শর্তযুক্ত সম্ভাবনা: 7টি আকর্ষণীয় তথ্য জানার জন্য

শর্তাধীন সম্ভাবনা

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা তত্ত্ব বিশাল ঝুঁকি নেওয়ার ধারণা থেকে বেরিয়ে আসা। এখন অনেক সমস্যা আছে যা সুযোগের খেলা থেকে উদ্ভূত হয়, যেমন কয়েন নিক্ষেপ, পাশা নিক্ষেপ এবং তাস খেলা। 

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা তত্ত্বটি বিভিন্ন বিভিন্ন ডোমেন এবং এর নমনীয়তায় প্রয়োগ করা হয় শর্তাধীন সম্ভাবনা প্রায় বিভিন্ন বিভিন্ন প্রয়োজনের জন্য সরঞ্জাম সরবরাহ করে। সম্ভাবনা তত্ত্ব এবং নমুনাগুলি ঘটনার সম্ভাব্যতা অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত।

এক্স এবং ওয়াই উভয় বিবেচনা করুন ঘটনামূলক পরীক্ষার দুটি ঘটনা। এরপরে, পি এর ফলে যে পরিস্থিতিতে ইতিমধ্যে পি (ওয়াই) ≠ 0 হয়েছে তার অধীনে এক্স এর সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা হিসাবে পরিচিত এবং এটি পি (এক্স / ওয়াই) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে।

সুতরাং, পি (এক্স / ওয়াই) = এক্স এর ঘটনার সম্ভাবনা, যদি সরবরাহ করা হয় যে ওয়াই ইতিমধ্যে ঘটেছে।

P(X ⋂ Y)/P( Y ) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

একইভাবে, পি (ওয়াই / এক্স) = ওয়াইয়ের সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা, যেমন এক্স ইতিমধ্যে ঘটেছে।

P(X ⋂ Y)/P(X ) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

কিছু ক্ষেত্রে সংক্ষেপে, পি (এক্স / ওয়াই) ওয়াই যখন ঘটে তখন এক্স এর সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্দিষ্ট করতে ব্যবহৃত হয়। একইভাবে, পি (ওয়াই / এক্স) এক্স হওয়ার সময় ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা নির্দিষ্ট করতে ব্যবহৃত হয়।

সম্ভাবনার উপর গুণন তত্ত্বটি কী?

যদি এক্স এবং ওয়াই উভয়ই একটি স্বেচ্ছাসেবী পরীক্ষার স্ব-সহায়ক (স্বতন্ত্র) ইভেন্ট হয়, তবে

পি(এক্স ⋂ Y) = P(X)। P( X/Y), যদি P ( X ) ≠ 0 হয়

পি(এক্স ⋂ Y) = P( Y)। P( Y/X), যদি P ( Y ) ≠ 0 হয়

স্বতন্ত্র ইভেন্টগুলির জন্য বহুগুণ তত্ত্বগুলি কী? 

If এক্স এবং ওয়াই উভয়ই স্ব-সমর্থনমূলক (স্বতন্ত্র) ইভেন্টগুলি একটি স্বেচ্ছাসেবী পরীক্ষার সাথে সংযুক্ত, তারপরে পি (এক্স ∩ ওয়াই) = পি (এক্স) .পি (ওয়াই)

অর্থাত, দুটি স্বতন্ত্র ঘটনার এক সাথে ঘটনার সম্ভাবনা তাদের সম্ভাবনার গুণনের সমান। গুণন উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমাদের কাছে P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X) আছে

 এক্স এবং ওয়াই যেহেতু স্বাধীন ইভেন্ট, তাই পি (ওয়াই / এক্স) = পি (ওয়াই)

বোঝায়, পি (এক্স ∩ ওয়াই) = পি (এক্স) .পি (ওয়াই)

ইভেন্টগুলি পারস্পরিক একচেটিয়া থাকাকালীন: 

যদি এক্স এবং ওয়াই পারস্পরিক একচেটিয়া ইভেন্ট হয়, তবে ⇒ n (X ∩ Y) = 0, পি (এক্স ∩ ওয়াই) = 0

পি (এক্সইউওয়াই) = পি (এক্স) + পি (ওয়াই)

এক্স, ওয়াই, জেড যে কোনও তিনটি ইভেন্টের জন্য পারস্পরিক একচেটিয়া, 

পি (এক্স ∩ ওয়াই) = পি (ওয়াই ∩ জেড) = পি (জেড ∩ এক্স) = পি (এক্স ∩ ওয়াই ∩ জেড) = 0

P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

ইভেন্টগুলি স্বতন্ত্র থাকাকালীন: 

যদি এক্স এবং ওয়াই নিয়ন্ত্রণহীন (বা স্বতন্ত্র) ইভেন্ট হয় তবে তা

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) - P(X)। P(Y)

এক্স এবং ওয়াই দুটি স্বেচ্ছাসেবীর (বা এলোমেলো) পরীক্ষার সাথে সংযুক্ত হওয়ার পরে যাক

যদি আপনি এক্স, তবে

(b) P(Y) ≤ P(X)

একইভাবে যদি X⊂ Y হয়, তবে

(b) P(X) ≤ P(Y)

এক্স বা ওয়াই উভয়েরই সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা নেই 

উদাহরণ: কার্ডের প্যাক থেকে যদি একটি একক কার্ড বাছাই করা হয়। এটি সম্ভবত কোদাল বা রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কী?

সমাধান:

পি (এ) = পি (একটি কোদাল কার্ড) = 13/52

পি (বি) = পি (একটি কিং কার্ড) = 4/52

পি (হয় কোদাল বা কিং কার্ড) = পি (এ বা বি)

= পি (এএবিবি) = পি (এ) + পি (বি) -পি (এআইবি)

= পি (এ) + পি (বি) -পি (এ) পি (বি)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

উদাহরণ: কেউ 3 টির মধ্যে 4 টির সাথে লক্ষ্যবস্তুতে পরিচিত বলে পরিচিত, অন্য একজন ব্যক্তি 2 টির মধ্যে 3 টির সাথে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত হানে বলে জানা গেছে। যখন উভয় ব্যক্তি চেষ্টা করছে তখন লক্ষ্যটিটি সম্ভবত হিট হওয়ার সম্ভাবনাটি কিনা তা সন্ধান করুন।

সমাধান:

 প্রথম ব্যক্তির দ্বারা আঘাতের লক্ষ্যের সম্ভাবনা = পি (এ) = 3/4

দ্বিতীয় ব্যক্তির দ্বারা হিট হওয়ার সম্ভাবনা = পি (বি) = 2/3

দুটি ঘটনা পরস্পর একচেটিয়া নয়, যেহেতু উভয় ব্যক্তিই একই লক্ষ্য = P (A বা B) আঘাত করে

= পি (এএবিবি) = পি (এ) + পি (বি) -পি (এআইবি)

= পি (এ) + পি (বি) -পি (এ) পি (বি)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

উদাহরণ: If  A  এবং B দুটি ঘটনা যেমন পি (এ) = 0.4, পি (এ + বি) = 0.7 এবং পি (এবি) = 0.2 তবে পি (বি)?

সমাধান: যেহেতু আমাদের পি (এ + বি) = পি (এ) + পি (বি) -পি (এবি) রয়েছে

=> 0.7 = 0.4 + পি (বি) -0.2

=> পি (বি) = 0.5

উদাহরণ: কার্ডের একটি প্যাক থেকে নির্বিচারে একটি কার্ড নির্বাচন করা হয়। কার্ডটি লাল রঙের কার্ড বা রানী হওয়ার সম্ভাবনা কী।

সমাধান: প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা হ'ল

পি (লাল + কুইন) -পি (লাল ⋂ কুইন)

= পি (লাল) + পি (কুইন) -পি (লাল ⋂ কুইন)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

উদাহরণ: পরীক্ষায় এক্স ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা যদি 0.3 হয় এবং ওয়াইয়ের সম্ভাব্যতা 0.2 হয়, তবে এক্স বা ওয়াই পরীক্ষায় ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনাটি আবিষ্কার করুন?

সমাধান: এখানে পি (এক্স) = 0.3, পি (ওয়াই) = 0.2

এখন পি (এক্স ∪ ওয়াই) = পি (এক্স) + পি (ওয়াই) -পি (এক্স ⋂ ওয়াই)

যেহেতু এগুলি স্বাধীন ঘটনা, তাই

পি (এক্স ⋂ ওয়াই) = পি (এক্স)। পি (ওয়াই)

সুতরাং প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44

উদাহরণ: পদার্থবিজ্ঞানে ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা 20% এবং গণিতে ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা 10%। কমপক্ষে একটি বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা কী কী?

সমাধান: পি (এ) = 20/100 = 1/5, পি (বি) = 10/100 = 1/10 আসুন

যেহেতু ইভেন্টগুলি স্বাধীন এবং আমাদের খুঁজে বের করতে হবে 

পি (এ ∪ বি) = পি (এ) + পি (বি) -পি (এ)। পি (বি)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

সুতরাং একটি বিষয়ে ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা (14/50) এক্স 100 = 28%

উদাহরণ: তিনজন শিক্ষার্থীর দ্বারা প্রশ্ন সমাধানের সম্ভাবনা যথাক্রমে 1 / 2,1 / 4 এবং 1/6। প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সম্ভাব্য সম্ভাবনা কী হবে?

সমাধান:

(i) এই প্রশ্নটি একজন শিক্ষার্থীও সমাধান করতে পারেন

(ii) এই প্রশ্নের উত্তর দুটি শিক্ষার্থী একযোগে দিতে পারে।

(iii) এই প্রশ্নের উত্তর তিনজন শিক্ষার্থী সবাই মিলে উত্তর দিতে পারবেন।

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C)। পি (এ)] + [পি (এ) .পি (বি) .পি (সি)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

উদাহরণ: একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর সম্ভাবনা বন্টন থাকে

X	1	2	3	4	5	6	7	8
P(X)	0.15	0.23	0.12	0.10	0.20	0.08	0.07	0.05

ইভেন্টগুলির জন্য E = {X হল প্রধান সংখ্যা} এবং এফ = {এক্স <4}, পি এর সম্ভাব্যতা (E ∪ F) সন্ধান করুন।

সমাধান:

E = {X হল একটি প্রধান সংখ্যা}

পি (ই) = পি (2) + পি (3) + পি (5) + পি (7) = 0.62

এফ = {এক্স <4}, পি (এফ) = পি (1) + পি (2) + পি (3) = 0.50

এবং পি (ই ⋂ এফ) = পি (2) + পি (3) = 0.35

P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

উদাহরণ: তিনটি কয়েন নিক্ষেপ করা হয়। যদি তাদের মধ্যে একটিতে লেজ উপস্থিত হয়, তবে তিনটি কয়েনের লেজ উপস্থিত হওয়ার সম্ভাব্য সম্ভাবনা কী হবে?

সমাধান: বিবেচনা E এই ইভেন্টটি যেখানে তিনটি কয়েনই লেজ এবং উপস্থিত হয় F একটি মুদ্রা লেজ উপস্থিত হয় যেখানে ইভেন্ট। 

এফ = {এইচএইচটি, এইচটিএইচ, টিএইচএইচ, এইচটিটি, টিএইচটি, টিটিএইচ, টিটিটি}

এবং ই = {টিটিটি}

প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা = পি (ই / এফ) = পি (ই ⋂ এফ) / পি (ই) = 1/7

মোট সম্ভাবনা এবং বেয়ের নিয়ম

মোট সম্ভাবনার আইন:

নমুনা স্পেস এস এবং এন এর জন্য পারস্পরিক একচেটিয়া এবং বিস্তৃত ইভেন্ট E₁ E₂ … .ই_n একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে সম্পর্কিত। এক্স যদি একটি নির্দিষ্ট ইভেন্ট হয় যা E এর সাথে ঘটে₁ বা ই₂ বা বা E_n, তারপর 

বেয়ের নিয়ম: 

বিবেচনা S একটি নমুনা স্থান এবং ই হতে পারে₁, ই₂,… ..ই_n be n অসম্পূর্ণ (বা পারস্পরিক একচেটিয়া) ইভেন্টগুলি

এবং পি (ই_i) > 0 এর জন্য i = 1,2,…,n

আমরা ভাবতে পারি E_iপরীক্ষাগুলির ফলাফলের দিকে পরিচালিত করার কারণ হিসাবে। সম্ভাবনা P(E_i), i = 1, 2,… .., n পূর্ব (বা পূর্ব) সম্ভাব্যতা হিসাবে পরিচিত বলা হয়। এক্স এক্স ইভেন্টের ফলাফল যদি মূল্যায়ন হয়, যেখানে P(এক্স)> 0. তারপরে আমাদের সম্ভাবনাটি বুঝতে হবে যে অনুধাবন করা হয়েছে ইভেন্ট X কারণে হয়েছে E_i, যা আমরা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা পি (ই) এর জন্য সন্ধান করি_i/এক্স) . এই সম্ভাব্যতাগুলি বেয়ের বিধি দ্বারা প্রদত্ত উত্তরীয় সম্ভাব্যতা হিসাবে পরিচিত

উদাহরণ: এখানে 3 টি বাক্স রয়েছে যা 2 টি নীল এবং 3 টি সবুজ মার্বেল ধারণ করে; 4 নীল এবং 1 টি সবুজ মার্বেল এবং 3 টি নীল এবং 7 টি সবুজ মার্বেল। একটি মার্বেল বাক্সে এলোমেলোভাবে আঁকা এবং একটি সবুজ বল পাওয়া যায়। তারপরে এটি কীভাবে সম্ভাবনা রয়েছে যা সর্বাধিক সবুজ মার্বেলযুক্ত বক্স থেকে তৈরি হয়েছিল।

সমাধান: নিম্নলিখিত ইভেন্টগুলি বিবেচনা করুন:

এ -> মার্বেল টানা সবুজ;

E₁ -> বক্স 1 নির্বাচিত;

E₂ বক্স 2 বেছে নেওয়া হয়েছে

E₃ 3 বাক্সটি বেছে নেওয়া হয়েছে।

পি (ই)₁) = পি (ই)₂) = পি (ই)₃) = 1/3, পি (এ / ই)₁) = 3/5

তারপর

পি (এ / ই)₂) = 1/5, পি (এ / ই)₃) = 7/10

প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা = পি (ই)₃/ এ)

পি (ই)₃)P(A/E₃)/পি(ই₁)P(A/E₁)+P(E₂)P(A/E₂)+P(E₃)P(A/E₃) = 7/15

উদাহরণ: একটি প্রবেশিকা পরীক্ষায় একাধিক পছন্দের প্রশ্ন রয়েছে। কোনটি সঠিক তা নিয়ে প্রতিটি প্রশ্নের চারটি সম্ভাব্য সঠিক উত্তর রয়েছে। একজন ছাত্র কোনও নির্দিষ্ট প্রশ্নের সঠিক উত্তর উপলব্ধির সম্ভাব্য সুযোগটি 90%। যদি তিনি কোনও নির্দিষ্ট প্রশ্নের সঠিক উত্তর পেয়ে থাকেন তবে তার ভবিষ্যদ্বাণী করার সম্ভাব্য সম্ভাবনাটি কী।

সমাধান: আমরা নিম্নলিখিত ইভেন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করি:

A₁ : সে উত্তর জানে।

A₂ : সে উত্তর হয়ত জানে না।

ই: তিনি সঠিক উত্তর সম্পর্কে সচেতন।

পি (এ₁) = 9/10, পি (এ₂) = 1-9 / 10 = 1/10, পি (ই / এ)₁) = 1,

মটর₂) = 1/4

সুতরাং প্রত্যাশিত সম্ভাবনা

উদাহরণ: বালতি A 4 টি হলুদ এবং 3 কালো মার্বেল এবং বালতি রয়েছে B 4 টি কালো এবং 3 টি হলুদ মার্বেল রয়েছে। একটি বালতি এলোমেলোভাবে নেওয়া হয় এবং একটি মার্বেল টানা হয় এবং এটি হলুদ বর্ণিত। এটি বালতি আসার সম্ভাবনা কত? B.

সমাধান: এটি বেয়ের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি। 

বাছা বালতি সম্ভাবনা A , পি (এ) = 1/2

বাছা বালতি সম্ভাবনা B , পি (বি) = 1/2

বালতি থেকে নেওয়া হলুদ মার্বেলের সম্ভাবনা A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

বালতি থেকে নেওয়া হলুদ মার্বেলের সম্ভাবনা B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

হলুদ মার্বেলগুলির মোট সম্ভাব্যতা = (2/7) + (3/14) = 1/2

বালতি থেকে ইয়েলো মার্বেলগুলি আঁকানো সম্ভব হওয়ার সম্ভাবনা B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

উপসংহার:

 এই নিবন্ধে আমরা প্রধানত আলোচনা শর্তাধীন সম্ভাবনা এবং উদাহরণ সহ বেইস উপপাদ্য এগুলোর মধ্যে বিচারের প্রত্যক্ষ এবং নির্ভরশীল পরিণতি নিয়ে আমরা এখন পর্যন্ত আলোচনা করেছি পরপর নিবন্ধগুলিতে আমরা সম্ভাব্যতাকে এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সাথে সম্পর্কিত এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত কিছু পরিচিত পদ আমরা আলোচনা করব, আপনি যদি আরও পড়তে চান তবে এর মাধ্যমে যান:

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের স্কামের আউটলাইনগুলি এবং ডাব্লুআইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা.

আরও অধ্যয়নের জন্য, আমাদের দেখুন গণিত পাতা.