইতিমধ্যে জানি,

If  ক (এক্স)1,y1) খ (এক্স2,y2) এবং সি (এক্স3,y3) একটি ত্রিভুজের কোণটি হতে হবে,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল  =|½[x1 (y2-  y3) + এক্স2 (y3-  y2) + এক্স3 (y2- ওয়াই1)]|

(সূত্র চার্ট দেখুন)

আমাদের এই সূত্রটি ব্যবহার করে, 

                                              (x1,y1) ≌ (1,2) অর্থাৎ   x1= 1, y1=2;

                                              (x2,y2) ≌ (5,3) অর্থাৎ   x2= 5, y2= 3 এবং

                                              (x3,y3) ≌ (3,5) অর্থাৎ    x3= 3, y3=5

40+ পয়েন্ট বিভাগ বা অনুপাতের সূত্রগুলির সমালোচনামূলক সমাধানযোগ্য সমস্যা
গ্রাফিকাল উপস্থাপনা

সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = | ½ [এক্স1 (y2-  y3) + এক্স2 (y3-  y1) + এক্স3 (y1-y2)] | অর্থাত 

= | ½ [1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)] |  বর্গ ইউনিট 

= | ½ [1x (-2) + (5 × 2) + (3 × 1)] |    বর্গ ইউনিট

= | ½ [-2 + 10 + 3] |    বর্গ ইউনিট

= | ½ এক্স 11|     বর্গ ইউনিট

= 11-2     বর্গ ইউনিট

= 5.5      বর্গ ইউনিট         (উঃ)

উপরের সমস্যার বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আরও অনুশীলনের জন্য আরও উত্তরিত সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া হল: -

সমস্যা 39: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলটি সন্ধান করুন যার কোণটি (1,1), (-1,2) এবং (3,2) are

উঃ ঘ বর্গ ইউনিট

সমস্যা 40: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সন্ধান করুন যার দৈর্ঘ্য (3,0), (0,6) এবং (6,9)।

উঃ ঘ বর্গ ইউনিট

সমস্যা 41: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সন্ধান করুন যার শীর্ষে (-1, -2), (0,4) এবং (1, -3)।

উঃ ঘ বর্গ ইউনিট

সমস্যা 42: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সন্ধান করুন যার দৈর্ঘ্যটি (-5,0,), (0,5) এবং (0, -5)।                                 উঃ ঘ বর্গ ইউনিট

 _______________________________________________________________________________________

গণিতে আরও পোস্টের জন্য, আমাদের অনুসরণ করুন গণিতের পৃষ্ঠা।

নাসরিনা পারভিন সম্পর্কে

40+ পয়েন্ট বিভাগ বা অনুপাতের সূত্রগুলির সমালোচনামূলক সমাধানযোগ্য সমস্যাআমি নাসরিনা পারভিন, ভারতের যোগাযোগ ও তথ্য প্রযুক্তি মন্ত্রণালয়ে দশ বছরের কাজ করার অভিজ্ঞতা পেয়েছি। আমি গণিতে স্নাতকোত্তর করেছি। আমার ফ্রি সময়ে আমি পড়াতে, গণিতের সমস্যাগুলি সমাধান করতে পছন্দ করি। আমার শৈশব থেকেই ম্যাথই একমাত্র বিষয় যা আমাকে সবচেয়ে বেশি আকর্ষণ করেছিল।

en English
X